9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

Числа a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы, точки А1(-a, 0), À2(a, 0) — вершинами гиперболы.

Форму гиперболы характеризует эксцентриситет c/a = e > 1.

æ b ö2				ñ2 - a2			2
Действительно, з		÷	=			= e		-1, поэтому чем меньше экс-
					2
è a ø				a

центриситет гиперболы, тем более вытянут ее основной прямоугольник в направлении фокальной оси.

	x2		y2
Уравнение -		+		= 1 определяет гиперболу с действитель-
	a2		b2

ной полуосью b и мнимой полуосью а, вершины которой В1(0;-b), Â2(0;b) находятся на оси ОУ.

Задача. Найти каноническое уравнение гиперболы, имеющей

вершины в фокусах, а фокусы — в вершинах эллипса x2 + y2 = 1. 25 9

Для эллипса имеем a

= 5,

b = 3,

c =

a2

- b2

= 4. Тогда для

ý

ý

ý

ý

ý

гиперболы a

= ñ = 4,

ñ

= a

= 5,

b

=

ñ2

- a2

=

25 -16 = 3. Ïî-

ã

ý

ã

ý

ã

ã

ã

x2

y2

лучаем уравнение гиперболы

-

= 1

16

9

4.4. Парабола

О: Параболой называется гмт, равноудаленных от т. F, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой (т. F П директрисе).

Расстояние от т. F до директрисы обозначим через p (параметр параболы). Для вывода канонического уравнения параболы ось OX проведем через фокус F перпендикулярно к директрисе, начало координат совместим с серединой расстояния FB от т. F до директрисы (рис. 4.3). Тогда F (p/2, 0), уравнение директрисы x = -p/2. Если M (x, y) — точка параболы, то |FM | = |MM ¢|, MM ¢^ директрисе. Отсюда имеем уравнение

æ	p ö2			2		p
ç x -		÷	+ y		= x +		.
						2
è	2 ø

%

Возведя обе части в квадрат и упрощая,

	Y					приводим его к виду, который называется
M ¢		M				каноническим: y2 = 2px.
						Исследуем форму параболы. Так как в
-p/2		p/2				уравнении y содержится в четной степени,
					X	то ось OX является осью симметрии пара-
						болы, причем x ³ 0, и график располагает-
B	O	F
						ся справа от оси OY. В первой четверти
		Ðèñ. 4.3				y = 2px, т.е. с возрастанием x от 0 до +¥
						ордината y возрастает от 0 до +¥ (см. рис. 4.3).
						Точка О (0, 0) называется вершиной параболы.

Задача. Найти каноническое уравнение параболы, проходящей через т. М (-1, 2), симметричной относительно оси OX и имеющей вершину в т. О (0, 0).

Данная парабола должна быть расположена слева от оси OY, т.е. каноническое уравнение имеет вид y2 = -2px. Подставляя в него координаты т. М, находим р: 4 = -2р(-1) Ы р = 2. Получим уравнение y2 = -4x

4.5.Преобразования параллельного переноса

èповорота системы координат. Упрощение уравнений кривых 2-го порядка

Иногда при решении задач удобно вместо данной системы XOY использовать другую X ¢O¢Y ¢, определенным образом ориентированную относительно данной системы.

Пусть новая система X ¢O¢Y ¢ получена из старой XOY параллельным переносом осей координат, т.е. оси новой системы параллельны осям старой и имеют одинаковое с ними направление (рис. 4.4). Пусть начало О ¢ новой системы имеет координаты (a, b) в старой системе.

Y		Y ¢				Возьмем т. М на плоскости и найдем за-
		¢		M		висимость между ее координатами (x, y) в
y	y					старой системе и (x ¢, y					¢) в новой. Из
					X ¢
b	O	¢ x ¢				ì	x	=	x¢	+	a
											,
O					X	ðèñ. 4.4 ÿñíî, ÷òî í
	a		x
						îy = y¢ + b.

Ðèñ. 4.4

%

Если уравнение кр. 2п (4.1) не содержит члена с произведени-
ем координат (В = 0), то с помощью параллельного переноса оно
приводится к каноническому виду. Для этого необходимо в слу-
чае А ¹ 0, С ¹ 0 выделить полные квадраты для членов, содержа-
щих y, и членов, содержащих х, затем для полученных полных
квадратов вида (x - a)2, (y - b)2 обозначить через новые перемен-
íûå õ ¢ = õ - à, y ¢ = y - b.
Пример:
2x2 - y2 - 4x - 4y - 6 = 0.
2(x2 - 2x + 1) - (y2 + 4y + 4) = 2 - 4 + 6 Û 2(x - 1)2 - (y + 2)2 = 4.
	ì	x		-1 =	x¢
					,
Введем новые переменные îí y + 2 = y¢						и новое начало коорди-
нат О ¢(1, -2). Тогда, разделив обе части уравнения на 4, полу-
чим каноническое уравнение гиперболы							x	¢ 2	y¢ 2
								-	= 1, äåé-
							2		4
ствительная полуось a =	2,		мнимая b = 2. Построим эту ги-
перболу в системе координат				X ¢O¢Y ¢		(ðèñ. 4.5)
	Y			Y ¢
				2				X
	O
- 2	-1					2		X ¢
				O ¢
				-2
			Ðèñ. 4.5

Если В ¹ 0 в общем уравнении кр. 2п (4.1), то первые три слагаемых образуют квадратичную форму от двух переменных

f (x,y) = Ax2 + Bxy + Ñy2 с матрицей	æ	A	B/2ö
	P = ç		÷.
	è B/2		C ø

%!

Приводя ее к каноническому виду, получим f (x,y) = l x ¢2 + l y ¢2,
		1	2
ãäå l1, l2 — собственные значения матрицы Р, x ¢, y ¢ — новые ко-
ординаты в системе X ¢O ¢Y ¢.		r	r
r	r
Пусть i ,	j — старый ортонормированный базис,	i¢,	j ¢ — íî-

вый. Выразим формулы преобразования координат через угол

r·r

отсчитываемый в направлении кратчайшего поворота от

j = (i

, i¢),

r

i ê

i¢. Имеем (рис. 4.6)

r

r

r

ì

i¢ = cosji

+ sin jj,

Y

ï

r

r

Y ¢

í r

p

p

r

X ¢

ï j¢ = cos(j +

2

)i

+ sin(j +

2

) j.

ir¢

î

r

¢

j

j

Следовательно, формулы преобразова-

j

r

X

ния координат, которые называются пре-

i

O

образованием поворота системы координат

Ðèñ. 4.6

на угол j, запишутся в виде:

æ

x¢

ö

æ cosj

sin j öæ

x

ö

ì

x

=

x¢

y¢

cosj -

sin j,

ç

÷ =

ç

֍

÷ èëè

í

= x¢sin j + y¢cosj.

è y¢

ø

è -sin j

cosjøè y

ø

îy

Подставляя их в общее уравнение кр. 2п, получим уравнение, не содержащее слагаемого с произведением xy, затем применяем преобразование параллельного переноса.

Пример:

Привести к каноническому виду уравнение 5x2 + 4xy + 8y 2 - - 32x - 56y + 80 = 0.

Квадратическая форма f (x,y) = 5x2 + 4xy + 8y2 имеет матри-

ì5

2ü

öó í

ý, собственные значения которой l1 = 4, l2 = 9. Ñè-

î2

8þ

стема

äëÿ

определения

собственных

векторов

ì(5 - l)u1 + 2u2 = 0,

Ïðè l1

r

= u2 (-2, 1),

í

= 4 собственный вектор a1

î2u1 +

(8 - l)u2 = 0.

1

r

= u2

ïðè l2

= 9 — a2

(

,1),

ортогональный базис (2, -1), (1, 2),

2r

æ

2

1 ö

r

æ 1

2

ö

ортонормированный

i¢ = ç

,-

÷,

j

¢ = ç

,

÷.

Преобра-

è

5

5 ø

è 5

5

ø

зование поворота системы координат имеет вид

%"

ì		2	x¢ +			1	y¢,
ï x =
ï		5				5
í		1				2		В новой системе координат X ¢O ¢Y ¢
ïy = -				x¢ +				y¢.
ï		5				5
î

квадратичная форма f (x,y) = 5x2 + 4xy + 8y2 = 4x ¢2 + 9y ¢2, а остальные члены преобразуются к виду

æ

2

1

ö

æ

1

2

ö

-32x - 56y + 80

= -32

ç

x¢ +

y

¢÷

- 56

ç

-

x¢ +

y¢÷

+ 80.

è

5

5

ø

è

5

5

ø

В результате получаем уравнение

4x¢2 + 9y¢2 -

8

x¢ -

144

y¢ + 80 = 0.

55

Выделяем полные квадраты

	æ	1	ö2		æ	8	ö2
4	ç x¢ -		÷	+ 9	ç y¢ -		÷	- 36	= 0.
	è	5	ø		è	5	ø

Производим параллельный перенос системы координат

X ¢O ¢Y ¢:

ì

1

ïx¢¢ = x¢ -

,

æ

8 ö

ï

5

1

í

O¢ç

,

÷

— новое начало координат.

ï

8

è

5

5 ø

ïy¢¢ = y¢ -

,

î

5

x¢¢2

y¢¢2

Каноническое уравнение имеет вид

+

= 1 и является

9

4

уравнением эллипса

Может оказаться, что общее уравнение кр. 2п (4.1) определяет так называемую вырожденную кривую (пустое множество, точку, прямую, пару прямых). Если же определяемая уравнением кривая является невырожденной, то это эллипс (частный случай —ок- ружность), гипербола или парабола.

Литература: [5. С. 51–61]; [6. С. 87–107]; [7. С. 73–96].

%#

5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ:

ПОВЕРХНОСТИ 2-го ПОРЯДКА

Опорный конспект ¹ 5

5.1. Цилиндрические поверхности

Z

Z

Z

L

L

O

Y

O

Y

O

Y

L

X

X

X

Направляющая L:

образующие || OZ

образующие || OY

образующие || OX

ìz = 0,

ìy = 0,

ìx = 0,

í

L : í

0,

L : í

(y, z) = 0,

îF (x, y) = 0,

îF (x, z) =

îF

5.2. Конус 2-го порядка

Z

x2

y2

z2

a2 + b2

- c2

= 0

h

ìx = 0,

O

ï

Y

í y

2

-

z

2

= 0

— прямые

ï

X

îb2

c

2

ìz = h,

Z

ï

2

y2

h2

í x

ï

+

=

— эллипсы

b2

c2

c

îa2

b

a

O

Y

5.3. Эллипсоид

X

x2

+

y2

+

z

2

= 1

a2

b2

c

2

%$

В сечениях x = h, y = h, z = h — эллипсы. Частный случай — сфера:

Ñ (x0, y0, z0) — центр, R — радиус Ю

Þ(x - x0)2 + (y - y0)2 + (z - z0)2 = R2

5.4.Гиперболоиды

Однополостный: x2 + y2 - z2 = 1 a2 b2 c2

ìx

= 0,

ï

z2

í y

2

-

= 1 — гипербола

ï

îb2

c2

X

ìz

= h,

ï

í x

2

+

y2

= 1 +

z2

— эллипсы

ï

îa2

b2

c2

x2

y2

z2

Двухполостный:

+

-

= -1

a2

b2

c2

ìx = 0,

ï

X

íz2

-

y2

= 1— гипербола

ï

îc2

b2

ìz = h,

ï

í x

2

+

y2

=

h2

-1

— эллипсы

ï

îa2

b2

c2

5.5. Параболоиды

x2

+

y2

= 2z,

Эллиптический:

p

q

p, q — одного знака

X

Z

h

O Y

Z

h h

Y

O

Z

h

Y O

p, q > 0

%%

ìx = 0,

ìz

= h,

ï

2

2

ï

— парабола,

í x

h — эллипсы

í

2

y

ïy

= 2qz

ï

+

= 2

î

î p

q

x2

-

y2

= 2z ,

Гиперболический:

p

q

p, q — одного знака

ì

ìx = h,

2

= 0,

ï

ï

y

æ h

ö

íy2

í

2

= 2pz;

= q ç

- 2z ÷

— параболы

ïx

ï

ç

÷

î

î

è

p

ø

Z

ìz

= h,

ï

í x2

y2

Y

ï

-

= 2h — гиперболы

î p

q

O

X

5.1. Цилиндрические поверхности

О: Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная прямыми: параллельными данному направлению (образующими) и пересекающими некоторою данную линию L (направляющую) (рис.5.1).

	Рассмотрим цилиндрические поверхно-
	сти, образующие которых параллельны
	осям координат, а направляющие лежат в
	координатных плоскостях. Направляющая
L	ìz = 0,
Ðèñ. 5.1	задается уравнениями L: îíF (x, y) = 0, îáðà-

зующие параллельны оси OZ. Найдем уравнение цилиндрической поверхности.

%&

Пусть M(x, y, z) — точка на ней, ее проекция N(x, y, 0) О L, следовательно, координаты т. М удовлетворяют уравнению

F(x,y) = 0,

(5.1)

которое является искомым (рис.5.2).

Z

		M
	O	Y
X	L
		N (x, y, 0)
		Ðèñ. 5.2

Аналогично (5.1) уравнения F (x, z) = 0 и F (y, z) = 0 определя-

				ìy = 0,
ют цилиндрические поверхности с направляющими				í	(x, z) = 0,
				îF
ìx = 0,	и образующими, параллельными		è		соответ-
îF (y, z) = 0
í		OY		OX

ственно.

Если в качестве направляющих берутся кривые 2-го порядка, лежащие в координатных плоскостях, то получаем цилиндрические поверхности 2-го порядка. Например, если направляющая

L: x2 + y2 = 1, то получим эллиптический цилиндр (аналогично a2 b2

гиперболический и параболический цилиндры).

5.2. Конус 2-го порядка

О: Конической поверхностью называется поверхность, образованная прямыми (образующими), которые проходят че- рез данную т. Р (вершину) и пересекают данную линию L (направляющую).

%'

Конусом 2-го порядка является поверхность, определяемая уравнением

				x2	+	y2	-	z2	= 0.
				a2		b2		c2
	Z		Исследуем форму поверхности методом
			параллельных сечений, т.е. будем пересекать
			эту поверхность плоскостями, параллельны-
			ми координатным. В сечении плоскостью
O			Y x = 0 имеем пару прямых, проходящих че-
			рез начало координат:

X		ìx = 0,
	Ðèñ. 5.3	ï
		í y2	-	z2
		ï		c2
		îb2

ìx = 0,
ï
Û í	b
= 0, ïy = ±		z.
î	c

В сечении z = h имеем эллипсы:

ìz = h,

ìz = h,

ï

ï

í x2

+

y2

=

h2

Û í x

2c2

+

y

2c

2

= 1.

ï

, ï

b2

c2

b2h2

îa2

îa2h2

С помощью этих сечений можно построить конус (рис. 5.3).

5.3. Эллипсоид

О: Эллипсоид — поверхность, определяемая уравнением

x2 + y2 + z2 =1. a2 b2 c2

В плоскостях x = h (|h| < a), y = h (|h| < b),

Zz = h (|h| < c) имеем эллипсы (рис. 5.4), на-

y2

z2

h2

c

пример: x = h,

b

2

+

c

2

= 1 -

a

2

Û

b

Y

Û

y2

h2

+

z2

h2

= 1.

X

a O

b2(1 -

a2

)

c2

(1 -

a2

)

Ðèñ. 5.4

&