Кванты муравьев 1сем

Модуль 3: Момент импульса Лекция 3-2. Простейшие следствия коммутационных соотношений

На прошлой лекции мы доказали справедливость следующих коммутационных

соотношений

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

i

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

(1)

L

, L

i L

L

, L

L

L , L

i L

x

y

z

y

z

x

z

x

y

и

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

0

2

, Lx

2

, Ly

2

, Lz

(2)

L

L

L

На первый взгляд, эти соотношения кажутся весьма странными. Действительно, из факта коммутации квадрата момента с любой проекцией следует, что оператор квадрата момента и

проекции на любую ось имеют общие собственные функции, причем полную систему. А

	ˆ		ˆ		ˆ		ˆ
проекции не имеют. Например,	2	и	Lz	имеют общие собственные функции,	2	и	Ly	имеют
	L				L

общие собственные функции, причем полные системы. Следовательно, все общие собственные

функции операторов

ˆ2

ˆ

ˆ

ˆ

L

и Lz ДОЛЖНЫ быть собственными и для

Ly , и,

следовательно, Lz и

ˆ

Ly имеют полную систему общих собственных функций, чего быть не может…

Разрешается этот кажущийся парадокс следующим образом. Так, как сказано выше, было

ˆ

бы, если бы собственные значения оператора

2

были невырождены. Тогда действительно,

L

ˆ

каждая собственная

функция

оператора

2

должна быть

собственной

и для

любого

L

ˆ

ˆ

2

2

были невырождены,

коммутирующего с L

оператора. И если бы все собственные значения L

ˆ2

были бы собственными и для

ˆ

, и для

ˆ

, и для

ˆ

, чего

то все собственные функции L

L

x

L

L

z

y

действительно быть не может. Это значит, что какая-то часть собственных значений оператора

ˆ2
L является вырожденной. Тогда есть несколько собственных функций, отвечающих одному и
тому же собственному значению.		И тогда определенные линейные	комбинации			этих
		ˆ2				ˆ
собственных функций, оставаясь собственными для L , должны быть собственными для						Lx , но
ˆ	ˆ
не быть собственными для Ly	и Lz . Другие линейные комбинации, оставаясь собственными для
ˆ		ˆ	ˆ	ˆ
2		Ly , но не быть собственными для	Lx	и Lz .	И третьи
L , должны быть собственными для
		ˆ		ˆ	ˆ	. Или,
комбинации должны быть собственными для Lz , но не быть собственными для Lx и					Ly

другими словами, существуют три набора собственных функций

1

			ˆ		ˆ
g 2		— общие собственные для	2	и	Lx
	,l		L
l
	x
			ˆ		ˆ
hl 2 ,ly — общие собственные для			2	и Ly
			L
			ˆ		ˆ
f 2		— общие собственные для	2	и	Lz
	,l		L
l
	z

Причем все три системы — полные, поэтому возможно разложение одних функций по другим.

Например

g	2				C		f	2
		,l			l	z			,l
	l		x					l		z
					l
					z

А коэффициенты согласно основным принципам квантовой механики определяют вероятность

того, что в состоянии с определенным значением lx величина lz принимает те или иные значения.

Рассмотренные коммутаторы позволяют вычислить некоторые средние и понять

некоторые свойства общих собственных функций операторов квадрата момента и его проекции

на какую-то ось. Докажем несколько важных утверждений.

1. Теорема о коммутации запрещает существование полной системы общих собственных

функций у некоммутирующих операторов, но не запрещает их существование вообще. Итак,

			ˆ	ˆ
пусть функция f (x, y, z) является общей собственной функцией операторов Lx				и Ly . Докажем,
	ˆ	ˆ
что она является собственной и для операторов	Lz	2	и отвечает нулевым собственным
		и L
				ˆ
значениям (всем). Поскольку функция f (x, y, z) является собственной функцией операторов Lx
ˆ
и Ly , то

ˆ	f (x, y, z) l		f (x, y, z)
L		x
x

и

ˆ	f (x, y, z) l		f (x, y, z)
L		y
y

(3)

где символами

l	x

и

l

y

обозначены соответствующие собственные значения. Подействуем на функцию

f (x, y, z)

оператором

коммутатор операторов

ˆ
L	z

ˆ

Lx

:

ˆ	f
L
z

и ˆ .

Ly

(x, y, z) . Но оператор

Поэтому

ˆ
L	z

с точностью до множителя есть

ˆ			1					ˆ ˆ	ˆ ˆ
Lz	f (x, y, z)			i			Lx Ly		Ly Lx f (x, y, z)
Учитывая теперь (3), получим
	ˆ					1		lxly	lylx f (x, y, z)
Lz		f (x, y, z)			i

Но в скобках теперь уже не произведения операторов, а произведения чисел. Поэтому

2

ˆ	f (x, y, z) 0 f (x, y, z)
L
z
А это и означает, что рассматриваемая функция является собственной функцией оператора						ˆ
						Lz ,
причем отвечает нулевому собственному значению.
Действуя на эту функцию	коммутатором операторов	ˆ	и	ˆ	и используя
		Lx		Lz

коммутационное соотношение для этих операторов, можно доказать, что собственное значение

ˆ					ˆ
оператора Ly равно нулю. Аналогично доказывается, что и собственное значение оператора					Lx ,
которому отвечает эта функция, тоже равно нулю.
ˆ2	ˆ2	ˆ2	ˆ2
Учитывая, что L	Lx	Ly	Lz , заключаем, что
			ˆ	f (x, y, z)
			2
			L f (x, y, z) 0

Очевидно, что общей собственной функцией всех рассмотренных операторов является любая

функция модуля радиус вектора. Действительно, явные выражения для операторов	ˆ	и	ˆ2
	Lz		L

показывают, что все операторы момента в сферических координатах содержат дифференцирование по углам. Поэтому при действии этих операторов на функцию модуля радиус-вектора получится нуль, что и означает, что эта функцию будет собственной для этих операторов и будет отвечать нулевым собственным значениям.

						ˆ	ˆ
2.		Рассмотрим общую		собственную функцию	операторов Lz		2	f 2		, где
							и L —		,l
								l
									z
символами	l	2	и lz обозначены	соответствующие собственные значения.			Докажем,	что эта
				ˆ	ˆ
				2	2	а для собственных значений
функция является также собственной и для оператора Lx					Ly

выполнены неравенства

l2 lz l 2

Действительно, с одной стороны

ˆ2	l	2	fl2 ,lz
L fl2 ,lz

С другой стороны, поскольку оператор квадрата момента есть сумма операторов квадратов проекций, имеем для рассматриваемой функции

ˆ

ˆ

ˆ

f

l

f

L

L

L

2

2

2

2

x

y

z

2

,l

2

,l

l

z

l

z

Но функция f 2

ˆ

является собственной и для оператора Lz :

l

,lz

(4)

ˆ	f 2		lz	f 2
Lz		,lz			,lz
	l			l

3

Поэтому формула (4) дает

ˆ2

ˆ2

ˆ2

f 2

ˆ2

ˆ2

2

ˆ2

ˆ2

l

2

2

Lx

Ly

Lz

,l

Lx

Ly

lz f 2

,l

Lx

Ly f 2

,l

lz f 2

,l

l

z

l

z

l

z

l

z

ˆ

ˆ

Отсюда и следует, что функция

f

является собственной для оператора

2

2

и отвечает

2

,l

Lx

Ly

l

z

собственному значению

l

2

2

lz . А поскольку это значение есть наблюдаемое значение квадрата

проекции момента на плоскость

(x, y)

, то оно не может быть отрицательным. Поэтому для

собственных значений l 2

и l 2 выполнено неравенство

z

l

2

l

2

z

Откуда для собственного значения lz

и получаются два неравенства

l

2

lz

l

2

(5)

Физически, неравенства (5) являются абсолютно естественными — проекция вектора на любую ось лежит в не может по модулю превосходить его длину.

3.

Пусть частица находится в состоянии с определенным значением проекции

момента на ось

z .

Докажем,

что среднее значение результатов многих измерений проекций

момента на

ось

x

в рассматриваемом состоянии равно нулю.

Это означает, что в результате

многих измерений величины

ˆ

в рассматриваемом состоянии мы будем получать значения,

Lx

равновероятно лежащие при Lx 0 и при Lx

0 .

Действительно, состояние с определенным значением проекции момента на ось

z —

собственное

состояние

оператора

ˆ

:

ˆ

fl

lz

fl

.

Среднее

значение

результатов многих

Lz

Lz

z

z

измерений

проекции

момента

на

ось

x

в

данном

состоянии

можно

найти

по

квантовомеханической формуле для средних

Lx

fl

ˆ

fl

. С другой стороны, оператор

ˆ

z

, Lx

z

Lx с

точностью до множителя есть коммутатор операторов

ˆ

и

ˆ

. Поэтому

L

L

z

y

1

flz

ˆ ˆ

ˆ ˆ

1

ˆ ˆ

1

ˆ ˆ

Lx

i

, Ly Lz

Lz Ly

flz

i

flz , Ly Lz flz

i

flz

, Lz Ly flz

(6)

Поскольку

так

f	l
	z

ˆ

— собственная функция оператора Lz , то первое слагаемое можно преобразовать

1

fl

ˆ ˆ

lz

fl

ˆ

i

z

, Ly Lz

fl

z

i

z

, Ly

fl

z

4

Во втором слагаемом, учитывая эрмитовость оператора

ˆ

, можно «перебросить» его на первую

Lz

функцию. А поскольку собственное значение эрмитового оператора

ˆ

— действительно, имеем

Lz

1

l

z

y

l

1

z

l

y

l

l

l

y

l

f

ˆ

ˆ

f

ˆ

f

ˆ

f

z

f

ˆ

f

i

, L L

i

L

, L

i

, L

z

z

z

z

z

z

В результате из формулы (6) получаем

x

l

z

l

ˆ

y

l

l

z

l

ˆ

y

l

0

L

f

, L

f

i

f

, L

f

i

z

z

z

z

Утверждение доказано. Аналогично можно доказать, что и среднее значение результатов многих измерений величины Ly равно нулю.

Рассмотренные примеры позволяют дать следующую «полуклассическую» интерпретацию состояния с определенным моментом и проекцией на одну из осей. Поскольку проекции не коммутируют, не существует состояния (за исключением состояния с нулевым моментом), в котором вектор момента имел бы определенное («фиксированное») значение — длину и направление. Но существуют состояния, в котором определенное значение имеет длина вектора момента и его проекция на одну из осей. А вот проекции на две другие оси не определены и могут с равными вероятностями принимать как положительные, так и отрицательные значения. Т. е. в таких состояниях вектор момента должен иметь фиксированную длину, но менять положение в пространстве. Причем так, чтобы его проекция на рассматриваемую ось была фиксирована. Для этого вектор момента должен менять направление в пространстве так, чтобы угол между ним и этой осью был фиксирован. Поэтому вектор момента должен быть направленным под фиксированным углом к этой оси и равномерно вращаться вокруг нее, поскольку именно в этом случае измерение длины вектора момента и его проекции на эту ось в любой момент времени дадут определенные результаты; измерения двух других проекций дадут неопределенные и положительные и отрицательные результаты.

5

Модуль 3: Момент импульса Лекция 3-3. Уравнение на собственные значения оператора

ˆ
L	z

До сих пор мы исследовали общие свойства момента. Вычисляли коммутаторы,

средние… Это все хорошо, но без решения уравнений мы все равно не сможем все понять. И

сегодня мы начнем решать уравнения на собственные значения. Напомню, что согласно постулатам квантовой механики собственные значения оператора любой физической величины — это ее наблюдаемые значения, а система собственных функций дает нам базис,

разложение по которому позволяет находить вероятности того, что эти значения будут обнаружены в результате измерений. Поэтому исследование любой физической величины в квантовой механике сводится к установлению ее оператора и решению уравнения на собственные значения и собственные функции этого оператора. Начнем с оператора проекции

момента. Оказывается, что проще эти решения находятся для оператора		ˆ
		Lz (несмотря на то, что
все наши уравнения должны быть абсолютно симметричны по отношению к осям x,			y, z ). Это
связано с тем, что решать уравнения мы будем в сферических		координатах,	которые
несимметричны по отношению к декартовым осям, и уравнение для		ˆ
		Lz оказывается более
простым.
Итак, собственные значения lz и собственные функции fl	удовлетворяют уравнению
	z

		ˆ	f		l			f
		L		l			z		l
		z			z					z
которое мы должны решить в пространстве						непрерывных
сферических координатах оператор	ˆ	имеет вид
	Lz

(1)

и ограниченных функций. В

ˆ

Lz i

(2)

Поэтому уравнение (1) дает

i

flz

l

f

(3)

z

l

z

Поскольку оператор действует только на переменную

, то зависимость решений уравнения (3)

от переменных r,

сводится к умножению на произвольную функцию от этих переменных

fl

(r, , ) f (r, ) fl

( )

z

z

Для функции, зависящей от получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

i

fl ( ) lz fl

( )

(4)

z

z

1

Но уравнение (4) является не просто дифференциальным уравнением, это уравнение на

собственные значения, и неизвестное число		lz				должно быть определено из			условия
существования решений в пространстве непрерывных и ограниченных функций.
Решением уравнения (4) для любого		фиксированного числа					lz	(в том	числе и
комплексного) является функция
			i	l	z
fl	( ) Ce								(5)
	z

(в этом можно убедиться непосредственной проверкой). Чтобы функция (5) была непрерывной и

ограниченной необходимо чтобы эта функция была периодической функцией угла				с
периодом 2 / m , где m — произвольное целое число
		2
flz ( ) flz				(6)
		m

Условие (6) накладывает ограничение на собственные значения lz			:
		lz m		(7)
где	m	— любое целое число (положительное, отрицательное или нуль).		В этом случае

экспонента сводится к тригонометрическим функциям с нужным периодом. Отмечу, что размерность момента совпадает с размерностью постоянной Планка, поэтому все моменты в

квантовой механике выражаются через , квадрата момента — через 2 и т. д.

Таким	образом, собственными значениями оператора			ˆ	являются числа (7), а
				Lz
отвечающими им собственными функциями, — функции
	fm ( ) Ce	im			(8)
(которые далее	я буду отмечать индексом m	fl	fm ). Очевидно,		собственные функции,
			z

отвечающие разным собственным значениям ортогональны

2			2
d f	*	( ) fm ( )	d e	i(m m)	mm
	m
0			0

(16)

Произвольную постоянную C в (15) можно фиксировать из условия нормировки

f		( )	1	e	im
	m		2

Отметим, что нормировочный коэффициент не зависит от m .

(17)

2

Знание собственных значений и собственных функций находить вероятности различных значений проекции момента в например, частица находится в состоянии с волновой функцией

оператора	ˆ	позволяет
	Lz

любом состоянии. Пусть,

Acos	2
где A — постоянная. Измеряют проекцию момента на ось			z . Какие значения можно получить в
результате измерений и с какими вероятностями?
Согласно постулатам квантовой механики		нужно	разложить волновую функцию по
ˆ
собственным функциям оператора Lz . Измерить можно только собственные значения оператора
ˆ
Lz , отвечающие собственным функциям, входящим в разложение. Вероятности этих событий

равны квадратам модулей коэффициентов разложения (при условии, что и волновая функция, и

собственные функции нормированы на единицу). Раскладывая косинус на экспоненты, получим

	ei e i 2				A	e2i e 2i 2
	A
		2			4

Таким образом, разложение волновой функции частицы по собственным функциям оператора

ˆ		содержит только функции	f		( ) ,	f		( ) и	f		( ) . Следовательно, при измерении проекции момента на
L	z			2			2			0

ось

z

в этом состоянии можно обнаружить только значения

Lz 2

m

,

L 2	m
z

и

Lz

0

. Для

нахождения вероятностей заметим, что поскольку нормировочные коэффициенты собственных

функций не зависят от	m , то вероятность того, что будет измерено значение										Lz 0 вчетверо
больше вероятностей того, что будут измерены значения						Lz	2 m и	Lz 2 m , которые равны
друг другу. Поэтому из условия нормировки вероятностей заключаем
	w L 2 m	1	,	w L 2 m	1	,	w L 0		4
	z	6		z	6		z	6

3

Модуль 3: Момент импульса Лекция 3-4. Сферические функции

В сегодняшней лекции мы найдем собственные значения и собственные функции оператора квадрата момента. Но поскольку операторы квадрата момента и его проекции на ось

z	коммутируют, эти операторы	имеют полную систему общих собственных функций. А
собственные функции оператора		ˆ	мы знаем. Поэтому оказывается удобным искать сразу
		Lz

ˆ

2

отдельно.

общие собственные функции указанных операторов, а не исследовать оператор L

Итак, будем решать систему уравнений

i

f (r, , )

l

f (r, , )

z

(1)

2

1

1

2

2

sin

sin

2

2

f (r, , ) l

f (r, , )

sin

где lz и l

2

— соответствующие собственные значения. Уравнение (1) имеет «хорошие» решения

f (r, ) exp(im ) для любых целых чисел

m

при произвольной функции

f (r, )

. Поэтому для

поиска совместных решений уравнений (1)

нужно подобрать функцию

f (r, ) так, чтобы

удовлетворялось второе уравнение (1). Для функции

f (r, )

имеем из второго уравнения (1):

1

f (r, )

m

2

f (r, )

sin

(l

2

/

2

) f (r, ) 0

2

sin

sin

(2)

Поскольку в уравнении (2) ни один из операторов не действует не переменную r , его решение можно искать в виде f (r, ) R(r) ( ) , причем функция R(r) не определяется из уравнения и

может быть	любой, тождественно не равной нулю функцией модуля радиуса-вектора. Для
неизвестной функции ( ) полярного угла из (2) получается уравнение

1 d

d ( )

2

m2

sin

l

( ) 0

(3)

d

sin

2

sin d

где

l

2

l

2

/

2

— безразмерное собственное значение. Из (3) видим, что собственное значение

m входит в уравнение для функции

( ) , которая, следовательно, может быть отмечена

индексом m : ( ) m ( ) . Таким образом, для нахождения всех функций				( )	необходимо
решить уравнение (3) для всех возможных значений m (любые целые). Однако,					поскольку в
уравнение		(3) входит m2 , уравнения для m и m — одинаковы,		и, следовательно,
( )			( ) .
m	m

1

Рассмотрим сначала уравнение (3) для				m 0 .	Введем новую
которая изменяется в интервале 1 x 1. Очевидно sin d dx								,	sin
из уравнения (3) получим уравнение
1 x	2					2	(x) 0
			(x) 2x (x) l
которое нам надо решить в области 1 x 1.
Будем искать решения уравнения (4) в виде ряда по степеням x
			(x) Cn x
				n
			n 0

	переменную			x cos ,
2	1 x	2	. В результате
				(4)

(5)

Подставляя ряд (5) в уравнение (4), получим

Cn n(n 1)x	n 2	Cnn(n 1)x	n	2 Cnnx	n	l	2	Cn x	n	0
n 2		n 0		n 0				n 0

(6)

(В первом и втором рядах суммирование, фактически, производится от n

два слагаемых равны нулю. В первом ряду нам удобнее написать начало

n 2	; во втором ряду начало суммирования мы оставили, таким же как
формулах). Меняя в первой сумме индекс суммирования n k 2						, получим
	Ck 2 (k 2)(k 1)x	k	Cnn(n 1)x	n	2 Cnnx	n	l	2	Cn x	n
	k 0		n 0		n 0				n 0

2	, так как первые

суммирования от и в предыдущих

0

(7)

Чтобы степенной ряд (7) тождественно равнялся нулю коэффициенты обращались в нуль, то есть

			Cn n(n 1) l	2
C
	n 2		(n 2)(n 1)

необходимо, чтобы все его

(8)

Таким образом, для коэффициентов ряда (5) справедливо рекуррентное соотношение (8),

связывающее отдельно четные и нечетные коэффициенты. Два первых коэффициента C0 и C1

остаются свободными (как произвольные постоянные в общем решении дифференциального

уравнения второго порядка (4)). Для больших значений индекса			n	рекуррентное соотношение
(8) (независимо от собственного значения l	2	) имеет вид:
	Cn 2 Cn			(9)

то есть определяет геометрическую прогрессию, которая расходится при x 1. Однако при некоторых значениях l 2 ограниченные решения уравнения (4) все-таки существуют.

Действительно, как следует из (8), если l 2 j( j 1) , где j — целое неотрицательное число, ряд

2