Кванты муравьев 1сем

потенциальной энергии центробежной добавкой, а при r 0		имеет бесконечно высокую стенку.
При этом	поскольку центробежная добавка оказывается		разной при разных l решения
уравнения	(5) — и функции (r) и собственные значения E		— зависят от момента состояния,

но не зависят от проекции момента, по которой, следовательно, имеется вырождение собственных значений. Дальнейший анализ уравнения (5) мы проведем на следующей лекции. А

на сегодня, до свидания.

3

Модуль 4: Трехмерное движение Лекция 4-3. Классификация состояний в центральном поле

Собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона частицы в центральном

поле определяются из уравнения для функции (r)
(r)	2			2l(l 1)
		E U (r)						(r) 0			(1)
	2			2 r	2
которое совпадает с одномерным уравнением Шредингера								для частицы,			движущейся в
«одномерном» эффективном потенциале
Uэфф (r) U (r)				2l(l 1)							(2)
				2 r2
Эффективный потенциал определен при	r 0 (поскольку только при таких								r	у нас определена

потенциальная энергия частицы). При

r 0

уравнение (2) дополняется граничным условием:

(r 0) 0

, которое следует из условия конечности решения

R(r)

при

r 0

. Такое граничное

условие возникает в одномерной задаче, если эффективный

потенциал при

r 0 имеет бесконечно высокую стенку.

U

Добавка к потенциальной энергии, связанная с моментом

импульса

в

классической

механике

называется

центробежной

энергией. Центробежная

добавка

к

потенциалу является разной при разных

l ;

поэтому

r

уравнение (2) для состояний с разными моментами (а,

следовательно,

и его

решения —

функции

(r)

и

собственные значения E ) является разным для разных

моментов и требует отдельного анализа для каждого

U

эфф,l 0

момента. При этом от проекции момента уравнение не

зависит,

поэтому имеет

место

вырождение

собственных значений

гамильтониана

по

проекции

r

момента (совпадение энергий у состояний с разными

проекциями).

U

Для дальнейшего анализа уравнения (1) давайте

min,l 0

конкретизируем потенциал. Пусть потенциальная энергия U(r) представляет собой некоторую потенциальную яму (т. е. является энергией притяжения), такую, например, как это показано на

1

рисунке. Тогда для нахождения собственных значений и собственных функций гамильтониана с

моментом

l 0

мы должны использовать уравнение (1) с эффективным потенциалом с

l 0

(показан жирным на рисунке). Используя результаты нашего анализа одномерного уравнения Шредингера, заключаем, что есть набор собственных значений и собственных функций уравнения (1) с эффективным потенциалом с l 0 . Этот набор таков. При энергиях, меньших минимума потенциала (при E Umin,l 0 ) собственных значений нет. При энергиях, больших

Umin,l 0 , но меньших меньшего из граничных значений потенциала, могут существовать (а могут

и не существовать) дискретные собственные значения (уровни энергии), которым отвечает единственное хорошее решение уравнения (1). Для нумерации этих состояний введем квантовое

число nr , которое будем называть радиальным квантовым числом1. Радиальное квантовое число

нумерует дискретные собственные значения с l 0 в порядке возрастания их энергий En ,l 0 2. r

Точно так же и собственные функции (r) должны нести два индекса — n ,l 0 . Эти функции r

имеют свойства, аналогичные свойствам решений одномерного уравнения Шредингера. Для них справедлива осцилляционная теорема, они должны быть ортогональны, каждое собственное

значение невырождено.

Число узлов функции n

,l 0

(не считая нуль при

r 0 ) равно nr 1

r

(если для основного состояния

nr

1). Поскольку разные решения одномерного уравнения

Шредингера ортогональны, ортогональны функции n

,l 0 с разными

nr

r

n ,l 0 (r) n ,l 0 (r)dr

n

,n .

U

r

r

r

r

0

Сколько состояний дискретного спектра с моментом

l 0

будут существовать, зависит от потенциальной энергии.

Для нахождения

собственных

значений и

собственных

r

функций гамильтониана

с

моментом

l 1

нужно

использовать уравнение (1) с эффективным потенциалом с

l 1

2

2

U

(r) U (r)

эфф

2 r

2

числа — n

1 Надо сказать, что

обозначение

радиального

квантового

является

довольно «корявым», но оно

r

является стандартным, поэтому и я его использую.

2 Нумерацию самого радиального квантового числа можно начинать со значения

n 1, а можно с n 0 . Все

r

r

определяется соображениями удобства.

2

(см. рисунок, центробежная энергия показана пунктиром, эффективный потенциал — жирной линией). Далее используем наше понимание свойств собственных значений и собственных функций одномерной задачи. В этом потенциале будет своя система собственных значений

En	,l 1	и собственных функций	n	,l 1(r) , которые мы будем отличать друг от друга радиальным
r			r

квантовым числом nr , нумерация которого так же как и для состояний с моментом l								0 , будет
начинаться от	значения	nr	1. Таким образом, будет			существовать	система	решений
«одномерного»	уравнения	с	моментом	l 1,	которой	присущи все	свойства	решений
одномерного	уравнения —		осцилляционная		теорема,	ортогональность, единственность

радиальной функции для каждого собственного значения и др. В частности, радиальная

волновая функция состояния с самой маленькой энергией (с моментом										l 1) не имеет узлов,
выполнено условие ортогональности разных решений этого уравнения
		n ,l 1	(r)	n	,l 1	(r)dr		n	,n
		r		r				r	r
0

А вот радиальные функции, отвечающие разным моментам, не обязаны быть ортогональными — ведь они являются решениями разных уравнений. Ортогональность же разных собственных функций гамильтониана в этом случае обеспечивается ортогональностью сферических функций. Учитывая, что каждому собственному значению отвечает единственная

радиальная функция, кратность вырождения уровней с моментом l 1					равна 3, поскольку для
каждой собственной энергии	En	,l 1	существуют три различных		собственных	функции,
	r
отличающиеся проекцией момента на			ось	z — вторым индексом	сферической	функции,
который для состояний с l 1 может принимать три значения m 1, 0, 1.

И еще одной важной особенностью обладают собственные значения гамильтониана с

моментом

l 1. Яма для состояний с моментом

l 1

мельче ямы для состояний с моментом

l 0 . А это значит, что энергии всех состояний с моментом l 1 больше энергий состояний с

моментом	l 0	: для одного и того же квантового числа n					выполнено условие E	nr ,l 1	E	nr ,l 0	.
					r
Для нахождения собственных значений и собственных функций гамильтониана с
моментом	l 2	нужно использовать уравнение (1) с эффективным потенциалом с l 2
		U		(r) U (r)	6 2
			эфф		2 r2

(см. рисунок, центробежная энергия показана пунктиром, эффективный потенциал — жирной линией). В этом потенциале будет своя система собственных значений Enr ,l 2 и собственных

3

функций	nr ,l 2 (r) , которые		также		пронумеруем радиальным квантовым числом nr ,
начинающимся со значения nr			1 для состояния с самой маленькой энергии (среди состояний с
моментом l 2 .
Поскольку эффективная потенциальная яма для								U
состояний с моментом l 2 мельче ямы для состояний с
моментом	l 1, поэтому	для собственных					энергий
состояний с одним и тем же радиальным квантовым
числом выполнены условия			En	,l 2	En	,l 1 .	Каждое
			r		r
собственное значение с		моментом			l 2		является	r

пятикратно вырожденным из-за пяти возможностей для проекции момента m 2, 1, 0, 1, 2.

И далее решаем уравнение (1) для бóльших моментов l 3, 4,5,... Каждый раз мы будем получать все более и более мелкую яму, поскольку центробежная энергия, отвечающая бóльших моментов будет больше добавки для меньших моментов. Для каждого момента мы получим свое «одномерное» уравнение Шредингера, которое имеет свою систему собственных значений с данным моментом и радиальных функций. Эти решения мы перенумеруем радиальным квантовым числом nr , начиная с единицы.

На следующей лекции мы подведем итоги нашей классификации решений стационарного уравнения Шредингера для частицы в центральном поле и обсудим основные свойства собственных значений и собственных функций.

4

Модуль 4: Трехмерное движение Лекция 4-4. Классификация состояний в центральном поле (продолжение)

Повторю основные принципы решения уравнения Шредингера в центральном поле. Все собственные функции зависят от трех квантовых чисел — радиального квантового числа1,

момента импульса и его проекции на ось

z

f (r, , ) f			(r, , )		n	,l	(r)	Y	( , )
					r
	n	,l ,m				r		lm
	r

Собственные энергии гамильтониана зависят от радиального квантового числа и момента, но не зависят от проекции. Поэтому все собственные значения (кроме значений с моментом l 0 )

вырождены с кратностью	вырождения	g 2l 1 — столько различных значений		проекции
момента существует для	состояний с	моментом	l . Поэтому для перечисления	энергий

связанных состояний частицы в центральном поле нужны два квантовых числа — радиальное квантовое число и момент — nr и l :

E E	,l
n
r

Радиальные части волновых функций	n	,l (r)	и собственные энергии	En	,l	находятся из
	r			r

уравнения для радиальной волновой функции, которое оказывается разным для разных моментов и совпадает с одномерным уравнением Шредингера

2

2

l(l 1)

(r)

E U (r)

(r) 0

2

2 r

2

в потенциале

2

l(l 1)

,

при r 0

U (r)

2

Uэфф

(r)

2 r

при r 0

,

(1)

(2)

(отличие этих уравнений для разных моментов заключается в разных центробежных энергиях,

которые зависят от квадрата момента импульса состояния —	2	1) ). Поэтому для каждого
	l(l
уравнения (для каждого момента l ) получается своя система		собственных значений и

радиальных волновых функций, которые отличаются друг от друга радиальным квантовым числом, которое имеет тот же смысл, что и квантовое число в одномерной задаче (как для

1 Конечно, радиальное квантовое число можно ввести при условии существования дискретных собственных значений. В случае потенциала отталкивания или притяжения недостаточной величины таковых может не быть. В этом случае спектр решений уравнения Шредингера является непрерывным, а собственные функции зависят от непрерывного собственного значения E , дискретных момента l и проекции m , которые принимают все разрешенные для них значения.

1

потенциальной ямы или осциллятора) — номер состояния в порядке возрастания энергии. Для каждого момента радиальное квантовое число пробегает целые значения, начиная от nr 1 (для некоторых потенциалов оказывается удобным начинать отсчет радиального квантового числа от nr 0 ). При этом радиальные волновые функции (для каждого момента!) обладают такими же свойствами, что и волновые функции одномерной задачи — радиальные функции,

отличающиеся радиальными квантовыми числами, но с одинаковым моментом ортогональны,

радиальное квантовое число определяет число узлов радиальной волновой функции и т. д.

Из-за увеличения центробежной энергии с увеличением момента увеличиваются энергии всех дискретных связанных состояний с определенным моментом. Или для фиксированного

радиального квантового выполнено неравенство

En ,l

En

,l , если l l

.

r

r

Соотношение энергий

E

E

E

E

дискретных

собственных

l 0

l 1

l 2

l 3

E

n

4,l 2

E

состояний

частицы

в

En

5,l 0

r

r

3,l 3

r

E

n

n

4,l 1

центральном

поле

можно

r

E

n

2,l 3

проиллюстрировать

Enr 3,l 0

r

E

4,l 0

графически

на

числовых

n

r

E

И т.д.

n

3,l 1

r

E

1,l 3

осях, отвечающих

разным

E

n

r

E

n 2,l 2

E

nr 2,l 1

r

моментам.

Для

этого

r

3,l 0

n

E

возьмем

вертикальную

n

1,l 2

E

r

r

2,l 0

E

n

n

1,l 1

энергетическую

ось,

на

E

r

n

1,l 0

r

которой будем

черточками

откладывать

энергии

собственных состояний

частицы с

моментом

l

0

(конечно, эта

иллюстрация носит качественный характер — точные значения энергий нужно получать, решая уравнение (1) для каждого момента, начиная с наименьшей). Будем на этой оси черточками

откладывать энергии собственных состояний с моментом

l 0

(интервалы между состояниями

и их количество для данного момента зависят от конкретного потенциала). Все эти энергии отвечают одному и тому же моменту, но разным радиальным квантовым числам. Правее нарисуем еще одну ось, на которой черточками отложим энергии состояний с моментом l 1.

Каждой такой черточке отвечает трехкратно вырожденное состояние дискретного спектра с моментом l 1. Еще правее нарисуем энергетическую ось, на которой будем откладывать энергии состояний с моментом l 2 (которые являются пятикратно вырожденными по проекции момента) и т. д. Отметим следующие характерные особенности этой картины.

2

1. Каждой черточке — уровню энергии — отвечает некоторое дискретное стационарное

состояние с определенным моментом.
2.	Каждый уровень энергии с моментом	l 0 является вырожденным по проекции
момента,	кратность вырождения определяется соотношением g 2l 1 , причем все кратности
вырождения нечетные числа.
3.	Черточки на более правых осях (с бóльшими моментами) начинаются с более высоких

энергий, из-за увеличения центробежной энергии при увеличении момента состояния.

4.В свое время в атомной физике возникла терминология, которая широко используется

вквантовой механике, атомной и ядерной физике сегодня для обозначения состояний с

определенным моментом. Стационарные состояния с моментом l 0 называют				s -состояниями,
состояния с моментом	l 1	—	p -состояниями, состояния с моментом l 2 —	d -состояниями,
состояния с моментом	l 3	—	f -состояниями и далее по порядку букв латинского алфавита.

5. Радиальные волновые функции, отвечающие состояниям с одним и тем же моментом

(т. е. показанным на одной и той же оси) ортогональны.

6. Энергии состояний с разными моментами (черточки на разных осях) «ничего не знают» друг о друге, поскольку определяются из решений разных уравнений (с разными потенциалами). Поэтому энергии состояний с разными моментами, вообще говоря, разные. Не имеет места также ортогональность радиальных волновых функций для состояний с разными моментами.

7. Собственные функции, отвечающие разным собственным значениям, ортогональны.

Эта ортогональность обеспечивается ортогональностью сферических функций в случае разных моментов и ортогональностью радиальных волновых функций для разных собственных состояний с одним и тем же моментом.

8. Интервалы между уровнями энергии и их количество для данного момента зависят от конкретного вида потенциала. При небольших изменениях потенциала уровни энергии с каждым моментом должны смещаться по отношению к том положениям, которые показаны на рисунке, причем смещаться по-разному на разных осях. А это означает, что существуют такие потенциалы, для которых существует совпадение энергий состояний с разными моментами.

Поскольку дискретные собственные значения Enr ,l для разных значений l определяются из решения разных радиальных уравнений, то такое вырождение называют «случайным». Понятно,

однако, что точного совпадения двух абсолютно несвязанных величин быть не может (уж очень у нас много чисел на числовой оси!), поэтому существуют причины, почему именно для этих

3

потенциалов совпадают на первый взгляд несвязанные величины. Поэтому слова «случайное вырождение по моменту», как правило, берут в кавычки. Таким образом «случайным вырождением» называют совпадение энергий у состояний с разными моментами.

9. Кратность вырождения уровней при наличии случайного вырождения есть сумма кратностей вырождения по проекции момента тех состояний с разными моментами, энергии которых совпадают. Например, в кулоновском потенциале (для электрона в атоме водорода; см.

следующую лекцию) совпадают энергии второго состояния с	l 0 и первого состояния с
моментом l 1 (второго s-состояния и первого p-состояния).	Кратность вырождения такого
уровня равна 4 ( 2 0 1 2 1 1 4 ).

4

Модуль 4: Трехмерное движение Лекция 4-5. Атом водорода

	ˆ	ˆ		ˆ
Найдем уровни энергии и общие собственные функции операторов	H ,	2	и	Lz	. для
		L

частицы массой и зарядом e , движущейся в кулоновском поле притяжения частицы с таким же по величине зарядом (электрон в атоме водорода)

		e	2
	U (r)
		r

Собственные функции перечисленных операторов имеют вид причем радиальные функции l (r) удовлетворяют уравнению

f (r, , )

(	(r) /
l

r)Ylm

( ,

(1)

) ,

2

e

2

2

l(l 1)

(r)

E

(r) 0

2

2

l

r

2 r

l

(2)

и граничному условию

l (r 0) 0

. Поскольку потенциал обращается в нуль при

r ,

состояния дискретного спектра — связанные состояния электрона в атоме — имеют энергии,

меньшие нуля. Поэтому будем решать уравнение (2) для отрицательных энергий.

Введем безразмерную координату	r		r / a , где	a	2	/ me	2	— величина, имеющая

размерность длины и называемая боровским радиусом атома (в дальнейшем для упрощения записи формул штрих у безразмерной координаты опущен). В новых переменных уравнение (2)

имеет вид

	d 2				2		l(l 1)
			2							l (r) 0	(3)
		2			r		r	2
dr

где 2 2E /(e2 / a) — безразмерное собственное значение энергии (которое для состояний

дискретного спектра является положительным). Собственное значение		2	будем искать из

условия существования «хороших» решений уравнения (3). Для этого будем решать уравнение

для произвольного положительного параметра	2	, а потом проведем исследование зависимости
решений от этого параметра — те значения		2 , при которых существуют конечные и

непрерывные решения уравнения (3) при всех значениях r ( 0 r ) определяют дискретные собственные значения для каждого момента l .

Решаем сначала уравнение (3) на асимптотиках — r 0 и r . При r 0 уравнение

(3) дает

1