Кванты муравьев 1сем

A1, A2 , A3 ,...

основополагающим законов квантовой механики. Но сначала поймем, как количественно охаракте-

ризовать неопределенности координаты и импульса.

Пусть проводятся измерения случайной величины					A . Пусть в результате измерений получены —
A , A		, A ,... В качестве среднего возьмем
1	2	3
		A	A A		A ...
			1	2	3
					N

где N — число опытов. А как охарактеризовать разброс значений? Для каждого опыта найдем от-

клонение от среднего

A A A
i	i

Если разброс значений — большой, то и отклонения от среднего будут (в среднем)

— большие. Но среднее значение отклонений, очевидно, равно нулю

A A A 0

(есть и положительные и отрицательные отклонения). Для характеристики разброса используют среднее значение квадратов отклонения

A	2	A A	2

Такую величину называют дисперсией. Количественная характеристика разброса результатов от-

дельных измерений. Дисперсия равна нулю только в том случае, когда все результаты совпадают.

Чем она больше, тем больше (в среднем) разброс значений отдельных измерений. Для дисперсии справедливо соотношение

A

2

A A

2

A

2

2AA A

2

A

2

A

2

( A

2

и A

2

— вообще говоря разные величины:

A

2

— среднее значение квадратов отдельных из-

мерений,

A

2

— квадрат среднего значения).

В квантовой механике дисперсию координаты и импульса считают стандартным образом

A

. А это среднее находится с помощью формулы для среднего

через усреднение величины

A

2

ˆ

значения оператора A A

2

2

A A

*

ˆ

(x) A A (x)dx .

2

где ( x) — волновая функция того состояния квантовой системы, в котором мы ищем разброс значений величины A . Вернемся теперь к доказательству принципа неопределенностей. Итак,

Принцип неопределенностей Гейзенберга

Операторы координаты и импульса не коммутируют

pxˆ ˆ = i ,

Докажем, что в любом состоянии

( p)	2	( x)	2
				2

т. е. неопределенности координаты и импульса не могут быть угодно малых величин. Рассмотрим произвольное состояние

и p = 0 . Тогда:

( x)	2	= ( x x)	2	= x	2

одновременно уменьшены до сколь

( x) . Пусть в этом состоянии x = 0

( p)	2	= ( p p)	2	= p	2

Рассмотрим вспомогательную функцию от действительной переменной

:

			i		2
	I ( ) =	( xˆ		pˆ ) (x)	dx

Очевидно, что I ( ) 0, как интеграл от неотрицательной функции. Записывая подынтегральную функцию как произведение функции на комплексно сопряженную и «перебрасывая» оператор в скалярном произведении на вторую функцию, получим:

i

*

i

I ( ) =

xˆ

pˆ

( x)

xˆ

pˆ

(x) dx =

i

i

*

( x)

xˆ

pˆ

xˆ

pˆ

(x)dx

Учитывая, что операторы координаты и импульса эрмитовы, продолжим равенство так

*

i

i

( x)

xˆ

pˆ

xˆ

pˆ

(x)dx

Раскрывая скобки, сводим интеграл к среднему квадрату координаты, к среднему квадрату импуль-

са и коммутатору

3

1

i

=

2

*

ˆ2

(x)dx

*

ˆ 2

(x)dx

*

ˆ ˆ

ˆ ˆ

2

(x)x

(x) p

(x) xp px (x)dx =

Используя далее коммутатор, получим

=	2	x	2		1	p	2	0,	для любого
					2

Чтобы это неравенство выполнялось венства был меньше или равен нулю

Или

Поскольку

x = 0

и

p = 0

, то:

при любых									нужно чтобы дискриминант квадратного нера-
D 0	. Отсюда:
									1
1 4x2 p2												0
								2
	x		2		p		2
											2
	( p)			2	( x)					2
											2

Мы получили точную формулировку соотношения неопределенностей Гейзенберга. При со-

здании квантовой механики принцип неопределенности был главным постулатом теории. В нашей формулировке квантовой механики в качестве постулатов взяты другие утверждения, принцип не-

определенности является непосредственным следствием этих утверждений.

4

Модуль 1: Основные принципы квантовой механики Лекция 1-12. Сохранение вероятности. Плотность потока вероятности

Согласно постулатам квантовой механики, волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера

				ˆ
		i	t	= H	(1)
где	ˆ	— оператор энергии, который называют также оператором Гамильтона или гамильтони-
	H

аном. Из уравнения (1) следует, что волновые функции квантовой системы зависят не только от координат, но и от времени. Поэтому все вероятности и средние (все, что определяется по вол-

новой функции) вообще говоря зависят от времени.

Рассмотрим основные свойства уравнения (1). Докажем следующее утверждение. Если функция удовлетворяет уравнению (1) и нормирована на единицу в начальный момент вре-

мени, то она будет нормирована на единицу и в любой другой момент времени (об этом свой-

стве уравнения Шредингера говорят, что оно сохраняет нормировку волновой функции). Отме-

тим, что утверждение это — совсем непримитивное, поскольку определенный интеграл от

функции двух переменных по одной из них

		(x, t) (x, t)dx ,
	*
от второй переменной, вообще говоря, должен зависеть.
Для доказательства умножим уравнение (1) скалярно на функцию				один раз слева,

другой раз — справа. Т. е. в первом случае умножим уравнение (1) на комплексно сопряжен-

ную волновую функцию * (x,t) и проинтегрируем; во втором — комплексно сопряжем урав-

нение (1), умножим на волновую функцию (x,t) и проинтегрируем по координате от минус до плюс бесконечности. Получим

i		,		ˆ
				= , H
			t

i				ˆ
		t	,	= H ,

(3)

(4)

(знак «–» в (4) появился из-за комплексного сопряжения уравнения (1)). Вычитая формулу (4) из формулы (3) и учитывая, что

								d	,
		,			t	,	=			(5)
								dt
			t

1

а также эрмитовость гамильтониана, получим

	d	, 0
	dt

(6)

что и означает сохранение нормировки волновой функции.

Для дальнейшего рассмотрения нам понадобится оператор Гамильтона частицы. Для его построения можно использовать следующую логику. Если на частицу не действуют никакие си-

лы (т. е. она свободна), то потенциальная энергия частицы равна нулю, а ее энергия выражается через ее импульс. Для трехмерной частицы это выражение является следующим

p

2

p

2

p

2

x

y

z

(8)

2m

где

px

,

py

и

pz

— проекции импульса частицы на координатные оси,

m

— масса частицы.

Напомним, что выражение энергии через координату и импульс называется функцией Гамиль-

тона частицы (в случае свободной частицы функция Гамильтона в декартовых переменных ко-

ординаты не содержит). Поэтому приведенное выше выражение и есть функция Гамильтона H

свободной частицы. Поскольку функция Гамильтона свободной частицы выражается через квадраты импульсов и множители, а оператор квадрата физической величины есть квадрат опе-

ратора самой величины, из (8) получаем оператор Гамильтона свободной частицы

	ˆ	2	2	2
		pˆ x	pˆ y	pˆ z	2			2				2				2
	H		2m				x		2		y		2		z		2
					2m
где	— оператор Лапласа.
	А если частица движется в некотором потенциальном

классическая функция Гамильтона частицы есть

2

поле

2

m

U (x,

y,

z)

(9)

? В этом случае

	p	2	p	2	p	2
H		x		y		z	U (x, y, z)
			2m

Оператор потенциальной энергии легко построить, используя ту же логику, что исполь-

зовалась нами при построении оператора координаты. С одной стороны, среднее значение ре-

зультатов многих измерений потенциальной энергии можно найти через возможные значения функции U (x, y, z) и их вероятности, которые совпадают с вероятностями различных значений координат (т. е. через волновую функцию)

		U (x, y, z)dw(x, y, z) U (x, y, z) (x, y, z) 2 dxdydz
U			(10)

2

С другой стороны, среднее значение результатов многих измерений потенциальной энергии может быть найдено по квантовомеханической формуле для средних через оператор этой вели-

чины

U		*	ˆ	(x, y, z)dxdydz	(11)
			(x, y, z)U

Сравнивая формулы (10) и (11) заключаем, что оператор потенциальной энергии U (x, y, z) есть

ˆ оператор умножения на эту функцию: U (x, y, z) U (x, y, z) .

Поэтому предположим, что оператор Гамильтона частицы является следующим

ˆ

2

2

2

ˆ

ˆ

ˆ

pˆ x

pˆ y

pˆ z

2

2

2

2

2

H

2m

U (x, y, z)

x

2

y

2

z

2

U (x, y, z)

U (x, y, z)

2m

2m

(12)

3

Модуль 1: Основные принципы квантовой механики Лекция 1-13. Сохранение вероятности. Плотность потока вероятности (продолжение)

Вернемся теперь к сохранению нормировки. Поскольку нормировка волновой функции

(r,t) не зависит от времени, то уменьшение или увеличение вероятности обнаружить частицу в некотором объеме сопровождается соответственно увеличением или уменьшением вероятно-

сти обнаружить частицу в остальной части пространства. Значит, можно ввести величину, кото-

рая показывает, как «перетекает» вероятность. Поэтому для плотности вероятности различных значений координат (r,t) | (r,t) |2 справедлив закон сохранения

	(r ,t)	div J (r ,t) 0
	t

(13)

где вектор J (r ,t) имеет смысл плотности потока вероятности (здесь используется та же логика,

что и при исследовании сохранения массы или заряда). Используя уравнение Шредингера,

найдем J (r ,t) .

Для этого найдем скорость изменения вероятности обнаружить частицу в некотором объ-

еме. Имеем

d			2				*
		(r , t)		dr		t	*	dr
dt	V							t

Производные по времени от волновой функции возьмем из уравнения Шрединегера

d	(r ,t)	2	dr	1	* ˆ	ˆ *	dr		*	*	dr
dt				i	H H			2mi
	V				V				V

(14)

где использовано явное выражение для гамильтониана частицы (12) и

потенциальная энергия — действительна.

Используя известную формулу векторного анализа			f g div (
ливую для любых функций f	и	g , и теорему Гаусса

то обстоятельство, что

f g) f g , справед-

Ads divAdV
S	V

получим

d	(r ,t)	2	dr Jds
dt
	V		S

(15)

где интегрирование в правой части проводится по поверхности, ограничивающей рассматрива-

емый объем. Здесь символом J (r ,t) обозначена векторная функция

1

J (r ,t)		*	*	(r , t)
	2mi		(r , t) (r , t) (r , t)

(16)

Чтобы понять смысл функции J (r ,t) вернемся к выражению (15). В левой части имеем измене-

ние вероятности обнаружить частицу в этом объеме, в правой — интеграл по поверхности объ-

ема от функции J (r ,t) . Или, другими словами, изменение вероятности обнаружить частицу в некотором объеме определяется потоком вектора J (r ,t) через поверхность, ограничивающую этот объем. По этой причине вектор J (r ,t) имеет смысл плотности потока вероятности.

Анализ векторной функции J (r ,t) (16) позволяет отвечать на вопрос о движении частиц.

Действительно, поскольку результаты измерений в микромире являются неопределенными, то можно говорить лишь о движении частицы в среднем, которое определяется увеличением или уменьшением вероятности обнаружить частицу в тех или иных объемах. А это изменение и определяется вектором плотности потока вероятности J (r ,t) .

2

Модуль 1: Основные принципы квантовой механики Лекция 1-14. Общее решение уравнения Шредингера в случае стационарного гамильтониана. Стационарные состояния

Согласно постулатам квантовой механики, волновая функция квантовой системы удо-

влетворяет уравнению Шредингера

		ˆ
i	t	= H	(1)

Уравнение (1) допускает решение в случае, когда гамильтониан квантовой системы не зависит явно от времени. Будем искать решение временного уравнения Шредингера в виде функции с

разделенными переменными

(x,t) f (x)g(t) , где

f (x)

и

g(t)

— искомые функции времени.

Подставляя эту функцию в уравнение Шредингера (1) и учитывая, что оператор Гамильтона действует только на функции координат, получим

i	f (x)		dg(t)			ˆ	(2)
			dt		= g(t)Hf (x)
Разделив уравнение (2) на произведение	f (x)g(t) , имеем
		g (t)				ˆ
	i			=		Hf (x)	(3)
			g(t)			f (x)
						ˆ	по предположению не со-
Так как правая часть уравнения (3) зависит только от координат ( H

держит времени), а левая	— только от времени, то уравнение (3) удовлетворяется при любых x
и t только тогда, когда и правая и левая часть уравнения (3) равны некоторой постоянной. Обо-

значим эту постоянную E . Тогда
i		(4)
	g (t) = Eg(t)
	ˆ	(5)
Hf (x) Ef (x)
Из равнения (10) следует, что постоянная	E совпадает с одним из собственных значений, а
функция f (x) — с одной из собственных функций оператора Гамильтона:

Решая

где Cn

	f (x) fn (x)		E En
уравнение (9) для функции	g(t) , получим
		i	En	t
	g(t) Cne

— произвольная постоянная. Таким образом, любая функция вида

(x, t) Cn fn (x)e i En t

(6)

(7)

(8)

1

(x, t) Cn fn (x)e

где fn (x) — собственная функции оператора Гамильтона, а En — соответствующее соб-

ственное значение, является решением уравнения (1). Так как уравнение (1) — линейное, то любая линейная комбинация функций вида (8) с произвольными коэффициентами

		E
(x,t) Cn fn (x)e	i	n	t
n

(9)

также является решением временного уравнения Шредингера (1). А поскольку система соб-

ственных функций оператора Гамильтона fn (x) является полной в пространстве функций пе-

ременной x , то функция (9) в момент времени t 0 при определенном выборе коэффициентов

Cn может воспроизвести любое начальное условие (x,t 0) . Это значит, что функция (9) дает решение уравнения Шредингера для любого начального условия (x,t 0) , то есть является общим решением временного уравнения Шредингера (в случае когда гамильтониан не зависит явно от времени).

В связи с тем, что решения основного уравнения квантовой механики — уравнения Шредингера (1) выражаются через решения уравнения (5) на собственные значения и собствен-

ные функции оператора Гамильтона, последнее также играет важнейшую роль в квантовой ме-

ханике. Поэтому его также принято называть уравнением Шредингера. Чтобы не путать эти два разных уравнения, уравнение (1) принято называть временным уравнением Шредингера, а урав-

нение (5) — стационарным уравнением Шредингера.

Среди всех решений (9) временного уравнения Шредингера (1) выделяются функции, ко-

торые представляют собой одно слагаемое выражения (9)

i En t

(10)

Эти функции замечательны тем, что несмотря на то, что они зависят от времени, никакие вероятности, определяемые функцией (10), не зависят от времени. Действительно, вероятности определяются билинейной комбинацией * , из которой «уходит» время. По этой причине со-

стояния, которые описываются волновыми функциями вида (10), называются стационарными.

Если же решение (9) содержит несколько слагаемых, то вероятности различных физических ве-

личин и их средние значения, как правило, зависят от времени. Тем не менее, для ряда величин вероятности и средние не зависят от времени даже в нестационарных состояниях. Например,

среднее значение энергии в любом состоянии системы, гамильтониан которой не зависит от времени, не зависит от времени. Действительно, используя квантовомеханическую формулу для средних имеем

2