Кванты муравьев 1сем

Равенство (6) означает, что функции	ˆ	( , )	отвечают тому же самому собственному
	L Ylm

значению оператора четности, что и функции Ylm ( , ) . Или, другими словами, четность сферических функций, отличающихся друг от друга индексом m — одинакова.

Найдем, как четность сферических функций зависит от l . Для этого можно использовать сферическую функцию с любой проекцией. А поскольку сферические функции с нулевой

проекцией сводятся к полиномам Лежандра, которые являются четными для четных				l	и
нечетными — для нечетных, заключаем, что четность сферических функций равна	( 1)	l	. Этот

же результат можно получить из явного выражения для сферической функции с максимальной проекцией Yll ( , ) (лекция-3-4):

	Y	( , )	e	il	l
					sin
	ll
Из (7) имеем, используя формулу приведения					sin( ) sin
i	1
комплексного анализа e

(7)

и основную формулу

ˆ

( , ) Y

( , )

e

il ( )

l

( ) e

i

e

il

l

( 1)

l

Y

( , )

PY

sin

sin

ll

ll

ll

Поэтому и для сферических функций с любой проекцией имеем

ˆ	( ,
PY
lm

«Своими словами»: сферические функции нечетными.

) ( 1)	l	Y	(
		lm

с четным

, l

)

являются четными, с нечетным —

3

Модуль 4: Трехмерное движение Лекция 4-1. Общие свойства трехмерного движения

Рассмотрим теперь частицу, движущуюся в некотором трехмерном потенциале U (x, y, z) ,

не зависящем от времени. Как с точки зрения принципов квантовой механики нам описать ее состояние и наблюдаемые величины? Общие принципы квантовой механики говорят, что нам в любом случае нужна волновая функция частицы, которую мы можем найти из решения времен-

ного уравнения Шредингера. А затем, уже зная волновую функцию, мы можем проводить ее разложение по системам собственных функций тех или иных операторов, для нахождения веро-

ятностей и средних различных наблюдаемых величин. Волновые функции всех возможных со-

стояний частицы описываются соотношением

(r,t)	n n
	C f	(r )e
	n

i	E	t
	n

(1)

где Cn — произвольные числа, En и fn — собственные значения и собственные функции опе-

ратора Гамильтона частицы (стационарного уравнения Шредингера):

ˆ	En fn	(2)
Hfn

Поэтому для построения всех решений временного уравнения Шредингера необходимо знать все решения стационарного уравнения Шредингера (2) но уже для трехмерного случая.

Кроме того, это уравнение позволяет найти возможные значения энергии, и дает полную систему решений, разложение по которой позволяет находить вероятности различных значений энергии. Поэтому, фактически вся информация, необходимая для ответов на вопросы, которые разрешает ставить квантовая механика, содержится в уравнении (2). Рассмотрим его в трехмер-

ном случае.

Итак, рассмотрим частицу, движущуюся в некотором трехмерном потенциале U (r ) 1. Да-

лее ограничимся практически важным случаем движения в центральном поле, когда потенци-

альная энергия зависит только от модуля радиус-вектора U(r ) U(r) . Тогда стационарное уравнение Шредингера дает

1 Задача двух тел с массами m	и m , энергия взаимодействия которых есть U(r r ) , сводится к задаче о движе-
1	2	1	2
нии одного тела с приведенной массой		m1m2 /(m1 m2 ) в потенциале U (r ) . Разделение движения системы

как целого и относительного движения здесь такое же, как и в классической механике. Поэтому я не останавливаюсь на этом вопросе, а сразу рассматриваю движение одного тела с массой в трехмерном потенциале.

1

ˆ	2				2
		U (r)				U (r) f (r ) Ef (r )	(3)
H	2				2

где f (r ) , E — собственные значения гамильтониана. Разделяя гамильтониан на радиальную и угловую части и используя то обстоятельство, что угловая часть оператора Лапласа с точностью

до множителя		2	совпадает с оператором квадрата момента импульса частицы, представим

уравнение (3) в виде

						1												L
	2																	ˆ
													2						2
				r			2			f (r ) U (r) f (r ) Ef (r )						r		2		2		f (r ) U (r) f (r ) Ef (r )
								,
	2					r							2						r

где

(4)

			1			r			и		1			2			1			sin
							2
	r		r	2					,		sin	2			2
					r			r									sin

радиальная и угловая части оператора Лапласа. Давайте для начала рассмотрим уравнение (4)

для частицы в центральном поле, не конкретизируя вид потенциальной энергии, а исследуем общие свойства решений этого уравнения.

Поскольку оператор квадрата момента содержит только дифференцирование по углам,

	ˆ		r
то он коммутирует с оператором Гамильтона. Действительно, оператор	2	коммутирует с		и
	L

U(r) , поскольку эти операторы действуют на разные переменные. Ну а со вторым слагаемым в скобках в уравнении (4) он коммутирует потому, что оно сводится с нему самому.

Очевидно, что и операторы проекции момента на декартовы оси коммутируют с опера-

тором Гамильтона частицы в центральном поле. С радиальной частью оператора Лапласа и по-

тенциалом коммутируют потому, что эти операторы действуют на разные переменные, а со вто-

рым слагаемым в скобках уравнения (4) потому, что операторы проекций коммутируют с опера-

тором квадрата момента. Итак,

	ˆ2	ˆ		= 0,		ˆ	ˆ		= 0 .
L , H					L , H
						i

Из этих коммутационных соотношений можно сделать ряд общих выводов относительно решений уравнения на собственные функции оператора Гамильтона.

1.Поскольку операторы Гамильтона, квадрата момента и его проекции на любую ось коммутируют, они имеют полную систему общих собственных функций.

2.Поскольку операторы проекций момента на различные оси не коммутируют друг с другом, дискретные собственные значения оператора Гамильтона (уровни энергии)

должны быть вырождены: одному собственному значению энергии должны отвечать

2

несколько разных собственных функций, отвечающих различным собственным значе-

	ˆ	ˆ	ˆ
ниям оператора L		(или Lx , или	L ). Такое вырождение уровней энергии в центральном
	z		y
поле называется вырождением по проекции момента.
3.	Различным дискретным собственным значениям оператора Гамильтона (уровням

энергии) отвечают собственные функции с различными собственными значениями опе-

ратора ˆ2 (то есть каждый уровень энергии характеризуется определенным моментом). L

Однако в некоторых центральных полях (это зависит уже от конкретной зависимости

U (r) ) возможна ситуация, когда энергии уровней с различными моментами совпадают

(например, кулоновском поле или трехмерном изотропном осцилляторе). Такое вырож-

дение по моменту часто называют «случайным», причем слово «случайное», как прави-

ло, берут в кавычки. Это связано с тем, что причин для такого вырождения, на первый взгляд, нет (поэтому слово — случайное), но, они, конечно, для каждого потенциала существуют (поэтому и ставят кавычки — «…»).

В заключение этой лекции приведем терминологию, которая впервые возникла в атомной физике и которая широко используется в квантовой механике, атомной и ядерной физике сего-

дня. Стационарные состояния	с l 0	называют	s -состояниями,	состояния с l 1 — p -
состояниями, состояния с l 2	— d -состояниями, состояния с l 3			— f -состояниями и далее
по порядку букв латинского алфавита.

3

Ну а теперь давайте рассмотрим стационарное уравнение Шредингера для частицы в цен-

тральносимметричном поле, не конкретизируя вид потенциальной энергии, и исследуем общие свойства решений этого уравнения. Будем искать решения дифференциального уравнения (8) в

виде произведения функций, зависящих отдельно от r и от , (r, , ) f (r)g( , ) . Под-

ставляя это выражение в уравнение (8), получим

	2					f
			g		f				g		U (r) fg Efg
				r			2
						r		,
	2

(10)

где r	и	,	— радиальная и угловая части лапласиана. Разделим уравнение (10) на произве-
дение	fg	и умножим на 2 r2 , получим
				2	2	r f (r) 2 r	2	U (r) E f (r)	2	, g( , )	(11)
					r

Правая часть уравнения (11) зависит только от углов, левая — только от модуля радиуса-

вектора. Поэтому для того, чтобы равенство (11) удовлетворялось необходимо, чтобы и правая и левая части (11) равнялись бы некоторой постоянной. Обозначим эту постоянную (которая име-

ет размерность квадрата постоянной Планка) как

2

, где

— некоторое безразмерное число.

Тогда функции

f (r) и

g( , )

удовлетворяют уравнениям

2

2

r f (r)

2

U (r)

2 r

2

E

f (r) 0

(12)

, g( , ) g( , )

(13)

Уравнение (13) с точностью до множителя

2

совпадает с уравнением на собственные

значения и собственные функции оператора квадрата момента импульса, причем число

с точ-

	ˆ
ностью до множителя совпадает с собственным значением оператора	2	. В предыдущей главе
	L

показано, что конечные решения уравнения (13) существуют только для чисел l(l 1) , где l 0,1, 2... — целое неотрицательное число. Каждому значению l(l 1) отвечают 2l 1 раз-

личных ограниченных решений g( , )	, которые можно выбрать так, чтобы они одновременно
	ˆ
являлись и собственными функциями оператора проекции момента импульса Lz на ось z :
ˆ		(14)
Lz g( , ) m g( , )
отвечающими собственным значениям	m l, l 1, ... l 1, l . Такими решениями	уравнений

(13), (14) являются сферические функции Ylm ( , ) . Таким образом, в качестве угловой части решений уравнения (8) всегда можно выбрать сферические функции, и, следовательно, соб-

ственные функции оператора Гамильтона частицы в центральном поле можно выбрать так, что-

4

бы они описывали состояния с определенными значениями момента импульса и его проекции на ось z . (Конечно, решения можно выбрать и по-другому. Любая линейная комбинация реше-

ний разными m также будет собственной функцией операторов Гамильтона и квадрата момен-

ˆ та, но не будет собственной функцией оператора Lz ). При этом радиальная часть решений f (r)

уравнения (8) должна быть найдена из уравнения (12) с l(l 1) , то есть из уравнения

		2		2	l(l 1)
r
	f (r)	2	U (r)	2 r		2	E f (r) 0

(15)

причем необходимо перебрать все возможные значения

l . Из этого же уравнения и условия

ограниченности решения

f (r)

должно быть определено и собственное значение

E . Таким об-

разом радиальная функция f (r) и собственная энергия E		определяются разными уравнениями
для разных значений l , то есть, вообще говоря, зависят от		l :	f (r) fl (r) , E El . При этом от
значения проекции момента m эти величины не зависят ( m			не входит в уравнение (15), то есть
уровни энергии вырождены по проекции момента.
Рассмотрим уравнение (15) для некоторого фиксированного значения момента l				. Перей-
дем в этом уравнении к новой неизвестной функции	l (r) rf (r) . Подставляя функцию			l (r) / r
в уравнение (15), получим уравнение для функции l	(r) :

	2			2	l(l 1)
(r)			E U (r)						(r) 0
	2					2
l				2 r				l

(16)

Уравнение (16) для функции l (r)

стицы, движущейся в «одномерном»

совпадает с одномерным уравнением Шредингера для ча-

потенциале

				2	l(l 1)
	U		(r) U (r)				(17)
		эфф		2 r		2

определенном при r 0 и называемом «эффективным потенциалом» (отметим, что аналогичная добавка к центральному потенциалу возникает и в классической механике и называется центро-

бежным потенциалом). Кроме	того, уравнение (16) надо дополнить граничным условием:
l (r 0) 0, которое следует	из условия конечности решения (r, , ) f (r)Yl ,m ( , )	при
r 0 , и которое в одномерной задаче возникало бы, если бы эффективный потенциал при		r 0

имел бесконечно высокую стенку.

Одномерное уравнение Шредингера было подробно исследовано ранее. Воспользуемся результатами этого исследования. Пусть U(r ) 0 . Тогда при E 0 уравнение (16) для

5

любого l	имеет непрерывный спектр собственных значений					E , причем каждому собственному
значению	E отвечает единственное (с точностью до множителя) решение						El (r) . Поэтому для
каждого значения E 0 уравнение (16) имеет бесконечное множество ограниченных решений
	Elm (r, , )		El	(r)	Ylm ( , )		(18)
			r

где l 0, 1, 2, ..., для каждого l

— m l, l 1, ... l 1, l , а функция

El (r) для каждого значения

E удовлетворяет уравнению (16). Поскольку функции Elm

являются и собственными функци-

ˆ2	ˆ		, энергия, квад-
ями операторов L	и Lz , то в состоянии, описываемом волновой функцией Elm
рат момента и его проекция на ось		z имеют определенные значения.
Рассмотрим теперь случай,		когда E 0 . Как было показано ранее, в этом случае ограни-

ченные решения одномерного уравнения (16) могут существовать только при дискретных зна-

чениях E , причем для этого потенциальная энергия должна представлять собой достаточно глубокую «яму»; в противном случае дискретные собственные значения могут не существовать вовсе. Поскольку для каждого значения момента l дискретные собственные значения и отвеча-

ющие им радиальные функции l (r) определяются из решения разных уравнений, для каждого значения l существует своя система собственных значений El и собственных функций l (r)

(причем каждому такому собственному значению El отвечает единственное ограниченное ре-

шение l (r) ). Перенумеруем эти собственные значения и соответствующие им собственные

функции для каждого l (начиная с наименьшего собственного значения) целым индексом nr 1, 2, 3, ... , (иногда нумеруют, начиная с nr 0 ) который называется радиальным квантовым числом. Таким образом, все дискретные собственные значения и радиальные функции зависят

от двух индексов	E En	l	,	(r) n	l (r)	— индекс момента	l	определяет уравнение, из кото-
	r			r

рого находятся собственные значения и радиальные функции, а радиальное квантовое число nr

нумерует решения уравнения с фиксированным l в порядке возрастания энергии (отметим, что согласно осцилляционной теореме радиальное квантовое число определяет число узлов функ-

ции nr l (r) , включая и узел при r 0 ). При этом может оказаться, что уравнение (16) для неко-

торых значений l вообще не имеет дискретных собственных значений (это зависит от потенци-

ала U (r) ). В этом случае уровни энергии Enrl с таким значением момента в данном потенциале отсутствуют. Поскольку каждому дискретному собственному значению Enrl отвечает един-

6

ственная радиальная функция		n	l (
		r
чают	2l 1 различных собственных

r) , то каждому дискретному собственному значению отве-

функций

		(r, , )		n	l	(r)	Y	( , )
				r
	n lm			r			lm
	r

(19)

отличающихся друг от друга проекцией момента на уровней энергии по проекции момента m , о котором наковыми квантовыми числами nr и l , но разными ний.

ось z , то есть имеет место вырождение говорилось выше. Часто состояния с оди- m часто называют мультиплетом состоя-

7

Модуль 4: Трехмерное движение Лекция 4-2. Общие свойства трехмерного движения (продолжение)

Повторим сначала основные утверждения предыдущей лекции относительно общих свойств движения частицы в центральном поле. Из-за коммутации операторов Гамильтона,

квадрата момента и его проекции на любую ось каждое собственное состояние гамильтониана характеризуется определенным моментом и проекцией момента на любую ось (например, на ось z ). И удобно решать стационарное уравнение Шредингера

				L
				ˆ
	2				2
	2	r		2	r	2 f (r ) U (r) f (r ) Ef (r )

(1)

не одно, а вместе с уравнениями на собственные значения и собственные функции операторов

квадрата момента и его проекции на ось

z . Идея здесь такая. Поскольку три оператора —

	ˆ		ˆ
гамильтониан,	2	и	Lz	— коммутируют, они имеют полную систему общих собственных
	L

функций. Поэтому будем решать не уравнение (1), а систему уравнений на собственные значения операторов Гамильтона, квадрата момента и его проекции на ось z

		2				ˆ2
			r			L		f (r ) U (r) f (r ) Ef (r )
						2	2
	2					r
ˆ2		f (r ) l			2	f (r )		(2)
L
ˆ		f (r ) lz				f (r )
Lz

Это упростит нам решение, поскольку решения второго и третьего уравнений мы знаем.

Действительно, хорошие решения второго и третьего уравнения системы (2) сводятся к сферическим функциям. Поэтому решения второго и третьего уравнений системы (2) имеют вид

f (r ) R(r)Ylm ( , )

(3)

где квантовые числа l и m могут принимать все доступные для них значения ( l 0, 1, 2, ... и для

фиксированного					l m l, l 1, ... ,l , которые определяют собственные значения операторов
ˆ2	ˆ	2		2	l(l 1) , lz m ), а функция R(r) может быть любой. Поэтому идея решения
L	и Lz : l

системы (2) заключается в следующем:	искать решения первого из уравнений (2) в виде (3).
Подставляя функцию (3) в первое	из уравнений (2), мы получим обыкновенное

дифференциальное уравнение	для	функции	R(r) . При этом нам придется перебрать все
возможные пары индексов l и m ,		поскольку	уравнения для функции R(r) могут получиться
разными для разных индексов l	и m .

1

Подставляя функцию (3) в первое уравнение (2), получим

	2					l(l 1)
									R(r) U (r)R(r) ER(r)		(4)
				r		r	2
	2
Уравнение (4), из которого мы будем					искать			радиальную собственную функцию		R(r)	и
собственные значения энергии E зависит от момента l , но не зависит от проекции момента											m .

Отсюда следует, что в центральном поле есть вырождение по проекции момента — собственные энергии, отвечающие состояниям с разными m , будут одинаковыми. А вот от момента и

собственные энергии и радиальные волновые функции будут зависеть: R(r) Rl (r) , E El .
Рассмотрим уравнение (4) для некоторого фиксированного	значения момента	l .
Перейдем в этом уравнении к новой неизвестной функции (r) rR(r)	. Раскрывая радиальную
часть оператора Лапласа, получим

			(r)
		r	r

Поэтому уравнение (4)

1

d

2

d

1

d

r

1

r

r

2

r

r

2

dr

r

2

r

dr

dr r

дает для функции

(r)

2

2

l(l 1)

(r)

E U (r)

(r) 0

2

2 r

2

(5)

Уравнение (5) для функции

(r)

совпадает с

частицы, движущейся в «одномерном» потенциале

одномерным уравнением Шредингера для

					2	l(l		1)
		U		(r) U (r)							(6)
			эфф		2 r				2
определенном при	r 0	(поскольку только при таких					r			у нас определена потенциальная

энергия частицы) и называемом «эффективным потенциалом». Отметим, что аналогичная добавка к центральному потенциалу возникает и в классической механике. Она называется центробежным потенциалом, только в здесь, в квантовой механике она квантуется — в том смысле, что момент импульса может принимать только разрешенные для него значения). Кроме

того, уравнение (5) надо дополнить граничным условием: (r 0) 0 , которое следует из
условия конечности решения R(r) при r 0 .	Такое граничное условие возникает в одномерной
задаче, если бы эффективный потенциал при	r 0 имел бесконечно высокую стенку. Поэтому

такого анализа собственных значений и собственных	функций оператора	Гамильтона в
трехмерной задаче мы можем воспользоваться нашими	результатами в одномерной задаче,
считая, что при r 0 потенциальная энергия частицы отличается от		«настоящей»

2