Кванты муравьев 1сем

(r)	l(l 1)			(r) 0
		2
l	r		l

Линейно независимыми решениями этого уравнения являются функции

	(r) r	l 1
l

и

	(r) r	l
l

(это проверяется непосредственной подстановкой данных функций в уравнение). Выбираем

«хорошее» решение и заключаем, что при r 0							хорошее решение должно вести себя как				rl 1 .
При r			из уравнения (3) имеем
					(r) 2			(r) 0
					l		l
Отсюда заключаем, что «хорошее» решение при							r		ведет себя как exp( r) .
Перейдем			теперь	в	уравнении (3)			к	новой неизвестной	функции	u(r) :
l (r) r	l 1	exp( r)u(r) .		Идея	такого перехода заключается в том, что					функция	u(r)

оказывается «очищенной» от резких зависимостей и потому ее можно искать в виде достаточно

быстро сходящегося степенного	ряда. Подставляя эту функцию в уравнение (3), получим
уравнение для новой неизвестной	функции u(r) :

		r 2u(r) (l 1)	1 0
ru (r) 2u (r) (l 1)

Ищем решение уравнения (4) в виде степенного ряда

(4)

где

Cn

u(r) Cn r	n
n 0

— неизвестные коэффициенты. Подставляя ряд (5) в уравнение (4), получим

n(n 1)Cn r n 1 2(l 1) nCn r n 1 2 nCnr n (2l 1) Cnr n 0
n 0	n 0	n 0	n 0

(5)

(6)

Меняя в первой и второй суммах индекс суммирования и собирая слагаемые с одинаковыми степенями r , получим рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда (5)

	Cn 1		2 (l n 1) 2		Cn	(7)
			2(l 1)	n (n 1)

Чтобы ряд (5) был решением уравнения (3), рекуррентное соотношение (7) должно быть выполнено для всех номеров. Коэффициент C0 остается свободным.

В отличие уравнения для осциллятора и сферических функций, рекуррентное соотношение определят соседние коэффициенты, а значит, решение (5) не является общим. Это действительно так, поскольку одно из частных решений уравнения (3) при r 0 имеет вид

l (r) r l и, следовательно, не ищется в виде степенного ряда.

2

Для больших номеров n соотношение (7) сводится к

C			2	C
	n 1
			n	n

и, следовательно, для больших номеров ряд (5) имеет вид

(8)

		2
		n
u(r)			r	n	exp(2 r)
		n!
	n 0

(9)

Таким образом, решение уравнения (3)	l (r) r	l 1	exp( r)u(r)	расходится при	r .

Следовательно, чтобы существовали ограниченные решения уравнения (3), ряд (5), (8) должен точно оборваться на каком-то шаге. В этом случае все слагаемые ряда, начиная с некоторого,

будут равны нулю, а функция u(r) является многочленом. Ряд (5), (8) точно обрывается, если

1

(10)

l n 1

где n 0, 1, 2, ... — целое неотрицательное число.

Таким образом, согласно формуле (10) собственные энергии электрона в атоме водорода

определяются соотношением

E

e2

2

e2

, n 0, 1, 2, ... , l 0, 1, 2, ...

2a

2a(n l 1)2

и, следовательно, будут возрастать с ростом

n . Поэтому число n имеет смысл радиального

квантового числа (здесь минимальное

значение радиального квантового числа nr

выбрано

равным нулю). Следовательно, собственные

значения оператора Гамильтона En l

(которые

r

можно отметить двумя индексами nr

и l ) имеют вид

e

2

En ,l

,

nr

0, 1, ,2, ... ,

l 0, 1, 2, ...

(11)

2

r

2a(l n

1)

r

При этом функции u(r) являются многочленами степени nr

(коэффициенты этих многочленов

зависят от числа l , которое входит в рекуррентное соотношение (7)). В математике эти многочлены (с определенной нормировкой) называются обобщенными полиномами Лагерра.

Найдем несколько первых полиномов.

Сначала для уравнения с l 0 .

l 0 , nr 0 . Ряд обрывается на первом слагаемом, если 1. В этом случае unr 0,l 0 (r) C0 , где нулевой коэффициент ряда C0 может быть выбран любым.

3

l 0 ,

nr

1. Ряд обрывается на втором слагаемом, если

1/ 2 . В этом случае C1

C0 / 2, и,

следовательно, un 1,l 0 (r) C0 (1 r / 2) .

r

l 0 ,

nr

2 . Ряд обрывается на третьем слагаемом, если 1/ 3. В этом случае

C1 2C0

/ 3,

C 2C

/ 7

, и, следовательно, u

nr 2,l 0

(r) C (1 2r / 3 2r 2 / 7) .

2

0

0

Уравнение с l 1.

l 1, n

0

. Ряд обрывается на первом слагаемом, если 1/ 2 . В этом случае

u

(r) C .

r

nr 0,l 1

0

l 1, nr

1

. Ряд обрывается на втором слагаемом, если

1/ 3. В этом случае C1

C0 / 6

, и,

следовательно, un 1,l 1 (r) C0 (1 r / 6) .

r

l 1, nr

2

. Ряд обрывается на третьем слагаемом, если 1/ 4 . В этом случае

C1 C0 / 4

,

C2 C0 / 80

, и, следовательно, un 2,l 1 (r) C0 (1 r / 4 r

2

/ 80) .

r

Аналогично можно найти решения, отвечающие любым квантовым числам nr и l .

Как следует из формулы (11), уровни энергии частицы в кулоновском поле можно

перечислить и с помощью одного целого положительного числа N l n 1

:

E

E

N

, при

r

nr l

этом, как следует из этого утверждения, имеет место вырождение состояний по моменту.

Состояния с разными

l

и

nr

вырождены, если сумма квантовых чисел

l

и

nr

для этих

состояний одинакова. Кратность вырождения находится из следующих очевидных рассуждений.

Поскольку l, nr 0 , для уровня с данным				N	момент импульса l		может принимать		N значений
от l 0 до l N 1 . При		этом для		каждого		значения l	существуют	2l 1	состояний,
отличающихся проекций момента импульса на ось						z . Поэтому данному уровню отвечают
	N 1			N 1	N 1
	G(N ) (2l 1) 2 l 1 (N 1)N N N 2								(12)
	l 0			l 0	l 0
различных вырожденных собственных состояний.
Построим волновые функции нескольких первых собственных состояний.
N 1 (основное	состояние).	EN 1 e	2	/ 2a . Значению N 1 отвечает единственная пара
квантовых чисел	nr 0 и l 0 , поэтому основное состояние не вырождено. Волновая функция

основного состояния не зависит от углов и имеет вид (напомним, что во всех нижеследующих

формулах (13)-(18)	r r / a — безразмерный радиус-вектор).
	fnr 0,l 0,m 0 (r, , ) C exp( r)Y00 ( , )		1		exp( r)	(13)
			a3

4

N 2 (первый возбужденный уровень). EN 2	e	2	/ 8a .	Значению	N 2 отвечает две пары
квантовых чисел nr 0 , l 1 и nr 1, l 0 .	Поэтому			первый	возбужденный уровень

вырожден. Волновые функции состояний, отвечающих первому возбужденному уровню имеют вид

fnr 1,l 0,m 0 (r, , ) C 1 r / 2 exp( r / 2)Y00 ( , ) (одна функция)

(14)

fn 0,l 1,m (r, , ) Cr exp( r / 2)Y1m ( , )

(три функции)

(15)

r

N 3

(второй возбужденный уровень).

EN 2 e

2

/18a .

Значению N 3 отвечает три пары

квантовых чисел nr 0 и

l 2 , nr 1 и

l 1,

nr

2 и

l 0 .

Волновые функции состояний,

отвечающих второму возбужденному уровню имеют вид

fn 2,l 0,m 0 (r, , ) C 1 2r / 3 2r

2

/ 27 exp( r / 3)Y00 ( , )

(одна функция)

(16)

r

fn 1,l 1,m (r, , ) Cr 1 r / 6 exp( r / 3)Y1m ( , )

(три функции)

(17)

r

fn 0,l 2,m (r, , ) Cr

2

exp( r / 3)Y2m ( , )

(пять функций)

(18)

r

Обратим внимание на то, что все волновые функции каждого уровня содержат одинаковую экспоненту: exp( r) — для первого, exp( r / 2) — для второго, exp( r / 3) — для третьего и т. д. Это значит, что можно говорить об определенной локализации уровней энергии в

кулоновском поле в пространстве: r 1 — для первого уровня (напомним, что r	здесь —
безразмерная координата, в размерных единицах — r a , где a — боровский радиус),	r 2 —

для второго уровня, r 3 — для третьего уровня и т. д. Благодаря такой локализации функций в пространстве говорят о атомных оболочках — электрон в состояниях с меньшими энергиями находится в среднем ближе к центру поля, чем в состояниях с большими энергиями.

5

Модуль 4: Трехмерное движение Лекция 4-6. Атом водорода (продолжение). Случайное вырождение

Мы остановились на том, что собственные энергии и собственные функции электрона в атоме водорода определяются соотношением

Радиальная функция

	n	,l
	r

E	n	,l
	r

(r)

e

2

,

n

0, 1, ,2, ...

2

2a(l n

1)

r

r

f

(r, , )

n

,l

(r)

Y

( ,

r

n

,l ,m

r

lm

r

определяется соотношением

,

l 0, 1, 2, ...

)

(1)

(2)

где функция

u	,l	(r)
n
r

	n	,l	(r
	r

есть многочлен

) r	l 1	exp(

степени

nr

r)u	,l	(r)
n
r
u(r) Cn r			n

, коэффициенты которого

определяются следующим рекуррентным соотношением1

C		2 (l n 1) 2		C
		2(l 1) n (n
n 1			1)	n
( 1/(nr l 1) ). Давайте найдем несколько первых			собственных
функций и обсудим полученные результаты.

1. Дискретное состояние с минимальной энергией отвечает моменту l

значений и собственных

0	и имеет энергию

				e	2
E
	n	0,l 0		2a
	r

Это состояние является невырожденным.

2. Все остальные уровни энергии будут вырожденными. Во-первых, это вырождение по проекции, и, кроме того, как это следует из формулы (1), имеет место вырождение по моменту

(«случайное» вырождение). Действительно, состояния с разными nr и l , но такими, что у них одинаковая сумма nr l будут иметь одинаковую энергию, как это видно из формулы (1). В

частности, вырожденными являются состояния с					n	1,		l 0	(второе s-состояние) и с n 0 ,
					r				r
l 1 — (первое p-состояние)
							e	2
E			E
	n	1,l 0		0,l 1
			n				8a
	r		r

1 Многочлены, определяющие радиальные волновые функции электрона называются полиномами Лагерра.

1

Вырождены также состояние) и с nr

состояния с nr 2 , l 0 (третье s-состояние), с	nr 1,	l 1 — (второе p-
0 , l 2 (перовое d-состояние)^

							e	2
E		E		E
	2,l 0		1,l 1		0,l 2
n		n		n			18a
r		r		r

И вообще все уровни энергии электрона в атоме водорода перечисляются одним квантовым числом N l nr 1

			e	2
	En ,l					,	(3)
			2aN		2
	r
которое принимает значения	N 1, 2, 3,... (а для энергий состояний с определенным моментом
главное квантовое число принимает значения		N l 1, l 2, l 3,... ). Отмечу, что формулу (3)

получил Нильс Бор еще до создания квантовой механики на основе своих постулатов, и

объяснил спектры излучения атомов. Структура собственных энергий электрона показана на рисунке, на котором я снова показал энергии состояний с разными моментами на разных осях

(слева от каждого уровня показана его энергия в единицах	e	2	/ a ).

		E
		l 0
E	2,l 0
n
r
E		1,l 0
n
r

( 1/ 32) ( 1/18)

( 1/ 8)

		E
		l 1
E
		1,l 1
n
r
E
n	0,l 1
r

( 1/ 32) ( 1/18)

( 1/ 8)

	E
	l 2
E	0,l 2
n
r

( (

1/ 32)1/18)

Enr

El0,l

33

E 0

( 1/ 32)

И т.д.

Enr 0,l 0		( 1/ 2)

3. Найдем кратность вырождения уровней энергии электрона в атоме водорода. Сначала давайте посчитаем для нескольких первых уровней.

Основное состояние, N 1. Поскольку этому состоянию отвечает момент l 0 (кратность вырождения по проекции g 1) и оно невырождено ни с каким состоянием с другим моментом

имеем окончательно

gN 1 1

2

Первое возбужденное состояние,

N 2

. Здесь имеет место вырождение второго s-состояния с

первым p-состоянием. Поскольку кратности вырождения этих состояний по проекции момента равны 1 и 3 соответственно, получаем

gN 2 4

Второе возбужденное состояние,

N 3

. Здесь имеет место вырождение третьего s-состояния

со вторым p-состоянием и с первым d-состоянием. Поскольку кратности вырождения этих состояний по проекции момента равны 1, 3 и 5 соответственно, получаем

		g	N 3	9
Видно, что зависимость должна быть такой		gN N			2	. Докажем это.
Поскольку N l nr 1, а радиальное квантовое число изменяется от nr 0 ,										то данному
уровню энергии с главным квантовым	числом					N	отвечают все состояния		с	моментами
l 0, 1, ..., N 1. Состояние с каждым l	имеет кратность вырождения по проекции									gl	2l 1.
Поэтому кратность вырождения уровня		с	главным				квантовым числом	N	равна		сумме

кратностей вырождения по проекции состояний со всеми моментами, входящими в состав этого уровня

gN	(2l 1) 2l 1 2 (N 1)N				N N 2
	N 1	N 1	N 1
	l 0	l 0	l 0	2

4. Дискретных состояний с каждым моментом существует бесконечно много. Действительно, из формулы (1) заключаем, что даже при nr мы будем получать состояние с отрицательной энергией, т. е. связанное дискретное состояние. Причем это справедливо для любых моментов,

что означает, что в атоме существуют дискретные состояния с любыми моментами. 5. Найдем волновые функции нескольких первых состояний.

Сначала состояния с моментом l 0 .

l 0 , nr 0 . 1 . Собственная энергия и собственная функция определяются формулами

l

0

,

	E			e2	, f		(r, , )	e r
		nr 0,l 0		2a		nr 0,l 0,m
nr	1. 1/ 2 . Собственная энергия и собственная функция определяются формулами

	Enr 1,l 0	e2		r / 2			r
			, fnr 1,l 0,m (r, , ) e		1			.
		8a					2
l 0 , nr	2 . 1/ 3 . Собственная энергия и собственная функция определяются формулами

3

Enr

Состояния с моментом

2,l 0 l 1

		e	2
		18a

.

,

f	n	r	2,l 0,m

(r, , )

e	r / 3		1	2r
				3

2r	2
27

 

.

l

1

,

nr

0

.

1/ 2

. Собственная энергия и собственная функция определяются формулами

l

1

,

	E				e2	,	fn	0,l 1,m (r, , )	re r / 2Y1m ( , ) (три состояния).
		nr 0,l 0			8a
							r
nr	1. 1/ 3		. Собственная энергия и собственная функция определяются формулами

				e	2
E
	n	1,l 0		18a
	r

,

f	n	r	1,l 1,m

(r, , )	re	r / 3	1	r		Y	( , )
				6		1m

(три состояния).

l 1,

nr 2 .

1/ 4

. Собственная энергия и собственная функция определяются формулами

				e	2
E
	n	2,l 0		32a
	r

Состояния с моментом

,

l

f

nr 2,l 1,m 2 .

(r, , )

		r / 4
	re		1

r 4

r	2
			Y	( , )
80			1m

. (три состояния)

l

2

,

nr

0

.

1/

3

. Собственная энергия и собственная функция определяются формулами

l 2 ,

			e	2
	En 0,l 0				,	fn 0,l 2,m (r, , )	2		r / 3	( , )	(пять состояний).
			18a				r	e	Y2m
	r					r
nr	1. 1/ 4 . Собственная энергия и собственная функция определяются формулами

			e	2
E
	1,l 0
n			32a
r

,

f	n	r	1,l 2,m

(r, , )	2	e	r / 4	1	r		Y	( , )
	r
					6		2m

(пять состояний).

И так далее.

6. Из формул (1), (2) следует, что все состояния с одной и той же энергией (независимо от

момента) затухают одинаково. Действительно затухание волновой функции при

r

определяется экспонентой exp( r) . Поэтому характерный радиус распределения вероятностей обнаружения электрона на том или ином расстоянии от ядра есть

	aN a			1/ 1
(в единицах боровского радиуса a	2	2	) ). Но этот же самый параметр			определяет и
		/(me
энергию состояния. Для основного	состояния 1 , следовательно, радиус					атома равен

боровскому радиусу. Для первого возбужденного уровня энергии			1/ 2	(и для состояний с
моментом l 0	и с моментом l 1). Поэтому характерный радиус атома в этом состоянии есть
	aN 2 a	1/ 2

4

т. е. два боровских радиуса. Для всех состояний второго возбужденного уровня следовательно, радиус атома есть

a	N 3	a	1/ 3

1/

3

, и,

т. е. три боровских радиуса. И т. д. Это значит, что все состояния, отвечающие одному уровню энергии, локализованы в пространстве более или менее на одном и том же расстоянии от ядра,

что дает возможность говорить об атомных оболочках.

5

Модуль 5: Спин Лекция 5-1. Матрицы операторов

На сегодняшней лекции мы совершенно забудем о физике и рассмотрим некий математический вопрос. Давайте докажем, что каждому линейному оператору можно поставить в соответствие некоторую матрицу из чисел, размерность которой совпадает с размерностью линейного пространства, в котором действует оператор, и с помощью которой можно найти как

действует этот оператор.

Пусть есть двумерное (для простоты) линейное пространство, в котором задан некоторый

ˆ
оператор A . Оператор задает закон, по которому каждому элементу x линейного пространства
(элементу, на который действует оператор) ставится в	соответствие	элемент y ,	который
получается в результате действия:
ˆ			(1)
Ax y
Пусть в рассматриваемом линейном пространстве задан ортонормированный базис e			и e , и
		1	2
пусть координаты элементов x и y в этом базисе есть	x1 и x2 и y1	и y2 соответственно.

Очевидно, задание закона (1) эквивалентно заданию соотношений между парами чисел, а такие соотношения для чисел суть функции. Это значит, что задание оператора эквивалентно заданию двух функций, дающих координаты получившегося в результате действия оператора элемента от координат того элемента, на который оператор действует:

y		A (x		, x		)
1		1	1		2
y	2	A (x			, x		)
		2	1		2

(2)

Каждому оператору, действующему в двумерном линейном пространстве, соответствуют какие две функции от двух переменных, в трехмерном — три функции от трех переменных.

Если оператор является линейным, то при действии его на сумму функций получится сумма результатов действия, числа можно выносить за знак оператора. Это значит, что функции (2), определяющие данный оператор, должны удовлетворять таким свойствам: их значения от суммы аргументов равны сумме значений от отдельных слагаемых, числа можно выносить за знак функции. А это значит, что функции A1 (x1, x2 ) и A2 (x1, x2 ) должны быть линейными функциями своих аргументов с нулевым свободным членом

	y1	A1 (x1, x2 ) a11x1	a12 x2	(3)
	y2 A2 (x1, x2 ) a21x1 a22 x2

1