Кванты муравьев 1сем

направлении оси x . Какой физической ситуации отвечает такое решение? Очевидно, на «плюс бесконечности» у нас нет источника частиц, поскольку в противном случае существовали бы

частицы, движущиеся «на плюс бесконечности» в отрицательном направлении оси			x . Тогда мы
должны сказать, что поток частиц Ae	ikx	на «минус бесконечности» описывают частицы, испу-
щенные источником, находящимся «на минус бесконечности», а коэффициент			A описывает

плотность потока этих частиц. А тогда какой же смысл мы должны вложить в слагаемые Be ikx

ikx	на «плюс бесконечности»? Поскольку никаких других частиц,
на «минус бесконечности» и Ce
кроме излученных источником «на минус бесконечности» у нас нет, то слагаемое Be		ikx		на «ми-
	ikx		на «плюс
нус бесконечности» описывает частицы, отраженные от потенциала, слагаемое Ce

бесконечности» — частицы, прошедшие область действия потенциала.

Плотность потока

		i		d	*		d
J Jx	=					*
		2m		dx			dx

(5)

падающих, прошедших и отраженных частиц в рассматриваемом состоянии найдем по соответ-

ствующим слагаемым волновой функции:

J		2
	пад.	=| A |

Jпрош =| C |2

	k	> 0
	m

mk > 0

—

—

x , частицы движутся в положительном направлении оси

x , частицы движутся в положительном направлении оси

x

x

J		2			k	0
	отраж.	=| B |
					m

—

x

, частицы движутся в отрицательном направлении оси

x

Введём величины, которые характеризуют процесс прохождения барьеров и которые

называются коэффициентами прохождения и отражения частицы от барьера.

Коэффициент прохождения

D :

D =	J	прош.
	J
			пад.

В нашем случае:

D = | C |2 | A |2

Коэффициент отражения R :

R = Jотр.

Jпад.

2

В нашем случае:

	|	2
R =		B |
	|	2
		A |
Эти величины однозначно определяются волновой функцией (3), (4), даже при том, что
сама волновая функция определена с точностью до произвольного множителя			A (он сокращает-
ся в этих формулах).
Нетрудно показать, что из уравнения Шредингера следует, что

R D = 1

Для доказательства умножим уравнение Шредингера (1)

(6)

на функцию		*

гого. Учитывая,

d

2

2m

(E U (x)) = 0

dx

2

2

, комплексно сопряженное уравнение — на функцию

и вычтем одно из дру-

что потенциальная энергия — величина действительная, получим

d

2

d

2

*

*

0

dx

2

dx

2

С помощью тождественных преобразований это равенство приводится к виду

d dx

т. е. поток не зависит от координаты:

му

 

J

	d
	*
	dx
= const , и,
	2	2
| A |		| B |

*d = 0 dx

вчастности, J (x ) J (x ) . Поэто-

| C |2

откуда и следует утверждение (6).

Из проведенного рассмотрения ясно, как находить коэффициенты отражения и прохож-

дения. Для этого надо решить уравнение Шредингера с граничными условием (3), (4). Из этого

решения найти коэффициенты A, B, C, из них — коэффициенты отражения от барьера и про-

хождения через барьер.

Для исследования случая падения частиц из «плюс бесконечности» нужно рассмотреть

решение с асимптотиками

ikx	De	ikx	на «плюс бесконечности»
= Ce

= Be ikx на «минус бесконечности».

Коэффициенты отражения и прохождения будут определяться соотношениями

3

		2
	R =	| C |
		2
		| D |

,

		2
	D =	| B |
		2
		| D |

Можно доказать, что коэффициенты отражения и прохождения определяются только по-

тенциалом и не зависят от того, с какой стороны на потенциал падают частицы. В примере, ко-

торый будет рассмотрен в следующей лекции это утверждение будет проиллюстрировано.

В качестве примера давайте найдем для ряда решений уравнения Шредингера коэффици-

енты отражения и прохождения. Итак, пусть имеются решения уравнения Шредингера со сле-

дующими асимптотиками:

а)

		(1/ 2) exp(ikx) (1/ 3) exp( ikx),
	(x)
1			5 / 36 exp(ikx),

x x

б)

2	(1/ 4) exp(ikx),
	(x)	(1/ 2) exp(ikx) exp( ikx),

x x

в) 3	(1/ 2) exp(ikx),		x
	(x)	(3 / 4) exp(ikx) (1/ 4) exp( ikx),	x

Каков физический смысл этих решений? Используя приведенные асимптотические выражения для решений найти коэффициенты прохождения и отражения частиц от потенциала.

Функция

1

описывает падение частиц на потенциал слева. Используя определения ко-

эффициентов отражения и прохождения, находим

	R	4	D	5
		9		9

Отметим, что R D 1 .

Функция 2 не может являться асимптотическим представлением никакого решения уравнения Шредингера, поскольку поток при x ( J k /16m ) не равен потоку при x

( J 3 k / 4m ), а поток не должен зависеть от координат.

Для состояния c волновой функцией 3 ситуация немножко похитрее. На «минус беско-

нечности» есть поток, распространяющийся в положительном направлении оси x , на «плюс бесконечности» — поток, распространяющийся в отрицательном направлении оси x . Поэтому источники частиц есть и «на плюс и на минус бесконечности». Но на «минус бесконечности» нет потока, распространяющегося в отрицательном направлении оси. Но и отраженные от по-

тенциала частицы (из испущенных «на минус бесконечности») и прошедшие область действия потенциала (из испущенных «на плюс бесконечности») — есть! Это означает, что два этих по-

тока должны интерферировать и исчезнуть. Учтем это соображение и найдем коэффициенты

4

прохождения и отражения в этом случае. Итак, в области x поток частиц, падающих на потенциал слева и отраженных от него, и поток частиц, падающих на потенциал справа и про-

шедших его, должны равняться друг другу (только в этом случае их интерференция может при-

вести к исчезновению потока). Но поток частиц, падающих на потенциал слева есть J k / 4m .

Поэтому от потенциала отразятся	R	k / 4m			частиц. Аналогично область действия потенциала
пройдут D k /16m частиц из потока,		падающего на потенциал справа. Поэтому коэффициенты
отражения и прохождения удовлетворяют системе уравнений
	R D 1
		R		D
		4		16
Решая эту систему, найдем R 1/ 5	, T 4 / 5 .

В заключение сегодняшней лекции обращу внимание слушателей на следующее важное обстоятельство. Классическая частица, падающая из бесконечности на некоторый потенциал,

пройдет область действия потенциала только в том случае, если в каждой точке ее энергия будет больше потенциальной энергии — ведь находится в точке, где E U (x) , частица в принципе не

может ( E mv	2	/ 2	U(x) , а кинетическая энергия неотрицательна). А вот ситуация в микроми-

ре — другая. Даже если в области действия потенциала есть точки, где

E U (x) , волновая

функция имеет асимптотику с «проходящими» частицами, которые, следовательно, такой по-

тенциал могут пересекать. Этот вывод полностью подтверждается экспериментом.

5

Модуль 2. Одномерное движение Лекция 2-9. Вычисление коэффициентов отражения и прохождения потенциальных барьеров

Рассмотрим один пример реального вычисления коэффициентов отражения и прохожде-

ния. Пусть имеется потенциал

	0,			если x 0
	U (x)		,	если x 0
	U	0
(U0	0 ) — потенциальная ступенька. Пусть слева на ступеньку падают частицы с энергией				E .

Очевидно, в случае E U0 , волновая функция на «плюс бесконечности» имеет затухающую асимптотику, и все частицы отражаются от потенциала. Для вычисления коэффициентов отра-

жения и прохождения решаем уравнение Шредингера

	2				2m
	d					(E U (x)) = 0
	dx		2		2

(1)

с такими граничными условиями сти»)

при x : при x :

(падение частиц на ступеньку слева, из «минус бесконечно-

		ik	x				2m(E U )
	= Ce			,	k		0	,	(2)
		1
							2
					1

(x) = Ae	ikx	Be	ikx	,	k	2mE
						2

(3)

Выражения (2), (3) являются решением уравнения Шредингера вплоть до самой ступеньки при x 0 и при x 0 соответственно. А поскольку волновая функция должна быть непрерывна

(требование постулатов) и иметь непрерывную первую производную во всех точках, где потен-

циал не имеет «бесконечных» разрывов (это можно доказать из уравнения Шредингера), имеем в точке x 0 , приравнивая функцию и ее производную справа и слева от точки x 0

C A B k1C kA kB

Решая систему уравнений (4) относительно		B	и	C , получим
C		2kA		, B	(k k1 ) A
	k k				k k
			1		1

(4)

(5)

Для дальнейшего вычисления, заметим, что «высота» потенциала «на минус» и «плюс беско-

1

нечности» — разная, поэтому в формулы для потоков частиц «на минус» и «плюс бесконечно-

сти» входят разные волновые векторы ( k — на «минус бесконечности» и k1 — на «плюс беско-

нечности». Поэтому

J			2		k
	пад.	=| A |		m
J	прош =| C |			2 k1
					m
J			= |	2		k
	отраж.			B |		m

И для коэффициентов прохождения и отражения находим

D =

J				| C |	k
				2
	прош.				1
J				2	k
		пад.		| A |

	4kk
	1
	(k k )	2
	1

,

	R =	J
		J

		| B |	2		(k k )
отр.
					1
		| A |	2		(k k )
пад.
					1

2 2

(6)

Как и должно быть,

R D = 1

. Кроме того, выполняется очевидное условие

D 0

при

E U0

(поскольку в этом пределе k1 0 ).

Рассмотрим теперь падение частиц на ступеньку справа (из «плюс бесконечности»). В

этом случае мы должны найти решение уравнение Шредингера с такими асимптотиками при x :

	= Ce	ik x	De	ik x	,	k
		1		1
						1

при x :

2m(E U	)
0
2

,

(7)

(x) = Be	ikx	,	k	2mE
				2

Снова приравнивая функции и первые производные слева и справа от ступеньки, получим

C D B
k C k		D kB
1	1

Отсюда находим коэффициенты волновой функции

(8)

(9)

B	2k D	, C	(k	k)D
	1		1
	k k		k k
	1			1

а затем и коэффициенты прохождения и отражения

(10)

Jпрош.

| В |2 k

4kk

Jотр.

| C |2

(k k )2

D =

1

, R =

1

(11)

J

пад.

| D |2 k

(k k )2

J

пад.

| D |2

(k k )2

1

1

1

Как отмечалось в предыдущей лекции, эти коэффициенты не зависят от того, откуда падают на

2

потенциал частицы (ср. формулы (6) для падения на ступеньку частиц из «минус бесконечно-

сти» с формулами (11) для падения частиц из «плюс бесконечности»).

3

Модуль 3: Момент импульса Лекция 3-1. Операторы и коммутационные соотношения

Сегодня мы рассмотрим свойства момента импульса в квантовой механике. Путь исследования этой величины — стандартный: найти оператор, решить уравнение на

собственные значения, дать интерпретацию решениям, понять структуру разложения волновых функций по собственным функциям.

Операторы строятся так: берется классическое выражение для исследуемой величины

через координаты и импульсы, делаются замены	ˆ	,	ˆ
	r r		p p . В классической механике

момент импульса частицы определяется как L r p , поэтому моменту импульса в квантовой механике отвечает оператор

ˆ	ˆ	ˆ	(1)
L r		p

где	ˆ	и	ˆ				(1)
	r		p — операторы координаты и импульса частицы. Векторному оператору
соответствуют три оператора проекций вектора момента импульса на координатные оси				ˆ		,	ˆ
				L	x		L
							y
	ˆ	Явные выражения для этих операторов можно найти, вычислив проекции векторного
и Lz .

произведения (1)

i

j

k

i

j

k

ˆ

ˆ

ˆ

xˆ

yˆ

zˆ

i

x

y

z

L r

p

pˆ

x

pˆ

y

pˆ

z

x

y

z

Раскрывая определитель (2), получим

(2)

ˆ	i			y
Lx		z	y
					z

ˆ		i		x		z
L	y				z
							x

ˆ	i			x
Lz		y	x				(3)
					y

Наряду с операторами проекций момента импульса (3) можно определить и оператор квадрата

момента импульса

				ˆ	ˆ	2	ˆ	2	ˆ	2
				2	Lx		Ly		Lz
				L							(4)
Переходя в выражениях (3) и (4) к сферическим координатам, можно получить явные
выражения для операторов	ˆ	и	ˆ2	в сферических координатах. Особенно просто это сделать
	Lz		L

для оператора ˆ и в «обратную сторону». Докажем, что

Lz

1

			ˆ	i
			Lz
	Дифференцируем по :
			x			y				z
				x		y				z

(5)

(6)

Причем чтобы перейти производные x / и y

от

/

сферических координат к декартовым, мы должны выразить через декартовы координаты. Имеем

				x r sin cos
				y r sin sin
				z r cos
Поэтому
	x			r sin sin y
	y			r sin cos x
	z			0
Подставляя эти частные производные в (6), получим
			y			x
					x		y
откуда и следует сделанное выше				утверждение. Аналогичные (но существенно более
									ˆ
громоздкие вычисления) приводят к формуле для оператора									2	в сферических координатах
									L

ˆ				1			2			1
													sin
2		2
L					2			2
			sin							sin

(7)

	ˆ
Обратим внимание на то, что оператор	2	с точностью до множителя совпадает с угловой
	L
частью оператора Лапласа.
Для анализа свойств момента импульса в квантовой механике, необходимо						решить
			ˆ	ˆ	ˆ	ˆ
уравнения на собственные значения и собственные функции операторов			2	Lx ,	L	и L .
			L ,
					y	z

Однако ряд свойств этих уравнений можно выяснить, не решая уравнения, а используя только коммутационные соотношения между операторами. Такой способ оказывается единственно возможным при описания спинового момента импульса, операторы которого не выражаются соотношениями (2), но коммутационные соотношения между которыми такие же, как для операторов орбитального момента.

2

Найдем коммутатор

ˆ

ˆ

. Для этого подействуем операторами

ˆ

ˆ

и

ˆ

ˆ

на произвольную

L , L

L L

L L

x

y

x

y

y

x

функцию. Имеем

ˆ

ˆ

2

2

2

f

2

2

f

2

f

2

f

f

L L

y

f

z

y

x

z

f

zx

z

yx

2

yz

y

x

y

z

y z

y x

z

z x

ˆ

ˆ

z

x

f

x

2

2

2

f

f

2

2

2

f

2

f

L L

f

x

z

z

y

f

zx

x

xy

2

z

zy

y

x

z

y

z y

y

z

x y

x

z

x z

Вычитая эти формулы друг из друга, получим с учетом того, что двойные смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

f

2

y

x

f

i

ˆ

L

L

y

L L

L

x

y x

x

z

y

Поскольку операторы проекций

момента

на

декартовы

координатные оси должны иметь

аналогичные свойства, получаем для коммутаторов

	ˆ	ˆ
L		, L
	y	z

и

	ˆ	ˆ
L		, L
	z	x

L		, L	i	L	L		, L	i	L
	ˆ	ˆ	y	ˆ		ˆ	ˆ		ˆ
	x			z		y	z		x

	ˆ	ˆ	i	ˆ
L		, L		L
	z	x			y

(8)

Используя коммутаторы (8), можно найти коммутатор квадрата момента и проекции. Вычислим,

ˆ

ˆ

например

2

, Lz

. Имеем

L

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

L

, L

L

, L

L

, L

L L L

L L

L

L L L

L L L

2

z

2

z

2

z

x

y

x

x

z

z

x

x

y

y

z

z

y

y

Далее воспользуемся коммутационными соотношениями (8). Получим

Это

ось

x

z

x

y

y

x

z

x

y

x

z

y

y

z

x

y

ˆ

ˆ

ˆ

i

ˆ

i

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

i

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

i

ˆ

ˆ

0

L

L L

L

L

L L

L

L

L

L L

L L

L

L

значит, что оператор квадрата момента импульса коммутирует с оператором проекции на z (и на любую другую ось а силу симметрии)

L		, L	L		, L	L			, L	0
	ˆ	ˆ		ˆ	ˆ			ˆ	ˆ
	2	x		2		y		2	z

(9)

Полученные коммутационные соотношения позволяют сделать ряд выводов о собственных функциях и собственных значениях операторов момента. Эти выводы мы сделаем на следующей лекции.

3