ПОСОБИЕ ЧАСТЬ 2 -цепи переменного тока

Проверяем аналитически:

U

ab

U

2

U

2

2 U

а1

U

а2

cos(

2

)

а1

а2

1

1042 1202 2 104 120 cos(36,9 22,7 )

112 B.

Рассчитываем мощности параллельных ветвей:

1-ая ветвь:

2-ая ветвь:

P1 R1I12 8 132

1352

Вт,

P2 R2I22 12 102 1200

Вт,

QL XLI12 6 132

1014

ВАр,

QC XCI22

5 102 500 ВАр,

S1 UI1 130 13 1690

ВА.

S2 UI2 130 10 1300

ВА.

Расчет мощностей, потребляемых цепью, можно выполнить и по эквивалентной схеме замещения (рис. 2.1.16.г):

P RI2	6,38 202	2552	Вт,или P UIcos 130 20 cos11,3 2552		Вт,
Q XI2	1,28 202	514	ВАр или Q UIsin 130 20 sin11,3 514		ВАр.
Сделаем проверку:
P P1 P2 1352 1200 2552 Вт,				Q QL QС 1014 500 514	ВАр.

Задача 2.1.17 В цепи, изображенной на рис. 2.1.17, требуется найти такое значение индуктивности L, чтобы при изменении величины R от 0 до ∞ амплитуда тока в индуктивности оставалась постоянной. Необходимо также найти величину тока в индуктивности при указанных условиях и приделы изменения

начальной фазы этого тока ψi, если С = 5 мкФ, e(t) 200sin1000t В.

РЕШЕНИЕ:

Запишем выражение амплитуды тока в индуктивно-

сти для двух крайних режимов:

R = 0 (Imк)

R (Imo)

Imк

Em

,

Imo

Em

.

L

1

L

C

Знак минус у реактивного сопротивления записан по-

тому, что равенство токов в данной цепи возможно

Рис. 2.1.17

лишь при изменении характера реактивного сопро-

тивления.

Согласно условия задачи Imк Imo, что возможно когда:

1

1

,

иначе

1 2LC

2 2LC 1.

L

L

1

L

,

C

C

Из последнего выражения находим индуктивность:

L

1

1

0,1 Гн,

2 2C

2 106 5 10 6

51

а затем определяем реактивные сопротивления, отвечающие условиям за-

дачи:				1			1
XL L 1000 0,1 100	Ом,	XС								200		Ом.
				C
					103 5 10 6
Рассчитываем амплитуды тока: Imк		200	2	А,	Imo				200		2	А.
		100
							100 200
	Для определения угла φ (ψi = φ) заменить задан-
	ную цепь эквивалентной, для чего необходимо
	преобразовать параллельный RC контур:
Рис. 2.1.17.а	Проводимости параллельных ветвей определяется

как: G 1 , и B C.

R

Найдем сопротивления эквивалентного последовательного контура:

	G						1								R							B		C		R C
								R																			.
R																			,	XC		Y2		1		R2 2C2
																											1
		2					1							2	2		2
	Y												R			C		1
																								R2 ( C)2
					R	2	( C)			2

В результате преобразования, цепь будет иметь вид, представленный на рис. 2.1.17.а.

Для схемы замещения: tg X L XC . Подставим в последнее вы-

R

R

ражение XC и выполним необходимые преобразования:

L

R2 C

L(R2 2C2

1) R2 C

R2C( 2LC 1)

L

tg

R2 2C2

1

R

R

R

R

R2 2C2 1

RC( 2LC 1) L ,

R

Определим			числовую величину									2LC 1 106 0,1 5 10 6 1 0,5, и
подставим ее в последнее уравнение:
	L			RC			0,1			5 10 6						100
tg						103							R							2,5 10 3 R,
R				2			R				2							R
Выполним анализ влияния сопротивления R на фазовые сдвиги:
1) Если R = 0, то						tg									,		I					,
													2						2
2) Если R , то tg																	,		I					.
																2
																			2

52

Таким образом, получаем, что при изменении величины R от 0 до ∞ на-

чальная фаза тока изменяется от до , т.е. имеет место "опрокидыва- 2 2

ние" фазы.

Задача 2.1.18 В цепи представленной на рис. 2.1.18, известны параметры элементов: R = 1000 Ом, L = 4 мГн, C = 4 мкФ. Требуется рассчитать частоту, на которой угол сдвига фаз между напряжением и током примет заданную ве-

личину φ = – 42°.

РЕШЕНИЕ:

Для решения задачи используем известное соотношение

tg	X	,	тогда, полагая, что 42 , получим
	R

tg( 42 ) 0,9.

Для заданной схемы справедливо выражение вида:

Рис. 2.1.18		L	1			2LC 1
	tg		C					. ( )
		R				CR

Подставив в ( ) числовые значения параметров: 0,9 16 10 12 2 1, 4 10 6

Получим квадратное уравнение относительно ω:

16 10 12 2 3,6 10 6 1 0,

Его решение дает: 161,4 103			рад/с. Для проверки правильности опреде-
ления частоты рассчитаем реактивные сопротивления:
L 161,4 103 4 10 3 646 Ом,				1	1
			и				1546 Ом,
				C		161,4 103 4 10 9
Подставим найденные сопротивления в ( ) и найдем tg :
tg	646 1546	0,9,			42 .
1000

Задача 2.1.19 Заданные мгновенные напряжения и токи выразить в показательной и алгебраической формах в виде комплексных амплитуд напряжений и токов:

а)u(t) 100sin( t 15 ) В,	б) i(t) 10sin( t 40 ) A,
в) u(t) 350sin( t 110 ) B,	г) i(t) 0,15sin( t 135 ) A.

РЕШЕНИЕ:

При решении задачи будем учитывать формальную общность записи мгновенных и комплексных величин, а именно: u(t) Um sin( t u), i(t) Im sin( t i). Um Umej u ,Im Imej i, из которой следует, что в со-

53

ставе мгновенных и комплексных уравнений имеются амплитудные и фазовые параметры Um, Im, u, i.

j15

а) Um 100e

100cos15 j100sin15 96,5 j25,9 B,

j50

б) Im 10e

10cos( 50 ) j10sin( 50 ) 6,45 j7,67 A,

j110

j180

j110

j70

в) Um 350e

350e

e

350e

350cos( 70 ) j350sin( 70 )

120 j329

B,

j135

j180

j135

j45

г) Im 0,15e

0,15e

e

0,15e

0,15cos(45 ) j0,15sin(45 )

0,118 j0,118

A.

Задача 2.1.20 Пусть требуется разложить на вещественную и мнимую со-

ставляющие следующие комплексные числа: а) 4ej30 , б) 0,3ej70 .

РЕШЕНИЕ:

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться формулой Эйлера: e j cos jsin . Тогда:

а) 4ej30 4cos30 j4sin30 3,46 j2,

б) 0,3ej70 0,3cos( 70 ) j0,3sin( 70 ) 0,104 j0,282.

Задача 2.1.21 Пусть требуется найти модуль и аргумент следующих комплексов: а) 60 j80, б) j5,2.

РЕШЕНИЕ:

Для решения данной задачи необходимо использовать формулу Эйлера и правила перехода от одной формы записи комплексного числа к другой:

b

jarctg

j

a

2

b

2

e

a

d e

d cos jd sin , тогда:

A a jb

ejarctg

80

100ej53,1 ,

б) j5,2 5,2ej90 .

а) 60 j80

602

802

60

Задача 2.1.22 Приборы, включенные в цепи, приведенной на рис. 2.1.22, имеют следующие показания: I = 5 A, U = 60 B, P = 270 Bт. Вычислить комплексные сопротивления Z и комплексные проводимости Y приемника для случаев когда: а) φ > 0 и б) φ < 0.

РЕШЕНИЕ:

Найдем модуль комплексного сопротивления и величину его аргумента:

Z	U		60	12 Ом,	а arccos	P	,	где S UI,
	I	5				S

54

arccos

P

arccos

270

arccos 0,9 25,8 .

UI

60 5

а) Если φ >0 (цепь имеет активно-индуктивный

характер), то комплексное сопротивление:

Z Zej 12ej25,8 10,8 j5,22

Ом,

а комплексная проводимость:

Y

1

Ye j

1

Рис. 2.1.22

Z

12ej25,8

0,0833e j25,8 0,075 j0,363

См.

б) Если φ < 0 (цепь имеет активно-емкостный характер), то комплексное

сопротивление: Z 12e j25,8

10,8 j5,22

Ом, а комплексная проводимость:

Y 0,0833ej25,8 0,075 j0,0363

См.

Задача 2.1.23 Напряжение на зажимах двухполюсника и ток в нем заданы

в комплексной форме:

j

А;

6

в)

А;

а) U 100 В,

I 5e

U 400

В, I 4 j4

j

j

б) U 120e

6

В, I 4e

6

А;

г)

U 40 j80

В, I 1 j2 А;

Определить параметры двухполюсника Z и Y, угол φ, построить ВД напряжений и токов в комплексной плоскости. Найти полную, активную и реактивную мощности. Записать выражения мгновенных значений напряжений и токов.

РЕШЕНИЕ:

Входное сопротивление и проводимость двухполюсника определяем в соответствии с комплексной формой записи закона Ома:

100

j

Рис. 2.1.23

а)

Z

U

20e

6 17,3 j10 Ом,

I

5e

j

6

1

1

j

Y

0,05e

6

0,0434 j0,025 См,

Z

j

20e 6

Записываем выражения для мгновенных значений напряжения и тока с учетом характера цепи.

Здесь , это значит, что ток отстает от напряжения на угол в 30°.

6

55

		2sin t B,
	u(t) 100			i(t) 5	2sin		t			A,
								6

Определяем комплексную мощность преемника, активную и реактивную составляющие:

j

j6

6

S UI 100 5e

500e

500cos

j500sin

433 j250

BA,

6

6

P 433Вт,

Q 250ВАр.

Выбираем масштабы тока МI = 2

A/см и напряжения МU = 20

B/см и

строим ВД (рис. 2.1.23.а).

б) Выполняем расчеты аналогичные случаю

а).

j6

Z

U

120e

30ej0

30

Ом,

I

4e

j

6

Рис. 2.1.23.а

Y

1

1

0,033

См,

Z

30

Здесь 0, т.е. ток и напряжение совпадают по фазе.

u(t) 120

2sin

t

B,

i(t) 4

2sin

t

A,

6

6

Определяем комплексную мощность преемника и ее составляющие:

			j		j	480e	j0		P 480 Вт,	Q 0 ВАр.
			6	4e	6			480 BA,
S UI 120e

Таким образом, в этом случае реактивных сопротивлений в приемнике

нет.

Выбираем масштабы тока МI = 2 A/см и напряжения МU = 20 B/см и строим ВД (рис. 2.1.23.б).

в) Выполним расчеты аналогично случаю б).

400

U

70,7ej45 50 j50 Ом,

Z

I

4 j4

Y

1

1

70,7e j45

Z

70,7ej45

0,01 j0,01

См,

Здесь сдвиг по фазе между током и напряже-

Рис. 2.1.23.б

нием 45 , но при этом:

u(t) 400

sin t

B, а

2

i(t) 5,6572sin t 45 A, т.е. ток отстает от напряжения на 45°.

56

Определяем комплексную мощность преемника, активную и реактивную

j45

составляющие: S UI 400 4 j4 1600 j1600 2260e

BA,

P 1600 Вт,

Q 1600 ВАр.

Выбираем масштабы тока МI = 2 A/см и напряжения МU = 50

B/см и

строим ВД (рис. 2.1.23.в).

г) Выполняем расчеты аналогично случаям а, б,

в.

j63,4

40 j80

89,2e

Z

U

40ej0 40

Ом,

1 j2

2,24e

j63,4

I

Y

1

1

0,025

См,

40

Z

Рис. 2.1.23.в

Здесь

сдвиг

по

фазе

между

током

и

напряжением

0 ,

но

при

этом

u(t) 89,6

sin t 63,4

B,

а

2

i(t) 2,24

sin t 63,4 A, т.е. ток и напряжение совпадают по фазе.

2

Определяем комплексную мощность приемника,

активную и реактивную мощности:

j63,4

j63,4

S UI 89,2e

2,24e

200ej90 200

BA,

P 200

Вт,

Q 0

ВАр.

Т.к. Q = 0, то приемник не содержит реактивных

сопротивлений.

Выбираем масштабы тока МI

= 1

A/см и напряже-

Рис. 2.1.23.г

ния МU = 20 B/см и строим ВД (рис. 2.1.23.г).

Задача 2.1.24 Для схемы, представленной на рис. 2.1.24, записать все токи в ветвях в комплексной форме, полагая, что во всех ветвях токи одинаковы

по модулю I = 2	A, причем R4			а R5		. Приложенное к цепи на-
		3 Х4,			Х5
пряжение задано	в комплексной	форме
				двумя выражениями: а) U U и

б) U jU.

РЕШЕНИЕ:

Для решения данной задачи воспользуемся комплексной формой закона Ома:

									j
	I U Z, тогда для случая "а" получим I U Z 2e									, откуда:
		а) для 1-ой ветви: I1 2	A, I1 совпадает по фазе с U;
			j90
		для 2-ой ветви: I2 2e			j2		A,	I2 отстает от U на 90°;
			j90
		для 3-ой ветви: I3 2e		j2		A,	I3	опережает U на 90°;

57

j30

для 4-ой ветви:

I4 2e

1,73 j1

A,

I4

отстает

от U на 30°;

j45

для 5-ой ветви:

I5 2e

1,41 j1,41

A,

I5

опере-

на 45°.

жает U

б)

Для

второго

варианта,

напряжение

источника

j

j

2

2

, откуда:

U Ue

, тогда I U Z 2e

j90

для 1-ой ветви:

I1 2e

j2 A,

для 2-ой ветви: I2

2 A,

j180

Рис. 2.1.24

для 3-ой ветви:

I3 2e

2 A,

для 4-ой ветви:

для 5-ой ветви:

j60

j135

I

4 2e

1 j1,73

A,

I5 2e

1,41 j1,41

A.

Задача 2.1.25 К цепи, состоящей из двух последовательно соединенных

катушек

индуктивности

(рис.

2.2.25)

подведено

напряжение

u(t) 120sin( t 15 ) B. Требуется определить мгновенное значение напряжений u1(t) и u2(t) на катушках и показания приборов. Построить ВД тока и на-

пряжений. Для заданных параметров катушек:			L1 4 мГн,	R1 50 Ом,
L2 20	мГн, R2 10 Ом, если частота источника f = 400 Гц.
	РЕШЕНИЕ:
	Рассчитаем реактивные сопротивления ка-
	тушек	на	частоте	источника
	f = 400	Гц:

	XL1 L1 2 400 4 10 3 10					Ом,
	XL2 L2			2 400 20 10 3 50		Ом.
	Определим			комплексные сопротивления
	катушек:				50 j10 51ej11,3
	Z R	1	jX	L1		Ом,
	1
Рис. 2.1.25	Z2 R2		jXL2 10 j50 51ej78,7			Ом,

а также сдвиги по фазе между током в цепи и падениями напряжений на каж-

	дой катушке: 1 11,3 ,			2 78,7 .
	Найдем комплексное сопротивление всей цепи и сдвиг по фазе между
	общим напряжением и током:					XЭ
	Z Z1 Z2	60 j60 85ej45 Ом,			arctg		45 .
						RЭ
	Запишем выражение для комплексной амплитуды приложенного напря-
		120e	j15	B.
	жения: Um

58

и рассчитаем комплексную амплитуду тока:

120e

j15

Um

1,41e

j30

Im

Z

85ej45

1,22 j0,7

A.

Т.к. амперметр измеряет действую-

щее значение тока, то:

I

Im

0,707 Im 0,707 1,41 1

A.

2

Зная ток, рассчитаем комплексные

амплитуды

падений напряжений

на

катушках:

j11,3

j30

Um1 Z1 Im 51e

1,41e

72e j18,7

B,

j78,7

j30

Um2 Z2 Im 51e

1,41e

72ej48,7

B.

Рис. 2.2.25.а

и показания вольтметров:

U1 0,707 Um1

0,707 72 51 B,

U2 U1 51 B.

Запишем выражения мгновенных значений u1(t) и u2(t):

u1(t) 72sin( t 18,7 ) B,

u2(t) 72sin( t 48,7 ) B.

Рассчитаем активные и реактивные составляющие падений напряжений на катушках:

Uа1 R1I 50 1 50 B,	Uр1 XL1I 10 1 10 B,
Uа2 R2I 10 1 10 B,	Uр2 XL2I 50 1 50 B.

Задавая масштабы тока МI = 0,4 A/см и напряжений МU = 10 B/см построим ВД (рис. 2.2.25.а) для найденных выше комплексов действующих значений.

Задача 2.1.26 К источнику ЭДС напряжением U = 135 B подключены соединенные катушка индуктивности (ХL = 50 Ом, R1 = 10 Ом) и конденсатор с потерями (ХC = 30 Ом, R2 = 4 Ом) (рис. 2.1.26). Требуется определить показания приборов, сдвиг фаз между напряжениями на катушке и на конденсаторе и построить ВД тока и напряжений.

РЕШЕНИЕ:

Задачу решим с использованием комплексов действующих значений тока и напряжений, приняв U 135 B.

Вначале рассчитаем комплексные сопротивления реальной катушки и конденсатора:

59

Z R

1

jX

L

10 j50 51ej78,7

Ом,

1

Z2 R2

jXC 4 j30 30,1e j82,4

Ом.

и комплексное сопротивление всей цепи:

Z Z Z

2

14 j20 24,2ej55

Ом.

1

Найдем комплекс тока:

135

U

5,57e

j55

I

Z

24,2ej55

3,19 j4,27 A.

Рис. 2.1.26

и показания амперметра: I 5,57

А.

Определим комплексы падений напряжений на катушке и на конденсато-

ре:

j78,7

j55

j23,7

U1 Z1I 51e

5,57e

285e

260 j114

B,

j82,4

j55

j137,4

U2 Z2I 30,1e

5,57e

168e

139 j125B.

и показания вольтметров, как модули комплексов соответствующих напряже-

ний: U1 285 B, U2 168 B.

Для построения ВД (рис. 2.1.26.а) тока и напряжений рассчитываем модули падений напряжений в активных и реактивных сопротивлениях реальной катушки и конденсатора:

Uа1 R1I 10 5,57 55,7		B,
Uа2 R2I 4	5,57 22,3	B,
Uр1 XLI 50	5,57 278	B,
Uр2 XСI 30 5,57 167		B.

Для построения ВД выберем масштабы тока МI = 2 A/см и напряжения МU = 50 B/см, после чего строим ВД, начиная с вектора общего напряжения U (рис. 2.1.26.а).

Рис. 2.1.26.а

Задача 2.1.27 В цепи, представленной на рис. 2.1.27, известен входной ток i(t) = 1,41sin(1000 t – 15°) A и параметры элементов: С = 15 мкФ, G = 0,01 См. Требуется найти приложенное напряжение в комплексной форме выражения мгновенных значений напряжения и токов в ветвях и построить ВД напряжений и токов.

РЕШЕНИЕ:

Задачу решим для комплексных амплитуд токов и напряжений. Вначале по заданному мгновенному току i(t) найдем комплексную амплитуду тока:

60