Кванты муравьев 1сем

E(t) =	dx * (

Подставляя в качестве волновой функции системы

ˆ x, t)H

(x,t)

(x, t)

(11)

выражение (9) и учитывая, что функ-

ции

f	(x)
n
	E(t

являются собственными функциями гамильтониана, получим

E

E

E

E

n

n

i

n

t

ˆ

m

m

i

m

t

n

i

n

t

m

i

m

t

m

n

m

) =

dx

C

*

f

*

(x)e

C

f

(x)e

*

C e

E

dxf

*

(x) f

(x)

H

C e

n

m

n

m

(12)

Поскольку функции fn (x) ортогональны, в сумме остаются только диагональные слагаемые, из которых «уходит» время. Отсюда и следует сделанное выше утверждение (подробнее о величи-

нах, средние значения которых не зависят от времени в любых состояниях и которые называют-

ся интегралами движения см. следующую лекцию).

Отметим еще одно важное обстоятельство, связанное со стационарными состояниями.

Поскольку общее решение (9) представляет собой разложение по собственным функциям опера-

тора Гамильтона, то согласно постулатам квантовой механики величины

C	n	f	(q)e
		n

	E	2
i	n	t

	C	2
		n

представляют собой вероятности различных значений энергии. Поэтому при измерении энергии системы в стационарном состоянии можно обнаружить единственное значение, и, следователь-

но, энергия в стационарном состоянии всегда имеет определенное значение.

3

Модуль 1: Основные принципы квантовой механики Лекция 1-15. Интегралы движения в квантовой механике

Эволюция квантовой системы во времени определяется временным уравнением Шредин-

гера

i		ˆ	(1)
	t	= H

Поскольку это уравнение является уравнением первого порядка по времени, для однозначного нахождения решения необходимо задать волновую функцию системы в начальный момент вре-

мени (x,t 0).

Как было показано в предыдущей лекции, в случае, когда гамильтониан не зависит явно от времени, общее решение уравнения (1) может быть найдено через решения стационарного урав-

нения Шредингера

		(x,t) Cn fn (x)e i	En	t
					(2)
		n
где fn (x)	— собственные функции оператора Гамильтона,		En		— соответствующие собствен-
ные значения, Cn		— произвольные постоянные.

Сегодня мы ответим на вопрос, в каких ситуациях средние значения результатов многих

измерений физических величин не зависят от времени. В любое среднее

		dx * (x, t) A (x, t)	(3)
	A
время, вообще говоря, входит (по координатам проинтегрировали			— время осталось). Через

волновые функции и даже оператор (который в принципе тоже может зависеть от времени —

например оператор потенциальной энергии, если U

— функция времени). А бывают ли ситуа-

ции, когда средние от времени не зависят? (на наблюдаемом языке это означает следующее:

есть несколько тождественных систем, измеряем некоторую величину во всех системах в один момент времени, получаем разброс, усредняем результаты измерений, получаем среднее в этот момент. Потом тоже самое делаем для ансамбля тождественных систем в другой момент време-

ни, усредняем, получаем среднее в другой момент и т. д. Вопрос: зависит ли среднее от време-

ни).

Издесь мы должны выделить несколько ситуаций.

(1)Во-первых, пусть оператор от времени. Тогда зависимость от времени пропадает, если состояние стационарное.

1

(2)А бывают ситуации, когда состояние нестационарное, но зависимость от времени пропа-

дает. Рассмотрим например, такое состояние некоторой квантовой системы, в котором энергия принимает два значения. Тогда волновая функция имеет вид

	i	E t	i	E	t
		1		2
(x, t) C1 f1 (x)e		C2 f2 (x)e			(4)

Среднее значение некоторой величины находим по квантовомехагнической формуле для сред-

них через оператор

*

ˆ

A(t)

(x, t) A (x, t)dx

i

E t

i

E

t

i

E t

i

E

t

1

2

ˆ

1

2

C

*

f

*

(x)e

C

*

f

*

(x)e

C

f

(x)e

C

f

(x)e

dx

2

2

A

2

2

1

1

1

1

( E E

)t

2

ˆ

2

ˆ

i

2

1

* ˆ

C

f

*

(x)dx

C

f

*

(x)dx C C

*

e

f

dx к.с.

A f

2

2

A f

2

2

1

Af

1

1

1

1

2

(5)

(к.с. означает комплексно сопряженное выражение). Время в эту формулу может входить толь-

ко в «перекрестное» слагаемое. Поэтому если оно равно нулю, то зависимости от времени — нет. А для этого должно быть выполнено условие

	1			2
	f	* ˆ
			Af dx 0

И это зависит от оператора и конкретных собственных функций.

(3) А бывают ли ситуации, когда среднее не зависит от времени для любых состояний? Если это имеет место, такую величину мы будем называть интегралом движения. Чтобы исследовать вопрос об интегралах движения, найдем оператор производной физической величины по време-

ни.

Пусть есть некоторая физическая величина					A и ей соответствует оператор		ˆ
							A . Найдем,
						ˆ
какой оператор будет соответствовать величине A , то есть найдем оператор A .
По определению в любом состоянии должно быть выполнено следующее равенство:
			d
	A	=			A		(6)
			dt

Далее воспользуемся квантовомеханической формулой для средних и временным уравнением

Шредингера. В результате получим следующее

* ˆ

d

d

* ˆ

* A

ˆ

ˆ

*

A

dx A =

dx

A A

=

(7)

dt

dt

t

t

t

Для производных волновой функции по времени пользуемся уравнением Шредингера

2

ˆ

*

ˆ

*

H

i

i

t

и

t

H

Поэтому формулу (7) можно продолжить так

A

A

H

H

i

= dx

ˆ

ˆ

*

ˆ

* ˆ

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

*

*

*

t

i

A A

i

= dx

t

(HA

AH )

Отсюда следует, что оператор производной по времени есть

(8)

ˆ	ˆ		i	ˆ ˆ
	A
A =	t			[HA]

(9)

Из формулы (9) следует, что если оператор некоторой физической величины не зависит явно от времени и коммутирует с оператором Гамильтона, то среднее значение данной физической ве-

личины не зависит от времени в любом состоянии, поскольку производная от среднего значения равна нулю:

d

A

i

A A dx

*

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

0

dt

t

(HA AH )

Здесь можно провести определенную аналогию с классической механикой. В классической

механике для производной функции

f (q, p,t)

динамических переменных — координат и им-

пульсов — по времени справедливо соотношение:

где H (q,

функции

сической

df	=	f	{Hf }
dt		t
p) — функция Гамильтона, {Hf }	— скобка Пуассона функции Гамильтона			H (q, p) и
f (q, p,t) . Из этой формулы следует, что при переходе от квантовой механики к клас-
коммутатор операторов переходит в их классическую скобку Пуассона

	ˆ ˆ			{Hf }
i Hf

Таким образом, физическая величина является интегралом движения оператор, если опе-

ратор этой величины не зависит явно от времени и коммутирует с оператором Гамильтона.

В качестве примера рассмотрим сохранение четности. Оператор четности, действующий в пространстве функций одной переменной, был определен в лекции 1. В трехмерном случае опе-

ратор четности меняет знак всех аргументов волновой функции

ˆ	(10)
P (r ) = ( r )
Очевидно, оператор четности имеет два собственных значения	— это +1 и –1. Действи-

тельно, подействуем на уравнение на собственные значения и собственные функции оператора

3

четности

ˆ

(11)

Pf p (r ) = pf p (r )

оператором четности (здесь p

— собственное значение оператора четности, f p (r )

— отвеча-

ющая ему собственная функция)

ˆ

2

f p

ˆ

2

f p

(r )

(12)

P

(r ) = pPf p (r ) p

ˆ

2

ˆ

В результате с учетом того, что P

(r ) = P ( r ) (r ) , имеем

p

2

1

p 1

и

p 1

(13)

Очевидно, собственные функции, отвечающие собственному значению

p 1

— любые чет-

ные функции, отвечающие собственному значению

p 1 — любые нечетные. Среднее значе-

ние оператора четности в любом состоянии

(r )

p

*

ˆ

*

(r ) ( r )dr

(14)

(r )P (r )dr =

показывает, насколько волновая функция этого состояния близка к четной или нечетной функ-

ции. Действительно, если волновая функция четная из (14) и условия нормировки получаем, что

p 1. Если волновая функция нечетная —

p 1.

Рассмотрим частицу, движущуюся в некотором потенциале U (r ) . Если потенциальная энергия не меняется при преобразовании четности, то оператор инверсии коммутирует с га-

мильтонианом		ˆ ˆ		= 0	:
		PH

ˆ

2

d

2

2

P

2

U (x)

f (x)

f ( x) U ( x) f ( x)

2m dx

2m

2

d

2

ˆ

2

2m dx

2

U (x)

Pf (x)

2m

f ( x) U (x) f ( x)

И разность равна нулю, если потенциальная энергия — четная функция. В этом случае четность является интегралом движения. В частности, если потенциальная энергия четная функция, а

волновая функция частицы в начальный момент времени имеет определенную четность (являет-

ся либо четной, либо нечетной функцией координат), то она останется таковой и любой после-

дующий момент времени.

В заключение этой лекции подчеркнем, что для сохранения физической величины в кван-

товой механики нужна независимость от времени ее среднего значения, результаты же отдель-

ных измерений могут быть различными. Для иллюстрации этого утверждения рассмотрим со-

стояние

4

E t

E t

1

i

1

1

i

2

(x, t) =

f1 (x)e

f2

(x)e

(15)

2

2

где E1

и

E2

- собственные значения не зависящего от времени оператора Гамильтона,

f1 (x) и

f2 (x)

— отвечающие им нормированные собственные функции. Согласно основным принци-

пам квантовой механики энергия в состоянии (15) определенного значения не имеет, и при из-

мерениях могут быть получены два значения

E1

и

E2

с одинаковыми вероятностями. Это зна-

чит, что мы не можем утверждать, что результаты любых измерений энергии будут одинаковы-

ми. Можно утверждать, что если выполнить много измерений над ансамблем тождественных квантовых систем с волновой функцией (15) в некоторый момент времени и усреднить эти ре-

зультаты, то это среднее значение не будет зависеть от времени. Для рассматриваемого состоя-

ния согласно основным принципам квантовой механики имеем

E	1	E	1	E		E E
						1	2
	2	1	2	2			2

5

Модуль 2: Одномерное движение Лекция 2-1. Общие свойства решений уравнения Шредингера в случае одномерного движения

Рассмотрим теперь частицу, движущуюся в некотором одномерном потенциале U (x) , не зависящем от времени. Как с точки зрения принципов квантовой механики нам описать ее со-

стояние и наблюдаемые величины? Общие принципы квантовой механики говорят, что нам в любом случае нужна волновая функция частицы, которую мы можем найти из решения уравне-

ния Шредингера. А затем, уже зная волновую функцию, мы можем проводить ее разложение по системам собственных функций тех или иных операторов, для нахождения вероятностей и средних различных наблюдаемых величин. Но волновые функции всех возможных состояний частицы описываются соотношением

					E	t
	n			i	n
(x,t)		n	(x)e
	C	f
	n

(1)

где Cn — произвольные числа, En и	fn	— собственные значения и собственные функции опе-
ратора Гамильтона частицы (стационарного уравнения Шредингера):
		ˆ	(2)
		Hfn En fn

Поэтому для построения всех решений временного уравнения Шредингера необходимо знать все решения стационарного уравнения Шредингера (2).

Кроме того, это уравнение позволяет найти возможные значения энергии, и дает полную систему решений, разложение по которой позволяет находить вероятности различных значений энергии. Поэтому, фактически вся информация, необходимая для ответов на вопросы, которые разрешает ставить квантовая механика, содержится в уравнении (2). Начнем изучение этого

уравнения с одномерного случая.

Используя

явное

выражение для

гамильтониана

частицы, движущейся

в потенциале

U (x) перепишем уравнение (2)

2

d

2

2m

E U (x) f (x) 0

U (x) f (x) Ef (x)

f

(3)

2m dx

2

(x)

2

(чтобы не загромождать уравнение, я убрал индекс

n у собственного значения и собственной

функции, тем более, что заранее мы не знаем дискретный или непрерывный спектр решений мы получим). Уравнение (3) представляет собой линейное однородное дифференциальное уравне-

ние второго порядка с переменными коэффициентами. Но не только! Ведь это уравнение на собственные значения, и один из коэффициентов (число E ) нам неизвестно. Поэтому вопрос

1

здесь стоит по-другому. Из условия существования решений уравнения (3) нужно найти такие значения E , при которых существуют решения уравнения (3). Эти значения мы должны объ-

явить собственными значениями, а решения дифференциального уравнения (3) для каждого собственного значения — собственными функциями. Кроме того, постулаты запрещают раз-

рывные или расходящиеся решения. Поэтому при решении уравнения (3) вопрос ставится так:

найти такие значения E , при которых уравнение (3) имеет конечные и непрерывные во всех точках решения (собственные значения) и сами эти решения (собственные функции).

Понятно, что требования конечности и непрерывными являются главными с точки зрения поиска собственных значений. Действительно, уравнение (3), как это следует из теорем суще-

ствования решений таких дифференциальных уравнений, имеет два линейно независимых ре-

шения при любых коэффициентах (т. е. при любых значениях

E ). Поэтому для поиска соб-

ственных значений необходимо не только решить уравнение (3) для любых значений

E . Нужно

провести исследование этих решений на предмет существования у них особенностей, и выбро-

сить те решения и те значения энергии E , при которых хороших решений нет.

Таким образом, для общего анализа решений уравнения (3) необходимо найти особые точ-

ки уравнения, и исследовать поведение решений вблизи особых точек уравнения. Особыми точ-

ками уравнения (3) являются особые точки потенциала и бесконечно удаленные точки. Если по-

тенциал не имеет особенностей, то необходимо исследовать решения только в бесконечно уда-

ленных точках. А такое исследование может быть проведено в общем виде (без конкретных по-

тенциалов), поскольку на больших расстояниях взаимодействия исчезают, и, следовательно,

функция U (x ) стремится к некоторым постоянным, допуская точное решение уравнения

(3) и проведения анализа его решений.
Пусть потенциальная энергия частицы U (x) яв-			U (x)
ляется ограниченной функцией при всех конечных					U1
значениях координат. Также пусть	функция	U (x)			x
стремится на бесконечностях к некоторым постоян-
ным, одну из этих постоянных без ограничения общ-
ности можно выбрать равной нулю (изменяя начало			U	0
отсчета энергий):
U( ) U1	Umin	U0	U ( ) 0		(4)
Докажем, что все собственные значения		E лежат выше уровня Umin . Для этого возьмем
произвольное состояние (x) . Очевидно,

2

				2	U (x) > U0
	U = dx | (x) |
	Поэтому
		p	2
	H			U E U
		2m				0

(5)

(6)

(так как среднее значение квадрата оператора импульса неотрицательно). Поскольку неравен-

ство (6) выполнено для любого состояния (x) , а для собственных состояний гамильтониана его среднее значение равно соответствующему собственному значению, то весь спектр соб-

ственных значений лежит в области

E U0 .

Докажем теперь, что при энергиях U0 < E < 0

могут существовать только дискретные соб-

ственные значения. Для этого рассмотрим

асимптотику

уравнения (3)

при

x . При

U0 < E < 0 асимптотики уравнения (3) имеют вид

при x

f

(x) k

2

f (x) 0

1

при x

2

f (x) 0

(7)

f (x) k2

2

2

0 ,

2

2mE /

2

0

— постоянные. Как легко проверить, частными

где k1 2m(E U1 ) /

k2

решениями уравнений (7) являются функции

exp( | k1 | x) и

exp(| k1 | x) на

и

exp( | k2 | x) и

exp(| k2 | x)

на . Это значит, что общее решение уравнения (3) содержит растущую и затуха-

ющую при

x

экспоненты. Чтобы решение было конечным при

x

, необходимо от-

бросить растущие решения, или, другими словами, наложить на решения два дополнительных условия: одно при x , второе — при x .

Поскольку уравнение (3) является дифференциальным уравнением второго порядка, его общее решение зависит от двух произвольных постоянных, причем одна из них всегда может быть выбрана как общий множитель, так как уравнение (3) однородно. Поэтому одновременно удовлетворить двум указанным граничным условиям, подбирая произвольные постоянные в общем решении, вообще говоря, невозможно. Действительно, так как одна из постоянных явля-

ется множителем, то условия конечности решения при x могут дать только нулевое зна-

чение этой постоянной, то есть привести к тривиальному решению f (x) 0 . Поэтому ненуле-

вые ограниченные решения уравнения (3) при E U ( ),U ( ) , вообще говоря, не существуют.

Однако, может оказаться, что при определенных значениях энергии E некоторое ненулевое ре-

шение удовлетворяет обоим граничным условиям, при этом общий множитель в решении оста-

ется неопределенным (может оказаться, что таких значений E не существует). Эти значения E

3

и будут собственными значениями оператора Гамильтона, а соответствующие ограниченные решения — собственными функциями. Таким образом, при E U ( ),U ( ) спектр собствен-

ных значений (если они существуют) дискретен, а отвечающие этим собственным значениям собственные функции затухают при x . Из этих рассуждений также очевидно, что крат-

ность вырождения дискретных собственных значений равна единице, то есть для каждого соб-

ственного значения существует единственная (с точностью до множителя) собственная функ-

ция. Собственные состояния оператора Гамильтона, отвечающие дискретному спектру, принято называть уровнями энергии. Поскольку волновые функции дискретных состояний убывают при

x , то вероятность обнаружить частицу при

x

равна нулю. По этой причине дис-

кретные состояния принято называть связанными (потенциал удерживает — связывает — ча-

стицу и не отпускает ее на большие расстояния).

Рассмотрим теперь уравнение (3) при U ( ) E U ( ) . В этом случае асимптотика урав-

нения (3) при			x также имеет вид (7), однако в области x	2	0 , а в области
				k1
x k2	2	0	. Поэтому решениями уравнения (3) в области x являются тригонометри-

ческие функции sin k2 x и cos k2 x , в области x — растущая и затухающая экспоненты.

Следовательно, при рассматриваемых значениях E требования конечности накладывают только одно дополнительное условие на решения. Этому условию можно всегда удовлетворить, подби-

рая нужным образом одну из произвольных постоянных в общем решении дифференциального уравнения (3). Это значит, что в рассматриваемом случае для любого значения E существует конечное решение уравнения Шредингера, причем на той бесконечности, где E U , это реше-

ние представляет собой линейную комбинацию тригонометрических функций и, следовательно,

не затухает. Таким образом, любое число E из интервала U( ) U( ) является собственным значением гамильтониана, то есть спектр собственных значений непрерывен. При этом все эти собственные значения невырождены, поскольку общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные, одна из которых фиксируется услови-

ем конечности собственной функции на той бесконечности, где E U , а вторая является мно-

жителем, который никак не может быть определен из уравнения, поскольку оно однородно.

Если выполнены оба неравенства E U ( ) , E U ( ) , то никаких ограничений на реше-

ние уравнения (3) требования конечности не накладывают, и ограниченные незатухающие ре-

шения существуют при любом значении величины E . Очевидно, в этом случае собственные значения двукратно вырождены, так как дифференциальное уравнение второго порядка имеет

4