Кванты муравьев 1сем

поддиагональные.

Константы в (***) можно найти так. Найдем матрицы операторов.

имеет диагональную матрицу, значит,

ˆ 2	ˆ	ˆ		ˆ2		ˆ		;
S	= S	S		S	z	S	z

ˆ 2 S

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

S(S 1) = (S S )M ,M M

2

M = (S )M ,M 1(S )M 1,M M

2

M =

т.к.

(S )M 1,M

есть

комплексно сопряженное к

ˆ

ˆ

2

2

ˆ

2

2

M

отсюда:

(S )M ,M 1

=| (S )M ,M 1

| M

M =| (S )M 1,M | M

ˆ

)

2

ˆ

)

2

= S(S 1) M

2

M

| (S

M ,M

1

| =| (S

M 1,M

|

Из этого соотношения мы определяем только модули матричных элементов. Фазы

выбираются произвольно.

Мы выбрали фазы так,

чтобы у матричных элементов фазы были

нулевыми, и они были действительны.

ˆ

ˆ

=

(S M )(S M 1)

(S )M

1,M = (S )M ,M 1

А

затем

через

матрицы

операторов

операторы

ˆ

можно

найти

У

операторов

S

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

S S

S S

Sx

=

и

Sy =

:

2

2i

ˆ

)

ˆ

)

=

1

(S M )(S M 1),

(S

x

M ,M 1

= (S

x

M 1,M

2

ˆ

)

ˆ

)

=

i

(S M )(S M 1).

(S

y

M ,M 1

= (S

y

M 1,M

2

ˆ

ˆ 2

)M ,M

= S(S 1) M .M

они составляют полный набор матриц

Вместе с (Sz )M ,M = M M ,M , (S

оператора спина.

Построим матрицы спиновых операторов для частицы со спином ½. Выберем в качестве базисных функций спиноры

		1					0
e1	sz	0		и	e2	sz	1		(9)

Очевидно, искомые матрицы представляют	собой матрицы размерности	2 2 .	Начнем с
ˆ
построения матрицы оператора sz . Очевидно, в базисных состояниях проекция спина частицы
на ось z имеет определенное значение — sz	1/ 2 в первом состоянии и sz	1/ 2	во втором.

Это связано с тем, что согласно определению спиновой функции вероятность обнаружить проекцию спина sz 1/ 2 в первом состоянии равна 1, во втором 0, и наоборот для проекции sz 1/ 2 . Следовательно, функции (9) являются собственными функциями оператора sˆz ,

6

отвечающими соответствующим	собственным значениям 1/ 2	первая, и 1/ 2 вторая.
Поэтому для матрицы оператора sˆz	выполнены условия

a		a	1				1 1				a		a	0				1 0
	11	12										11	12
	a	a		0			2		0			a	a		1			2		1
	21	22										21	22

Из формул (10) находим

(10)

ˆ

1 1

0

(11)

sz

2

0

1

Для

построения матриц

операторов

ˆ

ˆ

найдем сначала матрицы операторов

sx

и sy

ˆ

ˆ

ˆ

Поскольку коммутационные соотношения между операторами проекций

спина

s sx

isy .

такие

же, как

для операторов

орбитального момента, то при действии операторов

ˆ

на

s

собственные функции оператора

ˆ

получаются также собственные функции этого оператора,

sz

отвечающие

на единицу большему или меньшему

собственному значению. При действии

операторов

ˆ

ˆ

отвечающую максимальному (минимальному)

s

( s ) на собственную функцию,

собственному значению получается спиновая функция, тождественно равная нулю, то есть нулевой столбец. Поэтому

	1					0
sˆ
	0					0
Из соотношений (12) найдем, что
sˆ		0			1
		0			0
Из (13) и определения операторов				ˆ		находим
				s
sˆx		1		0		1
		2		1		0
(14)

		0				1
sˆ		1				0
sˆ		0			0
			1		0
				sˆ			1 0		i
					y
							2	i	0

(12)

(13)

Матрицы операторов sˆx , sˆy	и	sˆz	(11), (14) (без множителей 1/2) называются матрицами Паули и
обозначаются x , y и z .

Матрицу оператора sˆ2 легко найти, возводя в квадрат и складывая матрицы операторов

проекций момента (11), (14)

7

	sˆ2	3	1		0
				0	1
		4

(15)

Матрицу (15) можно было бы получить и по-другому из следующих рассуждений. Поскольку любая спиновая функция для частицы со спином 1/2 (то есть любой двумерный столбец)

является собственной функцией	оператора		ˆ2	, отвечающей			собственному	значению
			s
1/ 2 (1/ 2) 1 3/ 4 (так как квадрат вектора спина такой частицы имеет в любом состоянии
определенное значение), то матрица оператора		ˆ2	является диагональной, причем диагональные
		s
матричные элементы равны 3/ 4 , то есть матрица оператора sˆ2					и есть матрица (15).
Свойства матриц Паули
А. Все матрицы Паули, как матрицы операторов физических величин являются
эрмитовыми.
Б. Для всех матриц Паули	выполнено			2	2	2	= 1 , где 1 —	единичная
		условие x = y				= z

матрица. Это можно проверить непосредственно. Это утверждение есть следствие того факта,

что квадрат проекции спина частицы со спином ½ в любом состоянии имеет определенное значение (т. к. есть две возможности для проекции спина +1/2 и –1/2, а квадраты обоих этих чисел — ¼).

В. i k = ik i ikl l

Г. Любая матрица (2 2) может быть представлена в виде: U(2 2) = a0 a . Это связано с тем, что единичная матрица и три матрицы Паули ({1, i }) образуют полный набор матриц

(2 2 ), так как пространство таких матриц четырехмерно — матрица определяется заданием четырех чисел, поэтому любые четыре линейно независимые матрицы будут образовывать базис в пространстве таких матриц).

Д. i k k i = 2 ik . В частности, x y = y x , т. е. они антикоммутируют. Алгебра (так называют правила умножения матриц) очень простая — при перестановке матриц просто меняется знак их произведения.

Е. Поскольку матрицы Паули связаны с операторами проекции спина 7на координатные оси для них выполнены обычные коммутационные соотношения для операторов проекций момента на координатные оси

[ i k ] = 2i ikl l

8

(двойка в этом соотношении связана с тем, что sˆi (1/ 2) i ).

9

Модуль 5: Спин Лекция 5-3. Операторы спина

Как это обсуждалось на прошлой лекции, элементарные частицы могут обладать собственным моментом импульса, не связанным с их движением в пространстве, который называется спином. Спин элементарной частицы есть такая же ее неотъемлемая характеристика,

как масса и заряд, и потому ни в каких процессах, происходящих с этой частицей, спин не может меняться. А вот проекция вектора спина на любую фиксированную ось может меняться в том смысле, что вероятность обнаружить те или иные значения проекции спина могут зависеть

от времени или меняться от точки к точке.

Поэтому для описания спина вводится спиновая волновая функция, аргументом которой

является дискретная «спиновая координата»	sz , которая		принимает значения, равные
различным возможным значениям проекции спина на ось z		,	а само значение функции при

некотором значении спиновой координаты определяет вероятность того, что спиновая координата — проекция спина на ось z — может быть обнаружена при измерениях. Поскольку спиновая координата дискретна, то вместо введения спиновой координаты в список аргументов волновой функции, ее принято записывать в виде столбца, содержащего 2s 1 компонент ( s —

значение спина)

			C
						1
				C
	(sz )					2				(1)
			...
			...
договорившись, что квадрат модуля верхней компоненты									| C |2	определяет вероятность того,
									1
что частица имеет проекцию спина на ось		z ,			равную			s	(максимальное значение), квадрат
2	определяет вероятность того,									что частица имеет проекцию
модуля второй компоненты | C2 |

спина на ось

z , равную s 1 (второе по величине значение) и так далее.

А как должны быть устроены операторы, действующие на спиновые волновые функции

(и в частности, операторы, отвечающие спину — а согласно принципам квантовой механики

спину должны соответствовать	какие-то операторы)?		Как и всякой векторной физической
величине спину соответствует	некоторый оператор	ˆ	, имеющий три компоненты, причем
		s

можно предположить, что для операторов, отвечающих проекциям спина, справедливы те же коммутационные соотношения, что и для операторов проекций орбитального момента импульса

(здесь и далее в этой главе 1 )

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

sx , sy isz

,

а также

s

2

, sx s

2

, sy

s

2

, sz

0

(2)

Из соотношений (2) следует, что оператор квадрата спина имеет общие собственные функции с одним из операторов проекций, в то время как операторы проекций спина общих

собственных функций не имеют.	Коммутационные соотношения									(2) позволяют найти все
собственные значения операторов	ˆ	2	,	ˆ	,	ˆ	и	ˆ	(мы нашли их,	рассматривая матричную
	s			sx		sy		sz

теорию момента). А именно, собственные значения оператора квадрата спина могут быть

записаны в виде

s(s 1)

, где s — неотрицательное целое или «полуцелое» число (т. е. число

вида 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2 ...). Собственные значения оператора проекции спина на любую ось для

частицы со спином s равны	s s 1,	s 1, ..., s .
В случае частиц со	спином	квантовомеханические операторы физических величин

должны связывать друг с другом различные функции вида (1). При этом, поскольку спин никак не связан с пространственным положением частицы, операторы спина должны связывать различные спиновые функции (то есть «действовать» на спиновую функцию) и никак не затрагивать функции, зависящие от пространственных переменных (не «действовать» на

функции		пространственных координат). Поэтому в общем																виде		результат						действия такого
оператора		ˆ	можно записать как произведение некоторой матрицы на спинор (sz )
		A (sz ) (sz )
				1			a		1	a	2	...			a		a	...		1
								11		12						11	12							1
		ˆ						a21 1		a22		...				a21	a22	...						2		(3)
		A		2							2									2
										...								...
			...												... ...				...					...
где	aij — некоторые числа, являющиеся характеристикой данного оператора. Таким образом,

каждому оператору, действующему на спиновую функцию, соответствует некоторая матрица из чисел aij . Матрицы операторов спина можно найти из следующих соображений.

Согласно основным принципам квантовой механики функции

			1							0						0
			0							1						0
	f (s )				,	f		(s )				,	..., f	(s )				, n 2s 1	(4)
	1 z		0				2	z	0				n	z		...
			...							...						1
являются собственными функциями оператора										ˆ	,	отвечающие собственным значениям sz,1							s ,
										sz
sz,2 s 1 , …,	sz,n s . Действительно, в соответствии с определением спиновой функции в
состоянии с функцией f1(sz ) при измерении проекции спина на ось z																		будет получено значение

2

sz s с единичной вероятностью, и, следовательно, разложение по собственным функциям оператора проекции содержит только одну функцию, отвечающую собственному значению

sz,1 s . При измерении проекции спина в состоянии

f2 (sz )

будет получено значение

sz

s 1

с

единичной вероятностью, и, следовательно, разложение этой функции по собственным функциям оператора проекции содержит только одну собственную функцию, отвечающую

собственному значению	sz,2 s 1	. И т. д. А это значит, что при умножении матрицы оператора
ˆ
sz на любой столбик вида (4) должен получиться он же с множителем, представляющим собой
собственное значение.	Отсюда	следует, что матрица оператора sˆz — диагональна с

собственными значениями на главной диагонали

				s		0	0	...
					0	s 1	0 ...
	sˆ
		z		...		...	...	...
					0	0	0	s
	Далее, из коммутационных соотношений (2) следует, что операторы
	повышающий и понижающий проекцию момента на ось							z :

sˆ	= sˆ	isˆ	y
	x

(5)

—

sˆ	f
sˆ	f

sz sz

=const f

=const f

s	z	1
s	z	1

(6)

Это значит, что при действии на функции (4) оператор	ˆ	поднимает единицу вверх (или дает
	s
тождественный нуль, если он действует на функцию с максимальной проекцией), оператор			ˆ
			s

опускает единицу (или дает тождественный нуль, если он действует на функцию с минимальной проекцией. Константы в формуле (6) можно определить с помощью вычислений, аналогичных вычислениям в матричной теории момента.

Константы в (6) можно найти так. С одной стороны, при действии на функцию

				ˆ		оператора	ˆ ˆ	получится она же с некоторым множителем. С другой стороны
определенным sz							s s
sˆ	sˆ	sˆ2 sˆ2	sˆ	z	. Поэтому
		z

Перебрасывая оператор

fsz sˆ

, sˆ

sˆ

f

s(s 1) s

2

s

s s

z

(s s

1)

s

z

z

z

z

на вторую функцию и учитывая,

что у оператора

sˆ

есть только

околодиагональные матричные элементы, получим (sˆ )sz 1,sz	= (sˆ )sz ,sz 1 =	(s sz )(s sz 1) .

Далее эти константы нам не понадобятся за исключением случая s 1/ 2 , для которого эта

3

константа равна 1.

Давайте используем эти равенства для построения матриц оператора спина для частиц со спином 1/2 (а все стабильные элементарные частицы имеют именно такой спин). Очевидно,

искомые	матрицы представляют собой матрицы				размерности	2 2	( 2s 1 2 ). Матрица
оператора	ˆ	в соответствии с формулой (5) такова
	sz
		sˆz	1	1	0		(7)
			2	0	1

	Для	построения матриц операторов	ˆ	и	ˆ
			sx		s
sˆ sˆx	isˆy	. Поскольку операторы sˆ поднимают или
(или дают тождественный нуль) , получим

y

найдем сначала матрицы операторов опускают единицу в базисных функциях

sˆ	1			0		sˆ	0				1						sˆ	1				0				sˆ	0				0
	0			0				1				0							0			1						1				0
Из соотношений (8) найдем, что
													0		1								0		0
												sˆ		0	0							sˆ		1	0

(8)

(9)

Из формул (9) и определения операторов

ˆ

находим

s

sˆ

sˆ

sˆ

sˆ

sˆ

=

и

sˆ

=

x

2

y

2i

sˆ

sˆ

sˆ

sˆ

1 0

1

1 0

i

sˆ

=

и sˆ

=

sˆ

,

sˆ

x

y

x

y

2

2i

2

1

0

2

i

0

(10)

	ˆ	,	ˆ
Матрицы операторов sx			sy
обозначаются x , y	и	z .

Матрицу оператора проекций момента (7), (10)

и	ˆ	(7), (10) (без множителей 1/2) называются матрицами Паули и
	sz

ˆ2	легко найти, возводя в квадрат и складывая матрицы операторов
s
	ˆ2		3 1		0	(11)
	s
			4	0	1

Матрицу (11) можно было бы получить и по-другому из следующих рассуждений. Поскольку любая спиновая функция для частицы со спином 1/2 (то есть любой двумерный столбец)

является собственной функцией оператора sˆ2 , отвечающей собственному значению

1/ 2 (1/ 2) 1 3/ 4 (так как квадрат вектора спина такой частицы имеет в любом состоянии

4

определенное значение), то матрица оператора	ˆ2	является диагональной, причем диагональные
	s
матричные элементы равны 3/ 4 , то есть матрица оператора			sˆ	2	и есть матрица (11).
Матрицы оператора спина (или матрицы Паули) обладают рядом свойств. Перечислю их.
А. Все матрицы Паули, как матрицы операторов физических величин являются
эрмитовыми.
Б. Для всех матриц Паули выполнено		2			2	2
	условие x		= y			= z = 1 , где 1 — единичная

матрица. Это можно проверить непосредственно. Это утверждение есть следствие того факта,

что квадрат проекции спина частицы со спином ½ в любом состоянии имеет определенное значение (т. к. есть две возможности для проекции спина +1/2 и –1/2, а квадраты обоих этих чисел — ¼).

В. i k k i = 2 ik . В частности, x y = y x , т. е. они антикоммутируют. Алгебра (так называют правила умножения матриц) очень простая — при перестановке матриц просто меняется знак их произведения.

Г. Поскольку матрицы Паули связаны с операторами проекции спина на координатные оси для них выполнены обычные коммутационные соотношения для операторов проекций момента на координатные оси

[	k	] =
i

(двойка в этом соотношении связана с тем, что

2i		ikl		l
sˆ	(1/ 2)				i
i

).

5