ПОСОБИЕ ЧАСТЬ 2 -цепи переменного тока

13e

j22,6

U25

12 j5

0,13e

j112,6

I1

jXC1

j100

100e j90

0,05 j0,12

A,

j14,9

I I1 I2 0,05 j0,12 0,2 j0,16 0,15 j0,04 0,155e

A,

U R1I1 U25 20 (0,15 j0,04) 12 j5 3 j0,8 12 j5 15 j4,215,5ej15,6 B.

Коэффициент мощности цепи определим как косинус разности начальных фаз входного напряжения и тока:

cos cos( U I) cos 15,6 ( 14,9 ) cos 30,5 0,855.

Сделаем проверку решения задачи, для чего рассчитаем комплекс эквивалентного входного сопротивления цепи:

R3jXL4

40 j50

jXC1

j(XL2 XC3)

j100

j(90 65)

40 j50

Z

R3 jXL4

R1

20

jXC1

R3jXL4

j(XL2 XC3)

j100

40 j50

j25

R3 jXL4

40 j50

84ej37,5

20 86,5 j51 100ej30,5 Ом,

Откуда 30,5 , а cos 0,855. Тогда входное напряжение:

j14,9

j30,5

j15,6

U IZ 0,155e

100e

15,5e

B.

Для построения ВД токов выбираем масштаб токов МI = 0,1 A/см и используя расчетные значения токов I1, I2, I3 , I4, I строим в начале координат комплексной плоскости пятилучевую звезду (см. рис. 2.2.4.а).

Для построения ТВД напряжений, выбираем масштаб напряжений МU = 3 B/см и рассчитываем напряжения между точками, обозначенными на рис. 2.2.4. при построении ТВД напряжений также как и в задачах 2.2.3, 2.2.4 будем учитывать, что в активных сопротивлениях вектора токов и напряжений совпадают по фазе (располагаются параллельно), а в реактивных сопротивлениях сдвинуты на 90 (располагаются взаимноперпендикулярно), см. рис. 2.2.4.а.

							20 (0,15 j0,04)
					U12	R1I1
		Рис. 2.2.4.а			3 j0,8 3,11e j14,93 B,
			j90 (0,2 j0,16) 14,4 j18 23,05e				j51,3
	U23	jXL2I2						B,
				j0	B,
	U34	jXL4I4	R3I3 8e

71

					j65 (0,2 j0,16) 10,4 j13 16,65e	j128,7
	U45 jXС3I5		jXС3I	2			B.

Задача 2.2.5 Определить КПД электрической цепи, представленной на рис. 2.2.5, считая нагрузкой параллельный контур XC3 R4. Найти токи в ветвях и показания вольтметра, если: Е 200 В, XC =20 Ом, R1 = ХL1 = ХL2 = 40 Ом, XC3 = 100 Ом, R4 = 200 Ом.

РЕШЕНИЕ:

Направим токи в ветвях и обозначим характерные точки на схеме. КПД определяется отношением полезной активной мощности нагрузки, к затраченной активной мощности источника:

		Pпол.н				UнIн cos н	.
		Pзатр.ист				EIcos э
Рис. 2.2.5	В данной цепи: Uн Ubc, Iн I2,
			и
следовательно, для решения задачи необходимо найти Ubc					I2.
Прежде всего, определим сопротивление всей цепи Zэ,					для этого введем

соответствующие обозначения и рассчитаем комплексные сопротивления отдельных участков:

Z R

1

jX

L1

40 j40 57,6ej45

Ом,

1

Z34

jXС3R4

j100 200

90,3e

j63,6

40 j80 Ом,

R4 jXC3

200 j100

отсюда можно иначе рассчитать cos н:

Gн

1

R4

Rэ

cos н

,

Yн

2

2

или cos

.

1

1

Zэ

R4

XC3

Подставляя значения сопротивлений в последнее выражение, получим:

cos

н

cos 63,6 0,444

или

cos

40

0,444.

н

90,3

Z jXС j20

Ом, Z2 jXL2 j40

Ом,

Z

24

Z Z

34

j40 40 j80 40 j40 57,6e j45

Ом,

1

57,6ej45

57,6e j45

Z Z

24

Zэ Z

1

j20

40 j20 45e

j26,4

Ом,

Z1 Z24

40 j40 40 j40

отсюда

коэффициент

мощности всей цепи:

cos э cos 26,4 0,89

или

cos э 40 0,89. 45

72

Рассчитаем токи в ветвях:

Е

200

4,45e

j26,4

I

A,

Zэ

45e j26,4

Z24

4,45e

j26,4

57,6e j45

3,18e

j18,6

I1

I

Z Z

24

80

3 j1

A,

1

57,6ej45

Z

4,45e

j26,4

3,18e

j71,4

1

I2 I

1 j3

А.

Z Z

24

80

1

Найдем модуль напряжения на нагрузке:Uн Ubc Z34I2 90,3 3,18 287 B, и активную мощность нагрузки: Pпол 287 3,18 0,444 405 Вт,

Рассчитаем активную мощность, затраченную источником: Pзатр 200 4,45 0,89 792 Вт.

Тогда КПД электрической цепи: 405 0,511. 792

Для определения показаний вольтметра вычислим комплекс напряжения между точками "a" и "b":

					j161,6
	Uab Z2I		2	R1I1 j40 (1 j3) 40 (3 j1) 240 j80 253e		B.

Вольтметр покажет модуль комплекса действующего значения напряжения

Uab : UV Uab 253 B.

Задача 2.2.6 Определить токи в цепи, представленной на рис. 2.2.6, используя преобразования "треугольника" в эквивалентную "звезду", если:

Е 100 В, ХL = XC = R = 10 Ом.

РЕШЕНИЕ:

Направим токи в ветвях, отметим буквами узлы в цепи. В данной задаче для преобразования "треугольника" в "звезду" можно использовать два варианта: а) "треугольник" "abc" и б) "треугольник" "bcd".

Преобразуем "треугольник" "abc" в "звезду" (рис. 2.2.6.а).

Рис. 2.2.6

Вначале найдем сумму трех сторон "треугольника" Z в комплексной форме: Z R jXL jXC R 10 Ом, а затем рассчитаем комплексные сопротивления "звезды":

Za	jXLR	jXL j10 Ом,	Zb	jXC jXL		j10 j10	10 Ом,
				Z
	Z				10

73

Zc jXCR jXC j10 Ом. Z

Выразим в комплексной форме сопротивления в ветвях "с – d" Z1 и

"b – d" – Z2 :

Z1 jXC j10 Ом,	Z2 R 10 Ом.
Определим эквивалентное сопротивление це-
пи относительно зажимов "a" и "d" источника
ЭДС Е:
Рис. 2.2.6.а

Z

b

Z

Z

c

Z

20 20e j90

Z Za

2

1

j10

10 Ом.

20 20e j90

Zb Z2 Zc Z1

Рассчитаем токи во всех ветвях схемы на рис. 2.2.19.а:

Е

100

I

10

A,

Z

10

20e j90

Z Z

j45

c

1

7,07e

I

4 I

10

5 j5 A,

Zb Z2 Zc Z1

20 20e j90

j45

I

5 I I4 10 5 j5 5 j5 7,07e

A.

Для определения тока I1 в исходной схеме на рис. 2.2.6, рассчитаем на-

пряжение Uac в схеме (рис. 2.2.6.а):

j10 10 j10 (5 j5) 50 j50 7,07e

j45

B, тогда

Uac ZaI ZcI5

50 j50

j45

Uac

5 j5 7,07e

I1

R

10

A.

Токи

и

в исходной схеме найдем по первому закону Кирхгофа:

I2

I3

j45

I2 I I1 10 5 j5 5 j5 7,07e

A,

5 j5 5 j5 0.

I3

I2

I4

Правильность расчетов проверим с помощью уравнения, составленному по 2-му закону Кирхгофа для внешнего контура (рис. 2.2.6): jXLI2 RI4 Е, откуда после подстановки получим, что:

j10 (5 j5) 10 (5 j5) 100 Е 100 В.

Находим активную и реактивную мощности источника и приемников:

PИСТ EIcos 100 10 1 1000				Вт,
PН R I12	I4	2 10 7,072 7,072 1000			Вт.
QИСТ 0,		QН XLI2	2	XCI52	10 7,072 10 7,072	0.

Баланс мощностей сходится, следовательно, расчет схемы выполнен верно.

74

Задача 2.2.7 Рассчитать токи в схеме представленной на рис. 2.2.7. Определить мощность источника и мощность нагрузки, cos и КПД, ес-

ли:E

100ej45

В,

Z

0

3 j4 Ом,

Z 10

Ом,

Z

2

6 j8

Ом,

1

Z3 10 j10 Ом,

Z4 16 j16 Ом.

РЕШЕНИЕ:

Определяем

эквивалентное

ком-

плексное сопротивление цепи:

Z234 Z2

Z3Z4

Z3 Z4

Рис. 2.2.7

6 j8 10 j10 16 j16

10 j10 16 j16

14,844 j5,514

Ом,

Z Z

Z1Z234

3 j4

10 14,844 j5,514

9,164 j3,149 9,69ej18,962 Ом.

э

0

Z Z

234

10 14,844 j5,514

1

Найдем ток, протекающий в ветви с источником ЭДС:

E

70,7 j70,7

9,273 j4,53 10,32e

j26,04

I

9,164 j3,149

А,

Zэ

Методом "чужой" ветви определяем ток I1:

Z234

9,273 j4,53

14,84 j5,514

6,1 j2 6,422e

j18,173

I1

I

Z

234

Z

10 14,84 j5,514

А,

1

По 1-му закону Кирхгофа определяем ток I2 :

j38,55

9,273 j4,53 6,1 j2 3,171 j2,527 4,055e

I2 I I1

А,

Методом "чужой" ветви ток

:

I3

Z4

3,171 j2,527

16 j6

2,6 j0,423 2,634e

j9,25

I3 I2

Z3 Z4

10 j10 16 j6

А,

а по 1-му закону Кирхгофа находим ток I4 :

j74,8

3,171 j2,527 2,6 j0,423 0,571 j2,1 2,18е

I4 I2

I3

А.

Правильность расчета проверим с помощью баланса мощностей источни-

ка и нагрузки, для чего рассчитаем их комплексные мощности:

SИСТ E

I 70,7 j70,7 9,273 j4,53 976,02 j335,38 1032еj18,964 ВА,

S

H

I2Z

0

I2 Z I2 Z

2

I2Z

3

I

2 Z

4

10,322 3 j4 6,4222 10 4,0552

6 j8

1

1

2

3

4

2,6342 10 j10 2,182 16 j6 976,02 j335,38 1032еj18,964 BA.

Баланс сошелся, следовательно, токи найдены верно.

Запишем мгновенные значения токов в ветвях исходной схемы:

i(t) 10,32

A,

2sin t 26,04 14,595sin t 26,04

i1(t) 6,422

sin t 18,173 9,082sin t 18,173

A,

2

75

i2(t) 4,055		2sin t 36,55 5,735sin t 36,55 A,
i3(t) 2,634		2	sin t 9,25 3.725sin t 9,25	A,
i4(t) 2,18				A.
	2sin t 74,8 3,083sin t 74,8

Для определения КПД вычислим активную мощность источника его внутреннего сопротивления и нагрузки:

		*	Re 976,02 j335,38 976,02 Вт,
PИСТ Re EI

P Re I2Z0 Re 10,322 3 j4 Re 319,524 j426,01 319,524 Вт,

PH Re I12Z1 I22Z2 I32Z3 I24Z4

Re 6,4222 10 4,0552 6 j8 2,6342 10 j10 2,182 16 j6

Re 656,5 j90,68 656,5 Bт,

		PH	100%	656,5	100% 67,3%.
		PИСТ		976,02

В завершение рассчитаем коэффициент мощности всей цепи:

cos P 976,02 0,946. S 1032

Задача 2.2.8 Для цепи, представленной на рис. 2.2.8 рассчитать комплексы токов и напряжений. Построить ВД токов и напряжений и найти выражения мгновенных значений входного тока, напряжения и мощности. Определить активные и реактивные составляющие мощностей во всех ветвях. Составить баланс мощностей в комплексной форме, если: R1 = 10 Ом, R2 = 5 Ом,

R3 =12 Ом, L = 50,93 мГн, C = 318,31 мкФ, u(t) 100	2sin t B, f = 50 Гц.

Рис. 2.2.8

	Z	э	Z	Z2 Z3
				Z2 Z3
			1

РЕШЕНИЕ:

По заданным L – C параметрам и частоте определим реактивные сопротивления:

XL L 2 f L 2 50 50,93 10 3

16

Ом,

XC

1

1

1

10 Ом.

2 f C

2 50 318,31 10 6

C

Найдем комплексные сопротивления ветвей и эк-

вивалентное сопротивление всей цепи Zэ:

Z1 R1 jXC 10 j10

Ом,

Z2 R2 5

Ом,

Z3 R3 jXL 12 j16

Ом,

10 j10

5 12 j16

14,22 j9,266 16,973e j33,1

Ом.

5 12 j16

76

Тогда входной ток в соответствии с законом Ома определим как:

100

j33,1

U

4,936 j3,217 5,892e

I1

Zэ

14,22 j9,266

А,

Ток I2

рассчитаем методом "чужой" ветви:

Z3

4,936 j3,217

10 j10

3,694 j3,439 5,048e

j42,96

I2

I1

Z2

Z3

5 10 j10

А,

Ток

определим в соответствии с 1-м законом Кирхгофа:

I3

j10,13

4,936 j3,217 3,694 j3,439 1,242 j0,222 1,262e

I

3 I3

I2

А.

Найдем падение напряжений на участках цепи:

			4,936 j3,217 10 j10 81,53 j17,197		83,323e	j11,91
	U1 I1Z1							B,
							j42,96
				3,694 j3,439 5 18,471 j17,197	25,238e
	U2 U3		I2 Z2					B.

На рис. 2.2.8.а приведена ВД токов и напряжений в комплексной плоскости в масштабах МI = 1 A/см и МU = 10 B/см.

Рис. 2.2.8.а

Запишем мгновенные значения токов и напряжений:

u1(t) 83,323

B,

i1(t) 5,892

sin t 33,1

A,

2sin t 11,91

2

u2(t) u3(t) 25,238

i2(t) 5,048

A,

2sin t 42,96 B,

2sin t 42,96

i3(t) 1,262

A.

2sin t 10,13

Определим мгновенное значение входной мощности: p(t) u(t) i1(t) 1002sin t 5,8922sin t 33,1

589,2 cos 33,1 cos 2 t 33,1 493,64 589,2cos 2 t 33,1 .

Найдем модули падений напряжений на элементах цепи:

UR1 I1R1 5,892 10 58,92	В,	UС I1ХС	5,892 10 58,92	В,
UR2 I2R2 5,048 5 25,24	В,	UR3 I3R3	1,262 12 15,144	В,
UL I3ХL 1,262 16 20,192	В

Рассчитаем активную и реактивную мощность на каждом участке цепи:

P1 I12R1 5,8922 10 347,16		Вт,	P2 I2	2R2 5,0482	5 127,41	Вт,
P3 I3	2R3 1,2622 12 19,11	Вт,	Q1 I12ХС 5,8922		10 347,16	ВАр,

77

Q2 0 ВАр,

Q3 I3

2ХL 1,2622 16 25,48 ВАр.

Рассчитаем полную мощность на каждом участке цепи:

S1 I12Z1			P12 Q12 5,8922 14,1 489,491				ВA,
S2 I2	2Z2	P2 127,41				ВA,
S3 I32Z3
				P32 Q32		1,2622 20 31,853	ВA.

Составим уравнение баланса комплексных мощностей источника и приемников:

*

j31,1

SИСТ UI 100 4,936 j3,217 493,6 j321,7 589,18e

BА,

S

Н

I

2 Z I

2 Z

2

I

2 Z

3

5,8922

10 j10 5,0482 5 1,2622

12 j16

1

1

2

3

493,68 j372,7 589,18e j33,1 BА.

Баланс комплексных мощностей сошелся, значит, расчет цепи выполнен верно.

Задача 2.2.9 Для цепи, представленной на рис. 2.2.9 рассчитать комплексные токи и напряжения. Построить ВД токов и напряжений, найти выражения мгновенных значений входного тока, напряжения и мощности. Определить активные и реактивные составляющие напряжений и мощностей во всех ветвях. Составить баланс мощностей в комплексной форме, если: U = 220 B, ψU = 45°, R1 =5 Ом, R2 =10 Ом, R3 = 4 Ом, R4 = 8 Ом, R5 = 6 Ом, XL1 = 8 Ом, XC2 = 6 Ом, XL3 = 10 Ом, XC4 = 10 Ом, XC5 = 5 Ом.

Рис. 2.2.9

Рис. 2.2.9.а

РЕШЕНИЕ:

Заменяя сопротивления элементов в ветвях схемы комплексными сопротивлениями ветвей, построим схему замещения исходной цепи (рис. 2.2.9.а), а затем рассчитаем значения комплексных сопротивлений ветвей и эквивалентное сопротивление всей схемы.

Z R	1	jX	L1	5 j8 9,43ej57,99	Ом,
1

78

Z2	R2 jXC2		10 j6 11,66e j30,96 Ом,
Z3	R3	jXL3	4 j10 10,77ej68,2	Ом,
Z4	R4	jXC4	8 j10 12,8e j51,34	Ом,
Z5	R5	jXC5	6 j5 7,81e j39,81	Ом.

Далее определим эквивалентное комплексное сопротивление цепи:

Z45

Z4Z5

4,85e

j44,18

3,49 j3,39

Ом,

Z4 Z5

10ej41,43 7,49 j6,61

Z345 Z3 Z45

Ом,

Z2345

Z2 Z345

6,66e

j8,47

6,58 j0,98

Ом,

Z2 Z345

Z

э

Z

Z

2345

14,65ej37,79

11,58 j8,98

Ом.

1

В соответствии с исходными данными комплекс входного напряжения

j45

запишем как:

U 220e

155,56 j155,56

В. Зная U, произведем расчет

комплексных токов и напряжений на всех участках цепи символическим методом:

220e

j45

U

15,02e

j7,21

I1

14,9 j1,89 А,

Zэ

14,65ej37,79

15,02e

j7,21

6,66e

j8,47

U2

I1Z2345

8,58e

j46,64

I2

Z2

Z2

11,66e j30,96

5,89 j6,24

A,

j7,21

j8,47

U2

I1Z2345 15,02e

6,66e

10,01e

j25,77

I3

Z345

Z345

10ej41,43

9,02 j4,35

A,

10,01e

j25,77

4,85e

j44,18

U4

I3Z45

3,8e

j18,59

I4

Z4

Z4

12,8e j51,34

3,6 j1,21

A,

10,01e

j25,77

4,85e

j44,18

U5

I3Z45

6,24e

j30,12

I5

Z5

Z5

7,81e j39,81

5,39 j3,13

A.

Находим комплексные падения напряжений на участках цепи:

						j65,2
	U1 I1Z1 141,64e							59,41 j128,58			B,
			100e	j15,68
	U	2 I2Z2					96,28 j27,03				B,
			107,7e		j42,43
	U3 I3Z3								79,49 j72,66		В,
						j69,9
			48,64e
	U	4 I4 Z4							16,72 j45,68		B,
			48,64e		j69,9
	U5 I5Z5								16,72 j45,68		B.
	Находим сопряженные комплексы токов:
	*								A,	*
	I1 14,9 j1,89 15,02e j7,21									I4 3,6 j1,21 3,8ej18,59 A,

79

*

A,

*

A.

I2 5,89 j6,24 8,58e j46,64

I5 5,39 j3,13 6,24ej30,12

*

A,

I3 9,01 j4,35 10ej25,77

Вычислим комплексные мощности источника и приемников.

Комплексные мощности приемников найдем как:

SН S1 S2

S3 S4

S5

3304,6ej37,75 2612,77 j2023,32

BA,

где:

*

*

j57,99

S1 I1 I1Z1 I1 U1 2127,4e

1127,67 j1803,95

BA,

*

*

858,37e

j30,96

S2 I2 I2 Z2

I2 U2

736,08 j441,58

BA,

*

*

1077e

j68,2

S3 I3 I3Z3

I3 U3

399,96 j999,98

BA,

*

*

184,8e

j51,34

S4 I4 I4 Z4

I4 U4

115,46 j144,33

BA,

*

*

304,1e

j39,81

S5 I5 I5Z5

I5 U5

233,6 j194,7

BA.

Комплексная мощность источника

*

j37,79

SИСТ UI1 3304,4e

2611,3 j2024,8

ВА.

Баланс мощностей практически сошелся, т.к. погрешность не превышает 3%.

Мгновенные значения токов и на-

пряжений на участках цепи в об-

щем случае имеют вид:

i(t) Im sin t i ,

u(t) Um sin t u ,

где:

Im I

и Um U

‒ ам-

2

2

плитудное значение тока и напря-

жения;

i

–

начальная фаза

тока;

u – начальная фаза напряжения.

Тогда мгновенные значения токов в

ветвях:

sin t 7,21

i1(t) 15,02

A,

2

i2(t) 8,58

sin t 46,64

A,

2

i3(t) 10

sin t 25,77

A,

2

i4(t) 3,8

sin t 18,59

A,

2

i5(t) 6,24

sin t 30,12

A.

2

Мгновенные значения напряжений

Рис. 2.2.9.б.	на участках цепи:

80