ПОСОБИЕ ЧАСТЬ 2 -цепи переменного тока

Определяем контурные токи:

		1				0,77 j1,37 1,57e	j60,66
	I11								А,
			2			1,22 j0,09 1,22e		j4,22
	I22								А,
			3			0,07 j1,61 1,61e	j87,51
	I33								А.

Используя метод наложения, определяем значения реальных токов в вет-

вях:

			0,77 j1,37 1,57e		j60,66
	I1 I11						А,
								j252,87
	I	2 I11	I22 0,77 j1,37 1,22 j0,09 0,45 j1,46 1,53e						А,
				j87,51
	I3 I33 0,07 j1,61 1,61e						А,
						j4,22
			1,22 j0,09 1,22e
	I4 I22						А.

Правильность расчета токов проверяем с помощью уравнения баланса мощностей, для чего находим комплексные мощности источников и приемников:

*

j60,66

BA,

SИСТ UI1 100 0,77 j1,37 77 j137 157,16e

2

2

2

Z3

2

*

*

*

*

SH I1

Z1 I2

Z2 I3

I4

Z4 I1I

3 ZМ13 I3 I1 ZМ13 I2

I

3 ZМ23 I3

I2 ZМ23

1,572 10 j50 1,532 8 j30 1,612 10 j10 1,222 5 j20

0,77 j1,37 0,07 j1,61 j10 0,77 j1,37 0,07 j1,61 j10

0,45 j1,46 0,07 j1,61 j20 0,45 j1,46 0,07 j1,61 j20

77 j137 157,16ej60,66 BA.

Баланс сошелся, следовательно, токи определены правильно.

Задача 5.3.5 Определить токи в схеме, представленной на рис. 5.3.5, пра-

вильность расчета	проверить с	помощью баланса мощностей, если:
Е1 100 j100 В,	Е2 80 j60	В, R1 = 10 Ом, R2 = 10 Ом, XL3 = 10 Ом,

XL4 = 20 Ом, XL5 = 10 Ом, XC2 = 8 Ом, XC6 = 50 Ом, XМ34 = 10 Ом, XМ35 = 8 Ом.

РЕШЕНИЕ:

Данную задачу решим на основании законов Кирхгофа.

В заданной цепи 6 ветвей, 2 узла и 3 независимых контура (mнез = 3). Катушки включены согласно. На схеме маркируем начало обмоток катушек, и в соответствии с включением катушек, задаемся направлением токов в ветвях с индуктивно связанными катушками.

151

Направления токов в оставшихся ветвях выбираем произвольно. Заменяем сопротивления ветвей полными комплексными сопротивлениями. Получим схему, представленную на рис. 5.3.5.а.

Z1 R1 10 Ом,

Z2 R2 jXС2 10 j8

12,81e j38,66

Ом,

Z jXL3 j10 j10 10ej90

Ом,

Рис. 5.3.5

3

Z jXL4

j20 j20 20ej90

Ом,

Z jXL5 j10 j8 8ej90

Ом,

4

5

j10 j10 10ej90

Z

6

jXС6

j50 50e j90

Ом.

Z

jXМ34

Ом,

jXМ35 j8 j8 8ej90

M34

Z

Ом,

M35

Составим три уравнения по первому

закону Кирхгофа:

0,

(узел "а");

I1 I4

I6

0,

(узел "b");

I

4 I5

I3

0,

(узел "c").

I

2 I6

I5

Произвольно

выбираем независи-

мые контура и направления обхода,

и составляем уравнения по второму

закону Кирхгофа:

Рис. 5.3.5.б

(контур I);

I1Z1

I3Z3 I4ZМ34

I5ZМ35 I

4Z4 I3ZМ34 E1,

(контур II);

I2Z2

I

3Z3 I4ZМ34

I5ZМ35

I5Z5 I3ZМ35 E2,

(контур III).

I4Z4

I

3ZМ34 I6Z6

I5Z5

I3ZМ35 0,

После подстановки числовых значений, получим:

					0,
I1		I4 I6
I3			I4	I5 0,
					0,
I2		I5 I6
								( j8) 100 j100,
I1		10 I		3 ( j20) I4		( j30) I5
		(10 j8) I3( j18) I4( j10) I5( j18) 80 j60,
I2
									( j50) 0.
I3		( j2) I4			( j20) I5		( j10) I6

152

Решая приведенную систему уравнений с использованием ЭВМ, применяя матричную форму записи законов Кирхгофа, определяем токи в ветвях.

1		0	0	1	0	1				0
	0	0	1	1	1	0				0
		1	0	0	1					0
0						1
A		0	j20	j30	j8	0	;	B			.
10								100		j100
0		10 j8	j18	j10	j18	0			80	j60
	0	0	j2	j20	j10					0
						j50

Тогда I AT B. В результате решения матричного уравнения получим:

j39,750

j39,72

0

I1 0,998 j0,83 1,29e

A,

I2 1,784 j1,482 2,32e

A,

j39,72

0

j39,76

0

I3 2,782 j2,312 3,62e

I4 1,382 j1,15 1,79e

A,

A,

j39,7

0

j140,2

0

I5 1,4 j1,162 1,82e

A,

I6 0,384 j0,32 0,5e

A.

Правильность расчета токов проверяем с помощью уравнения баланса мощностей, для чего находим комплексные мощности источников и приемников:

* *

SИСТ Е1 I1 Е2 I2 100 j100 0,99 j0,83 80 j60 1,78 j1,4870,6 j408,4 414,46ej80,19 BA,

SH I12Z1 I22Z2 I32Z3 I42Z4 I52Z5 I62Z6

1,292 10 2,322 10 j8 3,622 j28 1,792 j22 1,822 j8 0,52 j50

70,6 j408,4 414,46ej80,19 BA.

Баланс сошелся, следовательно, токи определены правильно.

5.4 Примеры расчета электрических цепей при наличии магнитосвязанных катушек в режиме резонанса

Задача 5.4.1 Для цепи, представленной на рис. 5.4.1, необходимо подобрать емкость конденсатора таким образом, чтобы при частоте ω = 1000 рад/с имел место резонанс. Для найденного значения емкости определить токи и по-

строить ВД, если u(t) 220	2sin t 45 B, R1 = 200 Ом, R2 = 150 Ом,
L1 = 50 мГн, L2 = 200 мГн,	М = 80 мГн.

РЕШЕНИЕ:

Найдем реактивные сопротивления элементов и комплексные сопротивления ветвей:

XL1 L1	103 50 10 3 50 Ом,XL2 L2 103 200 10 3 200 Ом,
XМ М 103 80 10 3 80 Ом,
Z jXС,	Z R1 jXL1 200 j50 206,16ej14,04	Ом,
	1

153

Рис. 5.4.1

Рис. 5.4.1.а

Z2 R2 jXL2 150 j200 250ej53,13 Ом, ZМ jXМ j80 80ej90 Ом,

Выразим входное напряжение в комплексной

		j45
	форме: U 220e		155,56 j155,56 В.

Эквивалентная схема замещения исходной цепи представлена на рис. 5.4.1.а.

В данной схеме катушки соединены встречно, следовательно, для определения сопротивления параллельного контура Z12 воспользуемся формулой:

	Z Z	2	Z		М	2			200 j50 150 j200 j80 2
Z	1
	Z Z			2Z
12			2				М		200 j50 150 j200 2 j80
	1

98,81 j19,96 100,81ej11,42 Ом,

При резонансе напряжений должно выполняться условие, что XL XC . Из найденного выше эквивалентного сопротивления Z12 следует, что XL 19,96 Ом, тогда по условию резонанса XC 19,96 Ом.

Определим емкость конденсатора С: С

1

1

50,1

мкФ.

XC

1000 19,96

Т.к. при резонансе напряжений Im Zвх 0, то Zвх 98,81

Ом.

На основании закона Ома определим входной ток I:

155,56 j155,56

j45

U

1,57 j1,57 2,22e

I

98,81

A.

Zвх

j56,42

1,57 j1,57 98,81 j19,96 123,79 j186,47

223,82e

Uab IZ12

В.

Ток I1 находим с помощью метода "чужой ветви":

		ZМ2	1,57 j1,57	201,32 j106,64
I1	I	ZМ1 ZМ2		171,06 j2,65 201,32 j106,64	0,71 j1,1

1,31ej57,16 А,

где

Z Z

2

Z

М

2

200 j50 150 j200 j80 2

ZМ1

1

171,06 j2,65

Z2 ZМ

150 j200 j80

171,08e j0,88

Ом,

Z Z

2

Z

М

2

200 j50 150 j200 j80 2

ZМ2

1

201,32 j106,64

Z1 ZМ

200 j50 j80

227,82ej27,91

Ом.

154

Ток I2 находим на основании 1-го закона Кирхгофа:

I2 I I1 1,57 j1,57 0,71 j1,1 0,86 j0,470,98ej28,66 A.

Падение напряжения на конденсаторе определяем в соответствии с законом Ома:

UC I jXC 1,57 j1,57 j19,96 31,34 j31,3444,32e j45 В.

ВД токов и напряжений представлена на рис. 5.4.1.б, в масштабах: МI = 0,5 A/см, МU = 40 B/см.

Рис. 5.4.1.б

Задача 5.4.2 Определить при каком значении сопротивления R3 в цепи, представленной на рис. 5.4.2, будет резонанс токов. Найти токи в режиме резонанса и построить ВД, если: U = 170 B, R1 = 15 Ом, R2 = 8 Ом, XL1 = 20 Ом, XL2 = 50 Ом, XС = 50 Ом, ХМ = 10 Ом.

РЕШЕНИЕ:

1) Определим R3.

Запишем комплексные сопротивления соответствующих приемников и составим схему замещения (рис. 5.4.2.а):

Z1 R1 jXL1 15 j20

25ej53,13 Ом,

Z2 R2 jXL2 8 j5050,636ej80,91 Ом,

Рис. 5.4.2

Z3 R3 jXС,

ZМ jXМ j10 10ej90 Ом.

Зададим положительное направление токов в схеме замещения на рис. 5.4.2.а, при этом учтем, что первая и вторая катушки включены встречно.

Резонанс токов в заданной схеме наступит тогда, когда сдвиг фаз между напряжением Uab и входным током I1 будет равен нулю. Найдем отношение напряжения Uab к току I1, которое будет являться эквивалентным комплекс-

ным сопротивлением второй и третьей ветвей: Z23 UabI1.

По закону Ома ток I3 определяется как:

		Uab	,	(1)
I3		Z3

155

На основании 2-го закона Кирхгофа для 2-го

контура:

2 Z

Uab

I

2 I1ZМ,

где знак минус перед

ZМ взят потому,

что

катушки включены встречно.

:

Из последнего выражения выразим ток I2

Uab

I1ZМ

I2

Z2

. (2)

Рис. 5.4.2.а

Подставим выражения (1) и (2) в 1-й закон

Кирхгофа I1

I2

I3 :

Uab I1ZМ

Uab

I1

Z2

Z3

.

После преобразования получим:

Z2Z3 Z3ZМ

R2 jXL2 R3 jXС R3

jXС jXМ

Uab

Zab

.

Z2 Z3

R2 R3 j XL2 XС

I1

Выделим в последнем выражении вещественную и мнимую части:

R2R3 q R2 R3 pR3 R2XC XL2 XC

Uab R2R3 q j pR3 R2XC

I1

R2 R3 j XL2 XC

R2 R3 2 XL2 XC 2

j pR3 R2XC R2 R3 R2R3 q XL2 XC	Rab jXab,
R2 R3 2 XL2 XC 2

где p XL2 XМ, q XL2XC XCXМ – коэффициенты, не зависящие от R3.

Очевидно, что напряжение Uab и ток I1 будут совпадать по фазе, когда
мнимая часть Zab будет равна нулю:
	Im Zab Xab 0,
или	pR3 R2XC R2	R3 R2R3 q XL2 XC	0.
	R2 R3 2 XL2 XC 2

Последнее выражение приведем к квадратному уравнению, записанному относительно R3:

XМ XL2 R32 R2XМR3 С 0,

где

С R2			2XC XC XL2 XМ XL2 XC 82 50 50 50 10 50 50 3200						Ом3.
	Тогда корни квадратного уравнения:
R3,1		R2XМ		R2XМ 2 4 XМ XL2 C			8 10	8 10 2 4 10 50 3200
				2 XМ XL2				2 10 50
8		Ом,

156

R3,2	R2XМ	R2XМ 2 4 XМ XL2 C		8 10	8 10 2 4 10 50 3200
		2 XМ XL2			2 10 50

10 Ом,

Значение сопротивления R3 = – 8 Ом отбрасываем, так как активное сопротивление всегда положительная величина. В результате получаем, что резонанс токов наступит при сопротивлении R3 = 10 Ом.

2) Определим токи в резонансном режиме.

Комплексное сопротивление третьей ветви:

Z3 R3 jXС 10 j50 50,99e j78,69 Ом.

Цепь, представленная на рис. 5.4.2.а, содержит 3 ветви, 2 узла и источник ЭДС, которые образуют два независимых контура (mнез = 2).

Определим токи методом "контурных токов". Для этого зададим контурные токи и их направление в ветвях (рис. 5.4.2.а).

Составим по 2-му закону Кирхгофа систему уравнений для двух независимых контуров:

I11Z11 I22Z12 E11,

I11Z21 I22Z22 E22,

где Z	Z Z			3	15 j20 10 j50 25 j30 39,051e j50,194			Ом,
11		1
Z22 Z2		Z3 8 j50 10 j50 18 Ом – комплексные собственные сопро-
тивления первого и второго контуров;
Z Z	21	Z	3	Z		М	10 j50 j10 10 j40 41,231ej104,036		Ом – ком-
12

плексные взаимные сопротивления смежных контуров; E11 U 170 В, E22 0 – комплексные контурные ЭДС.

Заметим, что в комплексное взаимное сопротивление слагаемое ZМ входит со знаком минус потому, что контурные токи входят в разноименные выводы катушек (I11 – в начало первой катушки, а I22 – в конец второй).

Определим комплексы контурных токов как:

E11

Z

170 10 j40

12

E22

Z22

0

18

1,542 j0,206 1,555e

j7,595

I11

Z

Z

25 j30

10 j40

A,

11

12

10 j40

Z21

Z22

18

Z

E11

25 j30

170

11

10 j40

Z21

E22

0

0,4 j3,54 3,563e

j83,558

I22

Z

Z

25 j30

10 j40

A.

11

12

10 j40

Z21

Z22

18

Определив комплексы контурных токов, найдем комплексы реальных токов в ветвях методом наложения:

			j7,595
	I1 I11 1,542 j0,206 1,555e			A,

157

						0,4 j3,54 3,563e	j83,558
				I	2 I22			A,
									j71,095
	I3 I11		I22	1,542 j0,206 0,4 j3,54 1,142 j3,335 3,525e						A.

Рассчитаем падения напряжений на элементах схемы:

								j45,535
	U1к I1Z1 1,542 j0,206 15 j20 27,239 j27,753 38,887e								В,
					j173,558
	U1м ZМI2 j10 0,4 j3,54 35,405 j3,997 35,63e								В,
				27,239 j27,753 35,405 j3,997 8,166 j23,755
	U1	U1к	U1м
	25,12ej108,97			В,			j2,649
			0,4 j3,54 8 j50 180,222 j8,337 180,414e
	U2к I2Z2								В,
						j97,595
	U2м ZМI1 j10 1,542 j0,206 2,056 j15,418 15,555e								В,
	U2 U3		Uab	I3Z3 1,142 j3,335 10 j50 178,166 j23,755

179,743e j7,595 В.

Правильность расчета токов проверяем составляя уравнение баланса мощностей, для чего находим комплексную мощность источника и приемников:

			*		170 1,542 j0,206 262,11 j34,948 264,429e				j7,595
	SИСТ UI1									BA,
				*		*		*
	SH U1			I1 U2		I	2 U3	I3 8,166 j23,755 1,542 j0,206

178,166 j23,755 0,4 j3,54 178,166 j23,755 1,142 j3,335262,11 j34,948 264,429ej7,595 BA.

Баланс сошелся, следовательно, токи определены правильно.

ВД токов и напряжений представлена на рис. 5.4.2.б в масштабах: МI = 1 A/см, МU = 20 B/см. Из ВД видно, что напряжение U2 и ток I1 совпадают по фазе, что подтверждает наличие резонанса.

Рис. 5.4.2.б

Задача 5.4.3 Определить значение взаимной индуктивности М, при которой в первичной цепи ВТ, представленного на рис. 5.4.3, имеет место резонанс,

158

если: е(t) 220 2sin t			B, R1	= 25		Ом,	R2	= 15 Ом, L1 = 25		мГн,
L2 = 20 мГн, С = 50 мкФ,			Rн = 15	Ом,	Lн = 20 мГн, ω = 1000 рад/с. Опреде-
лить показания приборов и значения вносимых сопротивлений Rвн, Хвн из вто-
ричного контура ВТ в первичный.
						РЕШЕНИЕ:
					Вначале найдем реактивные сопротив-
					ления обмоток ВТ:
					XL1 L1			1000 25 10 3	25	Ом,
					XL2 L2			1000 20 10 3	20	Ом,
					Составим уравнения по 2-му закону
					Кирхгофа:
						E I1 R1 jXL1 jXC I2jXМ,
Рис. 5.4.3										jXн .
					0 I1jX			М I2 R2 Rн jXL2

Подставляя числовые значения в последнюю систему, получим:

	E I1		25 j25 j20 I2jXМ,				(1)
0 I1jXМ				I2 15 15 j20 j20 .
Упрощая (1), получим:				25 j5
		E I1			I2jXМ,		(2)
					30 j40 .
	0 I1jXМ I2
							I1jXМ
Выражаем ток I2	из второго выражения системы (2): I2							.
							30 j40

Полученное выражение для тока I2 подставляем в первое уравнение системы (2):

XМ

2

550 j1150 XМ

2

(3)

E I1

25 j5

I1

.

30 j40

30 j40

При резонансе напряжений входное реактивное сопротивление должно

E

быть равно нулю, т.е.: Im 0,

I1

Тогда из (3):

	550 j1150 XМ								2			550 j1150 XМ2 30 j40
	Im										Im
					30 j40											302 402
			2083,33 XМ				2					312,5 XМ		2		312,5 XМ	2
	Im								j									0,
				83,33							62,5					62,5
Решая данное уравнение, получим: XМ 17,677 Ом,
откуда М	XМ				17,677	17,677					мГн.

1000

159

Определив XМ , в соответствии с (3), найдем ток I1:

E

83,33 220

I1

7,652

А.

2083,33

XМ

2

2083,33 17,6772

83,33

Зная I1, найдем ток I2:

7,652 j17,677

j36,9

I1jXМ

2,164 j1,625 2,71e

I2

30 j40

30 j40

А.

Правильность расчета токов проверяем, составляя уравнение баланса мощностей, для чего находим комплексную мощность источника и приемников:

			SИСТ E	*
				I1 220 7,652 1683,44			BA,
	2	R1	jXL1 jXC I2	2	R2		*		*
SH I1						Rн jXL2 jXн I1 I		2 jXМ I2	I1 jXМ

7,6522 25 j5 2,712 30 j40 7,652 2,164 j1,625 j17,677

2,164 j1,625 4,652 j17,677 1683,6 BA.

Баланс сошелся, следовательно, величина коэффициента взаимоиндукции М и токи определены правильно.

Найдем величины вносимых сопротивлений:

Rвн

R2 Rн XМ2

15 15 17,6772

3,751 Ом,

R2 Rн 2

XL2 Xн 2

15 15 2

20 20 2

Хвн

XL2

Xн XМ

2

20 20 17,6772

5

Ом.

R2 Rн 2 XL2 Xн 2

15 15 2 20 20 2

Тогда ток I1

можно найти:

E

220

I1

7,652 А.

R1 Rвн j XL1 XC Хвн

25 3,751 j 25 20 5

Значение тока I1

совпало с ранее найденным, следовательно, вносимые сопро-

тивления определены верно.

Задача 5.4.4 В

цепи, представленной

на рис. 5.4.4,

при частоте

ω = 4000 рад/с имеет место резонанс токов. Определить значение взаимной ин-

дуктивности М, если: U = 50 B, R = 25 Ом, L1 = 50 мГн, L2 = 42,5 мГн,

С = 5 мкФ.

РЕШЕНИЕ:

Заданная электрическая цепь содержит параллельно соединенные магнитосвязанные катушки индуктивности и емкость в цепи первой катушки. Следовательно, в данной цепи может быть резонанс токов.

160