Кванты муравьев 1сем

Модуль 1. Основные принципы квантовой механики Лекция 1-2. Необходимая математика (элементы теории вероятностей и дельта-функция)

Рассмотрим еще один вопрос, связанный с теорией вероятностей и интуитивным пониманием понятия вероятности. Пусть группа студентов из 25 человек сдает экзамен по квантовой механике. Пусть

Проведем		этого
будем
		а-
ковое		средней
оценке
где —		в
таком
По		че-
ловека

где w

Понятно, что для любой величины, результат которой заранее не определен (случайной величины) можно повторить эти же рассуждения и найти среднее значение результатов многих измерений

a где a1, a2 , ... — значения величины a ,

a	w(
1
w(a1) ,

a1 ) w(a2

a	w(a
2
) … —

2	) ...

вероятности того, что эти значения можно

получить в эксперименте. Эта формула часто используется в квантовой математике и статфизике для нахождения средних значений тех или иных результатов измерений.

И последний вопрос, который мы рассмотрим сегодня. Для очень многих целей в квантовой механике необходимо использовать функцию, которую ввел Дирак и которую мы называем дельтафункцией. Итак, давайте рассмотрим функцию

0,	если x 0
(x)	если x 0
,

и

x dx 1

1

Конечно, с точки зрения формального математического анализа такой функции не существует. Функция — это соответствие между числами, А такого числа — — нет. Миллион — есть. Миллиард — есть. Бесконечности — нет! Поэтому и возникло для введенной функции странное утверждение, что интеграл от нее — отличающейся от тождественного нуля только в одной точке — не равен нулю (теорема Лебега утверждает, что изменение функции в счетном числе точек не может изменить определенный интеграл от нее). Тем не менее, Дираку была нужна именно такая функция, поэтому он и допустил ее существование. Для «серьезных» математиков это было невозможно (например, известный математик 20 века фон Нейман написал: «Дирак лицемерно (выделено мной — СМ) допустил существование дельта-функции». Однако, как показало дальнейшее развитие математики, такую функцию ввести все-таки можно. В настоящее время теория таких функций, которые принято называть обобщенными и которая в смысле бесконечности включает в себя предельный переход построить можно. Эта функция представляет собой последовательность функций — представляющих собой высокий и узкий максимум при x 0 , причем такой, интеграл под ним равен единице. Рассмотрим, например, функцию

	f (x)	1		sin Ax		(1.1.2)
	x
где	A — некоторый параметр. Особенность в нуле у этой
функции устранимая; в нуле она достигает макисимума
f (0) A / , а затем следует система максимумов и миниму-
мов с периодом 2 / A и уменьшающимися амплитудами за
счет	x в знаменателе.
При	A главный максимум «вытягивается» и «сужается»

поэтому в этом предельном случае эта функция отлична от нуля только в узкой окрестности точки x 0 . А поскольку

при любом

A

			1		sin Ax
		f (x)dx					dx 1
						x
	, то функцию (1.1.2) при	A можно считать представлением дельта-функции
		(x) lim			1	sin Ax
			A			x

Главное свойство дельта-функции заключается в том, что интеграл от нее с любой непрерывной функцией равен значению этой функции в точке особенности дельта-функции

g(x) (x a)dx g(a)

где функция

g(x)

непрерывна в точке x a . Эта формула доказывается с использованием теоремы о

среднем и того факта, что подынтегральная отлична от нуля только в точке				x a . Эта формула поз-
воляет легко вычислять интегралы с дельта-функцией.
	Рассмотрим интеграл
	f (k) e	ikx	dx
где k	— действительный параметр. Очевидно, что данный несобственный интеграл расходится.

Действительно, экспонента с действительным показателем представляет собой тригонометрическую функцию и, следовательно, осциллирует, не затухая при x . Однако если мы устремим преде-

2

лы несобственного интеграла к бесконечности согласовано (т.е. вычислим интеграл в смысле главного значения), то оно будет существовать. Действительно

	A			sin Ak
lim		e	ikx
				dx 2 lim	k
A	A			A

и мы приходим к представлению дельта-функции (1.1.2). Поэтому здесь и далее будем считать, что

		dx 2 (k)
e	ikx

понимая интеграл здесь в смысле главного значения.

3

Модуль 1: Основные принципы квантовой механики Лекция 1-3. Экспериментальные факты, лежащие в основе квантовой механики

Квантовая механика создавалась в начале 20 века. «Пиковыми» годами ее создания было десятилетие — от 1920 до 1930 года. И эта наука создавалась коллективом авторов — очень молодых в то время людей. Но эксперименты, лежащие в основе квантовой механики, были накоплены лет за 50 в конце 19 – начале 20 века. Итак, перечислим основные экспериментальные факты, которые противоречат классической физике, и интерпретация которых и привела к созданию квантовой механики. Эти экспериментальные факты можно назвать лежащими в основании квантовой механики.

1. Устойчивость атомов

Рассмотрим движение электрона в атоме водорода с классической точки зрения. Как известно из классической механики, полная энергия электрона на круговой орбите есть

где

r

— радиус орбиты,

e

		e	2
	=
		2r

— элементарный заряд. Из классической электродинамики Максвел-

ла следует, что движение заряженной частицы с ускорением приводит к излучению электромаг-

нитных волн (это можно увидеть, например, из формулы для интенсивности дипольного излу-

чения). А поскольку движение электрона по замкнутой траектории есть движение с ускорением,

электрон должен излучать электромагнитные волны, то есть терять энергию на излучение. Ра-

диус орбиты будет уменьшаться

r 0

Можно написать элементарные формулы, дающие оценку скорости потерь энергии электрона и

времени «падения» его на ядро. С одной стороны, для потерь энергии можно написать соотно-

шение, продифференцировав формулу энергии. С точностью до числовых множителей полу-

чим:

	d	e	2		dr
	dt	r	2		dt

С другой стороны, потери энергии происходят за счет излучения. Используя формулу для ди-

польного излучения (с точностью до числовых множителей), получим

d

e2

e2

(e2 )2

e2c

e2

2

w2

=

=

dt

c

3

c

3

4

m

2

r

4

2

r

mc

1

	e2
где c — скорость света,	w = r2m — ускорение электрона, которое определяет интенсивность

дипольного излучения. m — приведенная масса протона и электрона, практически совпадаю-

щая с массой электрона.

Таким образом, мы приходим к уравнению:

	e	2
где				= r	= 10
			2
	mc			0

Мы считаем, что

13

r

								dr					e		2					2
						2
					r				= c
								dt									2
											mc
см — классический «радиус электрона». Интегрируя, получаем
					0							e		2					2
					2
							dr = c
					r											2				dt
				a						0	mc
					0
= a0	10	8	см, при t				0		. Из этой формулы находим время , когда r 0 :
					1				a	a			2
			= a	3																	8
								=	0		0							10				сек
						2
			0		cr				c		r
					0						0

Следовательно,

жуток времени	8
	10

электрон «упадет» на ядро, и атом перестанет существовать через проме-

сек.

2. Спектр излуче-

ния атомов

Экспериментально наблюдаемый спектр из-

лучения атомов состоит из дискретных линий, то есть атомы имеют дискретный спектр энергий, отвечаю-

щих состояниям финитно-

го движения. Если бы электрон двигался так, как это описано в предыдущем пункте, спектр его излучения был бы не-

прерывным.

3. Опыты Франка и Герца

2

При неупругих столкновениях электронов с атомами энергия электро-

нов меняется дискретными порциями.

Франк и Герц взяли газонаполненную лампу и пропускали через нее электро-

ны, полученные в результате термоэлек-

тронной эмиссии с катода. Если посере-

дине лампы расположить сетку, на ко-

торую подавался положительный потенциал, а между анодом и сеткой — задерживающее напряжение, то при уваличении напряжения катод-сетка ток сначала рос, а при ддостижении некоторого напряжения резко падал, что говорило о том, что электроны теряли энергию на воз-

буждение атомов. Могли только при достижении некоторой энергии — дискретность атомных уровней.

4. Опыты Штерна и Герлаха

При отклонении «неполяризованных» ато-

мов, имеющих магнитный момент, в магнитном поле сила взаимодействия определяется проекцией магнитного момента на направление поля. По-

скольку магнитный момент атомов направлен в пространстве произвольно, то пучок атомов, про-

шедших магнитное поле, должен оставить на фо-

топластинке «размазанное» пятно. А оставляет не-

сколько точек. Так, как будто проекция момента на по-

ле принимает дискретный набор значений. Эти свой-

ства атомов не описываются классической механикой и электродинамикой.

5. Дифракция квантовой частицы на двух ще-

лях

Во времена знаменитых дискуссий Бора с Эйн-

штейном подобную схему называли «мысленным экс-

периментом». Сейчас такие дифракционные опыты де-

лаются не только с электронами или нейтронами, но и с такими составными квантовыми объек-

тами, как атомы или молекулы.

3

Итак, если мы направим поток частиц, например, электронов, на две щели, одна из кото-

рых закрыта, то на экране, расположенном сзади, будет наблюдаться такое распределение ин-

тенсивности попаданий частиц (засвечивание фотобумаги). Такое распределение вполне можно объяснить взаимодействием с краями отверстия.

А что будет, если открыть вторую щель, но за-

крыть первую? Понятно, что картина полностью по-

вторится, но частицы будут попадать в область экрана,

расположенную за второй щелью. И здесь ничего уди-

вительного нет.

А давайте теперь откроем обе щели. Что должно получиться в этом случае? Электроны — точечные ча-

стицы. Каждый попадает в точку на экране. Каждый проходит только через одно отверстие. Поэтому ре-

зультирующая картина должна быть суммой картин от первого и от второго отверстия. А вот наблюдается со-

всем не то! Наблюдаемая картина будет очень похожа на то, что наблюдается при дифракции света на двух щелях. Другими словами:

1. Наблюдается дифракционная картина с чере-

дующимися максимумами и минимумами, аналогичная дифракции электромагнитной волны на экране со ще-

лями.

2. Эта картина не сводится к наложению резуль-

татов, которые получаются, если поочередно закрывать каждую из щелей.

3. Максимум интенсивности приходится на область посередине между щелями.

5.Пропуская частицы по одной, мы получаем от каждого атома только одну точку на

экране.

6.Электрон попадает в какую-то точку, но мы заранее не знаем, в какую. Совокупность этих точек дает наблюдаемую дифракционную картину, то есть мы имеем дело с ансамблем из-

мерений попадания электрона на экран.

Из этих опытов по дифракции мы можем сделать следующие выводы.

1. С движением частицы связан некоторый волновой процесс. У квантовой частицы есть волновые свойства.

4

2. Эти опыты противоречат классической картине движения по траектории. Как может по-

влиять на движение частицы та щель, которая расположена «рядом» и через которую эта части-

ца не пролетала?

3.От одной частицы получается не слабое подобие общей дифракционной картины, а

только точка на экране. Следовательно, волновой процесс, связанный с движением квантовой частицы, не является классической волной.

4.Для каждой частицы можно указать только вероятность попадания в ту или иную точку экрана, то есть вероятность рассеяния на тот или иной угол.

Ясно, что для объяснения всех этих экспериментов нам нужно строить новую науку. Но и классическая механика должна сохранится. В каких областях энергий частиц и размеров экспе-

римента должна работать новая наука? Оказалось, что классическая механика перестает рабо-

тать, когда характерный масштаб действия для системы сравним с постоянной Планка. Оценим действие для атомных масштабов.

					ml	2
		S	2	t
			mv		t
где	v, l, t	- характерные для системы скорость, размер, время.

Оценим действие электрона в атоме. Характерные значения атомных величин таковы:

масса электрона m	10	27	г
размер атома водорода в основном состоянии l							a0	10	8	см
период обращения электрона t				1/		10 16 сек
Тогда
			S	10	27	эрг сек

(1)

то есть величина действия атомного масштаба порядка постоянной Планка. Значит, это сугубо квантовая область. Классические законы работают, как правило, в области явлений, для которых характерные значения действия существенно больше постоянной Планка. Нерелятивистская квантовая механика — это «теория микромира», то есть явлений атомного масштаба. Из форму-

лы (1) следует, что при увеличении размеров системы (при сохранении характерной скорости)

действие растет, и система становится классической.

Ну а прежде, чем перейти к формулировке теории, давайте я перечислю основных со-

здателей квантовой механики.

Первым ввел понятие кванта Макс Планк, который объяснил спектр излучения абсолют-

но черного тела. Затем Альберт Эйнштейн использовал понятие кванта электролмагнитного по-

5

ля для объяснения фотоэффекта. Затем для объяснения планетарной модели атома, которая по-

лучалась из опытов Резерфорда, Нильс Бор предложил квантовые постулаты, с помощью кото-

рых он объяснил спектры излучений атомов, и показал всем, что квантовую природу микромира не следует объяснять, просто природа микромира такая. И потому ее нужно постулировать при создании теории. А уже затем в дискуссиях Вернера Гайзенберга, Нильса Бора, Луи де Бройля,

Эрвина Шредингера и Поля Дирака родилась концепция неопределенности результатов измере-

ний в микромире. И завершили создание общей концепции квантовой механики Вольфганг Па-

ули, предложивший описание систем тождественных частиц и введший понятие обменного вза-

имодействия. Наверное, это главные создатели теории. Но это только главные фигуры. «Во вто-

ром ряду» было множество хороших физиков: Борн, Гаудсмит, Уленбек, Бете, Гамов, Ландау и многие-многие другие. Всем им человечество обязано созданием удивительной науки, которую Эрвин Шредингер назвал «милостью божьей». И это не преувеличение!

6

Модуль 1: Основные принципы квантовой механики Лекция 1-4. Постулаты квантовой механики

Итак, для объяснения всех экспериментальных фактов пришлось предположить, что не-

возможно полное описание микромира на привычном нам классическом языке движения по траектории. Или другими словами, невозможно одновременно задать координату и импульс. А

это должно приводить к неоднозначности в результатах измерений как в физике макромира. Это означает следующее.

Пусть мы имеем тождественные квантовые системы, находящиеся в одинаковых услови-

ях, и одновременно одинаковым прибором измеряем одну и ту же физическую величину. Ре-

зультаты таких измерений оказываются, вообще говоря, различными. Поэтому и предсказания теории могут носить только вероятностный характер. Квантовая механика, как физическая тео-

рия, должна правильно отвечать на правильно поставленный вопрос: уметь перечислять воз-

можные значения результатов измерений и указывать вероятности этих значений. Вопрос же,

скажем, о том, чему равна такая-то величина в такой-то квантовой системе, вообще говоря, не имеет смысла, поскольку на него «не может ответить природа» (нет экспериментального ответа,

эксперимент дает разные, неопределенные результаты)1.

Тем не менее, и в микромире существуют ситуации, когда измерение с достоверностью приводит к некоторому фиксированному результату. В этом случае говорят, что в этом состоя-

нии соответствующая физическая величина имеет определенное значение.

Описанная выше неопределенность результатов измерений физических величин, харак-

терная для микромира, приводит к тому, что в теории приходится «разрывать» понятия «состо-

яния» и «наблюдаемых», поскольку они в отличие от классической механики не тождественны друг другу. В теорию приходится вводить ненаблюдаемые величины, описывающие состояния

квантовых систем (то есть то, какие они), и устанавливать рецепт, как по состоянию определять возможные значения и вероятности результатов измерений.

1 Подчеркнем, что когда мы говорим о неопределенности результатов измерений, речь идет не об искажении квантовой системы измерительным прибором. Подразумевается, что результаты измерений могут быть различными в абсолютно тождественных и с абсолютно одинаковой историей системах.

1