ПОСОБИЕ ЧАСТЬ 2 -цепи переменного тока

Зададим на схеме замещении, представленной на рис. 5.4.4.а, положительные направления токов в ветвях и, учитывая, что сопротивления амперметров исчезающе малы по сравнению с сопротивлениями элементов цепи, исключим их из схемы замещения.

Выразим в комплексной форме сопротивления всех ветвей схемы: Z R 5 Ом,

Z j X

L1

X

С

j

L

1

1

1

Рис. 5.4.4

C

1

j

4000 0,05

j150 150e

j90

Ом,

6

4000 5 10

Z

2

jX

L2

j L

2

j4000 0,0425 j170 170ej90

Ом,

Z

М

jX .

М

Т.к. все токи находятся под одним напряжением

U, то используя комплексную форму закона

Ома, найдем токи во всех ветвях в общем виде:

U

IR UG

R

,

Z2 ZМ

I1

UY1 U

Z Z

2

Z

2

1

М

jXL2 jXМ

U j XL1 XC jXL2 jXМ 2

	Рис. 5.4.4.а		XL2 XМ
	U j			U jB1		,
			XL1 XC XL2 XМ2

Z1 ZМ

j XL1

XC jXМ

I2

UY2 U

U

Z1Z2 ZМ2

j XL1 XC jXL2 jXМ 2

XL1 XC XМ

U j

X

X

X

X

2

U jB2 ,

L1

C

L2

М

где B1 и B2 – реактивные проводимости первой и второй магнитосвязанных ветвей. Здесь в знаменателе перед слагаемым XМ поставлен знак минус потому, что катушки включены согласно.

Ток в неразветвленной части цепи в соответствии с 1-м законом Кирхго-

фа:

I IR I1 I2 UG U jB1 U jB2 UG jU B1 B2 .

161

По условию резонанса входные ток I и напряжение U должны совпадать по фазе. Это будет возможно при условии, что сумма реактивных проводимостей ветвей будет равна нулю: B1 B2 0,

т.е.:

XL2 XМ

XL1 XC XМ

XL1 XC XL2 2XМ

0,

XL1 XC XL2 XМ2

XL1 XC XL2 XМ2

XL1 XC XL2 XМ2

откуда XМ

XL1 XC XL2

150 170

160

Ом.

2

2

Тогда взаимная индуктивность М:

М

XМ

160

40

мГн.

4000

Комплексное сопротивление магнитной связи:

ZМ jXМ j160 160ej90 Ом.

Определим комплексы токов на основании закона Ома:

			50
	U
IR				2 A,
	R		25

Z2 ZМ

j170 j160

j5 5e

j90

I1

UY1

U

Z Z

2

Z

2

50

j150 j170 j160 2

A,

1

М

Z1 ZМ

j150 j160

j5 5e

j90

I2

UY2

U

50

A.

Z Z

2

Z

2

j150 j170 j160 2

1

М

На основании 1-го закона Кирхгофа входной ток I:

I IR

I1

I2 2 j5 j5 2 A.

Правильность расчета токов проверим с помощью уравнения баланса мощностей, для чего находим комплексные мощности источников и приемни-

ков:				*			BA,
		SИСТ		UI 50 2 100
		2		2	2	*		*
SH	IR		Z I1 Z1		I2	Z2 I1I2 ZМ I2		I1 ZМ
22		25 52		j150 52		j170 j160 j5 j5 j160 j5 j5 100 BA.

Баланс сошелся, следовательно, токи определены правильно. Амперметры показывают действующие значения токов, поэтому ампер-

метр А показывает ток IА I IR 2 A, амперметры А1 и А2 показывают ток

IА1 IА2 I1 I2 5 А.

Задача 5.4.5 Определить емкость конденсатора С, при которой в цепи, представленной на рис. 5.4.5, имеет место резонанс, правильность расчета проверить с помощью баланса мощностей, если: U = 80 B, R = 8 Ом, L1 = 5 мГн, L2 = 30 мГн, L3 = 50 мГн, М12 = 10 мГн, М23 = 20 мГн, ω = 1000 рад/с.

РЕШЕНИЕ:

В заданной цепи будет наблюдаться резонанс напряжений, при котором напряжение и ток на входе совпадают по фазе.

162

Для этого необходимо, чтобы мнимая часть входного сопротивления схемы Zвхбыла равна нулю.

Следовательно, необходимо найти Zвх, выделить его мнимую часть и приравнять её к нулю, откуда можно определить емкость конденсатора. Сначала найдем комплексные сопротивления всех ветвей схемы, включая взаимоиндуктивные сопротивления, и изобразим схему замещения исходной цепи

(рис. 5.4.5.а).

Рис. 5.4.5

1

1

Z1

R j XL1 XС j L1

8 j 1000 0,005

8 j 5 XС Ом,

C

C

Z jXL2 j L2

j1000 0,03 j30 30ej90

Ом,

2

50ej90

Z3 jXL3 j L3

j1000 0,05 j50

Ом,

Z

jXМ12 j М12 j1000 0,01 j10 10ej90

Ом,

М12

jXМ23 j М23 j1000 0,02 j20 20ej90

Z

Ом.

М23

Зададим положительные направления токов в

ветвях схемы замещения. При выбранном по-

ложительном направлении токов первая и вто-

рая катушки оказываются,

включены согласно,

а вторая и третья – встречно.

Задачу решим двумя способами.

1 способ. На основании законов Ома и Кирх-

гофа.

В соответствии с законом Ома комплексное

Рис. 5.4.5.а

входное сопротивление цепи можно найти как

Zвх

U

,

I1

поэтому используя законы Кирхгофа, найдем выражение для входного тока I1. Цепь, представленная на рис. 5.4.5.а, содержит 3 ветви, 2 узла и источник ЭДС, которые образуют 2 независимых контура (mнез = 2). Поэтому составляем одно уравнение по 1-му закону Кирхгофа и два уравнения по 2-му закону Кирх-

гофа для двух независимых контуров.

Направление обходов контуров выбираем по часовой стрелке (см. рис. 5.4.5.а). Тогда система уравнений будет иметь вид:

						0,			(1)
			I1	I2	I3
									(2)
I1Z1		I2ZМ12	I2Z2		I1ZМ12		I3ZМ23	U,
		I2ZМ23	I2Z2		I3ZМ23 I1ZМ12			0.	(3)
I3Z3

163

В уравнении (2) I2ZМ12 берется со знаком плюс, т.к. направление обхода первого контура и тока I2 совпадают, относительно одноименных выводов первой и второй катушек, а слагаемое I3ZМ23 берется со знаком минус, т.к. на-

правление обхода первого контура и тока I3 противоположно направлены по отношению к одноименным выводам второй и третьей катушек. Аналогично определяются знаки перед другими слагаемыми, содержащими комплексные

сопротивления взаимной индукции ZМ12

и ZМ23.

После группировки слагаемых уравнения (2) и (3) примут вид:

Z

Z

3Z

(4)

I1 Z

М12

I2 Z

2

М12

I

М23

U,

1

Z3

(5)

0.

I3

ZМ23 I2 Z2

ZМ23 I1ZМ12

Из уравнения (1) выразим ток I3: I3 I1 I2, и подставим его в уравнения

(4) и (5). В результате после несложных преобразований получим:

Z Z

Z

Z

Z

Z

(6)

I1

М12

М23

I2

2

М12

М23

U,

1

Z3 ZМ12

Z2

Z3 2ZМ23

0.

(7)

I1

ZМ23 I2

I1ZМ12

Из уравнения (7) выразим ток I2через I1и, подставляя значения полных комплексных сопротивлений, получим:

		Z3	ZМ12 ZМ23		j50 j10 j20
I2	I1	Z2	Z3 2ZМ23	I1	j30 j50 2 j20	0,5I1.

Подставим в выражение (6) значения полных комплексных сопротивлений и выражение для тока I2, получим зависимость между напряжением U и током I1:

I1 8 j 5 XС j10 j20 0,5 (j30 j10 j20) I1 8 j(25 XС ) 80.

Найдем комплексное входное сопротивление цепи:

U

Zвх 8 j(25 XС ). (8) I1

Приравняем мнимую часть комплексного входного сопротивления к ну-

лю:

Im Zвх Xвх 25 XС 0,

откуда находим XC:		XC 25		Ом.
Тогда емкость конденсатора С:
С	1		1		40 мкФ.
	XC
		1000 25

Найдем комплексное сопротивление первой ветви:

Z R1 j XL1 XC 8 j 5 25 8 j20 21,541e j68,199	Ом.
1

Теперь определим комплексы токов в цепи источника ЭДС и параллель-

					80
			U
ных ветвях:	I1					10 A.
			Zвх		8

164

		находим токи				:
Зная ток I1				I2	и I3
			0,5 10	5A;					2	10 5 5A.
I2	0,5I1					I3	I1	I

Определяем комплексы падений напряжений на приемниках:

					10 8 j20 5 j10 80 j150 170e	j61,928
	U1 I1Z1		I2ZМ12						B,
							j90
		U3 U2		I3Z3	I2ZМ23 5 j50 j5 j20 j150 150e			B.

Правильность расчета токов проверим с помощью уравнения баланса мощностей, для чего находим комплексную мощность источника и приемников:

					*
				SИСТ UI1 80 10 800 BA,
	*		*	*	80 j150 10 j150 5 j150 5 800 BA.
SH U1 I1 U2			I2 U3 I3

Баланс сошелся, следовательно, токи определены правильно.

2 способ. Использование развязки взаимоиндуктивных связей катушек.

Преобразуем схему, представленную на рис. 5.4.5.а, осуществив эквивалентную замену индуктивных связей.

Для развязки индуктивных связей воспользуемся теоретическими положениями. Сначала осуществим развязку между первой и второй катушками, не учитывая магнитной связи между второй и третьей катушками. Составим уравнения по первому и второму законам Кирхгофа для внешнего контура:

I1 I2 I3 0,

I1Z1 I2ZМ12 I3Z3 U.

Заменив ток I2 I1 I3, получим

I1(Z1 ZМ12 ) I3 (Z3 ZМ12 ) U.

Откуда следует, что включением дополнительных комплексных сопротивлений равных ZМ12 с плюсом в первую и вторую ветви и с минусом в третью ветвь, можно исключить индуктивную связь между первой и второй катушками (рис. 5.4.5.б).

Рис. 5.4.5.б

Рис. 5.4.5.в

165

Вторая и третья катушки включены параллельно и соединены встречно, и уравнение по второму закону Кирхгофа с учетом магнитной связи между ними запишем следующим образом:

I3 Z3 ZМ12 I2ZМ23 I2 Z2 ZМ12 I3ZМ23 ,

или заменяя токи I2 и I3 при сопротивлении ZМ23, по первому закону Кирхгофа: I3 I1 I2 и I2 I1 I3, получим

I3 Z3 ZМ23 ZМ12 I1 ZМ23 I2 Z2 ZМ23 ZМ12 I1 ZМ23 .

Таким образом, включая сопротивление магнитной связи с плюсом во втору и третью ветви, а с минусом в первую, осуществим развязку индуктивных связей между второй и третьей катушками.

В результате получаем эквивалентную развязанную схему, представленную на рис. 5.4.5.в.

Входное сопротивление цепи:

Z	вх	Z		Z	М12	Z	М23	Z2 ZМ12 ZМ23 Z3 ZМ12 ZМ23		8 j 5 XС j10
		1						Z2 Z3 2ZМ23
j20			( j30 j10 j20 )( j50 j10 j20 )						8 j 25 XС .
						j30 j50 2 j20

Полученное значение входного сопротивления совпадает с выражением

(8). Так как при резонансе напряжений мнимая часть входного сопротивления

равна нулю:

Im Zвх Xвх 25 XC 0,

То из этого условия находим величину XC :

XC 25 Ом.

Емкость конденсатора С: С

1

1

40

мкФ.

1000 25

XC

Тогда комплексное сопротивление первой ветви:

Z R1 j XL1 XC 8 j 5 25 8 j20 21,541e j68,199 Ом.

1

80

U

На основании закона Ома определим ток I1

:

I1

10 A.

Zвх

8

Согласно методу "чужой ветви", находим ток I2:

Z3 ZМ12 ZМ23

j50 j10 j20

I2

I1

Z2 Z3 2ZМ23

10

j30 j50 2 j20

5

A.

10 5 5 A.

На основании 1-го закона Кирхгофа, ток I3

: I

3 I1

I2

Токи, рассчитанные 2-м способам, полностью совпали с токами, рассчитанными 1-м методом.

Таким образом, из примера решенной задачи, видно, что при наличии двух и более магнитосвязанных катушек, присоединенных к одному общему узлу, наиболее рациональным является способ "развязки" магнитных связей, т.к. в таком случае не требуется составлять и вычислять объемные уравнения, полученные по 2-му закону Кирхгофа.

166

5.5 Задачи для самостоятельного решения

Задача 5.5.1 Определить токи и составить уравнение баланса мощностей для цепи, представленной на рис. 5.5.1, ес-

ли: u(t) 1002sin t 30 B,

R1 = R2 = 10 Ом, R3 = 15 Ом, L1 = 30 мГн, L3 = 60 мГн, М13 = 20 мГн

(встречное включение), C = 150 мкФ, ω = 1000 рад/с.

Рис. 5.5.1

Задача 5.5.2 Определить токи и составить уравнение баланса мощностей для цепи, представленной на рис. 5.5.2, ес-

ли:		u(t) 100 2sin t 60 B,
R1	=	R2 =	110 Ом, R3 = 160			Ом,
L1	=	200	мГн, L2 = 400			мГн,
М23	= 100		мГн (встречное включение),

C = 200 мкФ, ω = 1000 рад/с.

Рис. 5.5.2

Задача 5.5.3 Определить токи и составить уравнение баланса мощностей для цепи, представленной на рис. 5.5.3, если:

u(t) 100		2sin t 45		B,
R1 = R2	= 80 Ом, L1			= 180 мГн,
L2 = 150	мГн, М12 = 50 мГн (согласное
включение), C = 10 мкФ,
ω = 1000	рад/с.

Рис. 5.5.3

Задача 5.5.4 Используя законы Ома и Кирхгофа, определить для цепи, представленной на рис. 5.5.4, токи в ветвях и

показания вольтметра			и амперметра
электромагнитной системы, если:
Е 70,7 j70,7 В,			Z 6 j8	Ом,
			1
Z2 5 j5 Ом,			Z3 6 j8 Ом,
Z4	j10	Ом,	Z5 j8	Ом,
Z6	10	Ом, Z14 j5	Ом.

Рис. 5.5.4

167

Задача 5.5.5 Для цепи, представлен-

ной на рис. 5.5.5, определить значе-

ние XC1 (C1) при котором на частоте

f0

= 200

Гц имеет место резонанс.

Определить токи и значения вноси-

мых сопротивлений, если:

е(t) 132

B,

2sin t

R1 = 10 Ом, R2 = 3 Ом, Rн = 7 Ом,

Рис. 5.5.5

L1 = 7,96 мГн, L2 = 15,92

мГн,

М = 6,369

мГн, C2 = 79,57 мкФ.

Задача 5.5.6 Рассчитать токи в вет-

вях в цепи, представленной на рис.

5.5.6, методом контурных токов и

составить уравнение баланса мощ-

ностей, если:

Е1

70,7 j70,7

B,

J 4 j3

A,

B,

B,

Е2 j100

Е3 60 j80

Z1 12 j16

Ом,

Z2 5

Ом,

Z3 6 j8

Ом,

Z4 j12

Ом,

Z5 j8

Ом, Z14

j8

Ом.

Рис. 5.5.6

R1

Задача

5.5.7 Определить индуктивность

катушки L2, при которой в цепи, пред-

ставленной на рис. 5.5.7, имеет место ре-

R2

зонанс, правильность расчета проверить с

помощью

баланса

мощностей,

если:

u(t)

M12

*

R3 u(t) 100

2

sin t

B,

R1

= 8

Ом,

L2

R2 = 12

Ом, R3 = 20

Ом, L1

= 60

мГн,

C

*

L1

М12 =

10

мГн,

C

=

40

мкФ,

ω = 1000

рад/с.

Рис. 5.5.7

168

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Основы теории цепей: Учебник для вузов Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушин А.В., С.В.Страхов.- 5-е изд., перераб.- М.: Энергоатомиздат, 1989. –

528с.: ил.

2.Шебес М.Р.Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей : Учеб. Пособ. Для электротехнич., радиотехничю спец. вузов. – 4-е изд.. перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1990. – 544 с.: ил.

3.Черевко А.И. Линейные электрические цепи. Л.: ЛКИ, 1989, ч.1, 53 с.

4.Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том

1.– 4-е изд. /С.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин. -

СПб.:Питер, 2004. – 463 с.: ил.

5.Коровкин Н.В., Селина Е.Е., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники: Сборник Задач. - СПб.:Питер, 2004. – 512 с.: ил. – (Серия «Учебное пособие»).

6.Беневоленский С.Б., Марченко А.Л. Основы электроники. Учебное пособие для втузов . – М.: Издательство Физико-математической литературы, 2007. – 568 с.: ил.

7.Сборник задач по теоретическим основам электротехники: Теоретические основы электротехники: Учебное пособие для энерг. И приборостр. Спец. Вузов. – 4-е изд., перераб. и испр. / Л.А. Бессонов, И.Г. Демидова, М.Е. Заруди и др.; Под ред. Л.А. Бессонова. – М.: Высш. шк., 2003. – 528 с.: ил.

169

	СОДЕРЖАНИЕ
		Стр.
ВВЕДЕНИЕ..........................................................................................................		3
ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ......................................................		4
1 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ .........................................		6
1.1	Основные понятия и определения переменного тока...............................	6
1.2	Законы Ома и Кирхгофа для цепей переменного тока..............................	10
1.3	Мощность в цепи синусоидального тока...................................................	11
1.4	Треугольники токов, напряжений, сопротивлений, проводимостей и
	мощностей ...................................................................................................	12
1.5	Вектрорные и топографические диаграммы..............................................	13
1.6	Последовательное соединение R – L – C элементов.................................	13
1.7	Параллельное соединение R – L – C элементов........................................	14
1.8	Резонанс в электрических цепях ................................................................	14
1.8.1 Резонанс напряжений...............................................................................		14
1.8.2 Энергетические процессы при резонансе...............................................		15
1.8.3 Резонанс токов..........................................................................................		16
1.9	Резонанс в сложных цепях..........................................................................	18
1.10 Цепи со взаимоиндуктивностью...............................................................		21
1.11 Последовательное соединение магнитосвязанных катушек...................		21
1.12 Параллельное соединение магнитосвязанных катушек..........................		24
1.13 Эквивалентная замена индуктивных связей или "развязка" цепей с
	взаимной индукцией ..................................................................................	26
2 РАСЧЕТ ПРОСТЫХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА.................................		31
2.1	Мгновенные значения синусоидальных величин и формы записи их
	комплексных изображений. Последовательное и параллельное
	соединение элементов.................................................................................	31
2.2	Расчет простых цепей переменного тока символическим методом.........	64
2.3	Задачи для самостоятельного решения......................................................	85
3 РАСЧЕТ СЛОЖНЫХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА................................		88
3.1	Примеры расчета сложных электрических цепей.....................................	88
3.2	Задачи для самостоятельного решения......................................................	109
4 РЕЗОНАНСНЫЕ РЕЖИМЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ ПЕРЕМЕННОГО
ТОКА................................................................................................................		113
4.1	Примеры расчета электрических цепей при резонансе напряжений .......	113
4.2	Примеры расчета электрических цепей при резонансе токов ..................	121
4.3	Примеры расчета электрических цепей в случае сложного резонанса....	130
4.4	Задачи для самостоятельного решения......................................................	137
5 РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПРИ НАЛИЧИИ
МАГНИТОСВЯЗАННЫХ КАТУШЕК..........................................................		140

5.1Примеры расчета простых электрических цепей при

	последовательном соединении магнитосвязанных катушек....................	140
5.2	Примеры расчета простых электрических цепей при параллельном
	соединении магнитосвязанных катушек....................................................	141
5.3	Примеры расчета сложных электрических цепей при наличии
	магнитосвязанных катушек........................................................................	143

5.4Примеры расчета электрических цепей при наличии

магнитосвязанных катушек в режиме резонанса ......................................	153
5.5 Задачи для самостоятельного решения......................................................	168
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ....................................................................................	169

170