ПОСОБИЕ ЧАСТЬ 2 -цепи переменного тока

Рис. 2.1.9

РЕШЕНИЕ:

Реактивные сопротивления цепи найдем как: XL = L = 2 ·50·38,2·10–3 = 12 Ом,

XС		1		1				8 Ом.
		C		2 50 398 10 6
Полное сопротивление цепи:
Z	R2		(XL XС)2			32		(12 8)2	5 Ом.

Ток в цепи: I = U/Z = 220/5 = 44 A.

Угол сдвига фаз между током и напряжением:

arctgXL XС arctg12 8 53,1 .

R5

φ> 0, следовательно, цепь имеет активно-индуктивную реакцию (характер).

	Рассчитаем модули напряжения Ua, UL, UС:
			Ua = RI = 3·44 = 132 B;
			UL = XLI = 12·44 = 528 B;
			UС = XСI = 8·44 = 352 B.
	Выбираем		масштабы тока МI = 20					A/см	и	напряжения
	МU = 90	B/см и построим ВД (рис. 2.1.9.а), где результи-
	рующее		реактивное			напряжение		(по		модулю):
	Up = UL – UС = 176 B.
	Определяем мощности потребляемые элементами схемы:
	активная: P = RI2 = 3·442 = 5810 Вт
	иначе P = UaI = 132·44 = 5810 Вт
	или P = UIcos = 220·44·cos 53,1 = 5810									Вт.
	полная реактивная: Q = XI2 = (ХL – XС)I2 = 4·442 = 7750 BAp
	иначе Q = UpI = 176·44 = 7750 BAp
	или Q = UIsin = 220·44sin 53,1 = 7750 BAp
	или раздельно Q = QL – QС = XLI2 – XСI2 = 12·442 – 8·442 =
	= 23250 – 15500 = 7750 BAp.
	Вычисляем модуль полной мощности:
Рис. 2.1.9.а	S = UI = 220·44 = 9680 BA или S = ZI2 = 5·442 = 9680 BA
	иначе S		P2 Q2		58102 77502		9680		BA.

Задача 2.1.10 Последовательно соединены катушка индуктивности с параметрами L = 38,2 мГн, R1 = 10,5 Ом и конденсатор (с потерями) эквивалентные параметры которого С = 53,3 мкФ, R2 = 3,5 Ом (рис. 2.1.10). Модуль полного тока в цепи I = 2,4 A, частота f = 50 Гц. Требуется определить модуль приложенного напряжения U, напряжение на катушке U1 и на конденсаторе U2, а также мощность, потребляемую каждым из приемников. Найти добротность катушки, добротность конденсатора, угол диэлектрических потерь конденсатора . Построить ВД тока и напряжений.

41

РЕШЕНИЕ:

Для заданных R, L, C параметров и частоты определяем реактивное сопротивление катушки:

XL = L = 2 ·50·38,2·10-3 = 12 Ом и модуль полного сопротивления катушки:

Рис. 2.1.10

Z1

R12 XL

2

10,52 122 16 Ом.

Тогда падение напряжения на всей катушке: U1 = Z1I = 16·2,4 = 38,4 B, мощность, рассеиваемая ее активным сопротивлением:

P1 = R1I2 = 10,5·2,42 = 60,5 Вт,

определяем добротность катушки: QL

XL

12

1,14.

R1

10,5

Рассчитываем реактивное сопротивление конденсатора:

XC

1

1

60

Ом,

C

2 50 53,3 10 6

и его полное сопротивление: Z2

R22 XC

2

3,52 602

60,1 Ом,

Тогда падение напряжения на конденсаторе: U2 = Z2I = 60,1·2,4 = 144

B, а мо-

дуль мощности, расходуемой в конденсаторе: P2 = R2I2 = 3,5·2,42 = 20,2

Вт.

Определяем добротность конденсатора: QС

1

60

17,2.

CR2

3,5

Для

определения

угла

диэлектрических

потерь

конденсатора

2

С

рад, необходимо вначале найти угол сдвига фаз между током и

напряжением на конденсаторе ( С): C arctg

XC

arctg

60

86,7 ,

R2

3,5

тогда угол потерь 90

86,7

3,3 .

Для построения ВД рассчитываем модули падений напряжений на эле-

ментах схемы:

UL = XLI = 12·2,4 = 28,8 B,

Ua1 = R1I = 10,5·2,4 = 25,2 B,

UC = XCI = 60·2,4 = 144 B,

Ua2 = R2I = 3,5·2,4 = 8,4 B.

Выбираем масштабы тока МI = 1

A/см и напряжения МU = 20

B/см, и строим

ВД начиная с вектора тока I, как общего для всех элементов схемы.

Для построения векторов падений напряжений на R – L и R – C элементах определяем углы сдвига соответствующих падений напряжений и общего тока, а

также общего напряжения и тока в цепи: L arctg							XL	arctg			12		48,8 ,
										10,5
							R1
С arctg	XC	arctg	60	86,7 ,	arctg	XL XC			arctg			12 60			73,7 .
	R2					R1 R2
		3,5									10,5 3,5

42

Находим модуль приложенного напряжения: U = ZI

I(R1 R2)2 (XL XC)2 2,4(10,5 3,5)2 (12 60)2 12

и строим ВД токов и напряжений (рис. 2.1.10.а). Правильность решения задачи проверяем с помощью ба-

ланса активной мощности:

P0 P1 P2 – мощность, потребляемая сопротивлениями R1 и

R2.

P0 UIcos 120 2,4 cos( 73,3 ) 80,7 Вт ‒ активная мощность источника.

P0 P1 P2 60,5 20,2 80,7 Вт.

Баланс сходится, следовательно, расчет выполнен верно.

Рис. 2.1.10.а

Задача 2.1.11 Сопротивления приемников цепи (рис. 2.1.11) заданы: R1 = 6 Ом, XL1 = 8 Ом, R2= 12 Ом, XC1 = 5 Ом, XL2 = 14 Ом, R3 = 6 Ом, XL3 = 1 Ом, XC2 = 11 Ом. Известен модуль полного тока I = 5 A. Построить ТВД и определить по ней напряжение между точками "а" и "с", "с" и "f", "а" и "h", "а" и "к". Те же напряжения вычислить аналитически.

РЕШЕНИЕ:

При построении ТВД, векторы падений напряжения на отдельных приемниках (двухполюсниках) прикладываются последовательно начало последующего к концу предыдущему в том же порядке, в каком приемники включены друг за другом в цепи.

Рис. 2.1.11

Для построения ТВД необходимо рассчитать падения напряжений на приемниках и выбрать масштаб. При этом падения напряжений на резисторах (RI) совпадают по фазе с током, на индуктивных приемниках опережают ток на 90°, а на емкостных – отстают на 90°. Ток обычно откладывают по горизонтальной оси вещественных чисел. Для определения напряжения между некоторыми двумя точками в цепи следует соединить между собой эти точки на ТВД. Длина отрезка в выбранном масштабе ТВД определит искомое напряжение.

43

Найдем модули падения напряжений на приемниках заданной схемы:

Uab = R1I = 6·5 = 30 В,

Ubс = XL1I = 8·5 = 40 В,

Ucd = R2I = 12·5 = 60 В,

Ude = XC1I = 5·5 = 25 В,

Uef = XL2I = 14·5 = 70 В,

Ufg = R3I = 6·5 = 30 В,

Ugh = XL3I = 1·5 = 5 В,

Uhk = XC2I = 11·5 = 55 В.

Рис. 2.1.11.а

По найденным модулям падений напряжений, выбирая масштабы тока МI = 1 A/см и напряжений МU = 20 B/см, строим ТВД (рис. 2.1.11.а) и из нее находим искомые напряжения: Uaс = ac·МU = 2,5·20 = 50 В.

Аналогично находим: Ucf = 75 B, Uah = 150 B, Uak = 125 B.

Аналитический расчет: Uac I

R12 XL12 5

62 82

50

B,

Ucf I

R22

(XL2

XC1)2

5

122 (14 5)2

75

B,

Uch I

(R1 R2

R3)2

(XL1 XL2

XL3 XC1)2

5

242

182

150

B,

Uak I

(R1 R2

R3)2

(XL1 XL2

XL3 XC1 XC2)2

5

242

72

125 B.

Задача 2.1.12 По показаниям приборов, включенных в цепь (рис. 2.1.12) определить входной ток I, проходящий в неразветвленном участке цепи, его фазу относительно приложенного напряжения, а также сопротивление каждой ветви и полное входное сопротивление всей цепи. Заменить заданную цепь эквивалентной последовательной цепью с параметрами RЭ, XЭ. Построить ВД входного напряжения и тока, если показания измерительных приборов извест-

ны: U = 120 B, I1 = 3 A, I2 = 6 A, I3 = 2 A.

РЕШЕНИЕ:

	Т.к. параллельно включенные элементы
	идеальны, то I1 – это активная состав-
	ляющая полного тока, I2 – это реактивная
	индуктивная, I3 – реактивная емкостная
	составляющая полного тока
	Тогда полный входной ток найдем как:
	I	I12 (I2 I3)2				32 (6 2)2			5 А.
Рис. 2.1.12	Фаза тока относительно напряжения U:
			I2 I3				6 2
	i arctg				arctg			53,1 .
			I1
					3

44

Определяем сопротивление и проводимость отдельных ветвей цепи:

R	U					120			40			Ом,	G		1					1			0,025				См,
	I1																			40
					3										R
XL			U					120			20	Ом,	BL			1						1				0,05	См,
			I2													XL
					6															20
XС			U				120				60	Ом,	BC		1						1				0,0167		См.
			I3
					2									XC						60

Тогда полная активная GЭ и полная реактивная проводимости BЭ параллельно включенных ветвей могут быть найдены как:

GЭ G 0,025

См, BЭ BL BС 0,05 0,0167 0,0333 См т.к. BЭ > 0, то

реактивная проводимость имеет индуктивный характер.

Полная проводимость всей цепи определяется геометрически как гипотенуза прямоугольного треугольника

(рис. 2.1.12.а):

YЭ

GЭ2 BЭ2

0,0252 0,03332

0,0417 См,

arctg BЭ arctg0,0333 53,1 ,зная YЭ можно найти GЭ 0,025

	Рис. 2.1.12.а	1		1
	ZЭ: ZЭ				24 Ом.
				0,0417
		YЭ

Проверяем расчет тока, используя параметры схемы:

I UYЭ	U		120	5 A.
	ZЭ
		24

Параметры эквивалентной последовательной цепи определяем по формулам

перехода: RЭ	GЭ		0,025		14,4	Ом, XЭ	BЭ		0,0333	19,2 Ом.
	2		0,0417	2			2		2
	YЭ						YЭ		0,0417

Угол сдвига фаз между общим током и напряжением:

arctgXЭ arctg19,2 53,1 .

RЭ

14,4

Проверка расчета ZЭ: ZЭ

RЭ2

XЭ2

14,42 19,22

24

Ом.

Зная полный ток I, RЭ и XЭ определяем падения напряжений на элементах экви-

валентной схемы (рис. 2.1.12.б):

Ua = RЭI = 14,4·5 = 72 B;

UL = XЭI = 19,2·5 = 96 B.

Выберем масштабы тока МI = 2

A/см и напряжения МU = 40 B/см и стро-

им ВД входного тока и напряжения (рис. 2.1.12.в). I и U. Вектор входного на-

пряжения при этом опережает вектор входного тока на угол φЭ, равный ψi:

XЭ

I2

I3

6 2

Э arctg

i arctg

arctg

53,1 .

RЭ

I1

3

45

Рис. 2.1.12.б

Рис. 2.1.12.в

Рис. 2.1.12.г

Задача 2.1.13 Для определения параметров конденсатора с потерями (C, R) цепь на рис. 2.1.13 подключена к синусоидальному источнику с действующим напряжением U = 200 В и частотой f = 50 Гц. Показания амперметра I = 3 А, ваттметра P = 20 Вт. Определить добротность конденсатора и параметры эквивалентной последовательной схемы замещения исходной цепи.

РЕШЕНИЕ:

Используя показания измерительных приборов, находим параметры параллельно включенных ветвей:

																				G			1									P									20			0,0005			См,
																								R							U2
																																			2002
																				R					1										1								2			кОм,
			Рис. 2.1.13																						G							5 10 4
																				Y				I							3							0,015							См,
																								U							200
ВС C			Y2 G2							0,0152 0,00052										0,015										См,								тогда							емкость		и доброт-
ность конденсатора:																												1																		1
C	ВС			0,015				47,7								мкФ,					QC																											30.
																										CR													314 47,7 10 6 2 103
				2 50
Определяем параметры последовательной схемы замещения (рис.
2.1.13.а), используя те же самые показания измерительных приборов:
				RЭ			P				20				2,22		Ом,					ZЭ								U							200					66,7				Ом,
											32
							I2																							I					3
						1
				XЭ												ZЭ2 RЭ2					66,7							2 2,222													66,7					Ом,
							CЭ
				CЭ		1									1			47,7 мкФ.
						XЭ
														314 66,7

Рис. 2.1.13.а

Добротность конденсатора: QС XЭ 66,7 30. RЭ 2,22

46

Результаты для параллельной и последовательной схем совпали, следовательно, расчеты выполнены верно.

Задача 2.1.14 Цепь, состоящая из трех параллельных ветвей (рис. 2.1.14) подключена к генератору с напряжением U = 60 B. Сопротивления элементов: R = 30 Ом, XL = 60 Ом, XC = 20 Ом. Определить модуль входного тока I, угол сдвига фаз между общим напряжением и током φ. Построить ВД входного напряжения и тока.

РЕШЕНИЕ:

Используя исходные данные, найдем модули токов в параллельных ветвях, включенных на одно напряжение:

Ia

U

2

A, IL

U

1

A, IC

U

3 A,

R

XL

XC

Тогда модуль полного входного тока:

Рис. 2.1.14

I

Ia2 (IL IC)2

22

(1 3)2

2,82 A.

Для построения ВД входного напряжения и тока выберем масштабы тока МI = 1 A/см и напряжения МU = 20 B/см. Построение ВД (рис. 2.1.14.а) начинаем с вектора общего напряжения, который откладываем вдоль оси вещественных чисел.

Активная составляющая полного тока будет совпадать с вектором напряжения, а реактивные IC и IL будут пер-

пендикулярны. IL – отстает на 90° (в индуктивности ток

"ленивый"), IC опережает вектор напряжения на 90° (в емкости ток "спешащий").

Угол arctgIL IC arctg1 3 45 , Ia 2

Можно рассмотреть иначе:

arctgB arctgBL BC arctg160 120 45 .

G G 130

Рис. 2.1.14.а

Задача 2.1.15 Три амперметра включены в цепь синусоидального тока, как показано на рис. 2.1.15. Их показания известны: IА = 6,5 A, IА1 = 3,5 A, IА2 = 4 A. Резистор R2 имеет сопротивление 30 Ом, частота источника f = 50 Гц. Требуется определить параметры катушки индуктивности L и активное сопротивление катушки R, мощность Pк, потребляемую катушкой.

РЕШЕНИЕ:

Проще всего задача решается с помощью ВД. Вначале определим напряжение U на входе цепи, которое численно равно падению напряжения в рези-

сторе R2: U R2I2 30 4 120 В.

47

		Построение ВД напряжения и токов (рис.
		2.1.15.а) производим в следующим образом:
		Вначале	выбираем	масштабы	по	току
		МI = 1	A/см и напряжению МU = 20			B/см и
		горизонтально направляем вектор			напряже-
		ния U UR2 вдоль оси вещественных чисел.
				откладываем вектор тока
		Вдоль вектора UR2
		I2 т.к. в активном сопротивлении они совпа-
		дают по фазе.
		Затем из начала координат или вектора I2 де-
Рис. 2.1.15		лаем засечку радиусом, равным полному току
		I, а из конца вектора тока I2 радиусом, рав-
		ным I1 делаем вторую засечку.
Находим точку пересечения и строим векторы токов I и I1, а затем стро-
им параллелограмм токов I1,	I2	и I, после чего проектируем вектор общего на-
пряжения U на направление вектора тока			I1, построенного из начала координат

инаходим составляющие падений напряжений на катушке: активную Uа = 62 B

иреактивную UL = 103 B.

Определяем параметры катушки:

L	UL				103			93,3 мГн,
	I1
					314 3,5
R		UR				62	17,7 Ом.
					3,5
		I1

Мощность, рассеиваемая в катушке:

P RI12	17,7 3,52	217 Вт.
к

Рис. 2.1.15.а

Задача 2.1.16 Цепь, состоящая из двух параллельных ветвей (рис. 2.1.16.а) подключена к источнику синусоидального напряжения U = 130 B. Параметры приемников известны: R1 = 8 Ом, XL = 6 Ом, R2 = 12 Ом, XC = 5 Ом. Требуется определить все токи, параметры эквивалентной последовательной схемы замещения. Построить ТВД. Найти активные, реактивные, полные мощности каждой ветви и всей цепи. Рассчитать напряжение между точками "a" и "b".

РЕШЕНИЕ:

В общем случае преобразование параллельно-последовательной схемы в эквивалентную производится в два этапа (рис. 2.1.16.а – 2.1.16.в).

48

Рис. 2.1.16.а

Рис. 2.1.16.б

На 1-м этапе найдем проводимость ветвей и всей цепи по формулам перехода:

		G1				R1							82			0,08		См,
			R12 XL2									82 62
		B1				XL							6			0,06		См,
				R12 XL2									82 62
		G2				R2							12				0,071		См,
						R22 XC2								122 52
	Рис. 2.1.16.в	B2				XC								5			0,0296		См,
					R22 XC		2						122 52

Тогда суммарная активная и реактивная проводимости будут иметь вид:

G G1 G2 0,151 См,

B B1 B2 0,0304 См.

Откуда следуем, что цепь имеет активно-индуктивный характер. Найдем угол сдвига общего напряжения и входного тока, а также модуль

полной проводимости параллельного контура:

	arctg			B	arctg	0,0304							11,3 ,			Y
																	G2	B2				0,1512	0,03042						0,154			См.
						0,151
				G
		Рассчитаем модули входного тока I и токов в параллельных ветвях ис-
										: I UY 130 0,154								A,
	ходной схемы I1						и I2
	I1				U					130					13	А,		I2				U						130			10	A,
			R12 XL2						82 62												R22 XC2					122 52
		Зная параметры элементов параллельных ветвей, найдем углы сдвига ме-
	жду общим напряжением и токами в параллельных ветвях:
					1 arctg						6		36,9 ,								2 arctg				5			22,7 .
										8													12

На 2-м этапе определяем параметры последовательной схемы замещения

(рис. 2.1.16.г).

49

RЭ

G

0,151

6,38

Ом,

Y2

0,1542

XЭ

B

0,0304

1,28

Ом,

Y2

0,1542

Рис. 2.1.16.г

arctg

XЭ

arctg

1,28

11,3 .

R

6,38

Для построения ВД (рис. 2.1.16.д) рассчитаем модули падения напряже-

ний на отдельных приемниках:

Uа1 R1I1 104 B,

Uа2 R2I2 12 10 120

B,

UL XLI1 6 13 78 B,

UC XCI2 5 10 50 B.

и выберем масштабы для тока МI = 4 A/см и напряжения МU = 20 B/см.

Порядок построения ВД (рис. 2.1.16.д):

Вначале, вдоль оси вещественных чисел, в

масштабе откладываем вектор тока 1-ой вет-

ви I1. Затем из начала координат (из точки

"о") откладываем вектор падения напряже-

ния в

активном сопротивлении

1-ой

вет-

совпадающий с вектором тока

виUа1,

I1.

Конец вектора

Uа1 дает потенциальную точ-

ку "a". Из точки "a" в сторону опережения на

90° относительно вектора тока I1 (или век-

Рис. 2.1.16.б

тора Uа1) откладываем вектор падения на-

пряжения в индуктивности 1-ой ветви UL.

Геометрическая сумма векторов Uа1 и

UL дает вектор приложенного на-

циркулем с радиусом равным току

пряжения U. Далее, из конца вектора тока

I1

2-ой ветви I2 описываем первую дугу окружности, а затем из начала вектора

тока I2 (начала координат) циркулем с радиусом равным входному току I опи-

сываем вторую дугу. Точка пересечения двух дуг дает косоугольный треугольник, который используем для построения параллелограмма токов I, I1, I2.

Затем вдоль вектора тока I2 откладываем вектор падения напряжения в активном сопротивлении второй ветви Uа2. После чего под углом 90° к вектору

Uа2 строим вектор падения напряжения в конденсаторе UС. Геометрическая сумма векторов Uа2 и UС также дает вектор приложенного напряжения U.

Векторы Uа1 и UL также как и векторы Uа2 и UС являются проекциями вектора общего напряжения U на оси вещественных и мнимых чисел. На ВД отмечаем угол сдвига фаз φ между общим током I и напряжением U. Находим модуль напряжения Uab между точками "a" и "b" по диаграмме. В принятом масштабе напряжений он определяется отрезком "ab": Uab ab MU 5,6 20 112 B.

50