Кванты муравьев 1сем

где aij	— некоторые числа. Таким образом, каждому линейному оператору отвечает матрица из
чисел	aij , с помощью которой можно найти,	как оператор действует. Например, оператор,
имеющий матрицу
	1	1
			,
	2	2

при действии на элемент линейного пространства с координатами пространства с координатами

y1 1 1 1 2 3 y2 2 1 2 2 6

1

и

2

даст элемент линейного

Отметим, что равенства (2) можно записать как результат произведения матрицы оператора и столбца координат того элемента, на который действует оператор (по принятому в линейной алгебре правилу матричного умножения). В результате получится столбик, составленный из координат того элемента, который получается в результате действия:

y		a	x		a	x
1		11		1	12		2
y	2	a		x	a		x
		21		1	22		2

	y		a	a	x
	1		11	12	1
	y2		a21	a22 x2

Это равенство обычно записывают в виде символического суммирования, не выписывая явно все компоненты

y		a x	j
i		ij
		j

Числа, из которых составлена матрица оператора (матричные элементы матрицы оператора),

могут быть найдены через результаты его действия на базисные элементы. Представляя в выражении (1) элементы x и y в виде разложения по базису, получим

ˆ	x2e2 y1e1	y2e2	(4)
A x1e1

Умножая скалярно равенство (4) сначала на первый, а потом на второй базисный элементы и учитывая ортнормированность базисных элементов, получим

	1	1	1			1	2		2	1
		ˆ	x				ˆ	x		y
	e , Ae				e , Ae
	2	1	1			2	2		2		2
	e	ˆ	x			e	ˆ		x	y
		, Ae					, Ae

(5)

Сравнивая равенства (5) и (3) заключаем, что матричными элементами матрицы оператора

являются числа
ˆ	)	(6)
aij (ei , Aej

2

Из правил (6) легко доказать, что единичному оператору отвечает единичная матрица,

нулевому — нулевая.

Можно найти

и матрицы

более сложных

операторов.

Рассмотрим,

например, оператор поворота вектора вокруг оси

z

на угол

—

ˆ

. Используя правила (6) и

R

выбирая в качестве базисных элементов орты e1

i ,

e2 j

и

e3

k

, получим, учитывая, что

ˆ

в плоскости (x, y) , а вектор

k оставляет

векторы i и j оператор R поворачивает на угол

без изменений, получим

a11

ˆ

,

a12

ˆ

sin ,

a13

ˆ

(i , Ai ) cos

(i , Aj )

(i , Ak ) 0

a21

ˆ

,

a12

ˆ

cos ,

a23

ˆ

( j, Ai ) sin

( j, Aj )

( j, Ak ) 0

ˆ

a32

ˆ

ˆ

a31 (k , Ai ) 0 ,

(k , Aj ) 0 , a33 (k , Ak ) 1

Поэтому

				cos		sin	0
ˆ					sin	cos	0
R
		ij
					0	0	1

(7)

Можно доказать,	что		матрица		оператора,			равного сумме и произведению		двух
									ˆ	ˆ ˆ
операторов, есть сумма и произведение их матриц соответственно. Например. Пусть C AB и
пусть матрицы операторов		ˆ	ˆ	нам известны — aij						ˆ
		A и	B						и bij . Найдем матрицу оператора C .
	ˆ	на произвольный элемент						x	и найдем получившийся элемент	y
Подействуем оператором C
				ˆ	ˆ ˆ	ˆ	ˆ	y
				Cx	ABx A Bx
Пусть при действии на x				ˆ
	оператора B получится элемент h . Тогда его координаты могут быть
найдены через матрицу оператора				ˆ
				B

hi bik xk k

При действии на элемент		h
матрицу оператора	ˆ
	A , найдем

ˆ

оператора A будет получен элемент y . Поэтому используя

ym ami hi ami bik xk

	i		i	k
Меняя порядок суммирования, получим
				cmk xk
ym		amibik xk
k		i		k

3

Где матрица

cmk

определяется соотношением

cmk

amibik

i

Т. е. является произведением матриц операторов

ˆ

ˆ

A

и B .

Найдем теперь матрицу сопряженного оператора. Пусть есть линейный оператор

которому отвечает матрица aij . Какая матрица отвечает оператору

ˆ

?

A

Матричные элементы матрицы оператора

ˆ

находятся из соотношения (6)

A

(a

)

(e

ˆ

)

ij

, A e

i

j

ˆ

ˆ

«Перебрасывая» оператор на вторую функцию и учитывая, что A

A , имеем

ˆ , A

(8)

(a		)		ˆ		)
			ij	( Ae , e
				i	j

Поменяем теперь местами порядок сомножителей (получив «за это» комплексное сопряжение),

получим окончательно

(a		)		ˆ		) (e	ˆ	*	*
			ij	( Ae , e			, Ae )		а
				i	j	j	i			ji

Отсюда заключаем, что матрица сопряженного оператора является транспонированной и комплексно сопряженной к матрице самого оператора. Отсюда следует, что если матрица оператора такова, что транспонированная и комплексно сопряженная к ней матрица совпадает с ней самой, то этот оператор является эрмитовым.

Рассмотрим теперь вопрос об уравнении на собственные значения оператора, заданного

ˆ матрицей. И рассмотрим его на конкретном примере. Пусть задана матрица оператора A

	a		0		1
	ij			1	0

(9)

Найти собственные значения и собственные функции этого оператора в виде разложения по тому базису, в котором задан оператор. Нужно решить уравнение

ˆ

Af f

Ищем собственную функцию оператора в виде разложения по базису f C1e1 C2e2

(поскольку матрица оператора имеет

размерность

2 2

,

пространство, в котором оператор

действует, двумерно). Имеем, используя определение матрицы оператора

ˆ

0

1 С1

С1

С2 С1

Af f

1

0

С

С

С С

2

2

2

1

4

Или

С		С	2	0
	1
	С	С		0
	1	2

(10)

Уравнения (10) представляют собой систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения собственной функции по базису. Чтобы такая система имела ненулевое решение, определитель, составленный из коэффициентов системы должен быть равен нулю

	1	0			2	1			1
1								1,2

Таким образом, собственными значениями оператора (9) являются числа

	1,	1
1	2

Подставляя первое собственное значение в систему (10) находим первую собственную функцию

(в виде коэффициентов разложения по базису)

		f		C
		1
					С
(причем число	C	из уравнения не определяется, поскольку оно однородное; его можно

определить, например, из условия нормировки). Подставляя второе собственное значение в систему (10) находим вторую собственную функцию

f				C
	2
				С

Обратим внимание на следующие важные обстоятельства.

Оператор, для которого мы решали уравнение на собственные значения, является эрмитовым. Поэтому собственные значения получились действительными. Собственные функции оказываются ортогональными

f , f	2	Сe Ce , Ce Ce				C 2 e , e		C 2	e , e		C 2			e , e				C 2		e , e
1		1	2	1	2	1	1		2	1						1	2			2	2
Используя ортонормированность					базиса, заключаем,				что			f	,	f	2		0		. И	третье. Линейно
												1

независимых собственных функций оказалось — 2. А значит они образуют ортогональный базис в том пространстве, в котором действует оператор.

Еще один вопрос, которого мы кратко коснемся сегодня. Пусть нам известна матрица

ˆ

оператора A — aij . Для ее задания нам нужен базис. Но выбор базиса в любом пространстве

5

неоднозначен. А что будет с матрицей оператора, если в том же пространстве взять другой базис? Изменится ли матрица оператора?

Конечно! Ведь матричные элементы матрицы оператора

aij

опереляются через результат

действия оператора на базисные функции согласно формуле (6). Поэтому при переходе от одного базиса к другому матрица оператора изменяется. Не буду приводить достаточно громоздкие общие формулы относительно изменения матрицы оператора. Отмечу только что при переходе от одного ортономированного базиса к другому матрица оператора меняется, но шпур (сумма диагональных элементов) и детерминант (определитель матрицы) не изменяются.

И последнее. Пусть в каком-то линейном пространстве действует некоторый эрмитов оператор. А какой будет матрица оператора, если в качестве базисных взять собственные

функции этого оператора? Тогда из формулы (6) получаем

aij	ˆ	, j ej j ij	(11)
	ei , Aej ei

Следовательно, матрица эрмитового оператора в базисе его собственных функций является диагональной, причем на главной диагонали матрицы находятся собственные значения этого оператора. Выбор в качестве базиса собственных функций эрмитового оператора часто называют приведением матрицы оператора к диагональному виду.

6

Модуль 5: Спин Лекция 5-2. Спиновая волновая функция

Рассмотрим составную частицу, состоящую из двух элементарных частиц и совершающую некоторое пространственное движение (примером такой составной частицы может быть атом водорода, состоящий из протона и электрона). Состояния такой частицы могут быть описаны с помощью волновой функции, зависящей от ее координаты как целого,

например, координаты центра инерции

R , и координаты относительного движения

r . Такая

волновая функция определяет вероятности различных положений частицы как целого и

относительного положения ее составных частей. Физическим величинам,	определяемым
«внутренними» переменными, отвечают операторы, действующие на координату	r , величинам,

связанным с движением частицы как целого, — операторы, действующие на радиус-вектор центра инерции R . В частности, моменту импульса относительного движения составных частей

	ˆ	ˆ		ˆ		ˆ
отвечают операторы	Lx ,	Ly	,	Lz	и	2	, действующие на относительную переменную и
						L

обладающие всеми свойствами операторов момента, которые рассматривались ранее. В

частности, квадрат момента относительного движения может иметь определенное значение

вместе с одной из проекций (например, с Lz	). Проекции «внутреннего» момента одновременно
определенных значений, вообще говоря,	не имеют. Общими собственными функциями

				ˆ			ˆ
				2		и его проекции на ось z Lz
операторов квадрата момента импульса «внутреннего» движения L
являются сферические функции Ylm , зависящие от углов				и			относительного радиуса-
вектора,	при этом индекс l определяет величину «внутреннего» момента импульса частицы,
индекс	m — его проекцию на ось z , то есть ориентацию вектора момента в пространстве.
Квантовые числа l		и	m могут принимать следующие значения:	l 0,1, 2,... , при фиксированном
l квантовое число		m	может принимать дискретный ряд значений от				l до l через единицу.

Рассмотрим теперь такое состояние составной частицы, когда энергия и момент внутреннего движения фиксированы, и будем интересоваться только величинами, относящимся к движению частицы как целого. С одной стороны, при таком описании нам нужна только та часть волновой функции, которая связана с «внешним» движением. Однако, с другой стороны,

есть одна характеристика «внутреннего» движения, которая не фиксируется фиксацией внутреннего состояния частицы — это проекция внутреннего момента на любую выделенную ось. Эта проекция может меняться при фиксированном внутреннем состоянии составной частицы, и, следовательно, при описании «внешнего» движения необходимо учесть

1

возможность изменения этой проекции. Это значит, что та часть волновой функции составной частицы, которая описывает «внешнее» движение должна содержать еще одну дискретную

переменную — проекцию внутреннего момента на выделенную ось

(R, lz )

и определять

вероятность того, что частица находится в той или иной точке пространства и имеет то или иное значение проекции внутреннего момента на выделенную ось.

Таким образом при описании движения составной частицы как целого в случае, когда не меняется ее «внутреннее» состояние, квантовая механика формально допускает введение дополнительной дискретной координаты, характеризующей внутренние степени свободы.

Поэтому нельзя a priori отвергнуть существование такой координаты для элементарных частиц

только на основе их «элементарности».

Как показывает опыт, элементарные частицы кроме момента импульса, связанного с движением в пространстве (и который в этом контексте называют «орбитальным»), могут обладать и «внутренним» моментом импульса, который не зависит от их пространственного движения. Этот момент называется спином частицы. Величина «внутреннего» момента (или спина) — такая же характеристика любой элементарной частицы, как ее масса или заряд, и

которая независимо от состояния этой частицы всегда имеет определенное значение. Проекция же вектора спина на некоторую ось может в тех или иных случаях принимать различные

значения, а также может меняться при действии на частицу тех или иных полей.

Итак, существование спина у частиц приводит к тому, что в число аргументов волновой

функции необходимо ввести дискретную «спиновую координату»	sz ,	которая принимает
значения, равные различным возможным значениям проекции спина на ось		z , а само значение

функции при некотором значении спиновой координаты определяет вероятность того, что

спиновая координата — проекция спина на ось

z

— может быть обнаружена при измерениях.

Поскольку спиновая координата дискретна, то вместо введения спиновой координаты в список аргументов волновой функции, ее можно записывать в виде индекса, или записывать волновую

функцию частицы со спином s	в виде столбца, содержащего				2s 1	компонент
			1 (r )
	(r , sz )		2 (r )			(2)
			...
			...
договорившись, что квадрат модуля верхней компоненты | (r ) |2						определяет вероятность того,
					1
что частица находится в точке с координатами r				и имеет проекцию спина на ось z , равную s

2

(максимальное значение), квадрат модуля второй компоненты | 2 (r ) |2 определяет вероятность

того, что частица находится в точке с координатами

r

и имеет проекцию спина на ось

z ,

равную s 1 (второе по величине значение) и так далее. Из определения волновой функции

частицы со спином следует, что величина

	2								(3)
	dr | 1 (r ) |
определяет вероятность того, что частица имеет проекцию спина				на ось			z ,	равную	s
независимо от ее положения в пространстве, а величина | (r ) |2			|		2	(r ) |2	...	определяет
	1
вероятность того, что частица находится в точке с координатами		r		независимо от проекции

спина. Естественным образом модифицируются при наличии спина скалярное произведение

волновых функций

(r , sz ), (r , sz )

*

*

*

(r ) 3 (r ) ...

dr 1

(r ) 1 (r ) 2

(r ) 2 (r ) 3

(4)

и условие нормировки волновой функции

(r , sz ), (r , sz )

dr | 1 (r ) |

2

|

2 (r ) |

2

| 3

(r ) |

2

...

(5)

которое выражает то обстоятельство, что сумма вероятностей всех возможных несовместных событий, происходящих с частицей, равна единице.

В квантовой механике часто приходится рассматривать такие состояния, когда вероятности различных значений проекций спина не зависят от координат. В этом случае пространственные и спиновые переменные в волновой функции разделяются (это обстоятельство является отражением теоремы умножения вероятностей независимых событий)

и волновая функция имеет вид

C

1

C

(r , sz ) (r )

2

(6)

...

...

где

C ,

C ,... — числа. В

этом

случае о

волновой

функции

(r )

говорят

как о

1

2

пространственной части волновой функции, а столбец из

чисел C1 ,

C2 ,...,

определяющих

вероятности различных значений проекции спина

на ось

z ,

называют спиновой

частью

волновой функции (или просто спиновой волновой функцией, или спинором).

Как было доказано при рассмотрении матричной теории момента, момент импульса в

принципе может принимать целые или полуцелые (в единицах

) значения. Для орбитального

момента

реализуются только

целые

значения.

А

вот спин

элементарных

частиц

может

3

принимать и полуцелые значения. Так спин стабильных элементарных частиц — электрона,

протона и нейтрона — равен

/ 2

. Для этих частиц спиновая функция представляет собой

двухкомпонентный столбец, верхняя компонента которого определяет вероятность того, что

проекция спина на ось z принимает значение		/ 2 , нижняя — вероятность того, что проекция
спина на ось	z принимает значение / 2 . В частности, спинор
	1
	(sz )		(7)
	0
описывает состояние, в котором проекция спина на ось z			с единичной вероятностью принимает
значение	/ 2 , и с нулевой вероятностью —	значение	/ 2 (что означает, что последнее

значение никогда не может быть обнаружено при измерениях в состоянии (7). Спиновая функция

		3 / 2
	(sz )	1/ 2
		0

(8)

Описывает состояние частицы со спином S 1	, в котором значение проекции вектора спина на
ось z с вероятностью 3/4 принимает значение	Sz , с вероятностью 1/4 — значение Sz 0 и
с нулевой вероятностью — значение Sz .
Как и всякой векторной физической величине спину соответствует некоторый оператор
ˆ
s , имеющий три компоненты, причем можно предположить, что для операторов, отвечающих

проекциям спина, справедливы те же коммутационные соотношения, что и для операторов

проекций орбитального момента импульса (здесь и далее в этой главе

1 )

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

sx , sy isz ,

а также

s

2

, sx

s

2

, sy

s

2

, sz

0

(1)

Такие коммутационные соотношения можно ожидать из следующих соображений. Мы установили (когда рассматривали момент импульса), что волновая функция при повороте

системы координат преобразуется следующим образом:

		ˆ
		= ei nL	(*)
причем для проекций оператора	ˆ	на координатные оси справедливо соотношение (*). Поэтому
	L

и здесь мы должны допустить справедливость соотношений (1).

Из соотношений (1) следует, что оператор квадрата спина имеет общие собственные функции с одним из операторов проекций, в то время как операторы проекций спина общих собственных функций не имеют. Коммутационные соотношения (1) позволяют найти все

4

собственные значения операторов	ˆ	2	,	ˆ	,	ˆ	и	ˆ	. А именно, собственные значения оператора
	s			sx		sy		sz
квадрата спина могут быть записаны в виде								s(s 1)		, где	s — неотрицательное целое или

«полуцелое» число (т.е. число вида 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2 ...). Собственные значения оператора проекции спина на любую ось для частицы со спином s равны s s 1, s 1, ..., s .

В случае частиц со спином квантовомеханические операторы физических величин должны связывать друг с другом различные функции вида (6). При этом, поскольку спин никак не связан с пространственным положением частицы, операторы спина должны связывать различные спиновые функции (то есть «действовать» на спиновую функцию) и никак не затрагивать функции, зависящие от пространственных переменных (не «действовать» на

функции	пространственных координат). Поэтому в общем виде результат действия такого
оператора	ˆ
	A (sz ) (sz ) можно записать как произведение некоторой матрицы на спинор (sz )

					a			a	...			a
ˆ		1				11	1	12 2	...				11
A						a	1	a					a
		2				21		22 2					21
								...
	...											...

a	...
12	...			1					1
a
22				2					2
...	...		...
								...

		(7)
где	aij	— некоторые числа, являющиеся характеристикой данного оператора. Таким образом,

каждому оператору, действующему на спиновую функцию, соответствует некоторая матрица из чисел aij . Матрицу любого спинового оператора можно найти, если известен результат действия этого оператора на базисные функции:

a		ˆ	)
	(e , Ae
ij	i	j

(8)

Матрицы операторов спина можно найти из следующих соображений.

	ˆ	2		ˆ
Работаем в базисе собственных функций операторов	S		и	Sz . Тогда матрицы оператора

диагональная:

ˆ
S	z

ˆ					= M
S			M				M
	z
	ˆ	)				= M
(S				M ,M				MM
		z

(**)

					ˆ	ˆ	ˆ	—
Далее, из коммутационных соотношений (1) следует, что операторы S = Sx							iSy
повышающий и понижающий:
	ˆ			= const
	S		M		M 1
							(***)
	ˆ			= const
	S		M		M 1
Поэтому у S	ненулевыми являются только наддиагональные элементы, а у S					— только

5