Кванты муравьев 1сем

				1						1				1
fn (x) pˆ	2
		fk	(x)dx	m		(n 2)(n 1) nk 2			n			nk				n(n 1) nk 2		(15)
					2					2				2

Из формул (14), (15) легко найти средние значения потенциальной и кинетической энер-

гий осциллятора, находящегося в стационарном состоянии (поскольку кинетическая энергия сводится к квадрату оператора импульса, потенциальная — к квадрату оператора координаты)..

Пусть, осциллятор находится в k -ом стационарном состоянии. Тогда из формул (14), (15) имеем

x	2			k	1		p	2		m		k	1
					2								2
			m

а из (16) можно найти и среднее значение энергии осциллятора в этом состоянии

(16)

	ˆ	2	2	ˆ	2					1						1						1
E	p		m	x					k						k						k
	2m		2				2						2
										2						2						2

(17)

Этот результат можно было предсказать и без вычислений, так как средняя энергия осциллятора в любом состоянии, являющимся собственным состоянием гамильтониана, равна соответству-

ющему собственному значению.

5

Модуль 2. Одномерное движение Лекция 2-6. Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции (решение с

помощью операторов рождения и уничтожения)

Сегодня я покажу другой способ решения задачи о гармоническом осцилляторе. Во-

первых, этот способ и сам по себе поучительный, а во-вторых, операторы, которые в нем вво-

дятся, используются и в других разделах квантовой механики (и не только). И, конечно, давайте забудем сейчас все, что мы получили на предыдущей лекции, за исключением гамильтониана гармонического осциллятора

ˆ	pˆ	2		m	2	xˆ	2	2	d	2			m	2	x	2
																(1)
H =	2m			2				2m dx			2		2
и уравнение на собственные значения и собственные функции
						ˆ										(2)
					H = E
Обезразмерим уравнение, разделив его на									, и введем следующие безразмерные величи-
ны и операторы:

	E		ˆ	ˆ		ˆ	m		ˆ	pˆ
e =		,		H	,			,
			h =			X = xˆ			P =	m

в координатном представлении:

(3)

ˆ	m	X ,	ˆ	1 d
X = x			P =	i dX

(4)

С использованием введённых обозначений, уравнение Шредингера можно преобразовать к ви-

ду:

				ˆ	1	ˆ 2	ˆ	2		(5)
				h =	2	P	X
					ˆ					(6)
					h = e
Операторы	ˆ	и	ˆ	- эрмитовы. Введём вспомогательные неэрмитовы операторы:
	P		X

aˆ		=	1			ˆ	ˆ
			2		X		iP
			1			ˆ	ˆ
aˆ		=				X - iP
			2

Коммутатор безразмерных операторов импульса и координаты равен:

(7)

(8)

ˆ ˆ	1	ˆ ˆ	1
P, X =		px =		i		(9)

1

Из определений операторов и предыдущего равенства следует:

aaˆ ˆ		= aaˆ ˆ aˆ aˆ	= 1

	Равенства (7), (8) можно обратить и выразить операторы			ˆ ˆ	ˆ	ˆ		:
				P, X
					через a и a
	ˆ	aˆ aˆ
	X =	2

(10)

(11)

ˆ

aˆ

aˆ

(12)

P =

i

2

Подставляя эти выражения в безразмерный гамильтониан одномерного гармонического

осциллятора, получим:

ˆ

1

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

1

(13)

H =

2

aa

a

a

= a a

2

Возьмём произвольное состояние

( X )

и найдем среднее значение гамильтониана в этом

состоянии:

1

1

1

ˆ

ˆ ˆ

=

* ˆ

ˆ

=

ˆ

2

dX

(14)

h = a a

2

a a dX

2

| a |

2

Т. к. интеграл заведомо неотрицателен (подынтегральная функция везде неотрицательна), полу-

чаем:

		ˆ	1				(15)
		h	2
Если мы возьмём такое состояние	0	, что:
		ˆ	= 0				(16)
		a 0
то это состояние — собственное состояние гамильтониана						ˆ	, как это следует из формулы (13),
						h
причем это состояние отвечает собственному значению 1/2 (в безразмерных единицах)
	ˆ		1
	h 0 =				0		(17)
			2

Функцию 0 можно найти, решив уравнение (16) (оно является дифференциальным уравнени-

ем первого порядка по X ). Из формулы (15) следует, что собственное значение 1/2 минималь-

ное. Обозначим его

e =	1	(18)
0	2

или в размерных единицах (см. (3)):

2

E	=	1
0		2

(19)

Далее. Пусть

e

— собственное состояние гамильтониана осциллятора, отвечающее собствен-

ному значению e . Докажем, что функция

,

которая получается при действии оператора aˆ

на

функцию e

ˆ

(20)

= a e

также является собственной функцией оператора

ˆ

h , отвечающей собственному значению на

единицу меньшему, чем

e

(в безразмерных единицах). Для доказательства подействуем на

уравнение

ˆ

e e

(21)

h e

ˆ

оператором a . Используя коммутационное соотношение (10) и выражение оператора Гамиль-

ˆ

ˆ

(13), получим

тона через a

и a

ˆ

aˆ

aˆ

1

aˆ

=

aaˆ ˆ

1

1

aˆ

= aˆ(aˆ

aˆ

1

1)

=

h =

2

e

2

e

2

e

ˆ

h

ˆ

1

(22)

= a e 1 e = e

Формула (22) и означает, что

ˆ

e 1

ˆ

= a e =

. По этой причине оператор a называется опера-

тором, понижающим собственное состояние. Аналогично доказывается, что

ˆ

e

e 1

(23)

= a

то есть оператор

ˆ

является повышающим оператором.

a

Таким образом, мы уже знаем весь спектр.

Если с какого-то собственного значения

e

начать понижать собственные значения, то процедура должна оборваться на конечном числе

шагов, т. е. через целое число шагов мы придем к собственному состоянию	0	и собственному
значению:

e	n = e	=	1
n	0		2

или

(24)

e = n

1

(25)

n	2

Возвращаясь к размерным величинам, из (25) получаем окончательное выражение для спектра осциллятора:

3

E		=			n	1	;	n = 0,1, 2,
	n
						2

(26)

Найдем теперь волновые функции стационарных состояний осциллятора. Из свойств опе-

ратора	ˆ		:
	a

		=	1	aˆ
	n		n				n 1
Тогда

						=	1	aˆ
											0
				1			1
		=	1	aˆ		=			1			(aˆ	2
	2												)		0
			2				1		1 2

(27)

(28)

(29)

			...
		=	1	(aˆ	n
	n		n!		)		0

(30)

Таким образом, все состояния строятся из основного с помощью этой операции. Найдём волновую функцию основного состояния 0 из уравнения

aˆ	(X ) = 0
0

Используя явное выражение для понижающего оператора

(31)

aˆ	=	1	ˆ	ˆ	1		d
		2	X iP =		2	X
							dX

получаем из уравнения (31):

	X	d				( X ) = 0
					0
		dX

(32)

(33)

Интегрируя это уравнение, получим:

			1		1	X	2
	( X ) =				2
				e
0		4

(34)

(предэкспоненциальный множитель появляется из условия нормировки). Все остальные

вые функции будут нормированными автоматически. Используя явный вид оператора

ˆ

a

дим соотношение для волновых функций:

1

d n

1

X

2

1

1

X

2

n ( X ) =

X

e

2

=

e

2

Hn ( X )

n!2n

dX

n!2n

волно-

	нахо-

(35)

где, как это легко видеть из (34), Hn ( X ) - некоторый многочлен степени n , который и есть по-

4

лином Эрмита. Если вернуться к размерным координатам согласно формулам (3), то:

1

1

m

1

m

x2

m

4

(x) =

e 2

H

x

(36)

n

n!2n

n

5

Модуль 2. Одномерное движение Лекция 2-7. Стационарные состояния одномерного движения в случае непрерывного спектра

Рассмотрим теперь решения уравнения Шредингера, отвечающие непрерывному спектру собственных значений. Эти решения не затухают при x и, следовательно, не могут быть нормированы на единицу. Поэтому постулат квантовой механики относительно вероятностной интерпретации волновой функции таких состояний должен быть модифицирован. Действитель-

но, чтобы величина | (x,t) |2 dx имела смысл вероятности обнаружить частицу в интервале

x x dx интеграл		| (x, t) |	2	dx	по всему пространству должен равняться единице в любой
					2	dx	не имеет смысла вероятности, если вол-
момент времени. Таким образом, величина | (x,t) |

новая функция	является собственной функцией некоторого эрмитового оператора (в частно-
сти, оператора Гамильтона		ˆ
		H ), относящейся к непрерывному спектру собственных значений.

Квадраты коэффициентов разложения волновых функций непрерывного спектра по собствен-

ным функциям любого оператора также не имеют смысла вероятностей, поскольку их сумма не равна единице. Несправедлива в этом случае и формула для среднего значения, поскольку ее вывод явно использует вероятностную интерпретацию волновой функции.

Очевидно, что в случае инфинитного движения вероятностное описание частицы в духе постулата 1 в принципе невозможно. Действительно, если частица с конечной вероятностью может находиться в любой точке бесконечно большого объема, то вероятность обнаружить ее в любом конечном объеме должна быть равна нулю, то есть dw(x,t) / dx 0 , даже если волновая функция в этом объеме не равна нулю. Поэтому предположим, что в случае непрерывного спек-

тра волновая функция

описывает не одну, а

N

одинаковых частиц (или, как говорят,

поток частиц), каждая из которых дает вклад, равный единице, в расходящийся нормировочный

интеграл			2		2	Ndw(x,t) / dx (причем правая часть этой формулы конечна,
			| |	dx . Тогда, | (x,t) |
так как	N			, а	dw(x,t) / dx 0 ). Из этой формулы следует, что несмотря на то, что квадрат

волновой функции не имеет смысла вероятности, отношение квадратов значений волновой функции в двух точках определяет отношение вероятностей обнаружить частицу в интервале

dx	вблизи этих точек:	2	/ | (x	2	= dw(x ,t) / dw(x ,t) . Аналогично, коэффициенты
		| (x ,t) |		,t) |
		1	2		1	2

разложения волновой функции непрерывного спектра по собственным функциям оператора не-

которой величины не определяют вероятности соответствующих собственных значений, но их

1

отношение имеет смысл отношения вероятностей обнаружить эти значения в результате изме-

рений.

Из этого рассуждения очевидно также, что определенная с помощью волновой функции

непрерывного спектра	(x,t) величина
	J (x,t) (	/ 2mi) (x, t)	*	(x, t) (x, t)	*	(x, t)	(1)

имеет смысл не потока вероятности, а с точностью до знака определяет число частиц, прошед-

ших в рассматриваемом состоянии за единицу времени через точку с координатой x в момент времени t . Знак величины J определяет направление движения частиц в потоке: знак «+» — в

положительном направлении оси x , знак «–» — в отрицательном. В трехмерном случае величи-

на J определяет плотность потока частиц в каждой точке в любой момент времени.

В качестве примера рассмотрим несколько состояний свободных частиц:

			i(kx t )
			(x,t) e
	1
				i( kx t )
		2	(x,t) e
			(x,t) cos kx e				i t
		3
				1				1
		4	(x, t)		eikx					e ikx e i t
				2				3

Вычислим плотность потока в этих состояниях ( k

2m /

0 ,

/

) и обсудим физиче-

ский смысл данных волновых функций?

Перечисленные волновые функции описывают стационарные состояния свободной ча-

стицы, поскольку все они являются собственными функция оператора Гамильтона свободной частицы, отвечающие тому собственному значению , которое входит во временную экспонен-

ту. Поэтому в этих состояниях никакие наблюдаемые величины (и, в частности, отношение ве-

роятностей обнаружить частицу в той или иной точке пространства) не зависят от времени. Та-

ким образом, все данные волновые функции описывают стационарный поток свободных частиц

с определенной энергией.

Первая и вторая волновые функции являются также собственными функциями оператора

импульса, отвечающими собственным значениям	p1	k	2m и p2 k p1 , то есть опи-
сывают состояния с определенным импульсом p1	и p2	соответственно. Это значит, что при из-

мерениях импульса частицы в первом состоянии будет получено единственное значение p1 , во втором - p2 . Поэтому первая волновая функция описывает стационарный поток свободных ча-

2

стиц с определенной энергией, движущихся в положительном направлении оси x , вторая — в

отрицательном, то есть описывают физические ситуации, когда источники частиц с определен-

ной энергией находятся на		и	соответственно. Вычисляя поток для первой и второй функ-
ции, найдем, что

*

*

k

J1,2 (x,t)

1,2

1,2

2mi

1,2

1,2

m

то есть через каждую точку в единицу времени в этих состояниях проходят

k / m частиц (в по-

ложительном направлении оси x в первом состоянии, и в отрицательном — во втором).

Третья и четвертая волновые функции не являются собственными функциями оператора

импульса, а представляют собой суперпозицию состояний с импульсами

p1 k

2m

и

p2 k p1 , то есть описывают стационарные потоки свободных частиц с определенной

энергией, создаваемые сразу двумя источниками,

находящимися на

и

. Поскольку для

волновой функции 3 указанная суперпозиция имеет вид

cos kx

1

e

ikx

e

ikx

2

то в этом состоянии потоки источников, находящихся на

и

, соответственно равны

k / 4m и k / 4m . Для состояния 4

потоки этих источников равны

k / 9m

и k / 4m .

	Эти утверждения подтверждаются и непосредственным вычислением потока для функ-
ций	3 и 4 : J3 0 и J4 5 k / 36m .

3

Модуль 2. Одномерное движение Лекция 2-8. Прохождение потенциальных барьеров

Поскольку решения, отвечающие непрерывному спектру, описывают потоки частиц, то эти функции позволяют находить такие величины, как коэффициенты отражения и прохождения частиц через потенциальные барьеры.

Рассмотрим такой барьер, что:

U (x)

Гамильтониан частицы и стационарное уравнение Шредингера имеют вид:

	pˆ	2		2				2m
ˆ			U (x)	d					(E U (x)) = 0.
H =	2m			dx		2		2

Из асимптотики уравнения (1) при

x

				k	= 0
				2
(	k =	2mE /	2	) находим асимптотику решений
при		x :
				ikx		De	ikx
				= Ce

это решение представляет собой суперпозицию волн, распространяющихся отрицательном направлении оси x соответственно;

(1)

(3)

в положительном и

при x :

ikx	Be	ikx	(4)
(x) = Ae

первое слагаемое в этом решении — это падающая на барьер волна, бегущая направо; второе слагаемое — это отраженная волна, бегущая налево.

Поскольку функция с асимптотиками (3) и (4) является решением дифференциального уравнения второго порядка, только две из четырех постоянных являются свободными — остальные должны выражаться через них. Пусть, например свободными являются постоянные

A и D . Тогда постоянные B и C выражаются через них

B

B(A, D)

,

C C(A, D)

Причем постоянные A и

D

мы можем выбирать любыми, получая разные решения, описыва-

ющие потоки частиц. Если, например, постоянную	D	мы выберем равной нулю, мы получим

решение с такими асимптотиками: на «минус бесконечности» — два потока, один, распростра-

няющийся в положительном направлении оси	x , второй — в отрицательном направлении оси
x . А на «плюс бесконечности» — только	поток, распространяющийся в положительном

1