ПОСОБИЕ ЧАСТЬ 2 -цепи переменного тока

Тогда эквивалентное полное реактивное сопротивление:

X

Z2 R2

302 122

27,5 Ом.

Аналогично по показаниям приборов во 2-ом опыте находим модуль полного и реактивного сопротивлений:

		U		120						16 Ом.
	Z				20 Ом,	X	Z2 R2		202 122
		I
			6

Эквивалентное реактивное сопротивление катушек при согласном и встречном включениях определяются из выражений:

Xсогл XL1 XL2 2XМ.			Xвстр XL1 XL2 2XМ.
Тогда сопротивление магнитной связи XМ :
XМ	Xсогл Xвстр		27,5 16		2,875 Ом.
			4
4

5.2 Примеры расчета простых электрических цепей при параллельном соединении магнитосвязанных катушек

Задача 5.2.1 В электрической схеме, представленной на рис. 5.2.1, две катушки со встречным включением соединены параллельно. Определить токи и

составить уравнение баланса мощностей, если: u(t) 141,12sin t 45 B,

R1 = 12 Ом, R2 = 4 Ом, R3 = 6 Ом, XL1 = 16 Ом, XL2 = 12 Ом, XС = 8 Ом, XМ = 6 Ом.

РЕШЕНИЕ:

Определим комплексные сопротивления ветвей и взаимоиндуктивное сопротивление катушек:

Z1 R1 jXL1 12 j16	Ом,
Z2 R2 jXL2 4 j12	Ом,
Z3 jXС j8 Ом,
ZМ jXМ j6 Ом.

Т.к. все ветви включены параллельно, на одно Рис. 5.2.1 напряжение, то можно найти токи в ветвях с

учетом магнитной связи между катушками:

Z2 ZМ

100e

j45

4 j12 j6

I1

UY1экв U

Z Z

2

Z

М

2

12 j16 4 j12 j6 2

1

7,837 j0,69 7,868ej5,03

А,

Z1 ZМ

100e

j45

12 j16 j6

I2

UY2

экв U

Z Z

2

Z

2

12 j16 4 j12 j6 2

1

М

10,494 j2,049 10,693e j11,05 А,

141

				100e	j45
		U				1,414 j9,899 10e	j98,13
I3								А,
		Z3		6 j8

I I1 I2 I3 7,837 j0,69 10,494 j2,049 1,414 j9,899 16,917 j8,5418,951ej26,785 А.

Правильность расчета токов проверяем с помощью уравнения баланса мощностей, для чего определяем комплексную мощность источника и потребителей:

			*	j18,22
	SИСТ UI 70,71 j70,71 16,917 j8,54 1800 j592,368 1894,967e				BA,

SH I12Z1 I22Z2 I32Z3 I1 *I2 ZМ I2 *I1 ZМ 7,8682 12 j16 10,6932 4 j12

102 6 j8 7,837 j0,69 10,494 j2,049 j3 7,83 j0,69 10,494 j2,04 j3

1800 j592,368 1894,967ej18,22 BA.

Откуда следует, что баланс мощностей выполняется. Цепь рассчитана верно.

Задача 5.2.2 В электрической схеме, представленной на рис. 5.2.2, параллельно включены две катушки с магнитной связью. Определить токи, если:

u(t) 502sin t 60 B, R1 = 5 Ом, R2 = 6 Ом, R3 = 10 Ом, XL2 = 12 Ом, XL3 = 20 Ом, XМ = 6 Ом.

РЕШЕНИЕ:

Катушки включены встречно, поэтому эквивалентное сопротивление цепи вычисляем по формуле:

Z

экв

Z

Z2Z3 ZМ2

1

Z2 Z3 2ZМ

R1

R2 jXL2 R3 jXL3 jXМ 2

R2 jXL2 R3 jXL3 j2XМ

5 6 j12 10 j20 j6 2

Рис. 5.2.2

6 j12 10 j20 2 j6

8,766 j4,642 9,919ej27,9 Ом.

Зная Z

на основании закона Ома находим входной ток I1:

экв

j60

50e

j32,09

U

4,27 j2,678 5,04e

I1

А.

Zэкв

9,919ej27,9

Для нахождения токов в катушках определим напряжение на параллельном участке цепи, используя 2-й закон Кирхгофа:

142

U2 U3 U I1Z1 25 j43,3 4,27 j2,678 5 3,65 j29,91

30,132ej83,04 В.
Тогда:			Z3 ZМ						10 j20 j6
						3,65 j29,91
I2	U2		Z2Z3 ZМ		2			6 j12 10 j20 j6 2
2,57 j1,5 2,976ej30,27							А,
			Z2 ZМ		4,315 j30,379				6 j12 j6
I3 U2		Z2Z3 ZМ		2					6 j12 10 j20 j6 2
1,701 j1,132 2,043ej33,64							А.

5.3 Примеры расчета сложных электрических цепей при наличии магнитосвязанных катушек

Задача 5.3.1 Определить токи в первичной и вторичной обмотках ВТ,

		j60
	представленного на рис. 5.3.1, если U 200e		В, R1	= 4 Ом, R2	= 6 Ом,

ХL1 = 9 Ом, ХL2 = 16 Ом, Zн 6 j8 Ом. Определить значения вносимых сопротивлений Rвн, Хвн, если коэффициент магнитной связи К = 0,7.

РЕШЕНИЕ:
Определим взаимоиндуктивное					сопротив-
ление:
ХМ К		0,7		8,4	Ом.При
	XL1XL2		9 16

заданных направлениях токов и маркировки катушек имеет место встречное включение обмоток ВТ.

Рис. 5.3.1 Составим уравнения по 2-му закону Кирхгофа для первичной и вторичной цепи ВТ и подставим в них неизвестные параметры:

U I1 R1 jXL1 I2jXМ,

0 I2 R2 jXL2 I2Zн I1jXМ.100 j173,2 I1 4 j9 I2j8,4,0 I2 6 j16 6 j18 I1j8,4.

Из второго уравнения последней системы выразим ток I2:

		j8,4		0,28 j0,14 ,
I2	I1	12 j24	I1

и подставим ток I2 в первое уравнение:

100 j173,2 I1 4 j9 I1 0,28 j0,14 j8,4,

143

			100 j173,2	23,512 j3,264 23,737e	j7,9
		откуда: I1				А.
			5,176 j6,648
	Зная I1, найдем I2:						j34,47
		0,28 j0,14 23,512 j3,264 0,28 j0,14 6,126 j4,206 7,431e						А.
I2	I1

Правильность расчета токов проверяем, составляя уравнение баланса мощностей, для чего определяем комплексную мощность источника и потребителей:

*

j52,09

SИСТ U1 I1 100 j173,2 23,512 j3,264 2917 j3746 4747,78e

BA,

2

2

2

*

*

2

4 j9

Zн I1 I2

jXМ I2 I1 jXМ 23,737

SH I1

R1 jXL1 I2

R2 jXL2 I2

7,4312 6 j16 7,4312 6 j8 23,512 j3,264 6,12 j4,206 j8,4

23,512 j3,264 6,12 j4,206 j8,4 2917 j3746 4747,78ej52,09

BA.

Баланс сошелся, следовательно, токи определены правильно.

Найдем вносимые сопротивления:

2

Rвн

XМ

R22,

R22

2 X22

2

где R22 R2

Rн 6 6 12 Ом, X22

XL2 Хн 16 8 24 Ом, откуда:

Rвн

8,42

12 1,176

Ом,

122 242

2

Хвн

XМ

X22

R22

2 X22

2

8,42

24 2,352

Ом.

122

242

Можно вычислить ток первичной обмотки

ВТ I1

через вносимые сопротивления:

U1

I1

R1 Rвн j XL1 Хвн

100 j173,2

23,512 j3,264

Рис. 5.3.1.а

4 1,176 j 9 2,352

23,737ej7,9

А,

который совпадает с уже найденным током I1.

ВД воздушного трансформатора приведена на рис. 5.3.1.а, в масштабах:

МI = 6

A/см,

МU = 60 B/см.

Задача 5.3.2 Определить токи в схеме, представленной на рис. 5.3.2, с помощью метода "уравнений Кирхгофа", правильность расчета проверить с по-

144

мощью баланса мощностей, если:	J 5	А, Е1 14,14ej45 В, R1 = 5	Ом,
R2 = 10 Ом, R3 = 20 Ом, XL3	= 10	Ом, XL4 = 20 Ом, XC5 = 30	Ом,
XМ34 = 10 Ом.

РЕШЕНИЕ:

В данной схеме 6 ветвей, 4 узла и 3 независимых контура (mнез = 3). Произвольно задаем положительные направления токов в ветвях и заменяем сопротивления ветвей полными комплексными сопротивлениями, в результате получим схему, представленную на рис. 5.3.2.а. Т.к. в схеме есть источник тока, то для расчета токов составляем два

Рис. 5.3.2 уравнения по 2-му и три по 1-му законам Кирхгофа.

Выразим ЭДС источника в алгебраической форме:

Е1 14,14ej45 10 j10 В.

Выбираем в качестве независимых контуров, контура не содержащие ис-

точник тока: "Е1 – R1 – b – R3 – jXL3 – с – Е1" и "Е1 – R1 – b – jXL4 – а – R2 – d – jXC5 – с – Е1" и учитываем при их обходе наличие магнитной связи между катушками XL4 и XL3.

				Полные комплексные сопротивления вет-
				вей:
					Z1 R1 5		Ом, Z2 R2 10 Ом,
					Z3 R3 jXL3			20 j10
					22,36ej26,56			Ом,
					Z4 jXL4 j20 20ej90 Ом,
					Z5 jXС5		j30 30e j90 Ом,
					ZМ34 j10 10ej90 Ом.
Рис. 5.3.2.а				Уравнения по 1-му закону Кирхгофа:
										0,
				для узла "a": J I4 I2
										0,
				для узла "b": I1				I4	I3
										0.
				для узла "c": I3				I5	I1
Отсюда I2		J I4,		I	3 I1	I4,	I5 I4.
Уравнения для независимых контуров по 2-му закону Кирхгофа:
							,
	I1Z1 I3Z3			I4 ZМ34 E1
I1Z1	I4 Z4 I3ZМ34 I2 Z2 I5Z5							E1.

145

Подставим в последнюю систему значения токов из уравнений, составленных по1-му закону Кирхгофа:

				I1Z1 I1		I	4 Z3 I4ZМ34 E1,
										Z5
I1Z1			I	4Z4 I1	I4	ZМ34 J I4 Z2 I4					E1.
После группировки получим:
								Z3
				I1 Z1	Z3 I4 ZМ34				E1,
		Z1 ZМ34 JZ2					I4 Z4 ZМ34		Z2 Z5 E1.
	I1

Подставляем в уравнений последней системы, значения сопротивлений и

ЭДС:

I1 5 20 j10 I4 j10 20 j10 10 j10,

I1 5 j10 5 10 I4 j20 j10 10 j30 10 j10.

После упрощений, получим:

	I1 25 j10 I4 20 10 j10,
	5 j10 I4 10 j20 40 j10.
I1

Откуда:

10 j10

20

40 j10

10 j20

0,86 j0,13 0,87e

j18,86

I1

А,

25 j10

20

5 j10

10 j20

25 j10

10 j10

5 j10

40 j10

1,51 j1,09 1,86e

j215,82

I4

А.

25 j10

20

5 j10

10 j20

Определяем остальные токи по 1-му закону Кирхгофа:

5 1,51 j1,09 3,49 j1,09 3,66e

j17,34

А,

I2

J I4

j55,9

0,86 j0,13 1,51 j1,09 0,65 j0,96 1,16e

А,

I3

I1

I4

1,51 j1,09 1,86e

j35,82

А.

I5

I4

На основании 2-го Кирхгофа найдем напряжение на зажимах источника

тока:

3,49 j1,09 10 34,9 j10,9 36,56e

j17,34

B.

UИТ

I2Z2

Правильность

расчета токов

проверяем, составляя

уравнение

баланса

мощностей, для чего определяем комплексную мощность источника и потребителей:

		*		*
SИСТ E1		I1 UИТ J 10 j10 0,86 j0,13 34,9 j10,9 5

164,6 j61,8 175,82e j20,58 BA,

146

2

2

2

2

2

*

*

2

Z4 I5

Z5

I

3 I4 ZМ34

I

4 I3 ZМ34 0,86

5

SH I1

Z1 I2

Z2 I3

Z3 I4

3,662 10 1,162 20 j10 1,862 j20 1,862 j30

0,65 j0,96 1,51 j1,09 j10 1,51 j1,09 0,65 j0,96 j10

164,6 j61,8 175,82e j20,58 BA.

Баланс сошелся, следовательно, токи определены правильно.

Задача 5.3.3 Определить токи в схеме, представленной на рис. 5.3.3, методом "контурных токов", правильность расчета проверить с помощью баланса

мощностей,	если:	J	2	4 j3 А,	Е	100 j100	В,	Z j10		Ом,
					1			1
Z2 10 Ом,	Z3 4 j3 Ом,				Z4 j20 Ом,		Z5	10 j10		Ом,
Z6 8 j6 Ом, ZМ13		j5 Ом.
					РЕШЕНИЕ:
					Заданная цепь содержит 6 ветвей, 4
					узла, один источник ЭДС, и один ис-
					точник тока, которые образуют 3 не-
					зависимых контура (mнез = 3).
					Т.к. в цепи есть источник тока, то
					число уравнений, составляемых по 2-
					му закону Кирхгофа, уменьшается на
					одно: mнез – 1 = 2.
					Задаем контурные токи I11				, I22	и I33
					и их направление в ветвях, при этом
					учтем,					что
	Рис. 5.3.3				I33	J2 4 j3 5ej36,87			А.

Выбираем независимые контура "Е1 – Z3 – Z4 – Z1 – Е1" и "Z4 – Z6 – Z5 – Z4" и составляем для них систему из двух уравнений по 2-му закону Кирхгофа:

I11Z11 I22 Z12 I33Z13 E11,

I11Z21 I22Z22 I33Z23 E22.

Определяем собственные и взаимные сопротивления контуров:

Z

Z Z

3

Z

4

2Z

М13

j10 4

j3 j20 2 j5 4 j3 5ej36,87 Ом,

11

1

8 j6 18 j16 24,08e j41,63 Ом,

Z22 Z4

Z5 Z6

j20 10 j10

Z

Z

21

Z

4

j20 20e j90

Ом,

12

4 j3 j5 4 j8 8,94ej243,43 Ом,

Z

Z

31

Z

3

Z

М13

13

Z23 Z5

10

j10 14,14ej45

Ом.

Контурные ЭДС:

147

E11 E1 100 j100 141,42ej45

В, E22 0.

Перепишем систему уравнений, составленную по 2-му закону Кирхгофа, с учетом собственных и взаимных сопротивлений, а также контурных ЭДС:

I11	4 j3 I22 j20			I33 4 j8 100 j100,
	I11 j20 I22 18 j16 I33 10 j20 0.
			4 j3	А, перепишем систему уравнений:
Учитывая, что I33		J2

I11 4 j3 I22 j20 92 j144,I11 j20 I22 18 j16 10 j70.

и определяем контурные токи I11 и I22:

92 j144

j20

10 j70

18 j16

10,27 j1,97 10,46e

j10,86

I11

4 j3

j20

А,

j20

18 j16

4 j3

92 j144

j20

10 j70

5,27 j2,84 5,99e

j151,68

I22

А,

4 j3

j20

j20

18 j16

Используя метод наложения, определяем значения реальных токов в вет-

вях:

j10,86

I1 I11 10,27 j1,97 10,46e

А,

j36,87

I2 I33 J2 4 j3 5e

А,

j9,33

10,27 j1,97 4 j3

6,27 j1,03 6,35e

I3 I11 I33

А,

10,27 j1,97 5,27 j2,84 5 j4,81 6,94e

j43,89

I4 I11 I22

А,

4 j3 5,27 j2,84 1,27 j5,84 5,98e

j102,27

I

5 I33 I22

А,

5,27 j2,84 5,27 j2,84 5,99e

j28,32

I

6 I22

А.

На основании 2-го Кирхгофа определяем напряжение на зажимах источника тока:

UИТ I2 Z2 I5Z5 I3Z3 I1ZМ13 4 j3 10 1,27 j5,84 10 j10

ej168,87

6,27 j1,03 4 j3 10,27 j1,97 j5 49,42 j9,72 50,37 B.

Правильность расчета токов проверяем составляя уравнение баланса мощностей, для чего определяем комплексную мощность источника и потребителей:

		*		*	100 j100 10,27 j1,97 49,42 j9,72 4 j3
SИСТ E1		I1 UИТ J2

1055 j1017 1466ej43,94 BA,

148

2

2

2

2

2

Z5 I6

2

Z6

*

*

SH I1

Z1 I2

Z2 I3

Z3 I4

Z4 I5

I1 I3 ZМ13 I3

I1 ZМ13

10,462

j10 52 10 6,352

4

j3 6,942 j20 5,982

10 j10

5,992 8 j6 10,27 j1,97 6,27 j1,03 j5 10,27 j1,97 6,27 j1,03 j5

1055 j1017 1466ej43,94 BA.

Баланс сошелся, следовательно, токи определены правильно.

Задача 5.3.4 Определить токи в схеме, представленной на рис. 5.3.4, методом контурных токов, правильность расчета проверить с помощью баланса

		Ом, R2 = 8	Ом, R3 = 10 Ом,
мощностей, если: U 100 В, R1 = 10
R4 = 5 Ом, L1 50	Ом, L2 30	Ом, L3 20	Ом, ХС3 10 Ом,

ХС4 20 Ом, М13 10 Ом, М23 20 Ом.

РЕШЕНИЕ:

В данной схеме 4 ветви и 3 неза-

висимых контура (mнез = 3). Произвольно задаем положительные направления токов в ветвях и заменяем сопротивления ветвей полными комплексными сопротивлениями. В результате получаем схему, представленную на рис. 5.3.4.а.

Рис. 5.3.4

Рассчитываем комплексные сопротивления ветвей, включая взаимоиндуктивные сопротивления:

Z R1 j L1 10 j50 51ej78,69 Ом,
1	j L2 8 j30 31,05ej75,06 Ом,
Z R2
2	j L3 ХС3 10 j10 14,14ej45 Ом,
Z3 R3
Z4 R4	jХС4 5 j20 20,62e j75,96	Ом,
ZМ13 j М13 j10 10ej90 Ом, ZМ23		j М23 j20 20ej90 Ом.

Для схемы, представленной на рис. 5.3.4.а задаем направления контурных токов и составляем по 2-му закону Кирхгофа систему уравнений для трех независимых контуров:

149

,

I

Z I

Z I

33

Z E

11

11

22

12

13

11

I11Z21

I22Z22

I33Z23

E22,

I22Z32 I33Z33 E33.

I11Z31

Определяем собственные и взаимные сопро-

тивления контуров:

Z11 Z1 Z2 10 j50 8 j30

18 j80 82ej77,32

Ом,

Z22 Z2

Z4

8 j30 5 j20

Рис. 5.3.4.а

13 j10 16,4ej37,57

Ом,

Z33 Z3 10 j10 14,14ej45

Ом,

Z

Z

21

Z

2

8 j30 31,05ej255,07

Ом,

12

j10 10ej90

Z

Z

31

Z

М13

Ом,

13

j20 20e j90 Ом.

Z23 Z32

ZМ23

Находим контурные ЭДС:

E11

U 100 В,

E22

E33 0.

Подставляя в записанную выше систему уравнений собственные и взаимные сопротивления, а также контурные ЭДС:

I11 18 j80 I22 8 j30 I33 j10 100,I11 8 j30 I22 13 j10 I33 j20 0,

I11 j10 I22 j20 I33 10 j10 0.

Вычислим определители системы:

18 j80

8 j30

j10

8 j30

13 j10

j20

600 j31100,

j10

j20

10 j10

100

8 j30

j10

1

0

13 j10

j20

43000 j23000,

0

j20

10 j10

18 j80

100

j10

2

8 j30

0

j20

2000 j38000,

j10

0

10 j10

18 j80

8 j30

100

3

8 j30

13 j10

0

50000 j3000.

j10

j20

0

150