ПОСОБИЕ ЧАСТЬ 2 -цепи переменного тока

Токи в ветвях с источниками ЭДС I2 и I3 оп-

ределим на основании обобщенной формы за-

кона Ома, применяемой для участка цепи, со-

держащего источник ЭДС:

Е2

36,23 j84,48 j100

I

2

1

0

Z2 Zb

j10 1,18 j2,12

1 j3,08 3,24ej72,37

А,

Е3

36,23 j84,48 80 j60

I3

1

0

Z3 Zc

5 j5 1,09 j0,83

3,02 j6,08 6,79e j63,6

А.

Для определения

тока

I4 в

исходной схеме,

Рис. 3.1.7.а

найдем

вначале

напряжение Ucb, составив

уравнение по 2-му закону Кирхгофа для конту-

ра "c – b – Z2 – Е2 – Z3

– Е3 – c":

3,02 j6,08 1,09 j0,83 1 j3,08 1,18 j2,12

Ucb I3Zc

I2Zb

3,64 j14,88 15,32e j76,24

В.

Тогда, в соответствии с законом Ома ток I4:

3,64 j14,88

j246,95

Ucb

1,2 j2,82 3,06e

I4

Z2

4 j3

А.

Токи I5 и I6 в исходной схеме найдем на основании уравнений составленных по 1-му закону Кирхгофа для узлов " b " и "а", соответственно:

					1 j3,08 1,2 j2,82 0,22 j0,27 0,35e		j130
	I	5 I2	I4					А,
				4 j3 0,22 j0,27 4,22 j3,27 5,34e		j37,71
	I6 J I5							А.

Для составления уравнения баланса мощностей определим напряжение на зажимах источника тока J для чего составим уравнение по 2-му закону Кирхгофа для контура "а – J – Z1 – Е2 – Z2 – Z5 – а":

UИТ I2 Z2 I5Z5 JZ1 Е2 1 j3,08 j10 0,22 j0,27 3 j44 j3 5 j100 12,57 j105,29 106,04ej263,19 B.

Определив напряжение на зажимах источника тока, найдем мощности, развиваемые источниками энергии и мощности, потребляемые приемниками, т.е. составим уравнение баланса мощностей:

		*		*		*
SИСТ UИТ J E2				I2 E3		I3 12,57 j105,29 4 j3

ej34,27

j100 1 j3,08 80 j60 3,02 j6,08 450,58 j307,04 545,25 BA,

SH J2Z1 I22Z2 I32Z3 I42Z4 I52Z5 I62Z6 52 5 3,242 j10

6,792 5 j5 3,062 4 j3 0,352 3 j4 5,342 2 j2 450,58 j307,04

101

545,25ej34,27	BA. Таким образом, SИСТ SH . Баланс сошелся, следователь-
но, расчеты токов выполнены верно.
Задача 3.1.8 Требуется рассчитать токи в цепи, представленной на рис.
3.1.8, методом	контурных токов,		если:	J 4 j3	A,	Е1 100 j100	B,
Е2 j50 B,	Е6 80 j60	B,	Z1 4 j3		Ом,	Z2 10	Ом,
Z3 5 j5 Ом,	Z4 j15 Ом,	Z5 j10		Ом.

РЕШЕНИЕ:

Заданная цепь содержит шесть ветвей, четыре узла, три источника ЭДС и один источник тока, которые образуют три независимых

контура, т.е. mнез = 3. Так как в цепи есть источник тока, то число уравнений, которые будем составлять по 2-му закону Кирхгофа уменьшится на одно, а именно: mнез – 1 = 2.

Рис. 3.1.8

Зададим контурные токи и их направления в ветвях, при этом учитываем,

что I33 J 4 j3 А.

Задав направления токов в ветвях, не содержащих источник тока, составим систему уравнений для двух независимых контуров, не содержащих источник тока:

I11Z11	I22Z12	I33Z13	E11,	( )
I11Z21	I22Z22	I33Z23	E22.

Собственные сопротивления первого и второго контуров найдем как:

Z

Z

Z

3

4 j3 5 j5 9 j2 9,22ej12,53

Ом,

11

1

j15 j10 j5 5ej90

Z22 Z4 Z5

Ом.

Определяем взаимные сопротивления смежных контуров:

Z

Z

21

0,

Z

Z

3

5 j5 7,07ej45

Ом, Z

23

Z

4

j15 15e j90

Ом.

12

13

и контурные ЭДС:

E11 Е1 Е6

100 j100 80 j60 180 j40 184,39ej12,53 B,

E

22 Е

6 80 j60 100e j36,87

B.

ЭДС:

Перепишем систему уравнений ( ) с учетом найденных сопротивлений и

5 j5 180 j40,

I11 9 j2

I22

0 I33

( )

I11

0 I

22 j5 I33 j15 80 j60.

102

Учитывая то, что I33 J 4 j3 А, из системы уравнений ( ) опреде-

лим первый и второй контурные токи I11 и I22:

			9 j2 4 j3 5 j5 180 j40,
		I11
					4 j3 j15 80 j60.
			I22 j5					j1,03
	I11 9 j2 145 j35				I11 16,18 j0,29 16,18e				А,
						j90
	I22 j5 125		I22 j25 25e				А.

Для заданных ранее токов в ветвях, определим их значения согласно принципу наложения:

j1,03

j36,87

I1 I11

16,18 j0,29

16,18e

А, I2

J 4 j3 5e

А,

j7,65

I3 I11

I33

16,18 j0,29 4 j3 20,18 j2,71 20,36e

А,

j25 4 j3 4 j22 22,36e

j259,7

I4 I22

I33

А,

j25 25e

j90

I5 I22

А,

j56,78

16,18 j0,29 j25 16,18 j24,71 29,546e

I6 I11

I22

А.

Зная токи в ветвях, определим напряжение на зажимах источника тока для чего составим уравнение по 2-му закону Кирхгофа для контура "Z4 – Z3 –

Z2 – Е2 – J – Z4":

UИТ JZ2 I3Z3 I4Z4 Е2 4 j3 10 20,18 j2,71 5 j54 j22 j15 j50 175,55 j67,35 188,03ej159,01 B.

Для проверки правильности решения определим мощности источников и приемников и составим уравнение баланса мощностей (SИСТ SH ):

*

*

*

*

SИСТ

E1I1 E2

J E6

I6 UИТ J 100 j100 16,18 j0,29

j50 4 j3 80 j60 16,18 j24,71 175,55 j67,35 4 j3

3369,75 j2537,75 4218ej36,98

BA,

SH I12Z J2Z

2

I32Z

3

I4

2Z

4

I5

2Z

5

16,182 4 j3 52 10

1

20,362 5 j5 22,362

j15 252 j10 3369,75 j2537,75 4218ej36,98 BA.

Сопоставляя SИСТ и SH , получаем, что баланс сошелся, следовательно, расчеты токов выполнены верно.

Задача 3.1.9 Пусть требуется рассчитать токи в ветвях цепи, представленной на рис. 3.1.9, методом узловых потенциалов, если: J 4 j3 A,

Е1	100 j100 B,	Е2	j50 B,	Е3 80 j60	B,	Z1 4 j3 Ом,
Z2	10 Ом, Z3 5 j5		Ом, Z4 j15	Ом, Z5 j10	Ом.

РЕШЕНИЕ:

Заданная цепь содержит шесть ветвей, четыре узла, три источника ЭДС и один источник тока, которые образуют три независимых контура, т.е. mнез = 3.

103

Т.к. в цепи присутствует один идеальный источник ЭДС (Е6), то потенциал узла, к которому направлена его стрелка, известен: 1 Е6 80 j60 B. Потенциал узла "0" примем равным нулю

0 0.

Для остальных узлов составляем уравнения баланса токов по 1-му закону Кирхгофа:

для узла "2": J I4 I5 0, Рис. 3.1.9 для узла "3": I1 J I3 0,

Токи в ветвях, не содержащих источник тока, выразим через потенциалы узлов, ЭДС источников и сопротивления ветвей, на основании обобщенной формы закона Ома:

			3 0 Е1			3 Е1								1	2
									1	3									2	0		2
I1							, I3				,	I4				,	I5						.
			Z1			Z1				Z3					Z4					Z5		Z5

Подставим найденные токи в уравнение, составленное по 1-му закону Кирхгофа:

							1 2											2
		J							Z4									Z5				0,
			Е1
	3														1				3
									J																0,
			Z															Z		3
			1
						1					1
																								1
															J											,
	2
					Z4						Z5													Z4
			1					1																		Е1
3																					J							.
			Z						Z								Z									Z
										3									3
			1																							1

Подставляя в уравнение ( ) значения сопротивлений и ЭДС, найдем комплексные потенциалы узлов 2 и 3 :

1

1

80 j60

2

4 j3

,

j15

j15

j10

1

1

80 j60

4 j3

100 j100

3

,

4 j3

5 j5

5 j5

4 j3

249,4

В,

34,41 j147,35 151,31e

j256,86

B.

2

3

По найденным потенциалам

и

определяем токи I1,

I3,

I4

и I5:

2

3

Е1

34,41 j147,35 100 j100

j1,03

I1

3

16,18 j0,29 16,18e

А,

Z1

4 j3

104

80 j60 34,41 j147,35

I3

1

3

20,18 j2,71 20,36e j7,65 А,

Z3

5 j5

80 j60 249,4

I4

1

2

4 j22 22,36ej259,7 А,

Z4

249,4

j15

j90

I5

2

j25 25e

А.

Z5

j10

Чтобы найти ток в ветви с идеальным источником ЭДС, составим по 1-му

закону Кирхгофа уравнение баланса токов в узле "0":

16,18 j0,29 j25 16,18 j24,71 29,546e

j56,78

I6 I1

I5

А.

После вычисления токов, определим напряжение на зажимах источника

тока для чего составим уравнение по

2-му закону Кирхгофа для

контура

"3 – Z2 – Е2

– J

– Z4

– 1 – Z3 – 3":

4 j3 10 20,18 j2,71 5 j5

UИТ JZ2

I3Z3 I4Z4

Е2

4 j22 j15 j50

175,55 j67,35 188,03ej159,01

B.

Для проверки правильности расчета токов найдем мощности источников

и приемников, и составим уравнение баланса мощностей (SИСТ SH):

*

*

*

*

SИСТ E1I1 E2

J E6

I6 UИТ J 100 j100 16,18 j0,29

j50 4 j3 80 j60 16,18 j24,71 175,55 j67,35 4 j3

3369,75 j2537,75 4218ej36,98

BA,

SH I12Z J2Z

2

I32Z

3

I4

2Z

4

I52Z

5

16,182 4 j3 52

10

1

20,362

5 j5 22,362

j15 252

j10 3369,75 j2537,75 4218ej36,98 BA.

Сопоставляя SИСТ

и

SH, получаем, что баланс сошелся, следовательно,

расчеты токов выполнены верно.

Задача 3.1.10 Пусть требуется определить мгновенные значения токов и показания приборов электромагнитной системы в цепи, представленной на рис. 3.1.10, если: R1 = 5 Ом, R3 = 10 Ом, R4 = 10 Ом, XC1 = 7,5 Ом, XC5 = 10 Ом, XL2 = 10 Ом, j(t) 1,79sin t 26,3 A, e(t) 20sin t B.

РЕШЕНИЕ:

В заданной цепи: число ветвей m = 6, число узлов n = 4, число независи-

мых контуров mнез = 3.

Расчет заданной схемы целесообразно выполнить методом контурных токов или узловых потенциалов, т.к. в ее составе схемы находятся идеальные источники тока и напряжения.

Рассмотрим расчет схемы обоими методами.

105

	1) Метод контурных токов.
	Т.к. внутреннее сопротивление
	амперметра			RA 0, а				вольт-
	метра RV , то их в схеме за-
	мещения можно временно ис-
	ключить (рис. 3.1.10.а).
	Выберем в схеме замещения не-
	зависимые контура и направим в
							,
	них контурные токи					I11		I22,		I33.
	Учтем, что контурный ток I33
	должен быть равен току источ-
Рис. 3.1.10	ника			тока,						т.е.
				j26,3	А.
	I33 J 1,27e
Тогда, для двух контуров с неиз-
вестными контурными токами I11
и I22 составим систему уравнений
по 2-му закону Кирхгофа:
									,
Z I		Z I	22	Z I	33	E		11
	11 11	12		13
Z21I11 Z22I22 Z23I33 E22.
Определяем собственные и вза-
имные		комплексные			сопротивле-
ния контуров:
	Z11 R2 jXL2 R3
Рис. 3.1.10.а	10 j10 10 20 j10							Ом,

Z22 R2		jXL2 R4		jXC5 10 j10 10 j10 20 Ом,
Z12	Z21	R2	jXL2	10 j10		Ом,
Z13	Z31	0	Ом, Z23 Z32		R4 10 Ом.
Собственные ЭДС контуров:					E11	E1 14,14ej0 14,14 В,	E22 0 В.

Перепишем систему ( ) с учетом найденных выше параметров:

20 j10 I11 10 j10 I22 0 1,14 j0,562 14,14,

					10 1,14 j0,562 0.
	10 j10 I	11	20 I	22

Решая последнюю систему уравнений, находим значения контурных то-

ков: I11 0,849 j0,425 А, I22 0,781 j0,918 А.

Произвольно задаем направления реальных токов в ветвях и находим их значения методом наложения:

				0,849 j0,425 1,138 j0,562 0,289 j0,137 0,32e			j154,64
	I1 I11		I33						А,
				0,849 j0,425 0,781 j0,918 0,068 j0,493 0,498e				j82,15
	I2 I11		I22							А,
			0,849 j0,425 0,949e		j26,59
	I3 I11					А,

106

						j44,92
	I4	I22	I33 0,781 j0,918 1,138 j0,562 0,357 j0,356 0,504e				А,
			0,781 j0,918 1,205e	j130,39
	I5	I22			А.

Составим уравнение по 2-му закону Кирхгофа для контура с источником тока J1 и вычислим напряжение на зажимах источника тока:

UИТ Е I4R4 J(R1 jXC1) 14,14 10 (0,357 j0,356) (5 j7,5) (1,138 j0,562)27,575 j9,285 29,1e j18,61 B.

Для проверки правильности расчета токов найдем мощности источников и приемников и составим уравнение баланса мощностей (SИСТ SH):

		*		*
SИСТ E1 I1 UИТ				J 14,14 0,289 j0,137 27,575 j9,285 1,138 j0,562
22,087		j24,132		BA,
SH J2 R1			jXC1 I2		2 R2	jXL2 I32R3 I4	2R4 I5	2 jXC5 1,272 5 j7,5
0,4982		10 j10 0,9492				10 0,5042 10 1,2052 j10 22,087 j24,132 BA.

Баланс мощностей сходится, значит, токи рассчитаны верно.

Для нахождения мгновенных значений токов представим их в виде проекций векторов, вращающихся в комплексной плоскости, на ось мнимых чисел, как: i(t) Im[Imk ej t] Im[Imk ej kej t] Imk sin t k Ik2sin t k ,

где Iк – ток k-й ветви; k – начальная фаза тока.

i1 t 0,32	2sin t 154,64					A,	i4 t 0,504		2sin t 44,96		A,
i2 t 0,498			2		sin t 82,15	A,	i5 t 1,205	2		sin t 130,39	A.
i3 t 0,949				sin t 26,59		A,
			2

2) Метод узловых потенциалов.

Т.к. в цепи есть идеальный источник ЭДС , то принимая потенциал узла "0" равным нулю 0 0, получим, что потенциал узла "1" будет равен:

		E 14,14 В.
	1

Для узлов "2" и "3" схемы замещения на рис. 3.1.10.а, запишем уравнения по первому закону Кирхгофа:

	для узла"2":I4	I5	J 0,
				0.
для узла"3":I3		I5	I2

Токи в ветвях, не содержащих источник тока, выразим через потенциалы узлов и сопротивления ветвей, на основании закона Ома:

		3 0				1 3			0 2			2 3
I2			,	I3			, I4			, I5			.
		R2 jXL2				R3			R4			jXC5

Подставим выражения для токов в систему уравнений ( ), составленных по первому закону Кирхгофа:

107

2				2		3
	R4				jXC5		J 0,
	1 3					2 3				3
											0.
	R3					jXC5 R2				jXL2

а затем перепишем последнюю систему уравнений относительно неизвестных потенциалов узлов 2 и 3 :

		1				1					1
														J,
2						jXC5		3			jXC5
		R4
					1				1		1					1
																		1	.
	2						3
				jXC5				R3				jXC5 R2				jXL2		R3

подставляя в систему уравнений параметры элементов схемы, и решая ее относительно 2 и 3, находим их величины:

			1					1									1		1,138 j0,562 ,
	2												3
								j10
			10														j10
			1							1					1			1			14,14
																							.
		2					3
				j10						10					j10			10 j10			10
откуда: 2	3,57 j3,56												B,		3		5,61 j4,25					B.

Зная потенциалы всех узлов определяем реальные токи в ветвях:

5,61 j4,25 0

j82,15

3 0

0,068 j0,493 0,498e

I2

R2

jXL2

10 j10

A,

14,14 5,61 j4,25

j26,59

1

3

0,849 j0,425 0,949e

I3

R3

10

A,

0 3,57 j3,56

j44,92

0

2

0,357 j0,356 0,504e

I4

R4

10

A,

3,57 j3,56 5,61 j4,25

j130,39

2 3

0,781 j0,918 1,205e

I5

jXC5

j10

A.

Значения токов совпали со значениями, полученными при решении данной задачи методом контурных токов, следовательно, задача решена верно.

Определим ток амперметра, используя метод эквивалентного генератора, для чего преобразуем исходную схему к виду на рис. 3.1.10.б. Тогда представляя всю цепь относительно зажимов "1" и "3" активным двухполюсником, най-

				U13xx
дем токI3	:	I3	Zэг R3 .
		определим по 2-му закону Кирхгофа при разомкнутых
Напряжение U13xx

зажимах "1" –"3" (рис. 3.1.10.б):

U13xx E I2xx R2 jXL2 .

108

Ток I2xx определим методом "чужой ветви":

			R4
I	2xx J	R4 R2 jXL2 jXC2
1,14 j0,562				10
		10 10 j10 j10
0,57 j0,281 0,635ej26,3					A.
				найдем как:
Тогда напряжение U13xx

U13xx 14,14 (0,57 j0,281) (10 j10)

17,02 j8,51 19,02ej26,3 B.

Рис. 3.1.10.б

Сопротивление эквивалентного генератора Zэг определяем по отношению к зажимам "1" "3", при закороченном источнике ЭДС Е и разомкнутой ветви с источником тока J (рис. 3.1.10.в):

Zэг	(R4 jXC5)(R2	jXL2	)		(10 j10) (10 j10)	10 Ом.Ток
	R4 jXC5 R2	jXL2
					10 j10 10 j10

в третьей ветви, куда включен амперметр будет равен:

					17,02 j8,51			j26,59
			U13xx				0,851 j0,425 0,951e
	I3		Zэг R3		10 10				A.
Рис. 3.1.10.в
Приборы электромагнитной системы показывают действующее значение,
т.е.: IA I3	0,949 А – показание амперметра. Для определения показания

вольтметра расчетным путем необходимо составить уравнение по 2-му закону Кирхгофа для контура, включающего вольтметр (см. рис. 3.1.10).

UV I4R4 I5 jXC5 0,357 j0,356 10 0,781 j0,918 j7,5

4ej145,280 B. Тогда показаниевольтметра :UV 4 B.

3.2 Задачи для самостоятельного решения

Задача 3.2.1 Определить токи в ветвях схемы, представленной на 3.2.1, методом наложения, правильность расчета проверить с помощью баланса мощностей, если:

e1(t) 100	2sin t 45				B,
e2(t) 200		2		sin t 30	B,
R1 = 200 Ом, R2 = 100					Ом, L	= 5 мГн,
С1 = 20 мкФ, С2 = 10 мкФ, ω = 1000						рад/с.

Рис. 3.2.1

109

Задача 3.2.2 Определить токи в ветвях схемы, представленной на 3.2.2, методом узловых потенциалов. Ток в ветви с катушкой индуктивности XL2 определить методом эквивалентного генератора, ес-

ли: Е1 156 j100 B, Е2 16 j50 B,

R1 = 8 Ом, R2 = 6 Ом, R3 = 10 Ом, XL1 = 4 Ом, XL2 = 6 Ом, XL3 = 12 Ом, XC1 = 6 Ом, XC2 = 3 Ом, XC3 = 10 Ом.

Рис. 3.2.2

Задача 3.2.3 Определить токи в ветвях схемы, представленной на 3.2.3, методом

трансфигурации,	если: Е1 100ej135	B,
Е2 100e j30 B, R1 = 4 Ом, R2 = 3		Ом,
R3 = 6 Ом, XL1	= 4 Ом, XL2 = 4 Ом,
XL3 = 3 Ом, XC1	= 5 Ом, XC2 = 8	Ом,
XC3 = 6 Ом.

Рис. 3.2.3

Задача 3.2.4 Определить токи в ветвях схемы, представленной на 3.2.4, более удобным методом, правильность расчета проверить при помощи баланса мощностей, если:

Е2	70,7 j70,7		B, Е3 70,7 j70,7 B,
J 4 j3		A, Z1 3 j3 Ом,
Z2	6 j5 Ом, Z3 5 j8 Ом,
Z4	j10	Ом, Z5	4 j2 Ом,
Z6	10	Ом.

Рис. 3.2.4

110