ПОСОБИЕ ЧАСТЬ 2 -цепи переменного тока

Таким образом, резонанс наступает при положи-

тельном значении индуктивного сопротивления.

Определим токи в элементах в режиме резонанса:

220

U

I1

4,74

А.

Zэкв

46,42

:

По методу "чужой ветви" определяем ток I3

R2 jXС

50 j50

I3

I1

4,74

Рис. 4.1.8.а

R3

R2 jXС

40 50 j50

3,13 j0,89 3,25e j15,87

А.

:

В соответствии с 1-м законом Кирхгофа ток I2

j28,93

4,74 3,13 j0,89 1,61 j0,89 1,84e

I2 I1

I3

А.

Падения напряжений на соответствующих приемниках:

j20,682

U1 I1 R1 jXL 4,74 20 j7,55 94,8 j35,787 101,33e

В,

3,13 j0,89 40 125,2 j35,6 130,163e

j15,873

U2 U3

I3R3

В.

ВД токов и напряжений приве-

дены на рис. 4.1.8.б в масшта-

бах:

MI

=

1

A/см,

MU = 35 В/см.

Рис. 4.1.8.б

4.2 Примеры расчета электрических цепей при резонансе токов

Задача 4.2.1 Определить параметры идеального параллельного колебательного контура (рис. 4.2.1) и построить его частотные характеристики, если известна угловая резонансная частота ω0 = 3140 рад/с, добротность контура Q' = 5, а волновая проводимость γ = 0,05 См.

РЕШЕНИЕ:

Соотношения для расчета ω0, Q и γ для идеального контура известны:

1

C

C

0

LC ,

Q

G

L

G,

L.

	Решая совместно уравнения для ω0, γ и Q' най-
Рис. 4.2.1	дем L, C и G:

121

							С 2L,															2L		1				,		откуда
																								0		2L
L	1						1			6,369			мГн, С		1								1						15,92 мкФ.
	0					0,05 3140									0		2L						2 6,369 10 3
																			3140
		Активная проводимость цепи: G																		0,05		0,01 См.
																			5
																Q
		Зная L, C параметры идеального параллельного контура найдем реактив-
ную индуктивную BL , емкостную BC и полную реактивную проводимость B.
BL		1					1					,	BC С 15,92 10 6,														B BL BC,
							6,369 10			3
		L
		Тогда модуль полной проводимости и фазовый сдвиг между входным то-
ком и напряжением:																								1 L C
								G2 1 L C 2 ,
			Y																		arctg									.
																												G

В соответствии с принципом дуальности исходная параллельная цепь может быть преобразована в последовательную, параметры которой определяются выражениями:

	G			1 L C
Rэкв		,	Xэкв		.
	G2 1 L C 2			G2 1 L C 2

В табл. 4.2.1 приведены значения реактивных проводимостей и модуля полной проводимости Y(ω) при разных значениях частоты, а на рис. 4.2.1.а построены графические зависимости (частотные характеристики) BL(ω), BC(ω), B(ω), Y(ω).

Таблица 4.2.1

	ω рад/с	0	1000	2000	3000	о 3140	4000	5000	6000
	BL(ω)	+ ∞	157	79	52	50	39	31	26	0
	мСм
	BC(ω)	0	– 16	– 32	– 48	– 50	– 64	– 80	– 96	– ∞
	мСм
	B(ω)	+ ∞	141	47	4,58	0	24	48	69	– ∞
	мСм

122

	Y(ω)	0	141	48	11	10	26	49	70	+ ∞
	мСм

Рис. 4.2.1

Задача 4.2.2 Идеальный параллельный контур на рис. 4.2.2 настроен на резонанс токов. Требуется определить резонансную частоту и токи в данном режиме, если: u(t) 48sin 0t B, G = 0,025 См, L = 16 мГн, С = 40 мкФ. Найти добротность контура, волновую проводимость и полосу пропускания контура и построить графики мгновенных значений: iG(t), iL(t), iC(t), p(t), pL(t), pC(t).

	РЕШЕНИЕ:
	Определим резонансную угловую 0 и цикли-
	ческую f0 частоты:
	0		1									1				1250			рад/с,
			LC				16 10 3 40 10 6
			f0				0				1250			198,94			Гц.
							2
												2
Рис. 4.2.2	Тогда, индуктивное и емкостное сопротивления
	на резонансной частоте 0:
XL0 0L 1250 16 10 3 20 Ом,			XС0							1				1				20	Ом,
									0С
												1250 40 10 6

123

	Найдем модули амплитудных	значений токов при резонансе токов
	(ВЭ ВL ВC 0):		Um		Um		48
	Im IG Um G 48 0,025 1,2 А,	ImL ImC						2,4 А.
			XL0		XС0		20

Зная модули амплитуд токов, запишем выражения для мгновенных значений:

i(t) 1,2sin 0t	A,	iL(t) 2,4sin 0t	2	A,
iG (t) 2,4sin 0t	A,	iC(t) 2,4sin 0t	2	A.

Тогда мгновенные значения мощностей, потребляемых ветвями: p(t) u(t) i(t) 48sin 0t 1,2sin 0t 28,8 1 cos 2 0t ,

pL(t) u(t) iL(t) 48sin 0t 2,4sin 0t 2 57,6sin 2 0t , pС(t) u(t) iС(t) 48sin 0t 2,4sin 0t 2 57,6sin 2 0t ,

Найдем волновую проводимость параллельного контура и его добротность:

		C			40 10 6	0,05 См.	Q	1		0C				0,05	2.
		L			16 10 3			0LG		G		G	1 40

Тогда абсолютная и относительная полоса пропускания будут равны:

2 f0		f0			198,94	99,47 Гц.	2 f0		1		1	0,5.
		Q					f0		Q
				2						2

На рис 4.2.2.а приведены графики мгновенных значений токов, а на рис. 4.2.2.б – графики мгновенных значений мощностей. Здесь iL(t) и iC(t), а также pL(t) и pC(t) при резонансе токов сдвинуты на 180° или, как говорят, находятся в противофазе.

Рис. 4.2.2.а

124

Рис. 4.2.2.б

Задача 4.2.3 К цепи, представленной на рис. 4.2.3, приложено напряжение U = 120 В. Сопротивления всех приемников численно равны между собой: R1 = R2 = XL = XC = 20 Ом. Требуется определить токи в ветвях и входной ток при разомкнутом и замкнутом ключе.

	РЕШЕНИЕ:
	Вначале рассмотрим первый случай:
	Ключ разомкнут.
	В режиме	резонанса сопротивление
	идеального	параллельного контура
	стремится в бесконечность, следова-
	тельно, входной ток I1 = 0, но при
	этом, напряжение u(t) приложено к
Рис. 4.2.3	параллельному L – C контуру,

поэтому				токи		в	параллельных	ветвях	нулю	не	равны:
I2	I3		U		120	6	A,т.к XL0 XC0.
			XL
				20

Второй случай: Ключ замкнут.

Параллельный R – L – C контур в режиме резонанса обладает активной проводимостью G0 1R2 или сопротивлением R0 R2. Поэтому входной ток

I1: I1		U		120	3 A.
		R1 R2
			40

Напряжение на параллельном контуре равно половине приложенного напряжения, т.к. R1 R2 по условию задачи, поэтому токи в индуктивности и

емкости при резонансе найдем как: I2	I3		U 2		120	3 A.
			XL 40

125

Задача 4.2.4 Найти показания амперметра в цепи, представленной на рис. 4.2.4, на резонансной частоте. Если к цепи приложено напряжение U = 240 В, а параметры цепи известны L = 40 мГн, С = 1 мкФ. Потерями энергии в катушке и конденсаторе и сопротивлением амперметра можно пренебречь.

Рис. 4.2.4

Рис. 4.2.4.а

РЕШЕНИЕ:

По условию задачи сопротивлением амперметра пренебрегаем (RA = 0), т.е имеем идеальный параллельный контур в режиме резонанса, тогда резонансная частота ω0:

0		1				1		5000 рад с.
						40 10 3 10 6
		LC

При резонансе в идеальном параллельном контуре токи в L и С равны.

I1

U

240

1,2

A,

0L

5 103 40 10 3

I2 U 0С 240 5 103

10 6 1,2

A,

а

входной

ток в

соответствии

с

1-м законом Кирхгофа

,

но т.к.

ортогональны и равны (см. рис

I I1

I2

I1 и

I2

4.2.4.а), то входной ток и показание амперметра равны нулю.

Задача 4.2.5 Определить значение сопротивления R2, при котором в цепи, представленной на рис. 4.2.5, будет резонанс токов. Найти токи в ветвях в ре-

жиме резонанса и построить ВД, если: u(t) 320 2sin t B,				R1 = 20		Ом,
R3 = 40 Ом, XL = 72 Ом, XC = 40 Ом.
	РЕШЕНИЕ:
	Заменив мгновенные значения токов и на-
	пряжений их комплексными изображения-
	ми, получим схему, представленную на рис.
	4.2.5.а. Тогда комплекс входного напряже-
					j0	B.
	ния можно представить как: U 320e
	Схема на рис. 4.2.5.а содержит две парал-
	лельных ветви с индуктивным и емкостным
	сопротивлениями.
Рис. 4.2.5	При возникновении резонансного режима в
	реальных параллельных контурах,
				также как и в
входной ток I1 должен совпадать по фазе с напряжением U12,
идеальном параллельном контуре.
Это возможно только тогда, когда эквивалентная комплексная проводи-
мость 2-й и 3-й ветвей – Y23	имеет чисто активный характер:

126

Y23 G jB G2 G3 j B2 B3 G2 G3,

т.е. B2 B3

0, или B2

B3.

Известно, что реактивные проводимости:

B2

XL

, и B3

XC

,

R2

2 XL2

R3

2 XС2

тогда запишем условие резонанса токов:

XL

XC

,

R22 XL2

R32 XС2

Рис. 4.2.5.а

отсюда найдем R2:

R2

(R3

2 XC

2)XL XL

2XC

(402 402) 72 722 40

24 Ом.

XC

40

Перед квадратным корнем ставится знак плюс потому, что активное сопротивление есть величина вещественная и положительная. Для определения токов в резонансном режиме, вначале найдем комплексное входное сопротивление цепи. При этом, эквивалентное сопротивление Z23 двух параллельно включенных ветвей должно быть чисто активным:

Z23	R23	R2 jXL R3 jXC	24 j72 40 j40	60 Ом.
		R2 R3 j XL XC	24 40 j 72 40

Тогда входное сопротивление всей цепи также будет чисто активным:

Zвх Rвх R1 R23 20 60 80 Ом,

В этом случае комплекс входного тока:

				320
		U
I1						4 А.
		Zвх		80

На основании закона Ома определяем комплексы падений напряжений:

		4 20 80 В,			4 60 240 В.
U1	I1R1		U12	I1Z23

Из последнего выражения видно, что входной ток I1 совпадает по фазе с напряжением U12, что подтверждает наличие в цепи резонанса токов.

Рассчитываем комплексы токов в реальных параллельных ветвях:

240

j71,565

U12

1 j3 3,162e

I2

R2 jXL

24 j72

А,

240

j45

U12

3 j3 4,243e

I3

R2 jXС

40 j40

А.

Правильность расчета токов проверяем с помощью составления уравнения баланса мощностей, для чего определяем комплексы полных мощностей источника и приемников:

127

Рис. 4.2.6.а

	*
SИ UI1 320 4 1280 BA,

	*		*		*
SH U1I1 U12			I2 U12		I3

80 4 240 1 j3 240 3 j3

1280 BA.

Баланс мощностей сошелся, следовательно, задача решена верно. ВД токов и напряжений изображена на рис. 4.2.5.б в масштабах: MI = 1 A/см, MU = 50 В/см.

Рис. 4.2.5.б

Задача 4.2.6 Контур, представленный на рис. 4.2.6, настроен на режим

резонанса токов. Известно, что I2 6 2	А, UV 60 B, I1	I. Определить
параметры контура: R, XL, XC и показания приборов электромагнитной систе-
мы.
РЕШЕНИЕ:
Заданная цепь содержит		параллельно со-

единенные индуктивный и емкостной элементы, следовательно, в данном контуре может быть резонанс токов. В этом случае сдвиг фаз между входным напряжением и входным током будет равен нулю. Приборы электромагнитной системы измеряют

действующие значения измеряемой вели-
чины.
Рис. 4.2.6
Зададим положительные направления токов в ветвях и учтем, что внут-
реннее сопротивление вольтметра RV , а у амперметра RА 0. В резуль-
тате получим схему, представленную на рис. 4.2.6.а.
Допустим, что начальная фаза входного напряже-
	B. Из схемы, пред-
ния равна нулю, тогда U 60
ставленной на рис. 4.2.6.а, следует, что напряже-

ние U опережает ток в индуктивности I1 на 90°, а

ток в цепи с емкостью I2 опережает входное напряжение на некоторый угол φ2, меньший 90°. Кроме того, известно, что схема настроена в резонанс, т.е. входное напряжение U и входной ток I совпадают по фазе, а модуль тока I равен модулю тока I1, т.е I I1.

128

ВД токов и напряжений для заданной схемы приведена на рис. 4.2.6.б в масштабах: MI = 2 A/см, MU = 10 В/см. Из нее следует, что входной ток

прямоугольный треугольник ОВС.

I I1

I2 образует с векторами

I1

и I2

Согласно теореме Пифагора:

I22 I12 I2,

и т.к. I I1, то I22 I2 I2 2I2,

I

6

отсюда I

2

2

6

А.

2

2

Тогда комплекс входного тока:

А.

I 6

Из векторной диаграммы видно, что:

j90

j90

I1 Ie

6e

j6 А.

При

этом

реактивные составляющие

Рис. 4.2.6.б

токов Ip1

и Ip2

компенсируют друг

друга, поэтому входной ток I равен

активной составляющей тока I2, т.е. I IА2.

:

На основании 1-го закона Кирхгофа находим ток I2

j45

I2 I I1 6 j6 6 j6 6 2e

А.

дем:

В соответствии с законом Ома, записанного в комплексной форме, най-

60

Z2 R jXC

U

5 j5 7,071e j45

Ом,

I2

6 j6

60

Z jX

L

U

j10 10ej90

Ом.

1

j6

I1

Таким образом, получаем, что: XL 10

Ом,

XC 5

Ом,

R 5 Ом.

Показания приборов:

А

А1

А2

IА I 6 A,

IА1 I1 6 A,

IА2 I2 6

A.

2

Правильность расчета найденных величин проверяем с помощью составления уравнения баланса мощностей, для чего определяем комплексы полных мощностей источника и приемников:

*

SИ UI 60 6 360 BA,

SH I12Z I2	2Z		62	j10 6		2 5 j5 360 BA.
		2			2
1

Баланс мощностей сошелся, следовательно, токи и параметры цепи определены верно.

129

4.3 Примеры расчета электрических цепей в случае сложного резонанса

Задача 4.3.1 Для цепи, представленной на рис. 4.3.1 найти резонансные частоты и построить частотные характеристики, если: С1 = 50 мкФ,

С2 = 100 мкФ, L = 50 мГн.

РЕШЕНИЕ:

В данной цепи будут возникать два резонанса: резонанс напряжений и резонанс токов. Если в цепи нет контура для прохождения постоянного тока, то первым по частоте будет резонанс напряжений, а

вторым – резонанс токов.

Рис. 4.3.1

Комплексное входное сопротивление цепи:

			1				L2 C2
		ZЭ j						,
			C1
							L2 1 C2
	Тогда: Xвх	1 2LC1 2LC2			, а Bвх 1 Xвх :
		C1( 2LC2 1)
		Bвх 1 Xвх					C1( 2LC2 1)		.
					1 2LC1 2LC2

Рассчитаем частоту, на которой будет возникать резонанс напряжений:

он		1				1		365,15 рад с.
		L C1 C2				50 50 10 9 5 100 10 9

Определим частоту, на которой будет возникать резонанс токов:

			1				1		632,45 рад с.
от			LC2				50 100 10 9

Для построения частотных характеристик рассчитаем вначале реактивное сопротивление цепи и ее реактивную проводимость. Для чего задаем несколько значений ω и вычисляем Xвх и Bвх , результаты расчетов сводим в табл. 4.3.1.

Таблица 4.3.1

ω рад/с	0	50	200	он 365,15	400	600	от 632,45	800
Xвх	– ∞	197,5–	38,9–	0	8,33	283,3	± ∞	79,2–	0
		-3	0,026–		0,12	3		0,013–
		–5,06·10				3,53·10
						-
Bвх	0			± ∞			0		– ∞

130