ПОСОБИЕ ЧАСТЬ 2 -цепи переменного тока

По результатам расчетов сведенных в табл. 4.3.1 строим частотные характеристики заданной схемы (рис. 4.3.1.а)

Рис. 4.3.1.а

Задача 4.3.2 Определить частоты, при которых в цепи, представленной на рис. 4.3.2 возникает резонанс, если: L1 = L2 = 0,04 Гн, С1 = С2 = 25 мкФ.

РЕШЕНИЕ:

В заданной цепи возможен резонанс напряжений в последовательном контуре, образованном элементами L2 – C2, при резонансе токов в параллельном контуре, образованном

Рис. 4.3.2

элементами L1 – C1 и резонанс напряжений в эквивалентном последовательном колебательном контуре LЭ – CЭ к которому может быть преобразована заданная цепь.

Найдем вначале частоту резонанса токов:

			1				1		1000 рад с.
от			L1C1				4 10 2 25 10 6

Частоты резонанса напряжений определим из условия равенства нулю эквивалентного реактивного сопротивления цепи:

		j L1	1
Zэкв j L2				j C1				j	1	0,
			1
									C2
		j L1
					C1
	131

откуда после группировки:

L1

1

C1

j L2

j

0,

C2

L1

1

C1

учитывая, что L1C1 L2C2

L1C2

0,04 25 10 6

10 6, подставим в по-

следнее уравнение числовые данные L – C параметров элементов и получим

биквадратное уравнение, записанное относительно угловой частоты:

10 6 2 1 2 10 6 2.

Решение

биквадратного

уравнения

дает:

1

1618 рад/с,

2

618 рад/с,

В соответствии с мнемоническим правилом,

т.к. в исходной

цепи нет контура для протекания постоянного тока, то первым по частоте будет резонанс напряжений в контуре L2 – C2, вторым – резонанс токов в контуре L1 – C1, а третьим снова резонанс напряжений в эквивалентном последовательном контуре LЭ – CЭ, что соответствует правилу чередования нулей и полюсов амплитудно-частотных характеристик электрических цепей.

Задача 4.3.3 При 1 600 рад/с, 2 800 рад/с в цепи, представленной на рис. 4.3.3 возникает резонанс напряжений. Определить частоту резонанса токов, если: С1 = С2.

РЕШЕНИЕ:

Принимаем С1 = С2 = С и записываем выражения частот ω01 и ω02:

	01					1				600	рад с,
						L1C
Рис. 4.3.3	02					1				800	рад с.
						L2C

Для параллельного контура условие резонанса токов имеет вид:

					L1					1				1			L2,
										C
														C						2
после группировки получим:													L1 L2									,
																				C
откуда: от				2									2					.
					С L1 L2							L1С L2С
Определим L1С и L2С и подставим в выражение для расчета от:
L1С	1	0,0278 10 4,																	L2С		1			0,0156 10 4	,
	6002																				8002
			от						2 104								680			рад с.
							0,0278 0,0156

132

Задача 4.3.4 Для схемы, представленной на рис. 4.3.4, определить частоты на которых будут возникать резонансные режимы. Найти сопротивления цепей на указанных режимах, если: R2 = 20 Ом, L1 = 25 мГн, L2 = 75 мГн, C = 10 мкФ.

РЕШЕНИЕ:

В цепи на рис. 4.3.4 есть контур для протекания

постоянного тока, поэтому первым будет на-

блюдаться резонанс токов. Если обе параллель-

ные ветви содержат активные сопротивления, то

резонансная

частота

реального

параллельного

контура

определяется

из

выражения

оти

2 RL2

, где для исходной схемы

от

2 RC2

Рис. 4.3.4

L2

C,

резонансная частота идеального па-

раллельного контура

оти 1

L2С, RL R2,

RС 0.

Частоту для заданного параллельного контура определим как:

от

1

L2 С R2

2

1

75 10 3

10 5 502

942,809 рад с,

L2 С

75 10 3 10 5

L2C

75 10 3 10 5

Определим циклическую частоту и рассчитаем сопротивления схемы на

резонансной частоте: fот

от

942,81

150,05 Гц,

2

2

XL1 отL1

945,81 25 10 3

23,57

Ом,

XL2 отL2

945,81 75 10 3

70,71

Ом,

XC

1

1

106,07

Ом,

отC

945,81 10 5

Z экв

jXL1

R2 jXL2 jXC

j23,57

20 j70,71 j106,07

R2 jXL2

jXC

20 j70,71 j106,07

150 j23,57 151,84ej8,93

Ом.

В режиме резонанса напряжений входное сопротивление цепи будет носить чисто активный характер, т.е. Im Z экв 0. Другими словами индуктивное сопротивление XL1 онL1 должно равняться реактивной составляющей полного сопротивления параллельного контура:

		R2 j онL2				j		1
Z экв j онL1								онC			.
								1
		R	2 j	онL2
							C
								он

133

Выделяя мнимую (реактивную) составляющую эквивалентного сопротивления параллельного контура, получаем:

Im Z экв [L1L22C2 он4 он2 L1C2R22 2L1L2C L22C L1 L2 R22C] 0.

Для упрощения вычислений подставляем числовые значения параметров элементов:

25 10 3 75 10 3 10 10 он4

2		3	10	10	50	2	2 25 10			3	75 10	3	10	5		75 10	3	2	10	5
он	25 10
25 10 3 75 10 3 502 10 5 0.
Упрощая данное уравнение, получим:
		1,406 10 14						он	4	28,75 10 8			0,075 0.
									он

Решая последнее уравнение, получим два значения угловых и циклических час-

тот резонанса напряжения: 1он 1013

рад/с, 2он 2279

рад/с

f

1он

1013

161,22

Гц,

1он

2

2

f2он

2он

2279

362,71

Гц.

2

2

Находим эквивалентное сопротивление для первой резонансной частоты

1он 1013 рад/с:

R2 j 1онL2

1

j

Z 1экв j 1онL1

1онC

j1013 25 10 3

1

R

j

L

2

1он

2

1онC

50 j1013 75 10 3

j

1

1013 10 5

161,5

Ом,

1

50 j 1013 75 10 3

1013 10 5

и эквивалентное

сопротивление

для второй резонансной часто-

ты 2он 2279 рад/с:

R2 j 2онL2

j

1

Z 2экв j 2онL1

2онC

j2279 25 10

3

1

R

j

L

2

1он

2

2онC

50 j2279 75 10 3

j

1

2279 10 5

5,164

Ом.

2279 75 10 3

1

50 j

2279 10 5

134

Задача 4.3.5. Для цепи, представленной на рис. 4.3.5 найти резонансные частоты и вычислить значения сопротивления схемы на резонансных частотах, определить добротность контура и полосу пропускания, если: R1 = 1,2 Ом, R2 = 1,6 Ом, L1 = 4 мГн, L2 = 12 мГн, C1 = 10 мкФ, C2 = 25 мкФ.

РЕШЕНИЕ:

В данной схеме нет контура для протекания постоянного тока, поэтому первым будет возникать резонанс напряжений, затем резонанс токов, а затем снова резонанс напряжений.

Определяем резонансные частоты контуров, а затем сопротивления ветвей и входного сопротивления для найденных резонансных частот.

Резонансная частота для первой ветви:

																																							1																	1									5000			рад с,
																														1он										L1C1										4 10 3 10 5
		Рис. 4.3.5
																																												1он									5000
																																							f																				95,77							Гц,
																																							1он							2									2
		и эквивалентное сопротивление для 1он																																																		5000										р	с:
																							1																																	3							1
	Z R							j								L																		1,2 j 5000 4 10																																		1,2 Ом,
		1					1					1он					1						1онC1																																						5000 10 5
																							1																																	3							1
Z		R				j									L																				1,6 j							5000 12 10																													1,1 j52 Ом,
																																																												5000 25 10 6
	2			2							1он					2					1онC2
									Z1экв												Z1Z2													1,2 1,1								j52						1,2 j0,028 1,2																		Ом.
																		Z Z							2										1,2 1,1 j52
																				1
		Резонансная частота для второй ветви:
											2он												1																			1													1826										рад с,
																								L2C2
																																					12 10 3 25 10 6
																																2он							1826
																								f2он																						290,62												Гц,
																																			2
																																									2
		и эквивалентное сопротивление для 2он																																																		1826										р	с:
																							1																														3										1
Z R					j					2он				L																		1,2 j 1826 4 10																																		1,2 j47,47 Ом,
																																																										1826 10 5
1			1												1				2онC1
																							1																																		3						1
Z2 R2						j			2онL2																						1,6 j 1826 12 10																																								1,6 Ом,
																						2онC2																																							1826 25 10 6
Z 2экв								Z1Z2								1,6 1,2 j47,47																							1,597 j0,054 1,6																							Ом.
						Z Z						2				1,6 1,2 j47,47
								1

Из приведенных расчетов видно, что первым будет резонанс напряжения во второй ветви. Частоту резонанса токов можно вычислить из условия равенства реактивных проводимостей параллельных ветвей В1 В2 или воспользо-

135

ваться формулой для добротных контуров, у которых Q' >> 1, т.е. исчезающе

малые потери:

от

1

,

где

L

э

– полная индуктивность контура,

LэCэ

4 12 10 3 16 мГн,

C

э

– полная емкость контура:

L

э

L

L

2

1

С С

10 25

Cэ

1 2

10 6 7,143 мкФ,

С1 С2

10 25

В этом случае резонансная угловая и циклическая частота токов:

													1																	2958					рад			с,				f	от					от						2958						470,78			Гц.
от			16 10 3									7,143 10 6																																					2						2
	Найдем эквивалентное сопротивление параллельных ветвей и всего кон-
тура для от										2958								рад							с:
																			1																							3								1
Z R				j						от	L														1,2 j										2958 4 10																								1,2 j21,98 Ом,
																																														2958 10 5
1		1											1		отC1
																								1																																			1
	Z			R					j								L																1,6 j 2958 12 10 3
		2					2							от					2					отC2																													2958 25 10 6
	1,6 j21,973															Ом,								1,6 j21,973 1,2 j21,98
				Z экв									Z1Z2																																			173,12 j3,1													Ом.
												Z Z						2							1,6 j21,973 1,2 j21,98
													1
	Иначе эквивалентное сопротивление Z экв																																											при Q' >> 1 можно вычислить
по формуле: Z экв Rрез																														Х12				Х2		2	,
																														R				R
																	1																									1
где	Х									L																			2958 4 10 3																					21,98									Ом,
														отC1																									2958 10 5
		1						от 1
																			1																												1
	Х2							отL2																							2958 12 10 3																										21,98				Ом,
																отC2																									2958 25 10 6

а активное и полное сопротивление добротного контура:

R R1

R2 1,2 1,6 2,8 Ом,

Z экв Rрез

21,982

172,43 Ом.

2,8

Добротность контура определяем по формуле: Q

,где:

R

16 10 3

47,328

L

Q

16,9.

C

7,143 10 6 47,328

Ом,

R

2,8

Полосу пропускания определяем по формуле:

2 f0 f2 f1

fот

470,78

27,857

Гц.

Q

16,9

136

4.4 Задачи для самостоятельного решения

Задача 4.4.1 Определить напряжение U12 при резонансе в цепи, представленной на рис. 4.4.1, если: U13 = 10 В, R = 2 Ом, XL = 6 Ом.

Рис. 4.4.1

Задача 4.4.2 В цепи, представленной на рис. 4.4.2, при резонансе вольтметр V показывает 100 В, вольтметр V1 показывает 65 В. Найти показание вольтметра V2.

Рис. 4.4.2

Задача 4.4.3 В цепи, представленной на рис. 4.4.3, при резонансе амперметр А показывает 10 А, амперметр А2 показывает 5 А. Найти показание амперметра А1.

Рис. 4.4.3

Задача 4.4.4 Определить при каком значении емкости С в

цепи, представленной на рис. 4.4.4, имеет место резонанс,

если: R = 6 Ом, XL = 10 Ом, ω = 105 рад/с.

Рис. 4.4.4

137

Задача 4.4.5 Найти значение сопротивления R3, при котором в цепи, представленной на рис. 4.4.5, будет резонанс. Определить токи в данном режиме. Построить ВД токов и напря-

жений,	если: u(t) 100	2sin t 60 B,
R1 = R2 = 10 Ом, L = 20 мГн, C = 200 мкФ,
ω = 500	рад/с.

Рис. 4.4.5

Задача 4.4.6 Найти угловую частоту, при которой в цепи, представленной на рис. 4.4.6, будет резонанс. Определить токи в данном режиме. Построить ВД токов и напряжений,

если:	u(t) 200	2sin t 60 B,

R1 = R2 = 100 Ом, L = 200 мГн, C = 10 мкФ.

Рис. 4.4.6

Задача 4.4.7 Найти значение индуктивности L, при которой в цепи, представленной на рис. 4.4.7, будет резонанс. Определить токи в данном режиме. Построить ВД токов и напряже-

ний, если:	u(t) 100	2sin t 45 B,
R1 = R2 = 100	Ом, R3 = 200	Ом, C = 10 мкФ,
ω = 1000 рад/с.

Рис. 4.4.7

Задача 4.4.8 Найти значение сопротивления XL, при котором в цепи, представленной на рис. 4.4.8, будет резонанс. Определить токи в данном режиме. Построить ВД токов и напряжений, если:

u(t) 100		2sin t		B, R1 = 10	Ом, R2 =
20	Ом, R3			= 20	Ом,
ХC = 40 Ом, ω = 1000				рад/с.

Рис. 4.4.8

138

Задача 4.4.9 Контур, представленный на рис. 4.4.9, настроен на режим резонанса. Извест-

но, что I1 15 А, UV 66,7 B, I1 I3.

Определить параметры контура: R, XL, XC и показания приборов электромагнитной системы.

Рис. 4.4.9

Задача 4.4.10 Для схемы, представленной на рис. 4.4.10, определить резонансные частоты, и токи в резонансных режимах,

если: u(t) 1002sin t B, R1 = 5 Ом, L1 = 2 мГн, L2 = 4 мГн, C = 100 мкФ.

Рис. 4.4.10

Задача 4.4.11 Для схемы, представленной на рис. 4.4.11, определить резонансные частоты, и токи в резонансных ре-

жимах,		если: u(t) 100	2sin t B,
R1	= 10	Ом, L2 = 50 мГн, С1 = 50 мкФ,
C2	= 80 мкФ.

Рис. 4.4.11

Задача 4.4.12 Найти при каком значении Z1 в цепи, представленной на рис. 4.4.12, будет выделяться максимальная мощность, если:

	В, R2 = 12	Ом, R3 = 8 Ом,
U 100
ХL3 = 12	мГн, ХС2 = 10	Ом.

Рис. 4.4.12

139

5 РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПРИ НАЛИЧИИ МАГНИТОСВЯЗАННЫХ КАТУШЕК

5.1 Примеры расчета простых электрических цепей при последовательном соединении магнитосвязанных катушек

Задача 5.1.1 В электрическую цепь, представленную на рис. 5.1.1, включены две реальные катушки с магнитной связью и конденсатор. Вольтметр и амперметр, включенные в цепь, показали: U = 100 В и I = 5 А. Определить чему равна индуктивность первой катушки, если: R1 = 4 Ом, R2 = 8 Ом, XL2 = 20 Ом, XМ = 6 Ом, XС = 10 Ом, ω = 500 рад/с.

РЕШЕНИЕ:

Катушки соединены встречно, поэтому модуль полного сопротивления можно найти как:

Z R1 R2 2 XL1 XL2 2XМ XС 2.

Вычислим значение модуля сопротивления по показанию приборов:

	Рис. 5.1.1	U		100
	Z				20 Ом,
				5
		I

и подставим Z в исходное выражение:

Z 20 4 8 2 XL1 20 2 6 10 2 ,

После возведения в квадрат получим уравнение второго порядка:

400 144 XL1 2 2, откуда 256 XL12 4XL1 4,

решая квадратное уравнение, найдем индуктивное сопротивление и индуктив-

ность первой катушки: XL1 18	Ом, L1		XL1		18	36 мГн.
					500

Задача 5.1.2 В электрическую цепь, представленную на рис. 5.1.2, включены две катушки с магнитной связью. Приборы электромагнитной системы показали: V U = 120 В, A I = 4 А, W P = 192 Вт. Затем изменили включение катушек, в результате чего приборы показали: V U = 120 В, A I = 6 А. Определить сопротивление магнитной связи катушек XМ.

РЕШЕНИЕ:

Вычислим модуль полного и активного сопротивлений по показаниям приборов в 1-м опыте:

	Z	U			120			30		Ом,
		I
				4
	Эквивалентное активное сопротивление:
Рис. 5.1.2	R R1 R2					P			192	12 Ом.
						I2
								42

140