Кванты муравьев 1сем

два линейно независимых частных решения, а волновые функции собственных состояний оста-

ются конечными при x .

Остановимся теперь на интерпретации решений уравнения Шредингера. В случае дис-

кретного спектра решения экспоненциально затухают при

x , и, следовательно, во-

первых, могут быть нормированы на единицу, а во-вторых, определяют такие состояния, в кото-

рых частица не уходит на бесконечность (поскольку вероятность обнаружить частицу на беско-

нечности стремится к нулю). Это значит, что такие волновые функции описывают движение ча-

стицы в ограниченной области пространства (финитное движение), или, другими словами, «свя-

занное» потенциалом состояние частицы.

Совершенно другая ситуация имеет место в случае решений, отвечающих непрерывному спектру собственных значений. Эти решения не затухают при x и, следовательно, опре-

деляют состояния инфинитного движения.

5

Модуль 2: Одномерное движение Лекция 2-2. Общие свойства решений уравнения Шредингера в случае одномерного движения (продолжение)

Сформулирую основные результаты предыдущей лекции.

Пусть потенциальная энергия частицы U (x) является ограниченной функцией при всех конечных значени-

ях координат. Также пусть функция U (x) стремится на бесконечностях к некоторым постоянным, одну из этих постоянных без ограничения общности можно выбрать равной нулю (изменяя начало отсчета энергий):

U (x)

U1

U0

x

	U( ) U1	Umin U0	U ( ) 0	(1)
При	E Umin хороших решений нет. Нет собственных значений.
При	U0 < E < 0 могут существовать дискретные собственные значения. Функции затухают на
бесконечностях. Связанные состояния. Собственные значения невыродждены.
При	U ( ) E U ( ) непрерывный спектр, состояния инфминитного движения. Невырожден-
ные собственные значения.
При	E U ( ) , E U ( ) , то никаких ограничений на решение нет. Спектр непрерывен, крат-
ность вырождения — 2. Состояния инфинитного движения.
	Сформулирую без доказательства одно важное свойство собственных функций оператора

Гамильтона, относящихся к дискретному спектру, которое называется осцилляционной теоре-

мой. Перенумеруем собственные значения одномерного гамильтониана в порядке их возраста-

ния. Тогда собственному состоянию с минимальной энергией (основному состоянию) отвечает собственная функция, которая нигде не обращается в нуль (за исключением, может быть, границ доступной для движения частицы области), второму по энергии состоянию (первому возбуж-

денному) — собственная функция, которая обращается в нуль один раз (или, как говорят, имеет один узел), второму возбужденному — функция с двумя узлами и т. д. Собственная функция n -

го по энергии состояния обращается в нуль (за исключением границ) n 1 раз, или имеет n 1

узел.

Рассмотрим теперь вопрос о существовании собственных состояний дискретного спектра

(из рассуждения, приведенных выше, следует только, что состояния дискретного спектра могут

1

существовать только при энергиях, меньших граничных значений потенциала

E U ( ),U ( ) ).
Рассмотрим сначала потенциал, обращающийся в нуль при
функции U (x)	отрицателен:
	U (x)dx = < 0

x

, и пусть интеграл от

Возьмем волновую функцию

(гладкая и непрерывная вместе со волновая функция отлична от нуля.

(x) , такую, что она нигде, кроме		в ноль не обращается
своей первой производной). Обозначим за			L	область, где
В этой области:

(x)

1

x

L

p

L

L

Поэтому

p

2

2

1

2

U =

2

(x)U (x)dx

( )

(8)

2m

mL

L

Из формулы (8) следует, что

2

H

2

L

mL

и при больших L :

H < 0 . Значит, существуют такие состояния,

для которых средняя энергия

отрицательна, а поскольку средняя энергия связана с собственными значениями		Ei	и их вероят-
ностями wi	соотношением
	H = wi Ei		(9)

из (9) заключаем, что H < 0 , и, следовательно, условие 0 — достаточное условие существо-

вания собственного состояния с отрицательной энергией, которое, поскольку потенциал обра-

щается в нуль при x , является состоянием дискретного спектра.

Последний вопрос, который мы рассмотрим в этой лекции, это вопрос о четности реше-

ний стационарного уравнения Шредингера. Пусть потенциальная энергия — четная функция

	ˆ
координаты. Тогда оператор четности I коммутирует с оператором Гамильтона. Поэтому опе-
ˆ	ˆ
раторы H	и I имеют полную систему общих собственных функций, причем любая собствен-
ная функция одного из них, отвечающая невырожденному собственному значению,		является
	ˆ	отвечаю-
собственной функцией другого. Поскольку все собственные значения оператора H ,

2

щие состояниям дискретного спектра, не вырождены, то соответствующие собственные функ-

ции оператора Гамильтона являются и собственными функциями оператора четности (то есть либо четными, либо нечетными функциями).

Из осцилляционной теоремы следует, что собственная функция, отвечающая связанному состоянию с минимальной энергией (его называют основным состоянием), с одной стороны, не имеет узлов, с другой — является либо четной, либо нечетной. Так как нечетная функция хотя бы один узел обязательно имеет (она обращается в нуль при x 0 ), то основному состоянию отвечает четная функция координат. Волновая функция следующего связанного состояния (ко-

торое называют первым возбужденным состоянием) обращается в нуль только один раз. Поэто-

му этот узел находится при x 0 (в противном случае существовал бы и второй нуль, симмет-

ричный относительно начала координат). А поскольку волновая функция в этой точке меняет знак (так как ее производная не равна нулю), то эта функция нечетная и т. д. Таким образом все собственные функции, отвечающие дискретному спектру, обладают определенной четностью,

причем их четность чередуется в порядке возрастания энергии — четная-нечетная-четная-

нечетная и т. д.

Состояния непрерывного спектра определенной четностью не обладают из-за двукратно-

го вырождения. Однако из теоремы о коммутации операторов следует, что их можно выбрать так, чтобы они обладали определенной четность. При таком выборе для каждой энергии будут существовать четное и нечетное решения.

Если потенциальная энергия частицы не имеет определенной четности, то четных или нечетных решений уравнение Шредингера не имеет.

3

Модуль 2: Одномерное движение Лекция 2-3. Бесконечно глубокая прямоугольная потенциальная яма

Пусть потенциальная энергия частицы равна

	0,	0 x a
	U (x)	x 0, x a
	,
	(бесконечно глубокая потенциальная яма шириной a , см. рису-		U (x)
	нок). Найдем собственные значения и собственные функции опе-
	ратора Гамильтона этой частицы.
	Так как в областях x 0, x a потенциальная энергия об-				x
	ращается в бесконечность, потребуем, чтобы при этих значениях			a

координат волновая функция обращалась бы в нуль (в противном случае средняя потенциальная энергия частицы равнялась бы бесконечности). Далее, так как согласно постулатам квантовой механики волновая функция непрерывна, то в точках x 0 и x a волновая функция также равна нулю. Поэтому для нахождения волновых функций и энергий стационарных состояний необходимо решить уравнение

		d 2 f (x)			2mE	f (x) 0		(1)
		dx2			2
в области 0 x a	с граничными условиями		f (x 0) 0 и				f (x a) 0 .

Как было доказано на предыдущей лекции, все собственные значения должны быть больше ми-

нимального значения потенциала, поэтому будем решать уравнение (1) при E 0 .

Линейно независимыми частными решениями уравнения (1) при E 0 являются функ-

ции

cos kx

и sin

kx

, где

k

2mE 2

. Поэтому общее решение уравнения (1) имеет вид

		f (x) C1 cos kx C2 sin kx		(2)
Из граничного условия при	x 0	находим C1 0 .	Из второго граничного условия получаем
C2 sin ka 0 , то есть либо C2	0 , либо
		ka n ,	n 1, 2,3, .	(3)

Первое условие приводит к нулевому решению. Таким образом, ненулевые непрерывные реше-

ния уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям, существуют только при значениях

E , при которых выполнено условие (3), из которого находим

E	2	2n2	, n 1, 2,3,	(4)
n	2ma2

1

Энергии (4) и являются собственными значениями оператора Гамильтона и согласно постулатам квантовой механики являются возможными наблюдаемыми значениями энергии частицы, нахо-

дящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме. Собственной функцией, отвечающей соб-

ственному значению En , является функция

f		(x) C sin k	x C sin	nx
	n
		n		a
где

k			2mE		n
			n
	n		2		a

(5)

Как и должно быть, постоянная C осталась неопределенной. Она может быть определена из условия нормировки. Легко проверить, что функции

	f		(x)	2	sin	nx
		n		a		a

(6)

нормированы на единицу. Отметим, что эти функции не обладают определенной четностью, не-

смотря на то, что

fn (x)

sin... , поскольку при значениях координат, лежащих вне ямы, все соб-

ственные функции равны нулю. Однако если бы яма была расположена симметрично относи-

тельно начала координат, то волновые функции стационарных состояний обладали бы опреде-

ленной четностью. Действительно, в этом случае собственные функции можно получить из (6) с

помощью сдвига их аргумента на a / 2

		fn (x)			sin n(x
f (x) cos x		,	f	2	(x) sin
1	a

a / 2)		nx			n
a		sin				2
		a
2 x	,	f3 (x)	cos			3 x		,
a
						a

4 x

f4 (x) sin a ,...

Знание спектра собственных значений и собственных функций частицы в потенциальной яме позволяет согласно постулатам квантовой механики отвечать на вопросы о возможных зна-

чениях энергии частицы в тех или иных состояниях и их вероятностях. Рассмотрим несколько примеров.

Пусть, например, частица в яме в момент времени t 0 имеет волновую функцию

	(x,t 0) Acos	5 x	sin	8 x
		a		a

(7)

(где A — постоянная). Что можно сказать о результатах измерения энергии частицы в момент времени t t0 ? Какой будет средняя энергия частицы как функция времени?

2

Согласно основным принципам квантовой механики для ответа на вопросы такого рода нужно разложить волновую функцию частицы по собственным функциям оператора Гамильто-

на. Пользуясь известной тригонометрической формулой, представим начальную волновую функцию частицы в виде

(x, t 0)	A		13 x	sin	3 x		(8)
		sin
	2		a		a

Формула (8) представляет собой разложение начальной волновой функции по собственным функциям оператора Гамильтона, в котором, таким образом, с равными весами представлены только третья и тринадцатая собственные функции; коэффициенты перед остальными собствен-

ными функциями равны нулю. Это значит, что измерения энергии в момент времени t 0 с

равными вероятностями w 1/ 2 дадут третье и тринадцатое

		9	2	2			169	2	2
E					E
				2					2
3		2ma			13		2ma

собственные значения. Отсюда легко найти среднюю энергию частицы в этот момент

(9)

		9	2	2	1		169	2	2	1		89	2	2
	E
		2ma		2	2		2ma		2	2		2ma		2

(10)

Так как гамильтониан не зависит от времени, то вероятности различных значений энергии и средняя энергия от времени не зависят, и, следовательно, останутся такими же в любой момент времени.

Можно решать и обратные задачи — т. е. по результатам измерения энергий восстанав-

ливать волновую функцию, а по ней находить вероятности возможных значений различных наблюдаемых и их средние значения. Например.

Энергия частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме, может при-

нимать два значения

E	2 2	и	E	9 2	2	(11)
1	2ma2		3	2ma2

с вероятностями w 1 и w3 соответственно. Будет ли среднее значение координаты частицы			x в
этом состоянии зависеть от времени?
Будем рассуждать так. Поскольку гамильтониан частицы не зависит от времени, общее
решение временного уравнения Шредингера имеет вид
(x,t) Cn fn (x)e i	Ent
			(12)
n

3

где En и fn (x) — собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона, Cn —

произвольные постоянные. Поскольку в рассматриваемом состоянии энергия частицы может принимать два значения E1 и E3 , то в сумме (12) присутствуют два слагаемых, отвечающие

первому и третьему собственным состояниям,

а остальные коэффициенты

Cn

равны нулю. То

есть волновая функция частицы в любые моменты времени имеет вид

i

E t

i

E t

1

3

(x, t) C1 f1 (x)e

C3 f3 (x)e

(13)

где C 2

w ,

C 2

w . (Отметим, что по данным условия волновая функция восстанавливается

1

1

3

3

неоднозначно, поскольку не определяется фазовые множители у коэффициентов

C1

и C3 . Тем

не менее, эта неоднозначность не помешает однозначно ответить на вопрос задачи). Состояние

(13) не является стационарным, поэтому средние значения физических величин в этом состоя-

нии, вообще говоря, зависят от времени. Среднее значение координаты частицы в состоянии

(13) можно найти по квантовомеханической формуле для средних

				a
x(t)						*	(x, t)x (x, t)dx
				0
	a								i	E t					i	E t										i			E t							i		E t
										1							3												1									3
			C * f			(x)e				C * f		3	(x)e							x		C	f (x)e							C		f	3	(x)e					dx
				1	1					3												1	1								3
	0
				a									a															( E E			)t a
			2				2					2					2							*			i		3	1
C					x f			(x)dx C						x f				(x)dx C C							e							xf			(x) f			(x)dx к.с.
											2				2									3													3
		1				1																	1											1
				0									0																		0

(14)

(в (14) использована действительность собственных функций). Интегралы в первом и втором слагаемом определяют среднее значение координаты в первом и третьем стационарных состоя-

ниях и, следовательно, равны a / 2 (это утверждение проверяется с помощью непосредственного

вычисления интегралов с использованием собственных функций

fn (x) ). Так как волновые

функции стационарных состояний f1 (x) и f3 (x) четны относительно середины ямы и ортого-

нальны, то интегралы в третьем и четвертом слагаемом равны нулю. Учитывая, что	w1 w3 1,
получим из (3)

	x	a
		2

(15)

То есть среднее значение координаты в данном нестационарном состоянии не зависит от време-

ни. Однако, если бы в разложении начальной волновой функции частицы по собственным функциям гамильтониана содержались бы слагаемые, отвечающие как четным, так и нечетным

4

стационарным состояниям, перекрестные слагаемые в равенстве (14) не обращались бы в нуль и среднее значение координаты частицы зависело бы от времени.

Рассмотрим еще один пример. Пусть волновая функция частица в яме в момент времени t 0 имеет вид

(x,t 0) Ax(x a)

Какие значения энергии можно получить при измерениях?

Разложим волновую функцию (17) по собственным функциям Гамильтониана

(16)

Ax(x a) Cn fn (x)	(17)

n 1

где Cn — коэффициенты разложения, которые согласно основным принципам квантовой меха-

ники и определяют вероятности различных значений энергии. Поскольку собственные функции fn (x) — ортонормированны, коэффициенты Cn можно найти, умножая равенство (17) на соб-

ственную функцию и интегрируя

n		a		n
					(x)x(x a)dx
C			Af
		0

(18)

Поскольку волновая функция частицы — четна относительно центра ямы (это парабола, обра-

щающаяся в нуль на границах ямы), функции fn (x) — четны для нечетных номеров, и нечетны для четных, то интеграл (18) будет отличен от нуля только для нечетных номеров. Следователь-

но, при измерении энергии в рассматриваемом состоянии можно обнаружить первое (отвечаю-

щее основному состоянию), третье, пятое, седьмое и т. д. собственные значения. Второе, четвер-

тое, шестое и т. д. собственные значения при измерениях в рассматриваемом состоянии невоз-

можно.

5

Модуль 2. Одномерное движение Лекция 2-4. Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции (решение в виде ряда)

Одномерным гармоническим осциллятором называется частица, движущаяся в потенциале

U (x) m	2	x	2	/ 2	, где	m — масса частицы, — число, имеющее размерность сек-1 (в случае
классического движения частицы в указанном потенциале величина								имеет смысл круговой

частоты колебаний частицы).

Найдем волновые функции и энергии стационарных состояний осциллятора. Стационарное уравнение Шредингера для осциллятора имеет вид

	2	d	2	f (x)			2	x	2
							m		f (x) Ef (x)
	2m		dx		2		2

(1)

Обезразмерим уравнение Шредингера. Непосредственной проверкой убеждаемся, что величины

a m

и

имеют размерности длины и энергии соответственно. Деля и умножая все координаты в уравне-

нии (1) (в том числе и дифференциалы) на параметр длины	a , а все уравнение на параметр
энергии , получим:

d	2	f (x )
	dx
		2
где
		x	x
			a

	2E x		f (x ) 0
	2
	E		E

(2)

(чтобы не загромождать формулы, далее штрихи писать не будем, но будем помнить, что коор-

динаты и энергии в последующих формулах — безразмерные величины).

Решить уравнение (2) на собственные значения и собственные функции означает найти такие значения E , при которых уравнение (2) имеет конечные при всех x решения и сами эти решения. Поскольку уравнение (2) представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, то на основании теоремы существования решений дифференциаль-

ных уравнений заключаем, что при любых энергиях E уравнение (2) имеет два линейно незави-

симых решения, и для нахождения собственных энергий нужно исследовать поведение решений в особых точках. Так как коэффициенты уравнения (2) особенностей не имеют, особой точкой

1