Кванты муравьев 1сем

(5) «оборвется» на

j -ом слагаемом, поскольку коэффициент

C j 2

(и все последующие

коэффициенты той же четности) будет равен нулю. В этом случае ряд сводится к многочлену и,

следовательно, будет являться конечной функцией при всех значениях

x . При этом, поскольку

для каждого такого значения l 2 , будет обрываться только ряд по четным или только по

нечетным степеням

x (в зависимости от четности числа

j ), а ряд по нечетным или четным

степеням x для такого значения l

2

обрываться не будет,

начальный коэффициент C

или

C ,

1

0

определяющий

расходящийся ряд,

следует выбрать равным нулю. Таким образом,

при

l

2

2

j( j 1) ,

где

j — целое неотрицательное число, существуют конечные

решения

уравнения (4),

которые являются либо четными, либо нечетными многочленами от

x cos .

Найдем несколько первых собственных функций ( ) , которые можно отметить индексом

j .

l

2

0

( j 0) . В этом случае обращается в нуль коэффициент C2 ,

и обрывается ряд по четным

степеням. Коэффициент C0 может быть взят любым, коэффициент

C1

следует выбрать равным

нулю. Решение имеет вид (первый индекс у функции ( )

есть индекс

j , второй — m )

l

l

2

2

2

6

2

2

( j

( j

			( ) C
		00	0
1) . Решение имеет вид
		( ) C x C cos
	10		1	1
2)	. Решение имеет вид

(10)

(11)

l	2	12	2

( j

3)

		( ) C	2	) C	(1 3cos	2	)
	20		(1 3x
		0		0

. Решение имеет вид

(12)

30		5	x	3			5	3		(13)
	( ) C1 x	3				C1 cos	3	cos

В принципе, этим методом можно найти				любую собственную функцию j 0 ( ) . Функции
	j 0	(cos )	(с определенными нормировочными множителями		C	и C ) называются полиномами
					0	1
Лежандра			(и, как правило, обозначаются	Pj (x), x cos ).	Поскольку для m 0 решение

первого уравнения (1) f ( ) const , то функции

f (r, , ) R(r)	j 0	( )

(при любой функции

R(r) ) являются общими

собственным значениям

		ˆ		ˆ
собственными	функциями операторов	2	и	Lz , отвечающими
		L
l2 2 j( j 1)	и lz 0 . Поскольку функции			j 0 ( ) являются

3

собственными функциями эрмитовых операторов для них справедливы условия ортогональности

2
d d sin j 0 ( )
0	0

j 0

	1
( )		dxP (x)P		(x)		jj
		j	j
	1

(14)

(при преобразовании интеграла в (14) сделана замена x cos ).
Аналогичным образом можно рассмотреть уравнение (3) для любых целых							m . Приведем
здесь только решения. Для фиксированного значения m						собственные значения уравнения (3)
имеют вид l	2		2	j( j 1) , где	j | m |, | m | 1, | m | 2, ... .	Соответствующие им	собственные

функции имеют вид

						|m|
		( )	1	x
				2		2
	jm

v(x)

(15)

где x cos , а функции v(x) представляют собой многочлены от cos		.	Функции	jm ( )
называются присоединенными полиномами Лежандра и обозначаются Pj		|m|	(x) (поскольку в
уравнение (3) входит	только величина m2 , присоединенные полиномы	Лежандра		P |m| (x)
				j
зависят только от | m | ,	что и отражено в принятых для них обозначениях)		Из проведенного

рассмотрения следует, что каждой паре индексов j и m							отвечает единственная (с точностью до
множителя) собственная функция.
							ˆ2	и	ˆ
Таким образом, общими собственными функциями операторов L									Lz , отвечающими
собственным значениям	l	2		2	j( j 1) и	lz m , являются следующие функции (их принято
называть сферическими	или			шаровыми		функциями и	обозначать Yjm	(в	качестве первого

индекса сферической функции принято указывать не собственное значение квадрата момента

импульса и не квадратный корень из		него, а квантовое число	j , которое принято также
называть моментом импульса частицы):
Y	jm	( , ) CP |m| (cos )eim	(16)
		j

где C — нормировочная постоянная, которая выбирается так, чтобы интеграл от квадрата модуля любой сферической функции по полному телесному углу равнялся единице. Все

возможные индексы собственных значений j и m	могут быть перечислены так: индекс	j —
момент импульса частицы — может принимать	целые неотрицательные значения;	при

фиксированном индексе j индекс m — проекция момента на ось z принимает все целые значения от j до j через единицу (то есть 2 j 1 значений). Очевидно, при таком способе

4

перечисления, перебираются все те же собственные значения операторов определены выше из решения уравнений на собственные значения.

Приведем несколько первых сферических функций (Иногда для используется другой выбор фазовых множителей)

Y		1
00		4

					Y			3	sin e		i		Y		3		cos
					1 1			8					10		4
Y		15	sin	2	e	2i			Y		15	cos sin e	i		Y			5
1 2		32							2 1		8				20			16

ˆ		ˆ
2	и	Lz	, которые были
L

сферических функций

			(17)
			(18)
1 3cos	2		(19)

Как собственные функции эрмитовых операторов сферические функции		с разными
индексами являются ортогональными и представляют собой базисную систему		функций в
пространстве функций углов	и . Для сферических функций справедливо	следующее
условие ортогональности

2	d		d sin Y		( , )Y		( , )
				*
				jm		j m		jj	mm
0		0

(20)

Любую функцию полярного и азимутального углов функциям

( , )

можно разложить по сферическим

l

( , ) ClmYlm ( , )

l 0 m l

где

Clm

— коэффициенты разложения.

5

Модуль 3: Момент импульса Лекция 3-5. Матричная теория момента

Сегодня мы рассмотрим другой метод решения уравнений на собственные значения и собственные функции операторов момента. В этом методе (который чем-то похож на метод решения осцилляторного уравнения с помощью повышающего и понижающего операторов)

вводятся некие вспомогательные операторы, которые и позволяют по-другому решить уравнения. Этот метод принято называть матричной теорией момента. Но о матрицах более подробно мы поговорим, когда будем рассматривать спин элементарных частиц — откуда они берутся, что за матрицы и т. д. А сейчас обсудим сам способ решения, но не будем говорить,

почему он называется матричным. Но сначала давайте я напомню, что мы знаем о моменте.

Итак, операторы проекций момента на декартовы оси не коммутируют; для них справедливы следующие коммутационные соотношения

ˆ

ˆ

i

ˆ

ˆ

ˆ

i

ˆ

ˆ

ˆ

i

ˆ

(1)

Lx

, Ly

Lz

Ly

, Lz

Lx

Lz

, Lx

Ly

Эти коммутационные соотношения мы установили, используя явный вид операторов момента.

При этом операторы проекций коммутируют с оператором квадрата момента. А вот о собственных значениях и собственных функциях операторов момента (которые мы знаем) мы сейчас забудем и найдем их по-другому, основываясь только на коммутационных соотношениях между операторами момента и не пользуясь явными выражениями для самих операторов. По этой причине этот способ носит общий характер и может быть использован, в частности, для спинового момента, когда коммутационные соотношения имеют место, а явные выражения для операторов — нет.

Итак, введём следующие вспомогательные операторы:
ˆ	ˆ	ˆ	(2)
L = Lx iLy
С помощью коммутационных соотношений	для	операторов проекций	момента установим
коммутационные соотношения для операторов	ˆ
	L . Имеем:

ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ

L L

L

iL

, L

iL

L , L

i L

, L

i L , L

L

, L

2i L , L

2 L

,

x

y

x

y

x

x

y

x

x

y

y

y

x

y

z

ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

L L

L

iL

, L

L , L

i L

, L

i L

L

L

,

z

x

y

z

x

z

y

z

y

x

L L

L , L

i L , L

0

ˆ

ˆ2

ˆ

ˆ2

ˆ

ˆ2

,

x

y

(3)

(4)

(5)

1

Здесь использованы коммутационные соотношения для операторов проекций момента импульса

и его квадрата. Отметим, что операторы	ˆ	неэрмитовы, поскольку
	L

x

y

x

y

ˆ

ˆ

i

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

L

L

L

L

iL

L

ˆ

неэрмитовы, они не могут отвечать никакой физической величине.

А так как операторы L

Явные выражения для операторов

ˆ

можно получить из определения оператора момента

L

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

L r

p . В декартовых координатах выражения для проекций момента Lx

и Ly приведены в

предыдущей лекции. Непосредственно переходя от дифференцирования по декартовым координатам к дифференцированию по сферическим, получим следующие явные выражения

ˆ для операторов L :

ˆ		= e	i				i ctg
L

(6)

Пусть, далее,

f	l	2	l
			z

— общая собственная функция операторов

ˆ2 L

и	ˆ
	Lz

, отвечающая

собственным значениям	l	2	и	lz	(напомню,	что собственные значения и собственные функции
операторов квадрата	и		проекции нам			сейчас предполагаются неизвестными; само

ˆ

ˆ

существование полной системы общих собственных функций операторов

2

и

Lz следует из

L

факта их коммутации). Докажем, что функции

ˆ

2

удовлетворяют уравнениям:

L f

l

l

z

z

2

z

2

ˆ

ˆ

f

l

ˆ

f

L

L

l

l

L

l

l

z

z

(7)

ˆ

ˆ

2

ˆ

2

l

2

L

f

2

L

f

L

l

l

l

l

z

z

ˆ

ˆ

то есть являются общими собственными

функциями

операторов

2

и

Lz

,

отвечающими

L

собственным

значениям l 2 и l

z

(либо

тождественно

равны нулю;

в

последнем случае

уравнения (7) также удовлетворяются).

Для доказательства подействуем операторами

ˆ

на уравнения на собственные значения

L

ˆ2

ˆ

операторов L

и Lz :

ˆ

ˆ2

l

2

fl2lz

L

L fl2lz

(8)

ˆ

ˆ

lz fl2lz

fl2lz

L

Lz

2

ˆ

ˆ

Пользуясь тем, что операторы L

коммутируют с оператором

2

L , поменяем порядок следования

операторов в левой части первого из уравнений (8). В результате получим

ˆ

ˆ

ˆ

2

L f 2

l

2

L f 2

(9)

L

l

l

l

z

l

z

Во втором уравнении (8) поменять порядок следования операторов

ˆ

и

ˆ

нельзя, поскольку

L

Lz

эти операторы не коммутируют. Выразим входящее в него произведение операторов из коммутационного соотношения (4) и подставим во второе уравнение (8):

ˆ

ˆ

ˆ

f

l

f

L L

L

2

z

2

z

l

l

l

z

l

z

Раскрывая в (10) скобки и перенося одно из слагаемых в правую часть, получим

(10)

ˆ Lz

Из уравнений (9), (11) следует, что

			2
	ˆ	f
	L		l	l
				z

функции

l	z
		ˆ
	L

	f	2
	l		l
			z

			2
	ˆ	f
	L		l	l
				z

являются

(11)

собственными функциями

операторов	ˆ2	и	ˆ	, отвечающими собственным значениям l	2	и	lz		соответственно, или
	L		Lz

тождественно обращаются в нуль	ˆ		0	(в этом случае уравнения (9), (11) также
	L f 2	l
	l
		z

удовлетворяются, а функция, тождественно равная нулю, собственной по определению не является).

Итак, при действии операторов	ˆ	на собственные функции оператора	ˆ	получится
	L		Lz

собственная функция, отвечающая большему или меньшему собственным значениям. По этой

причине операторы	ˆ	ˆ
	L	и L называются операторами, повышающим и понижающим проекцию
момента импульса частицы на ось z .
Далее. Пусть	j	максимальное собственное значение проекции момента на ось z при

фиксированной величине момента (а таковое существует, поскольку при фиксированном

моменте величина

l

z

ограничена сверху и снизу:

l2 l

z

l 2 как было доказано в лекции 3-

2) . Поэтому

ˆ

= 0

(12)

L f

2

, j

l

Подействуем на это

равенство оператором

ˆ

С

одной

стороны, мы получим нуль, т. к.

L .

ˆ

оператор L — линеен:

ˆ

ˆ

0

(13)

L L fl2 , j

С другой стороны, из коммутационного соотношения для проекций момента имеем

3

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ2

ˆ2

ˆ ˆ

ˆ2

ˆ2

ˆ

(14)

L L (Lx

iLy )(Lx

iLy ) Lx

Ly

i[Lx , Ly

] L

Lz

Lz

Поэтому равенство (13) сводится к

ˆ

ˆ

ˆ

f 2

0

2

2

Lz

(15)

L

Lz

, j

l

Так волновая функция

f 2

, j

есть

собственная

функция

всех

операторов, входящих

в это

l

равенство, а также с учётом того, что это состояние с максимальной проекцией момента на ось

z , равной	j , получим:
	l	2	j	2	j f 2		= 0	(16)
						, j
					l

Отсюда

l	2	= j	2	j j( j 1)

(17)

где	j	— максимальное значение проекции момента. Действуя
оператором			ˆ	, будем получать новые собственные функции
			L

далее на функцию

f	l	2	, j

f 2

, j

f 2

, j

f 2

, j 2

f 2

, j 3

...

(18)

l

l

l

l

пока не дойдем до функции с минимальной проекцией. Обозначим эту проекцию

k . С одной

стороны, для числа k справедливо равенство

k j n

(19)

где n — целое число, равное количеству действий оператора

ˆ

на функцию с максимальной

L

проекцией, чтобы дойти до нулевой функции. С другой, для функции f 2

,k

выполнено условие

l

Действуя на это равенство оператором

ˆ ˆ	ˆ2
L L fl2 ,k	Lx

ˆ	f			= 0
L		2
			,k
		l

ˆ
L , получаем:
ˆ2	ˆ	ˆ	] f 2		ˆ2	ˆ2		ˆ		0
Ly	i[Lx	, Ly		,k	L	Lz		Lz f 2	,k
			l					l

(20)

(21)

Так как функция fl2 ,k является собственной функцией операторов							ˆ2	и	ˆ	, то из формулы (21)
							L		Lz
получаем
l	2	k	2	k f 2		= 0				(22)
					,k
				l
или
		l2 = k2 k								(23)

Подставляя в формулу (23) k из (19) и приравнивая полученное выражение выражению (17),

получим для максимально возможного значения проекции момента в состоянии с определенным

4

квадратом момента

	j	n	(24)
		2

где n — целое число. Таким образом, из формул (24), (17) и (19) следует, что собственные значение операторов квадрата момента и его проекции на ось z определяются соотношениями

		l	2	=	2			(25)
					l(l 1)
lz		l,		(l 1),		(l 2), ...	l	(26)

где l — целое или полуцелое число. Никаких других собственных значений эти операторы иметь не могут. Для орбитального момента реализуются только целые значения; полуцелые значения возникают для спинового момента, который будет рассмотрен ниже.

Для построения собственных функций операторов квадрата и проекции момента

используем явное выражение оператора				ˆ	(6). Учитывая, что зависимость от азимутального
				L
угла	волновой функции	состояния		с	максимальной проекцией		Yll ( , )	определяется
соотношением ( )eil , где		( )	— некоторая функция полярного угла , из формул (6),
	ll	ll
(12) получаем для функции ll ( )
			d ( )			l ctg ll ( ) = 0
				ll				(27)
				d

откуда

Выражение для сферической функции оператором:

		l
	( ) = const sin
ll
Yll 1	( , )	получаем,

(28)

действуя на (28), понижающим

ˆ

i

l

il

i(l 1) 1

d

2l

Yl ,l 1 L _ Yll

e

ictg

sin e

e

sin

(29)

sin

l 1

dcos

Аналогично получается и общее выражение для сферической функции

ˆ

l m

im

1

d

l 2

2l

Ylm L

Yll e

sin

(30)

m

l m

sin

d (cos )

5

Модуль 3: Момент импульса Лекция 3-6. Свойства четности сферических функций

В сегодняшней лекции мы обсудим вопрос о свойствах четности сферических функций.

Напомню, что в трехмерном случае оператор четности определяется так

ˆ
Pf (x, y, z) f ( x, y, z)
или, своими словами, оператор четности меняет направление радиус-вектора:	r r . Поэтому

на функцию, заданную в сферических координатах, оператор четности действует следующим образом

ˆ
Pf (r, , ) f (r, , )
Собственными значениями оператора четности являются числа	1	, собственными

функциями — любые четные и нечетные функции (отвечают собственным значениям	1	и	1
соответственно.

Напомню также, что сферические функции Ylm ( , ) являются общими собственными функциями операторов квадрата момента и его проекции на ось z , отвечающими собственным

значениям 2l(l 1) и

m . Сферические функции удовлетворяют системе уравнений

ˆ		( , )	mY			( , )
L Y
z	lm			lm
ˆ		( , )			1)Y		( , )
2			2	l(l
L Y
	lm					lm

(1)

Чтобы исследовать свойства четности сферических функций, вычислим коммутаторы оператора четности с операторами квадрата и проекции момента. Очевидно, оператор четности коммутирует с оператором проекции момента на любую ось. Действительно, декартовы координаты входят в оператор проекции момента парами — дифференцирование по координате

ˆ и произведение на координату. Например, оператор Lz :

ˆ	i			x
Lz		y	x
					y

Поэтому при действии оператора четности на функцию

ˆ	f (x, y, z) i		f	x	f
Lz		y	x
					y

получится та же функция, что и при действии на функцию образом,

f (x, y, z)

оператора

ˆ	ˆ
L	P
z

. Таким

	ˆ ˆ	0
PL
	i

1

где	ˆ	— оператор проекции на любую ось. А поскольку оператор квадрата момента выражается
	Li

через операторы проекций, оператор четности коммутирует и с оператором квадрата момента импульса

ˆ ˆ2

PL 0 .

Подействуем оператором четности на систему уравнений (1). Получим

ˆ ˆ		( , )	m			ˆ	( , )
PL Y						PY
z	lm					lm
ˆ ˆ	lm							lm
								ˆ
2		( , )	2	l(l 1) PY					( , )
PL Y

(2)

Учитывая, что оператор четности коммутирует с операторами квадрата момента и проекции,

меняем порядок операторов в левой части

z

lm

lm

ˆ

ˆ

( , )

ˆ

( , )

L

PY

m PY

ˆ

lm

lm

ˆ

( , )

ˆ

2

PY

2

l(l 1) PY

( , )

L

(3)

Из формул (3)	следует,	что функция	ˆ	и	функция Ylm ( , ) является
			PYlm ( , ) так же как
		ˆ	ˆ
		2	Lz и отвечает тем же самым собственным значениям,
собственной функцией операторов L и
что и функция	Ylm ( , )	. А поскольку каждой паре индексов l		и	m отвечает единственная (с
точностью до множителя) сферическая функция, то
		ˆ	( , ) pYlm ( , )		(4)
		PYlm

где буквой p обозначен указанный множитель. Формула (4) означает, что любая сферическая функция является собственной функцией оператора четности, т. е. является либо четной, либо нечетной функцией.

Докажем, что четность сферической функции

Ylm ( , )

определяется моментом и не

зависит от проекции (т. е. зависит только от

l , но не от

m ). Для этого подействуем операторами

ˆ	на уравнение (4).
L
			ˆ	ˆ	( , ) pYlm ( , )	(5)
			L	PYlm
		ˆ
	Поскольку операторы	L	выражаются через операторы проекций			момента, они

коммутируют с оператором четности. Поэтому в левой части формулы (5) можно поменять порядок следования операторов

ˆ ˆ	ˆ	( , )	(6)
P L Ylm	( , ) p L Ylm

2