Кванты муравьев 1сем

При этом как легко сообразить, коэффициенты разложения (как функции собственного значения) совпадают с расклладываемой функцией (как функцией координаты). Как это и должно быть, поскольку и функция (x) и функция C(a) определяют вероятности различных значений координат согласно постулату № 1 и № 4 (с модификацией на непрерывный спектр) соответственно.

В заключение этой лекции отметим, что вся вышеприведенная логика (операторы, соственные функции, разложения) непосредственно переносится на y и z координаты частицы. В

частности, операторами	y и z координат являются операторы умножения функций на соответ-
ствующие аргументы,	собственными функциями – дельта-функции от y и z ( ( y b) и
(z c) ) и т. д.

2

Модуль 1: Основные принципы квантовой механики Лекция 1-9. Оператор импульса. Импульсное представление волновой функции

Оператор импульса задавался постулативно:			ˆ	i	(d / dx) . Уравнение на собственные
			px
значения этого оператора имеет вид
i		(x) pg p		(x)	(1)
	gp

где p — собственное значение, g p (x) — соответствующая собственная функция. Очевидно,

при любом p уравнение (1) имеет единственное (с точностью до множителя) решение

		i	px
	gp (x) = Ce		(2)

Чтобы функция (2) была конечна, число p должно быть действительным (в противном случае либо на «плюс бесконечности), либо на «минус бесконечности» функция будет расходиться и по определению не будет собственной). Поэтому собственные значения оператора импульса —

любые действительные числа. Таким образом, спектр оператора	ˆ	непрерывен: < p <	.
	p
Как функции, отвечающие непрерывному спектру собственных значений, функции			g p (x)

ненормируемы — интеграл от квадрата каждой расходится. Их можно нормировать на	-
функцию. Используя известный интеграл

			dx 2 (k )
	e	ikx
заключаем, что функции
					1			i	px
	g p (x) =						e
					2
нормированы на -функцию от импульса
	*
	g p (x)g p ( x)dx = ( p p )

(3)

Собственные функции оператора импульса, как и любого эрмитова оператора, образуют полную систему функций или базис в пространстве волновых функций квантовых систем. Вол-

новую функцию любого состояния (x) можно разложить по этому базису, причем это разло-

жение будет разложением в интеграл, поскольку собственные функции оператора импульса об-

разуют непрерывный базис. Это разложение имеет вид

1

		1	ei	p	x
(x) =	dpC( p)
		2

(4)

где C( p)	— «коэффициенты» разложения, представляющие собой функцию непрерывной пе-
ременной	p . Математически что разложение (4) — это разложение в интеграл Фурье. «Коэф-
фициенты» разложения — функция C( p) — может быть найдена следующим образом
	C( p) = dxg*p (x) ( x)	(5)

Эта формула получается домножением разложения (4) на комплексно сопряженную функцию

оператора импульса	*	( x)	и интегрированием по координатам с использованием условия нор-
	g p
	0
мировки (3)

0

(x) (x)dx =

0

C( p)

(x) (x)dx

g

*

dpC( p)

g

*

(x)g

(x)dx

g

*

p

p

p

p

Согласно постулатам квантовой механики квадрат функции

C( p)

представляет собой плот-

ность вероятности обнаружения различных значений импульса

2

dp

(6)

dw( p) | C( p) |

Сравнивая формулу (6) с определением волновой функции в координатном представлении за-

ключаем, что функция C( p) также имеет смысл волновой функции, но определяющей вероят-

ности различных значений импульса. Она называется волновой функцией в импульсном пред-

ставлении. С математической точки зрения формула (5) — это обращение преобразования

Фурье (а функция C( p) — Фурье-образ функции	(x) ).
Принципы квантовой механики можно сформулировать на языке импульсного представ-
ления. Действительно, каждое состояние квантовой системы описывается функцией		(x) ,
Пространство состояний	Пространство состояний
координатное представление	импульсное представление

	(x)
	1
3	(x)
		(x)
	2

C1( p)

C2 ( p)

C3( p)

2

которая определяет вероятности различных значений координат, а каждой такой функции отве-

чает коэффициент разложения по собственным функциям оператора импульса. Поэтому каждо-

му состоянию квантовой системы отвечает функция C( p) , которая определяет вероятности раз-
личных значений импульса.
Далее. Множество функций	C( p)	образует линейное пространство, поскольку множе-

ство ( x) — линейное пространство, а связь между функциями

(x)

и C( p)

— линейна.

В пространстве координатных функций действуют операторы физических величин, свя-

зывающие разные элементы этого пространства

				ˆ		( x)		( x)
				A			2
				x	1
где	ˆ	— оператор величины	A	в координатном представлении (т. е. тот оператор, который
	Ax

существует согласно постулатам квантовой механики). Определим оператор этой величины в импульсном представлении как оператор, действующий в импульсном пространстве, так, что

при действии его на образ функции	1(x) получится образ функции 2 (x) :
	ˆ
	A C ( p) C ( p)
	p 1	2
где C1	( p) 1	(x) и C2 ( p) 2 (x)
Из этого определения очевидно, что ВСЕ собственные функции оператора			ˆ	являются образа-
			Ap
ми собственных функций оператора	ˆ
	Ax на импульсное пространство. Причем отвечают они тем

же самым собственным значениям, что сохраняет совокупность наблюдаемых величин, опреде-

ляемых через решение уравнений на собственные значения в импульсном пространстве. Поэто-

му собственным функциями оператора импульса в импульсном представлении будут функции

1

i

p p

0

0

0

c

( p) =

dxg

*

(x)g

(x)

e

x ( p p

)

p

p

p

2

0

где

cp

( p)

— собственная функция оператора импульса, отвечающая собственному значению

0

p0 , в импульсном представлении. Эта функция является собственной для оператора умножения

на импульс, который и будет, таким образом, оператором импульса в импульсном представле-

нии

pCˆ	( p) pC( p)

Установить этот оператор можно было бы и из физического смысла волновой функции в им-

пульсном представлении и квантовомеханической формулы для средних (аналогично установ-

3

лению оператора координаты в координатном представлении):

p C* ( p) pCˆ

( p)dp p C( p) 2 dp

pˆ p

Найдем оператор координаты в импульсном представлении. Его собственными функциями яв-

ляются образы собственных функций в координатном представлении в импульсном простран-

стве. Поэтому

1

i

p

x

1

i

a

p

a

p

a

( p)

(x)dx

(x a)dx

c

g

*

(x) f

e

e

2

2

где

ca ( p)

— собственная функция оператора координаты, отвечающая собственному значению

a , в импульсном представлении. Оператором, действующим на импульс, для которого эта функция является собственной, является следующий оператор (это проверяется непосредствен-

	но)
	i	d
		dp

который и является таким образом оператором координаты в импульсном представлении.

	xˆ		i	d
		p		dp

Подведем итоги. Любое состояние частицы однозначно характеризуется как волновой функцией (x) , так и «коэффициентами» разложения C( p) функции (x) по собственным

функциям оператора импульса

g p (x) , причем согласно постулатам квантовой механики функ-

ция

C( p)

определяет вероятности различных значений импульса и называется волновой функ-

цией в импульсном представлении. Функции (x) и C( p)	обладают одинаковыми свойствами.
Благодаря линейной связи (x) и C( p) , для функций C( p)	справедлив принцип суперпозиции:

если возможны состояния, которые описываются (в указанном выше смысле вероятностей им-

пульсов) функциями C ( p)	или	C	( p) , то возможно и состояние, в котором вероятности раз-
1		2

личных значений импульса определяются линейной комбинацией a1C1( p) a2C2 ( p) . Можно определить операторы физических величин, действующие в пространстве функций, зависящих от импульса (операторы в импульсном представлении), причем операторы одной и той же вели-

чины в разных представлениях имеют одни и те же собственные значения, а собственные функ-

ции любых операторов в разных представлениях связаны, как и любые другие функции разло-

жением по собственным функциям соответствующих операторов.

Проведенное рассмотрение показывает, что для анализа любой квантовомеханической за-

4

дачи можно использовать не только координатное, но и импульсное представление, причем по-

следнее обладает теми же свойствами, что и первое. При этом и многие формулы координатного

иимпульсного представления (например, операторы координаты в импульсном представлении

иимпульса в координатном) очень «симметричны». Последнее аналогично известному из клас-

сической механики подобию координаты и импульса, причем, как и в случае классических уравнений Гамильтона, отличие импульсов от координат сводится к разным знакам.

Можно построить и волновые функции состояний физических систем, и операторы физи-

ческих величин в представлении любой физической величины. Аргументами таких функций яв-

ляются все возможные значения рассматриваемой величины (то есть все собственные значения ее оператора), а значения волновых функций при каждом значении аргумента определяют веро-

ятность этого значения аргумента. При этом волновые функции в представлении величин, обла-

дающих дискретным спектром собственных значений, должны быть отличны от нуля только при таких значениях аргумента, которые совпадают с одним из собственных значений оператора этой величины (так как вероятности обнаружить другие значения этой величины равны нулю).

Поэтому такие функции зависят от дискретной переменной и, фактически, представляют собой счетное множество чисел (конечное или бесконечное в зависимости от числа собственных функций оператора), представляющих собой коэффициенты разложения волновой функции по собственным функциям оператора этой физической величины.

В заключение этой лекции отметим, что вся вышеприведенная логика (операторы, соб-

ственные функции, разложения) непосредственно переносится на проекции импульса на оси y

и

z

. В частности, операторами

pˆ	y

и	ˆ		в координатном представлении являются операторы
	pz
	pˆ		i		,	pˆ		i
		y					z		z
				y

5

Модуль 1: Основные принципы квантовой механики Лекция 1-10. Теорема о коммутации

Исследуем теперь вопрос о существовании общих собственных функций у разных опера-

торов. Этот вопрос решается теоремой о коммутации операторов. Сформулируем и докажем ее

в несколько шагов.

ˆ	ˆ	коммутируют		ˆ ˆ		= 0 . И пусть какое-то собственное значе-
1. Пусть операторы A и	B			AB
ˆ								ˆ
ния оператора A невырождено. Докажем, что собственная функция оператора								A , отвечающая
данному собственному значению, будет и собственной функцией оператора							ˆ 1	. Возьмем урав-
							B
		ˆ
нение на собственные функции оператора A

( fa — собственная функция оператора

ˆ A

,

ˆ Af

a

aafa

—собственное значение) и подействуем на него

оператором

ˆ B

ˆ ˆ		ˆ
BAf	a	Baf	a

Так как операторы коммутируют, то в левой части можно поменять их порядок; в правой — вынести число a за знак оператора (все операторы — линейны). Тогда

		ˆ	ˆ	ˆ
		A Bfa a Bfa
Это значит, что функция	ˆ	тоже является собственной функцией оператора			ˆ
	Bfa				A , отвечающей

тому же самому собственному значению. А так как по предположению это значение невырож-

дено, то существует единственная (с точностью до множителя) функция, которая ему отвечает.

ˆ					ˆ
Значит функция Bfa сводится к той же самой функции. Или, другими словами, функция Bfa ес-
ли и отличается от fa , то только множителем
ˆ		bf
Bf	a		a
					ˆ
где буквой b обозначен этот множитель. И, следовательно, она собственная для оператора B .
			ˆ	отвечающие вырожденному
2. Рассмотрим теперь собственные функции оператора A ,
собственному значению. Пусть, например, собственному значению a					ˆ
					оператора A отвечают
две линейно независимых собственных функции ему отвечающих				fa,1 и	fa,2 . Тогда аналогично

1	Предполагается, что операторы	ˆ	ˆ
		A и	B — операторы физических величин. Поэтому они линейны и эрмитовы.

1

ˆ

и

ˆ

тоже будут собственными для оператора

предыдущему доказывается, что функции Bfa,1

Bfa,2

ˆ

ˆ

A , но поскольку их две и любая их линейная комбинация будет собственной, то функции

Bfa,1 и

ˆ

, вообще говоря, не сводятся к функциям

fa,1 и

fa,2

соответственно, а справедливы равен-

Bfa,2

ства

ˆ

C

f

C

f

Bf

a,1

a,1

a,2

11

12

(1)

ˆ

C

C

f

f

Bf

a,2

a,1

a,2

21

22

где

C	ij

— какие-то числа, зависящие от оператора и функций. Но выбор собственных функций оператора

ˆ A

в

этом случае неоднозначен. Оказывается, что можно подобрать такие две линейные комбинации функций fa,1 и fa,2

g	a,1	D	f	a,1		D		f	a,2
		11					12				,
g		D	f			D		f
	a,2				a,1					a,2
		21					22
которые, оставаясь собственными для оператора							ˆ	как линейные комбинации собственных
							A

функций, отвечающих одному и тому же собственному значению, будут и собственными для

оператора	ˆ	(или, другими словами, при действии на них оператора					ˆ	в равенстве, аналогичном (1) останутся
	B						B
только диагональные слагаемые)
		ˆ		b g
		Bg	a,1		a,1
				1					(1)
		ˆ		b g
		Bg	a,2			a,2
				2
А поскольку таких комбинаций столько же сколько и собственных функций оператора									ˆ
									A , отве-

чающих вырожденному собственному значению, то система собственных функций оператора

ˆ	ˆ	ˆ	ˆ
B , являющихся и собственными для	A , будет полной. Таким образом, если операторы	A и	B
коммутируют, у них есть общие собственные функции.
Можно доказать и обратное утверждение. Если существует полная система общих соб-
ˆ	ˆ	fa,b , a
ственных функций у операторов A и	B , то эти операторы коммутируют. (обозначим их

ˆ ˆ

иb — собственные значения). Докажем, что AB = 0 .

	Действительно. Пусть fa,b — полная система общих собственных функций операторов
и	ˆ
	B . Разложим произвольную функцию по этой системе функций:
	Ca,b fa,b .
	a,b

ˆ

A

ˆ ˆ

Подействуем на это равенство коммутатором операторов A и B

2

Но поскольку Поэтому

f	a,b

	ˆ ˆ		Ca,b fa,b	ˆ ˆ ˆ ˆ
AB				= Ca,b AB BA fa,b
		a,b		a,b

— собственная функция обоих операторов, то

	ˆ ˆ		C	f		=	C	ab ba f
	AB
			a,b		a,b		a,b		a,b
			a,b				a,b

ˆ ˆ ABf

0

a,b

abf	a,b

,

ˆ ˆ BAf

a,b

baf	a,b

.

Или, другими словами, при действии коммутатора

ˆ ˆ

на произвольную функцию получается

AB

нуль. Поэтому

ˆ ˆ

= 0 .

AB

В результате получаем следующую теорему.

Теорема о коммутации: Для того чтобы два оператора

ˆ

ˆ

имели полную систему

A и

B

общих собственных функций необходимо и достаточно, чтобы они коммутировали:

ˆ ˆ

= 0 .

AB

Дадим два комментария к этой теореме.

Первый. Несмотря на то, теорема говорит, что коммутирующие операторы имеют ПОЛ-

НУЮ систему собственных функций, она не говорит, что ЛЮБАЯ собственная функция одного оператора будет и собственной функцией второго. ЛЮБАЯ собственная функция одного будет собственной функцией второго только в случае НЕВЫРОЖДЕННЫХ собственных значений. В

случае вырожденных собственных значений, благодаря неоднозначности выбора собственных функций МОЖНО построить такие линейные комбинации собственных функций одного опера-

тора, которые, оставаясь его собственными функциями, будут и собственными функциями дру-

гого оператора.

Второй. Теорема запрещает существование ПОЛНОЙ системы собственных функций у некоммутирующих операторов. Но не запрещает существование общих собственных функций вообще. Небольшое количество общих собственных функций может быть и у некоммутирую-

щих операторов.

Теорема о коммутации играет важную роль при решении уравнений на собственные зна-

чения. Если уравнение на собственные значения какого-то оператора не удается решить, но есть коммутирующий с ним оператор, то для его собственных функций есть дополнительное усло-

вие — уравнение на собственные значения второго оператора. Такое совместное рассмотрение уравнений позволяет упростить решение уравнений.

3

Модуль 1: Основные принципы квантовой механики Лекция 1-11. Соотношение неопределенностей

Операторы координаты и импульса не коммутируют

	xpˆ			( x) x( i		)	d	( x) i		x ( x)
			x
							dx
	pˆ		x (x) ( i		)	d		x ( x) i		( x) i	x ( x)
		x				dx
	Из этих равенств находим, что
			xpˆ ˆ x ( x) i ( x)							xpˆ ˆ x i

Эти операторы не имеют полной системы общих собственных функций. Более того, эти операторы не имеют ни одной общей собственной функции. И их собственные функции настолько различны,

что любая попытка локализовать частицу в точке приводит к большой неопределенности импульса и наоборот.

Состояния с определенной координатой — собственные состояния оператора координаты

f	a	(x) (x a)

А если измерить импульс? Разложим по собственным функциям оператора импульса

					1			i	p	x
( x a) C( p)							e				dp
				2
		i	p		a
C( p)	e

вероятность обнаружения различных значений импульса не зависит от импульса При измерении импульса — любые значения. И наоборот. В состоянии с волновой

C( p)	2	const

функцией

.

						i	p	x
				( x)	e
определен				импульс, но координата принимает любые значения с равными вероятностями
	(x)		2	const . Всегда существует либо разброс координат, либо разброс импульсов, либо и то, и

другое. А это и есть отсутствие траектории. Чтобы можно было говорить о траектории, мы должны иметь возможность локализовать частицу, и определить точку, в которой она будет находиться близкий момент. А для этого нам нужна скорость. А она не определена! Локализовать частицу в различные моменты времени — что требуется для траектории — мы в принципе не можем.

Давайте теперь рассмотрим неопределенности координаты и импульса в разных состояниях и докажем утверждение, которое дает нижнюю оценку этих величин и которое является одним из

1