ПОСОБИЕ ЧАСТЬ 2 -цепи переменного тока

Z

1002e

j78,04

4ej53,1

958e

j79,34

I2

I1

177 j941

A,

4,19ej54,4

Z0 Z

A.

I

I1 I2 31 j41

Составим вторую частичную схему (рис. 3.1.1.г) и рас-

считаем частичные токи, создаваемые ЭДС Е2.

Для этого найдем эквивалентное сопротивление цепи:

Z

Z0

Z0 Z

0,399e

j78,04

Ом.

Z0 Z

Рис. 3.1.1.г

Тогда частичные токи:

Е2

400e j15

j93,04

I2

1002e

54,2 j1002

A,

Z

0,399ej78,04

Z

1002e

j93,04

4e j53,1

958e

j94,34

I1

I2

72,6 j958 A,

Z0 Z

4,19ej54,4

I

I2

I1 54,2 j1002 72,6 j958 18,4 j44 A.

Определяем реальные токи в ветвях методом наложения частичных ре-

жимов:

j4,7

A,

I1

I1

I1 208 j981 72,6 j958 281 j23 281e

54 j1002 177 j941 231 j61 239e

j165,2

A,

I2

I2

I2

j59,8

A.

I I I 31 j41 18,4 j44 49,4 j85 97,5e

Решение задачи методом наложения дает результаты идентичные другим

методам.

Задача

3.1.2

Комплексы

полных

мощностей

генераторов

SИ1

640 j960

BA,

SИ2

160 j320

BA. Требуется определить

Е1,

Е2,

j90

I2, I3,

XC,

R в схеме представленной

на рис. 3.1.2,

если:

I1 8e

A,

XL = 5 Ом.

РЕШЕНИЕ:

Комплекс полной мощности источника ЭДС в 1-й

ветви найдем как:

*

SИ1 Е1 I1, отсюда ЭДС этого источника:

Е1

SИ1

640 j960

120 j80 144,22e

j33,69

B,

*

j8

I1

Используя 2-й закон Кирхгофа определим напря-

жение

между узлами "1" и "2" (рис. 3.1.2):

U12

Рис. 3.1.2

91

				j153,435
	U12 I1jXL Е1 j8 j5 120 j80 160 j80 178,885e				B.

Суммарная комплексная мощность, развиваемая генераторами определяется суммой комплексов полных мощностей каждого генератора в отдельности:

SИ SИ1 SИ2 640 j960 160 j320 480 j1280 1367,041e j69,444		BA.
Активная мощность, отдаваемая этими генераторами – это действитель-
ная часть комплекса полной мощности SИ, а реактивная мощность – мнимая
часть SИ : SИ PИ jQИ 480 j1280	BA, откуда PИ Re SИ 480	Вт,

QИ Im SИ 1280 ВАр. Тогда в соответствии с балансом активных и реактивных мощностей, активная мощность, получаемая резистором во 2-й ветви, будет равна активной мощности, развиваемой генераторами, а реактивная мощность, получаемая катушкой индуктивности в 1-й ветви и конденсатором в 3-й ветви, будет равна сумме реактивных мощностей генераторов. А именно:

PН PИ 480

Вт, QН QИ 1280 ВАр.

При этом получаемая электрической цепью реактивная мощность QН должна равняться алгебраической сумме реактивной мощности QL , получаемой индуктивным элементом и реактивной мощности QC, получаемой конденсатором: QН QL QC,

отсюда QC QL QН I12XL QН 82 5 ( 1280) 1600 ВАр.

Реактивная мощность, получаемая конденсатором определяется как:

2

U12

2

2

BC, отсюда XC

U12

2

178,8852

20

Ом.

QC I2

XC

U12

XC

1600

QC

В соответствии с законом Ома, ток I3 :

(160 j80)

j116,565

U12

4 j8 8,944e

I3

jXC

j20

A.

На основании 1-го закона Кирхгофа, ток I2 :

j180

I2 I3 I1 4 j8 j8 4 4e

A.

Так как активная мощность, потребляемая приемником во 2-й ветви оп-

ределяется как: PН I2

2R, то,

R

РН

480

30

Ом.

I2

2

42

Комплекс полной мощности 2-го источника ЭДС определяется как:

*

SИ2

160 j320

j63,435

SИ2 Е2 I2, отсюда

Е2

40 j80 89,443e

В.

*

4

I2

Правильность расчета найденных величин проверяем с помощью уравнения баланса мощностей, для чего определяем комплексы полных мощностей источников и приемников:

S	*	*
	И Е1 I1 Е	2 I2 (120 j80) ( j8) (40 j80) ( 4) 480 j1280

1367,041e j69,444 BA,

92

SH I12jXL I22R I32( jXC) 82 j5 42 30 8,9442 ( j20) 480 j12801367,041e j69,444 BA.

Баланс мощностей сошелся, следовательно, задача решена верно.

Задача 3.1.3 Определить токи в цепи и составить уравнение баланса

мощностей	для	схемы, представленной	на рис.	3.1.3,	если: Е1 120			В,
Е2 60ej30	B,	J 2e j45 А,	Z 20	Ом,	Z	2	10 j20	Ом,
Z3 3 j4	Ом.		1

РЕШЕНИЕ:

Данная электрическая цепь (рис.3.1.3) содержит 2 узла и 4 ветви, в которых включены один источник тока J и два источника ЭДС: Е1 и Е2, при соединении которых образуется 3 независи-

мых контура mнез = 3.

Запишем сопротивления приемников в показательной форме записи:

Рис. 3.1.3	Z 20 20ej0	Ом,
	1
Z2 10 j20 22,361e j63,435	Ом, Z3 3 j4 5ej53,13 Ом.

Переведем в алгебраическую форму записи комплексы источников ЭДС и тока:

Е1

120

В,

Е

2 60ej30

51,962 j30

B,

J 2e j45

1,414 j1,414 A.

0) (рис. 3.1.3) и рассчита-

Потенциал узла "0" примем равным нулю ( 0

:

ем потенциал узла "1" 1

51,962 j30

Е1

Е2

120

1,414 j1,414

J

Z

Z

2

20

10 j20

1

1

1

1

1

1

1

1

Z1

Z2

Z3

20

10 j20

3 j4

38,225 j2,602 38,314ej3,894

B.

На основании закона Ома определяем комплексы токов в ветвях, не со-

держащих источника тока:

Е1

(38,225 j2,602) 120

j1,822

1

4,089 j0,13 4,091e

I1

Z1

20

A,

Е2

38,225 j2,602 120 51,962 j30

j83,309

1

0,5 j4,26 4,289e

I2

Z2

10 j20

A,

38,225 j2,602

j49,236

1

5,003 j5,804 7,663e

I3

Z3

3 j4

A.

93

Определим комплекс напряжения на зажимах источника тока J:

		38,225 j2,602 38,314e	j3,894	B.
UИТ 1

Правильность расчета токов проверяем с помощью уравнения баланса мощностей, для чего определяем комплексы полных мощностей источников и приемников:

			*			*		*		120 4,089 j0,13 38,225 j2,602 1,414 j1,414
SИСТ Е1 I1 UИТ						J Е2 I2
51,962 j30 0,5 j4,26 694,777 j132,992 707,39e j10,836											BА,
S	H	I	2Z I	2Z	2	I	3	2Z	3	4,0912 20 4,2892 10 j20 7,6632	3 j4
		1	1	2

694,777 j132,992 707,39e j10,836 BА.

Баланс сошелся, следовательно, токи рассчитаны верно.

Задача 3.1.4 Определить мгновенные значения токов и показания приборов электромагнитной системы в цепи, представленной на рис. 3.1.4, если: R1 = 4 Ом, R3 = 5 Ом, R4 = 25 Ом, R5 = 6 Ом, R6 = 10 Ом, XC3 = 15 Ом,

XC5 = 8

Ом, XL6

= 20 Ом,

j1(t) 4sin t 45 A, e2(t) 40 2cos t B,

e3(t) 20

2

sin t

B.

РЕШЕНИЕ:

Выразим мгновенные значения

источников энергии в комплекс-

ной форме:

j1(t) 4sin t 45

A

J1 2,828e j45 2 j2 А,

e2(t) 40

cos t

2

40

sin t 90

B

2

Е2 40ej90 j40

В,

e3(t) 20

sin t

B

2

Рис. 3.1.4

Е3 20ej0 20 В.

Запишем комплексные сопротивления соответствующих приемников:

Z R	1	4	Ом,	Z	3	R	3	jX	C3	5 j15 15,811e j71,565 Ом,
1										6 j8 10e j53,13 Ом,
Z4 R4		25	Ом,	Z5		R5		jXC5
Z6 R6		jXL6 10 j20 22,361ej63,435								Ом.

Заменив в заданной схеме мгновенные значения токов и напряжений комплексными и учитывая, что внутреннее сопротивление вольтметра RV , в силу чего его ток iV 0, а сопротивление амперметра стремится к нулю, получим схему, представленную на рис. 3.1.4.а.

94

В этой схеме имеется 4 узла, 6 ветвей, в которых включены источник тока J1, один идеальный источник ЭДС (Е2) и один реальный источ-

ник ЭДС (Е3). Указанные элементы образуют 3 независимых конту-

ра т.е. mнез = 3.

Найдем токи методом узловых потенциалов. Для этого примем, например, потенциал узла "0" равным

нулю: 0 0.

Рис. 3.1.4.а.

Т.к. в ветви, соединяющей узлы "0" и "1", включен только один идеальный источник ЭДС Е2, то потенциал узла "1" будет равен ЭДС 1 Е2 (комплексная проводимость этой ветви равна бесконечности).

Запишем вначале уравнения по 1-му закону Кирхгофа для узлов "2" и "3", а затем выразим все входящие в эти уравнения комплексы токов через комплексы потенциалов, ЭДС, источника тока и проводимостей, используя обобщенную форму закона Ома.

Для узла "2": I3 I5 I6 0,

Для узла "3": I4 I3 J1 0,

Y5,

где

I

I

I5

3 3 2 Е3 Y3,

4 3Y4,

1 2 Y5

Е2 2

I

6 2Y6.

Представим полученные выражения для комплексов токов в уравнения,

составленные по 1-му закону Кирхгофа:

3 2 Е3 Y3 Е2 2 Y5 2Y6 0,

Y3 J1 0.

3Y4

3

2 Е3

После группировки приведем исходную систему к виду:

2 Y3 Y5

Y6 3Y3 Е2Y5 Е3Y3,

Y3 Y4

Е3Y3

J1 0.

2Y3 3

Рассчитываем комплексные проводимости ветвей, подключенным к уз-

лам "2" и "3":

1

1

Y3

1

1

0,02 j0,06 0,063ej71,565

См,

Y4

0,04

См,

Z3

Z4

25

5 j15

Y5

1

1

0,06 j0,08 0,1ej53,13

См,

Z5

6 j8

Y6

1

1

0,02 j0,04 0,045e j63,435 См.

Z6

10 j20

Запишем полученные уравнения относительно потенциалов 2 и 3 с учетом комплексных проводимостей и узловых токов:

95

					0,02 j0,06 j40 0,06 j0,08
	2	0,02 j0,06 0,06 j0,08 0,02 j0,04 3
	20 0,02 j0,06 ,			0,02 j0,06 0,04 20 0,02 j0,06 2 j2.
		2	0,02 j0,06 3

Сложив вещественные и мнимые части комплексов, получим:

			0,02 j0,06 3,6 j1,2,
	2 0,1 j0,1 3
				0,06 j0,06 1,6 j3,2.
2		0,02 j0,06 3

Отсюда определяем потенциалы 2

и 3:

3,6 j1,2

0,02 j0,06

1,6 j3,2

0,06 j0,06

32,5 j42,5 53,502e

j127,405

2

В,

0,1 j0,1

0,02 j0,06

0,02 j0,06

0,06 j0,06

0,1 j0,1

3,6 j1,2

0,02 j0,06

1,6 j3,2

22,5 j57,5 61,745e

j111,371

3

0,1 j0,1

0,02 j0,06

В.

0,02 j0,06

0,06 j0,06

Определив потенциалы узлов, рассчитаем комплексы токов, используя закон Ома в обобщенной форме:

I3 3 2 Е3 Y3 22,5 j57,5 32,5 j42,5 20 0,02 j0,06 1,1 j0,3

1,14e j164,745				А,	j68,629
I	4						А,
		3Y4 22,5 j57,5 0,04 0,9 j2,3 2,47e							j48,731
				j40 32,5 j42,5 0,06 j0,08 2,15 j2,45 3,26e
I	5									А,
		Е2 2 Y5
			32,5 j42,5 0,02 j0,04 1,05 j2,15 2,393e				j63,97
I	6							А.
		2Y6
		По 1-му закону Кирхгофа ток в идеальном источнике ЭДС Е2						I2:
						j88,069
		I2 I5 J1 2,15 j2,45 2 j2 0,15 j4,45 4,453e						А.

На основании 2-го Кирхгофа определим напряжение на зажимах источника тока J1:

UИТ I4 Z4 Е2 J1Z1 0,9 j2,3 25 j40 2 j2 4 30,5 j25,539,756e j39,898 B.

Правильность расчета токов проверяем с помощью составления уравнения баланса мощностей, для чего определяем комплексы полных мощностей источников и приемников:

		*		*		*
SИСТ UИТ J1 E2				I	2 E3	I3 30,5 j25,5 2 j2 j40 0,15 j4,45

20 1,1 j0,3 312 j10 312,16ej1,836 BA,

SH J12Z1 I32Z3 I42Z4 I52Z5 I62Z6 2,8282 4 1,142 5 j15 2,472 25

2 2 ej1,836

3,26 6 j8 2,393 10 j20 312 j10 312,16 BA,

96

*

где знак минус перед слагаемымE3 I3 взят, потому что при выбранном положи-

тельном направлении тока I3 ЭДС E3 работает в режиме потребителя энергии. Баланс сошелся, следовательно, токи определены правильно.

Определяем показания приборов электромагнитной системы. Приборы такой системы реагируют на действующее значение измеряемой величины. По-

этому	амперметр	показывает действующее значение тока		, т.е.
			I5
IA I5	3,26 А.	Вольтметр показывает действующее значение напряжения

между узлами "0" и "4". Определим на основании 2-го закона Кирхгофа ком-

плекс напряжения U40 :

j106,39

U40 E3 I6 Z6 20 1,05 j2,15 10 j20 12,5 j42,5 44,3e

В.

Показание вольтметра: UV U40

44,3 B.

По найденным значениям комплексных токов находим мгновенные зна-

чения токов в ветвях:

i2 t 4,453

sin t 88,069

A,

i5 t 3,26

sin t 48,731

A,

2

2

i3 t 1,14

sin t 164,745

A,

i6 t 2,393

sin t 63,97

A.

2

2

i4 t 2,47

sin t 68,629

A,

2

Задача 3.1.5 Определить токи в ветвях цепи, представленной на рис.

3.1.5, и	составить	баланс мощностей, если:			J1 4 j3			A,	J2 5		A,
Z1 j10	Ом, Z2 5	Ом, Z3 6 j8	Ом,	Z4	j10		Ом,	Z5 j8			Ом,
Z6 5 j5 Ом.
						РЕШЕНИЕ:
					В электрической цепи два
					источника			тока, поэтому
					наиболее			оптимальным
					методом			расчета		будет
					метод		контурных			токов.
					Следует отметить, что ис-
					точники			тока		можно
					включать			в независимые
					контура только один раз,
					при этом контурные токи
	Рис. 3.1.5				в	этих контурах				будут
					равны		токам		источников
					тока.
Выбираем независимые контура, в данной схеме их три. И полагаем, что
										и
в каждом независимом контуре протекает свой контурный ток I11									, I22		I33.
Контурные токи I22 и		I33 выбираем так, чтобы они совпали с источниками то-
						, записываем одно урав-
ка. Т.к. два контурных тока известны: I22			J2 ,	I33	J1

97

нение по 2-му закону Кирхгофа для выделенного контура пунктиром (рис.

3.1.5): I11Z11 I22Z12 I33Z13 0.

Определяем собственные и взаимные сопротивления контуров:

Z11 Z3 Z4

Z5

Z6 6 j8 j10 j8 5 j5 11 j1

Ом,

Z12 Z5 Z6 j8 5 j5 5 j3 Ом,

Z13 Z5 Z3

j8 6 j8 6 j16

Ом.

Т.к. источника ЭДС в выделенном контуре нет, то можно найти контур-

ный ток

I11:

5 5 j3 4 j3 6 j16

I22Z

I33Z

12

13

I11

9,246 j4,705

Z11

11 j1

10,347ej153,03

A.

Для определения истинных токов в ветвях, задаем произвольно их на-

правления и используем принцип суперпозиции (наложения).

Тогда:

j124,25

9,246 j4,705 4 j3 5,246 j7,705 9,321e

I

3 I11 I33

A,

9,246 j4,705 10,347e

j153,03

I

4 I11

A,

j91,828

9,246 j4,705 5 4 j3 0,246 j7,705 7,09e

I

5 I11 I22

I33

A,

j47,936

I

6 I11

I22 9,246 j4,705 5 4,246 j4,705 6,338e

A.

Для составления баланса мощностей определяем напряжения на зажимах источников тока, используя 2-й закон Кирхгофа:

UИТ1 J1Z1 I3Z3 I5Z5 4 j3 j10 5,246 j7,705 6 j8

0,246 j7,705 j8 61,803 j130,164 114,091e j64,6 B,

U

ИТ2 J

2 Z2 I5Z5

I6Z6 5 5 0,246 j7,705 j8

4,246 j4,705 5 j5 41,885 j4,262 42,1ej5,81 B.

Баланс мощностей:

*

*

61,803 j130,164 4 j3 41,885 j4,262 5

SИСТ

UИТ1

J1 UИТ2 J2

847,131 j356,557 919,111ej22,83

BA,

S

H

J 2Z J

2

2Z

2

I

2Z

3

I

4

2Z

4

I

5

2Z

5

I

2Z

6

52 j10 52 5 9,3212

6 j8

1

1

3

6

10,3742 j10 7,7092 j8 6,3382 5 j5 847,131 j356,557 919,111ej22,83 BA.

Баланс сошелся, следовательно, задача решена верно.

3.1.6 Определить токи в ветвях цепи, представленной на рис. 3.1.6, и со-

ставить	баланс	мощностей,	если:	J1 10ej45 A,	J2	6ej30	A,
Z1 5 j5	Ом,	Z2 6 Ом, Z3	6 j8	Ом, Z4 j10	Ом,	Z5 4	Ом,

Z6 j10 Ом.

98

РЕШЕНИЕ:

Электрическая цепь содержит два источника тока, поэтому данную задачу целесообразно решить методом контурных токов.

Для расчета цепи воспользуемся методом уравнений Кирхгофа.

Т.к. в схеме 6 ветвей, 4 узла и 3 независимых контура (mнез=3), то для ее расчета составим 3 уравнения по 1-му и 1 уравнение по 2-му законам

Кирхгофа:

Рис. 3.1.6 для узла "1": I4 J1 I6 0, для узла "2": J1 J2 I3 0, для узла "3": I6 I5 J2 0.

Обходим контур "1 – 4 – 3 – 1" по часовой стрелке: I4Z4 I5Z5 I6Z6 0.

Из уравнения, составленного по 2-му закону Кирхгофа, определим ток I3:

j39,385

I3 J1 J2 7,071 j7,071 5,197 j3 12,267 j10,07 15,872e

A.

Выразим токи

, после че-

I4 и

I5

через J1,

J2 и

I6:

I4

J1

I6,

I5

I

6 J2

го подставим их в уравнение, составленное по 2-му закону Кирхгофа:

Z4

0,

J1

I6

I6

J2 Z5

I6Z6

I

6 Z4 Z5 Z6 J2Z5

J1Z4,

откуда найдем ток I6 , а затем I4

и I5 :

J

2 Z5

J1Z4

5,197 j3 5 7,071 j7,071 j10

I6

Z4 Z5 Z6

j10 4 j10

12,482 j20,678

24,153ej121,12

A,

j101,03

7,071 j7,071 12,482 j20,678 5,41 j27,749 28,271e

I4 J1

I6

A,

12,482 j20,678 5,197 j3 17,678 j17,678 25e

j135

I5 I6 J2

A.

Напряжения на источниках тока определим по 2-му закону Кирхгофа, ко-

торые будем составлять для замкнутых контуров, включающих источники тока

"1 – Z

4

– 4 – Z

3

– 2 – Z – J

1

– 1" и "3 – Z

5

– 4 – Z

3

– 2 – Z

2

– J

2

– 3":

1

7,071 j7,071 5 j5 12,267 j10,07 6 j8

UИТ1 J1Z1

I3Z3 I4Z4

5,41 j27,749 j10 270,522 j283,379 391,77ej46,33

B,

5,197 j3 6

12,267 j10,07 6 j8

UИТ2 J2Z2

I3Z3 I5Z5

17,678 j17,678 4 94,922 j105,8539 142,18ej48,12

B.

99

Определив напряжение на зажимах источников тока, рассчитаем баланс мощно-

*

*

стей:SИСТ UИТ1 J1 UИТ2

J2 270,522 j283,379 7,071 j7,071

94,922 j105,8539 5,197 j3 4727 j356,178 4741ej4,31

BA,

S

H

J

2Z J

2

2 Z

2

I

3

2 Z

3

I

4

2 Z

4

I

5

2Z

5

I

2Z

6

102 5 j5 62

6

1

1

6

15,8722

6 j8 28,2712

j10 252 4 24,1532 j10 4727 j356,178

4741ej4,31

BA.

Баланс сошелся, следовательно, задача решена верно.

Задача 3.1.7 Определить токи в ветвях цепи, представленной на рис. 3.1.7, методом трансфигурации и составить баланс мощностей, если:

J 4 j3

A, Е2 j100

B,

Е3 80 j60

B,

Z1 5

Ом,

Z2 j10 Ом,

Z3 5 j5

Ом, Z4 4 j3

Ом, Z5 3 j4

Ом, Z6 2 j2 Ом.

РЕШЕНИЕ:

Преобразуем треугольник сопротивлений

Z4 , Z5

и Z6 в эквивалентную "звезду" и

определим значения сопротивлений после

трансфигурации:

3 j4 2 j2

Za

Z5Z6

Z4 Z5 Z6

4 j3 3 j4 2 j2

1,28 j0,49 1,37e j20,92

Ом,

Zb

Z4 Z5

4 j3 3 j4

Z4 Z5 Z6

4 j3 3 j4 2 j2

Рис. 3.1.7

1,18 j2,12 2,43ej60,95

Ом,

Zc

Z4 Z6

4 j3 2 j2

1,09 j0,83 1,37e j37,19 Ом.

Z4 Z5 Z6

4 j3 3 j4 2 j2

В схеме после трансфигурации, представленной на рис. 3.1.7.а, стало 2 узла. Рассчитаем схему после трансфигурации методом "двух узлов", приняв потенциал узла "0" равным нулю ( 0 0.), тогда потенциал узла "1" найдем как:

J

Е2

Е3

4 j3

j100

80 j60

Z2 Zb

Z3 Zc

j10 1,18 j2,12

5 j5 1,09 j0,83

1

1

1

1

1

Z2 Zb

Z3 Zc

j10

1,18 j2,12

5 j5 1,09 j0,83

36,23 j84,48 91,92e j246,79 В.

100