Кванты муравьев 1сем

уравнения может быть только бесконечно удаленная точка. Найдем поведение решений на бес-

конечности.

Для этого поступим так. Непосредственной проверкой убеждаемся, что приближенными решениями уравнения (2) при x являются функции

x2

f (x) e 2

Выбирая затухающую экспоненту, ищем решение уравнения (2) в виде

			x	2
	f (x) u(x)e		2

Подставляя эту функцию в уравнение (2), получим уравнение для неизвестной функции u (x) 2xu (x) (2E 1)u(x) 0 Ищем решение уравнения (3) в виде степенного ряда

u(x) :

(3)

где

Ck

u(x) Ck x	k
k 0

— неизвестные коэффициенты. Подставляя ряд (4) в уравнение (3), получим

k(k 1)Ck x		k 2	2 kCk x	k	(2E 1) Ck x	k	0
k	2		k 0		k 0

(4)

(5)

Суммирование в первом ряду можно проводить от

k 0

, от

k 1

или от

k 2

, во втором — от

k 0 или k 1,	поскольку соответствующие коэффициенты этих рядов равны нулю. Начнем
суммирование от	k 2 в первом ряду и от k 0 во втором. Меняя в первом ряду индекс сумми-

рования

k k 2

k(k 1)Ck x	k 2	(k 1)(k 2)Ck 2 x	k
k 2		k 0

и собирая одинаковые степени x , ряда (4) (рекуррентное соотношение

найдем соотношение, связывающее разные коэффициенты для коэффициентов ряда):

C			2k 1 2E		C
	k 2
			(k	1)(k 2)	k

(6)

Таким образом, чтобы ряд (4) определял решение уравнения (3) его коэффициенты должны быть связаны рекуррентным соотношением (6). Заметим, что поскольку это соотношение связы-

вает Ck и Ck 2 , оно связывает отдельно четные и нечетные коэффициенты. А вот для коэффици-

ентов C0 и C1 нет никаких условий — они могут быть выбраны произвольно. Отсюда, во-

первых, следует, что ряд (4), (6) определяет общее решение уравнения (3), а во-вторых, решение

с C0 1 и	C1 0 определяет ряд по четным степеням x (т. е. четную функцию), а решение с
C0 0 и C1	1 определяет ряд по нечетным степеням x (т. е. нечетную функцию).

2

Поведение решений (4), (6) при

x определяется членами ряда с большими номера-

ми, поэтому рассмотрим соотношение (6) при k . Для больших k рекуррентное соотноше-

ние (8) имеет вид (мы пренебрегли числами порядка единицы по сравнению с большим k ):

	Ck 2		2	Ck	(7)
			k

Соотношение (7) для четных индексов отвечает разложению в ряд Тейлора функции exp x2 и

x exp x	2		— для нечетных (в этом можно убедиться непосредственно, используя разложение

этих функций в ряд Тейлора и сравнивая соседние коэффициенты с большими номерами). Это значит, что при больших x (при которых сумма ряда (4) определяется слагаемыми c большими

k ) оба частных решения уравнения (5) содержат экспоненту exp x				2	. Поэтому соответствую-
щие частные решения уравнения (1)	f (x) расходятся при	x	несмотря даже на множитель

exp x	2

/ 2

.

Однако при некоторых значениях энергии ряд (4) обрывается, и все коэффициенты,

начиная с некоторого, равны нулю. Действительно,	из (6) следует, что если E n 1/ 2 , где
n — любое целое неотрицательное число (или E	(n 1/ 2) для размерной величины), то

коэффициент Cn 2 обращается в нуль. Очевидно, в этом случае будут равны нулю и коэффици-

енты Cn 4	, Cn 6 , ... . Поэтому в этом случае ряд (4) содержит конечное число слагаемых той же
четности,	что и слагаемое Cn x		n	.. Таким образом, если		E n 1/ 2 , то одно из частных решений
уравнения (5) сводится к многочлену определенной четности, а не к функции exp x										2	, и, следо-
вательно, соответствующее частное решение уравнения (1),							f (x) u(x) exp x	2	/ 2		, является
ограниченной		функцией при		всех значениях координат. Следовательно, указанные выше
En n 1/ 2 и		fn (x) являются собственными значениями и собственными функциями уравнения
(1).
Найдем явно несколько первых решений. При						E 1/ 2	( n 0 ), обрыв ряда происходит
при переходе от нулевого коэффициента ко второму. То есть в этом случае коэффициент C2 0 .
Ряд же по нечетным степеням x при таком значении					E	не обрывается, и потому его нужно сде-

лать равным нулю, взяв коэффициент C1 0 . Поэтому функция u(x) в этом случае — много-

член нулевой степени. Таким образом, значение E0 1/ 2 — минимальное собственное значе-

ние, которому отвечает собственная функция

3

f		(x) C		exp x	2	/ 2
	0		0

причем множитель C0 из уравнения не определяется, поскольку оно линейно.

Следующее значение энергии, при котором происходит обрыв ряда (4)

этом случае обращается в нуль коэффициент C3 . Ряд по четным степеням x

дественно равным нулю, выбрав C0 0 . Таким образом,

(8)

E 3/ 2

( n 1 ). В

надо сделать тож-

E1 3/ 2

Аналогично из соотношения (6) найдем

f1 (x) C1x exp x2 / 2

(9)

E	5 / 2
2

и т.д.

f		(x) C (1 2x	2	) exp x	2	/ 2
	2
		0

(10)

Отметим, что из приведенных выше рассуждений буквально не следует, что перечислен-

ные собственные решения исчерпывают все собственные значения и собственные функции уравнения (1). Действительно, так как линейная комбинация двух неограниченно возрастающих функций может, вообще говоря, расходиться гораздо медленнее каждой функции, то можно бы-

ло бы ожидать, что при некоторых значениях E n 1/ 2							определенная линейная комбинация
четного и			нечетного частных решений	уравнения		(5)	будет	расходится медленнее,		чем
exp x	2	/ 2	. В этом случае функция f (x) u(x) exp x		2	/ 2	будет затухать на бесконечности, а,
следовательно, такие значения E будут собственными значениями уравнения (1). Это, однако,
невозможно одновременно как на , так и на .
		Таким образом, собственные значения и собственные функции осциллятора имеют вид
			En n 1/ 2	fn (x) An Hn (x) exp x				2	/ 2 n 0,1, 2,...	(11)
где Hn (x)			— многочлены определенной четности n -ой степени. Такие многочлены были вве-

дены в математику задолго до создания квантовой механики и называются полиномами Эрмита.

Поскольку осцилляторные функции, отвечающие разным собственным значениям, ортогональ-

ны (как собственные функции эрмитового оператора), то для полиномов Эрмита справедливо условие

Hn (x)Hm (x)e	x	2	dx	mn

(об этом равенстве говорят, как об ортогональности полиномов Эрмита с весом exp( x2 ) ).

Множитель An у осцилляторных функций подбирается так, чтобы все они были нормированы

4

на единицу. При принятой в математике нормировке полиномы Эрмита отличаются множите-

лями от многочленов (8)-(10), а постоянные An оказываются равными

A			1
n	2	n	n!

(12)

Отметим, что если восстановить все размерные множители, то собственные значения и соб-

ственные функции гармонического осциллятора будут иметь вид

E	n		n 1/ 2 ,

f		(x) A H		(x / a) exp x	2	/ 2a	2	,
	n		n
		n

A			1		,
n	2	n	n!		a

n 0,1, 2,...

(13)

Как следует из проведенного выше вывода, полиномы Эрмита с четными индексами содержат только четные степени x , с нечетными — нечетные. Это значит, что собственные функции, от-

вечающие четным уровням энергии (нулевому, второму и т. д.) являются четными функциями координаты, нечетным уровням (первому, третьему и т. д.) — нечетными. Этот вывод согласу-

ется с общим утверждением о четности собственных функций оператора Гамильтона в случае четной потенциальной энергии.

Приведем в заключение несколько нормированных собственных функций одномерного

гармонического осциллятора (здесь

x по-прежнему безразмерная координата)

f0

(x)

1

exp x2

/ 2

4

x exp x2 / 2

f1

(x)

2

(13)

4

f2 (x)

1

2x2

1 exp x2

/ 2

2 4

Знание собственных значений и собственных функций гамильтониана гармонического осциллятора позволяет находить вероятности различных значений энергии осциллятора и его среднюю энергию в любых состояниях, а также строить все возможные волновые функции ос-

циллятора в любые моменты времени. Например. Пусть в момент времени

t 0

нормированная

волновая функция гармонического осциллятора имеет вид

(x,t 0)

2

x x2

exp

x2

/ 2

(14)

5 4

5

Какие значения может принимать энергия осциллятора в последующие моменты времени и с какими вероятностями? Найти среднюю энергию гармонического осциллятора как функцию времени. Какова средняя четность указанного состояния осциллятора? Как средняя четность за-

висит от времени?

Поскольку потенциальная энергия не зависит от времени, вероятности различных значе-

ний энергии осциллятора в любом состоянии не зависят от времени. Поэтому достаточно вы-

числить вероятности различных значений энергии и среднюю энергию осциллятора в момент времени t 0 . Чтобы найти эти величины для осциллятора в рассматриваемом состоянии раз-

ложим начальную волновую функцию этого состояния по собственным функциям оператора Гамильтона для гармонического осциллятора. Так как данная в условии задачи волновая функ-

ция представляет собой произведение многочлена второй степени на	exp x	2	/ 2	, то в разложе-

нии могут быть представлены только нулевая, первая и вторая собственные функции гамильто-

ниана осциллятора. Используя явные выражения для трех первых собственных функций осцил-

лятора (13), находим

(x, t 0)	1	f		(x)	2	f	(x)	2	f		(x)
			0							2
	5				5	1		5

Поэтому энергия осциллятора, находящегося в рассматриваемом состоянии может принимать

значения E0

/ 2

, E1 3

/ 2

и E2

5

/ 2

с вероятностями w0

1/ 5

, w1 2 / 5

и w2

2 / 5 .

Среднюю энергию осциллятора найдем по формуле теории вероятностей для математического ожидания

E	n	n			1		1		2		3		3		5		11
	E w				5		2		5		2		5		2		5
	n
(чтобы перейти к размерной величине этот ответ нужно умножить на																		. Так как собственные
функции оператора Гамильтона f0 (x) и			f2 (x)				являются четными, то они являются и собствен-

ными функциями оператора четности, отвечающими собственному значению p 1, f1 (x) —

собственной функцией оператора четности, отвечающей собственному значению p 1. По-

этому вероятность обнаружить четность рассматриваемого состояния осциллятора, равную +1,

есть w 3 / 5 , равную –1, — w 2 / 5 . Отсюда найдем, что средняя четность рассматриваемого состояния равна

p 15

6

Разумеется, вычисление средней четности данного состояния по квантовомеханической форму-

ле приводит к тому же результату. Предоставляю слушателям возможность самостоятельно в этом убедиться.

Вероятности различных значений четности и средняя четность от времени не зависят, так как оператор Гамильтона и оператор четности коммутируют.

В том, что средняя четность не зависит от времени можно убедиться и непосредственно.

Для этого нужно построить волновую функцию осциллятора в любые моменты времени по начальной волновой функции (используя формулу для общего решения временного уравнения Шредингера) а затем вычислить среднюю четность по квантовомеханической формуле для средних. Прошу слушателей проделать эти вычисления самостоятельно.

7

Модуль 2. Одномерное движение Лекция 2-5. Вычисления с осцилляторными функциями

Итак, в прошлой лекции мы нашли, что собственные значения и собственные функции

гамильтониана гармонического осциллятора даются формулами

E

n 1/ 2 ,

f

(x) A H

(x / a) exp x

2

/ 2a

2

,

A

1

, n 0,1, 2,...

n

n

n

n

n

2

n

n!

a

где

Hn (x) — так называемые полиномы Эрмита, введенные в математику задолго до создания

квантовой механики.

При принятой в математике нормировке полиномов Эрмита (далее будут использованы

формулы именно для такой нормировки) для них справедливо следующее условие ортонорми-

рованности

Hn (x)Hm (x)e	x	2	dx mn	2	n	n!

(а осцилляторные функции при таком выборе нормировки нормированы на единицу). Полином

Эрмита Hn (x)	является многочленом n -ой степени от x , причем многочленом определенной
четности, т. е.	многочлен с четным n содержит только четные степени аргумента, с нечетным

n— нечетные.

Вразличных задачах, связанных с гармоническим осциллятором, приходится вычислять интегралы типа

d

m

fn (x)x

m

fk

(x)dx

или

fn (x)

fk (x)dx

(1)

dx

m

где

fi (x)

— собственные функции гамильтониана осциллятора (везде в этой лекции под

x

бу-

дет подразумеваться безразмерная переменная, связанная с размерной координатой через пара-

метр длины

/ m ). Проблема заключается не только в том, что у нас нет явных выражений

для полиномов Эрмита (а есть только рекуррентные соотношения), но и в том, что даже, если бы они существовали бы, не очень понятно как ими воспользоваться для больших индексов

(очень громоздко).

Несмотря на то, что явное выражение для коэффициентов полиномов Эрмита действи-

тельно не существует (например, найти коэффициенты 2019 полинома Эрмита в каком-нибудь справочнике по математике невозможно), их свойства очень хорошо изучены, и для вычисления интегралов типа (1) явные выражения для полиномов Эрмита не нужны. Покажем, как вычис-

1

ляются такого рода интегралы на основе рекуррентных соотношений между полиномами Эрми-

та.

Для полиномов Эрмита справедливы следующие рекуррентные например, Г.Корн, Т.Корн, Справочник по математике, М., Наука, 1978)

2xH			(x) H		n 1		(x) 2nH		n 1	(x)
		n
dH	n	(x)		2nH				(x)
dx						n	1

соотношения (см.,

(2)

(3)

(эти формулы можно получить из рекуррентного соотношения для коэффициентов полиномов Эрмита из предыдущей лекции). Используем первое из этих соотношений для вычисления инте-

грала

I	fn (x)x fk (x)dx

(4)

Для этого представим осцилляторные функции в

экспоненты

exp( x

2

/ 2)

,

и для произведения

xHk

нием (2). В результате получим

2

/ 2

2

/ 2

I A A

H

(x)e

x

xH

(x)e

x

dx

n

k

n

k

2

2

/ 2

/ 2

kA A

H

(x)e

x

H

(x)e

x

dx

n

k 1

n

k

(4) как произведения полиномов Эрмита на

(x)		воспользуемся рекуррентным соотноше-
A A
			Hn		2	/ 2			2	/ 2
n	k			(x)e	x		Hk 1	(x)e	x		dx
2
											(5)

где

	A		1
	i	i
	2		i!

(6)

нормировочные постоянные в осцилляторных функциях. Из формулы (5) сразу следует, что да-

леко не для всех значений индексов рассматриваемый интеграл отличен от нуля. Действительно,

первый интеграл в (5) сводится к интегралу от

n -ой и

k 1

-ой осцилляторных функций, и по-

тому отличен от нуля только если n k 1 (из-за ортогональности осцилляторных функций).

Аналогично, второй интеграл отличен от нуля, если

n k 1

. Т. е. рассматриваемый интеграл

отличен от нуля только в том случае, когда индексы отличаются на единицу. Кроме того, из формулы (5) видна и «техническая сторона» дальнейших вычислений рассматриваемого инте-

грала — нужно свести произведения Hk 1 (x)e x2 / 2 и Hk 1 (x)e x2 / 2 к собственным функциям ос-

цилляторного гамильтониана fk 1(x) и fk 1(x) и воспользоваться тем, что осцилляторные функ-

ции нормированы на единицу.

2

Реализуем этот план. Сначала первое слагаемое формулы (5). Используя выражение для

коэффициента Ak (6), имеем

2

/ 2

1

2

/ 2

2(k 1)

2

/ 2

Ak Hk 1e

x

Hk 1e

x

Hk 1e

x

2(k 1) fk 1

(7)

k

k 1

2

k !

2

(k 1)!

Поэтому первый интеграл в (5) сводится к выражению

	(k 1)
			fn (x) fk 1 (x)dx
	2

откуда, пользуясь нормированностью осцилляторных функций, имеем

		(k 1)				n
		2		nk 1		2		nk 1

Аналогичные вычисления второго слагаемого в (5) приводят к следующему результату

	(n 1)
	2		nk 1

В результате для интеграла (4) получаем

			n			(n 1)
		fn (x)x fk (x)dx		nk 1			nk 1
			2			2

(8)

Аналогично с использованием обоих рекуррентных соотношений (2) и (3) найдем инте-

грал

					d
	I		fn	(x)		fk (x)dx	(9)
					dx

Приведем только основную идею вычисления и результат. При дифференцировании осцилля-

торной функции fk (x)

в подынтегральном выражении в (9) необходимо продифференцировать

и полином Эрмита Hk (x)

и экспоненту e

x

2

/ 2

. В результате для производной от собственной

функции гамильтониана гармонического осциллятора имеем

d

f

(x)

d

H

(x)e x2 / 2

dHk (x)

e x2 / 2 xH

(x)e x2 / 2

(10)

k

k

k

dx

dx

dx

Далее для первого слагаемого нужно воспользоваться рекуррентным соотношением (3), для второго — соотношением (2). В результате получим, что производная от k -ой осцилляторной функции по координате сводится к определенной линейной комбинации k 1 -ой и k 1-ой ос-

цилляторных функций. Отсюда сразу следует, что интеграл (9) отличен от нуля только в случа-

ях n k 1 или n k 1 . Для дальнейшего вычисления этого интеграла необходимо свести его к

3

двум нормировочным интегралам от осцилляторных функций (при этом необходимо использо-

вать явное выражение для нормировочного коэффициента (6)). Поскольку технически эти дей-

ствия мало чем отличаются от подробно описанных выше, приведем только окончательный ре-

зультат

d

n

(n 1)

I

fn (x)

fk (x)dx

nk 1

nk 1

(11)

dx

2

2

Напомним, что все вычисления мы проводили в безразмерных переменных. Однако, их

очень легко исправить на случай вычисления «настоящих» (размерных) интегралов. Основная идея такого исправления заключается в том, что интеграл (4) имеет размерность длины, и, сле-

довательно, выражается через параметр длины для осциллятора

/ m , а интеграл (9) — раз-

мерность обратной длины, и выражается через обратный параметр длины (а если оператор про-

изводной свести к оператору импульса, — через параметр импульса

m

для осциллятора.

Поэтому после обезразмеривания соответствующих интегралов они сведутся к вычисленным безразмерным интегралам и указанным размерным множителям (кроме того, чтобы свести инте-

грал (9) к оператору импульса его нужно умножить на i ). Поэтому для размерных интегралов с операторами координаты и импульса имеем

					n			(n 1)
		fn (x)xˆ fk	(x)dx			nk 1			nk 1
					2			2
			m

(12)

n

(n 1)

fn (x) pˆ fk (x)dx i

m

nk 1

(13)

2

2

Аналогично проведенному рассмотрению можно найти интегралы с квадратами операто-

ров координаты и импульса.

Для этого необходимо дважды применить рекуррентные соотно-

шения (2)

или (3) сначала к k -ой осцилляторной функции, а затем к полученным в результате

k 1 -ой и

k 1-ой функциям. Отсюда следует, что интегралы

	fn (x)xˆ	2	fk	(x)dx

и

	fn (x) pˆ	2	fk	(x)dx

отличны от нуля, если

n k 2

или n k . Поскольку в различных частях курса квантовой ме-

ханики нам придется иметь дело с этими матричными элементами, приведем для справок соот-

ветствующие результаты

					1						1				1
fn (x)xˆ	2
		fk	(x)dx				(n 2)(n 1) nk 2			n			nk				n(n 1) nk 2		(14)
				m		2					2				2

4