ПОСОБИЕ ЧАСТЬ 2 -цепи переменного тока

Задача 3.2.5 Определить токи в ветвях схемы, представленной на 3.2.5, методами уравнений Кирхгофа и контурных токов, правильность расчета проверить при помощи баланса мощностей, если:

J1 2 j6	A, J2 j5	A, Z1 6 Ом,
Z2 8 j5	Ом, Z3 6 j8 Ом,
Z4 j10	Ом, Z5 j8	Ом, Z6 3 j3 Ом.

Рис. 3.2.5

Задача 3.2.6 Определить токи в ветвях схемы, представленной на 3.2.6, методами узловых потенциалов и контурных токов, правильность расчета проверить при помощи баланса мощностей, если:

	Е1	220ej35		B,	Е2 j127 B,
	Е3	80 j60		B,	J j4	A,
	Z1 j3		Ом, Z2 6 j3 Ом,
	Z3 6 j8		Ом, Z4 j6 Ом,
Рис. 3.2.6	Z5 1 j4		Ом,		Z6 j10	Ом.

Задача 3.2.7 Используя преобразования схемы, представленной на рис. 3.2.7, определить токи в ветвях и составить уравнение баланса мощностей. Ток в ветви с резистором R1 определить методом эквивалентного генератора, если:

Е1 50 j25

B, Е2

120 j50 B,

R1 = 5 Ом, R2 = 10 Ом, R3 = 15 Ом, XL1 = 10 Ом, XL2 = 5 Ом,

Рис. 3.2.7 XL3 = 15 Ом, XC1 = 3 Ом, XC2 = 4 Ом, XC3 = 6 Ом.

111

Задача 3.2.8 Определить токи в ветвях схемы, представленной на 3.2.8, методом наложения, правильность расчета проверить с помощью баланса мощностей, если:

j(t) 52sin t 45 A, e(t) 1002sin t 60 В,

R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом, R3 = 10 Ом,

R4 = 20 Ом, XL2 = 20 Ом, XC1 = 10 Ом,

XC5 = 20 Ом, ω = 314 рад/с.

Рис. 3.2.8

E1	E2
	Z3
Z	Z2
1	J
Z4
	Z6
	Рис. 3.2.9

Задача 3.2.9 Определить токи в ветвях схемы, представленной на 3.2.9, методами узловых потенциалов и контурных токов, правильность расчета проверить при помощи баланса мощностей, если:

			j35
	Е1 100e			B, Е2 j200 B, J j5 A,
	Z1 4 j3			Ом, Z2 6 j3 Ом,
	Z3	10 j10		Ом, Z4 8 j6	Ом,
	Z6	j10 Ом.

E1

Задача 3.2.10 Определить токи в ветвях

схемы, представленной на 3.2.10, методом

узловых потенциалов, правильность расче-

Z4

та проверить при помощи баланса мощно-

E

2

стей, если:

j36,9

Е1 100e

B,

Z6

j45

j53,13

Е2 141e

B, Е3 200e

B,

Z5

Z3 20 j20

Ом,

Z4 12 j16

Ом,

Z3

E3

Z5 8 j6 Ом. Z6

j20 Ом.

Рис. 3.2.10

112

4 РЕЗОНАНСНЫЕ РЕЖИМЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

4.1 Примеры расчета электрических цепей при резонансе напряжений

Задача 4.1.1 Последовательный колебательный контур, представленный на рис. 4.1.1, настроен в режим резонанса напряжений. Известно показание вольтметра на входе цепи U = 10 В, R = 2 Ом и XC = 5 Ом. Требуется определить показания амперметра и остальных приборов.

РЕШЕНИЕ:
Из условия резонанса			напряжений
следует, что: XC XL 5			Ом.
Показание амперметра при резонансе
(Х 0): I	U	5 A.
	R
Показания вольтметров находим рас-
четным путем:

		U IZ I R2 X			2
		1	к		L
	Рис. 4.1.1	5	22 52	29,9	B,
		U2 IXC 5 5 25 B.

Задача 4.1.2 Найти параметры катушки (L, R), емкость конденсатора С и сопротивление резистора R, включенного в цепь, представленную на рис. 4.1.2, если известны показания приборов при резонансе: U = 220 B, U1 = 204 B, U2 = 180 B, I = 4 A, f0 = 50 Гц. Построить ВД напряжений.

РЕШЕНИЕ:

Определим сопротивление конденсатора и его емкость:

XC

U2

180

45

Ом,

отсюда:

I

4

C

1

1

70,7

мкФ.

XC 0

45 2 50

Из условия

резонанса напряжений

Рис. 4.1.2

найдем XL :

XL XC 45

Ом,

XL

45

тогда:L

143,24

мГн.

2 50

0

Полное сопротивление катушки индуктивности:

						U1		204
Zк R		2	XL	2					51 Ом.
						I		4

Зная Zк, находим активное сопротивление катушки:

113

R Zк2 XL2 512 452 24 Ом.

Полное активное сопротивление цепи найдем из закона Ома I URэкв :

Rэкв R1	R	U		220	55 Ом.
		I 4

Тогда сопротивление R1:

R1 Rэкв R 55 24 31 Ом.

Выберем масштаб напряжений MU = 50 B/см и рассчитаем модули падений напряжений на элементах схемы:

UR1 R1I 31 4 124		B,
UL UC 180	B,
UR RI 24 4 96 B,
U RэквI 55 4 220		B.
По результатам расчетов строим ВД напряжений
(рис. 4.1.2.а).
Рис. 4.1.2.а
Задача 4.1.3 К последовательному колебательному R – L – C контуру, с
известными параметрами: L = 2,26 мГн, R = 10,6	Ом, приложено напряжение

U = 50 мкВ с частотой f = 100 кГц. Найти емкость С конденсатора, при которой контур будет настроен в резонанс, определить добротность контура и напряжение на конденсаторе и катушке.

РЕШЕНИЕ:

Найдем угловую частоту, при которой последовательный контур должен быть настроен в резонанс: 0 2 f 2 105 радс,

Рассчитаем емкость, при которой в цепи будет резонанс напряжений:

С	1			1	1,11 10 9 1,11 нФ,
	0			2 2 1010 2,26 10 3
		2L

Для "резонансных" L – C параметров определим характеристическое сопротивление и добротность последовательного контура:

		L			2,26 10 3	1430 Ом,	Q			1430	140,
					1,11 10 9
								R
		C							10,6

Найдем напряжение на конденсаторе и катушке при резонансе:

	6	7 мВ.
UC Q U 140 50 10

Модуль полного напряжения на катушке индуктивности можно рассчитать как:

	U
				2	2
Uк IZк			R		XL	,
	R

114

но в режиме резонанса	XL , а	>>R, поэтому можно	считать,	что
UL0 UC0, тогда: Uк UC Q U 7		мВ.
Задача 4.1.4 Граничные частоты полосы пропускания f1			= 420	кГц,
f2 = 600 кГц для схемы,	представленной на рис. 4.1.4. Определить резонанс-

ную частоту f0 и частоты, на которых напряжения на емкости и индуктивности имеют максимальные значения.

РЕШЕНИЕ:

Абсолютное значение полосы пропускания

находим как:

Рис. 4.1.4

2 f0

f2

f1 600 420 180 кГц.

Значение полосы пропускания:

2 f0 f0 d 1 Q .

d2

d

f1 f0 1

,

4

d

2

d

2

Т.к. f12 f0 1

, т.е.

4

2

d

2

d

f2 f0 1

.

4

2

Из приведенных формул определяем коэффициент затухания:

															f1							1								d2					d						420
																														4					2													0,7,
															f2																										600
																														d2
																						1													d
																														4				2
																d		2						d																			d		2				d
												1																0,7									1															0,
																4								2																				4					2
																										d		2											d		2
		d	2				d																																													0,36
0,3 1		4			1,7		2			0,		0,09						1									4			2,89										2		,						d				2,8				0,359,			Q		1 d 2,79.
												f0 2 f0 Q 180 2,79 502																																							кГц.
	Найдем частоту, при которой напряжение на катушке индуктивности бу-
дет максимально:
											2
																																												2
		fL f0						2 Q				2 Q 2 1 502																						2 2,79											2 2,792 1 519														кГц.
	Аналогично найдем частоту, при которой напряжение на емкости будет
максимально:
										2																																		2						2 2,792 485,6
	fС f0					(2 Q						1)		2 Q 2										502									(2 2,79													1)													кГц.

115

Задача 4.1.5 Последовательный контур содержит катушку индуктивности

и конденсатор переменной емкости. Индуктивность катушки L = 25	мкГн, а ее
активное сопротивление R = 1,6 Ом (считать независимым от частоты). Ем-
кость конденсатора можно изменять в пределах от Сmin = 25	пФ до

Сmax = 160 пФ. Определить пределы изменения резонансной частоты контура

0

f C , характеристическое сопротивление ρ, добротность Q' и затухание

d на предельных частотах.

РЕШЕНИЕ:

Определим нижний угловой предел резонансной частоты при Сmax:

01

1

1

15,8 106 рад с,

0min

LCmax

25 10 6 160 10 12

Тогда для циклической частоты fmin 0min

2 15,8 106 2 2,51 МГц.

Характеристическое сопротивление контура при Сmax:

25 10 6

1

L

395 Ом.

Cmax

160 10 12

Добротность и затухание контура при Сmax:

Q1	1		395	247,	d1	1		1	0,0405.
	R							247
		1,6				Q1

Найдем верхнюю резонансную частоту при Сmin:

				1				1			40 106 рад с,
				LCmin
02	0max							25 10 6 25 10 12
Тогда для циклической частоты fmax 0max									2 40 106			2 6,37 МГц.

Характеристическое сопротивление контура при Сmin:

2		L			25 10 6	1000 Ом,
		Cmin			25 10 12

Добротность и затухание контура при Сmin:

Q2		2		1000	625,	d2	1		1	0,0016.
		R							625
			1,6				Q2

Пределы изменения резонансной частоты:

		0max		0min	24,2 106	рад с.
0

Задача 4.1.6 Последовательный колебательный контур R – L – C настроен в резонанс и подключен к источнику синусоидального напряжения с амплитудой Um = 120 В. Известны параметры катушки: L = 2 мГн, R = 8 Ом и добротность контура Q' = 20. Требуется определить: характеристическое сопротивление ρ, резонансную частоту ω0, емкость конденсатора С, частоты, на которых падения напряжений на катушке и на конденсаторе достигают максимальных

116

Рис. 4.1.7

значений – ω0L и ω0С, полосу пропускания контура, величину напряжения на индуктивности и конденсаторе UL0 и UС0 при резонансе.

РЕШЕНИЕ:

Вначале найдем характеристическое сопротивление колебательного кон-

тура: QR 20 8 160 Ом,

Рассчитаем угловую и циклическую резонансные частоты:

0				160		80 103				рад с,	f0 12,75 кГц.
				12 10	3
		L
Найдем емкость, при которой в R – L – C контуре будет резонанс:
					C		1			1	78 10 9 78 нФ.
							0		80 103 160

Рассчитаем частоты ω0L и ω0С соответствующие ULmax и UCmax:

0L	0		2			80 103					2				80,4 103	рад с,
				2 (1 Q )2							2 1 20 2
			2 (1 Q )2
								3			2 1 20 2		3
0С	0					80 10									79,7 10	рад с.
			2								2
Определим полосу пропускания контура:
							0		80 103				3
	2 2 1											4 10 рад с.
											20
							Q

Найдем напряжение на индуктивности и на конденсаторе при резонансе: UL UC Q U 20 120 2400 B.

Задача 4.1.7 Определить значение сопротивления XL, при котором в цепи, представленной на рис. 4.1.7, будет резонанс напряжений. Определить токи в режиме резонанса и построить ВД токов и напряжений, если: u(t) 2702sin t B, R1 =10 Ом, R2 = 10 Ом, R3 = 50 Ом, XC = 20 Ом.

РЕШЕНИЕ:

Заменяя мгновенные токи и напряжения их комплексными изображениями, получим схему, представленную на рис. 4.1.7.а. Тогда комплексное входное

напряжение:		j0	B. В схеме на рис.
	U 270e

4.1.7.а резонанс напряжений будет тогда, ко-

гда входное напряжение U и входной ток I1 совпадут по фазе. Это возможно тогда, когда эквивалентное комплексное сопротивление схемы Zэкв будет иметь чисто активный характер.

Запишем комплексное входное сопротивление цепи и выделим в нем действительную и мнимую части:

117

	Zэкв R1			jXC	R3 R2 jXL
					R3 R2 jXL
				R2R3 jR3XL R2 R3 jXL
	R1 jXC R3 R2 jXL R2 R3 jXL
	R1		R2R3 R2 R3				R3XL	2
				R2 R3 2			XL2
				R32XL
	j						XC Rэкв jХэкв.
		R2 R3 2 XL2
Рис. 4.1.7.а

Очевидно, что эквивалентное сопротивление Zэкв Rэкв, тогда когда его реактивная составляющая будет равна нулю:

	Im Zэкв Хэкв 0,	или Хэкв	R3	2XL		XC 0.
			R2 R3 2 XL		2

После несложных преобразований получим квадратное уравнение, записанное относительно переменной XL:

XCXL2 R32XL R2 R3 2XC 0.

Найдем корни полученного уравнения:

XL1

R32

R34 4 R2 R3 2XC2

502

504 4 10 50 2 202

80 Ом,

2XC

2 20

XL2

R32

R34 4 R2 R3 2XC2

502

504 4 10 50 2 202

45 Ом.

2XC

2 20

Корни уравнения вещественны и больше нуля, значит, резонанс может

быть при двух значениях индуктивного сопротивления.

Определим токи для каждого из двух случаев:

1) XL 80

Ом.

Входное сопротивление цепи чисто активное:

Zэкв Rэкв R1

R2R3 R2

R3

R3XL

2

R2 R3 2

XL2

10

10 50 10 50 50 802

45

Ом.

10 50 2

802

270

U

Ток I1

определяем по закону Ома: I1

6 А,

Rэкв

45

т.е. сдвиг фаз между входным напряжением U и входным ток I1 равен нулю.

определим методом "чужой ветви":

Ток I2

R3

50

1,8 j2,4 3e

j53,13

I2

I1

R2

R3 jXL

6

10 50 j80

А.

118

В соответствии с 1-м законом Кирхгофа ток I3:

					6 1,8 j2,4 4,2 j2,4 4,837e	j29,745
	I3 I1		I	2			А.

Для построения ВД определим падения напряжений на соответствующих приемниках:

						j63,435
	U1 I1 R1 jXC 6 10 j20				60 j120 134,164e			В,
							j29,745
				4,2 j2,4 50 210 j120 241,868e
	U2 U3		I3R3					В.

Правильность расчета токов проверяем с помощью уравнения баланса мощностей, для чего определяем комплексы полных мощностей источника и приемников:

	*	270 6 1620				BA,
SИ UI1
	*		*		*	60 j120 6 210 j120 1,8 j2,4
SH U1 I1 U2			I	2 U3	I3

210 j120 4,2 j2,4 1620 BA.

Баланс мощностей сошелся, следовательно, токи определены правильно. ВД токов и напряжений изображена на рис. 4.1.7.б в масштабах: MI = 1 A/см, MU = 40 В/см.

2) XL 45 Ом.

Входное

сопротивление

цепи

чисто активное:

Zэкв Rэкв

R

2R3 R2

R3 R3XL2

R1

R2 R3 2 XL2

10 50 10 50 50 452

10

10 50 2

452

33,333

Ом.

Ток

I1

определяем

по закону

Рис. 4.1.7.б

270

U

Ома: I1

Rэкв

33,333

8,1

А,

Согласно методу "чужой ветви" находим ток I2:

R3

50

4,32 j3,24 5,4e

j36,87

I2 I1

R2 R3

jXL

8,1

10 50 j45

А.

В соответствии с 1-м законом Кирхгофа ток I3:

j40,6

8,1 4,32 j3,24 3,78 j3,24 4,979e

I3 I1 I2

А.

Падения напряжений на соответствующих приемниках:

j63,435

U1 I1 R1 jXC 8,1 10 j20 81 j162 181,122e

В,

j40,6

U2 U3

I2 R2

jXL 4,32 j3,24 10 j45 189 j162 248,928e

В.

119

Правильность расчета токов проверяем с помощью уравнения баланса мощностей, для чего определяем комплексы полных мощностей источника и приемников:

		*	270 8,1 2187 BA,
SИ UI1
		*	*	*
SH U1I1 U2 I2 U3 I3
81 j162 8,1
189 j162 4,32 j3,24
189 j162 3,78 j3,24
2187		BA.

Баланс мощностей сошелся, следовательно, токи определены правильно. ВД токов и напряжений представлены на рис. 4.1.7.в в масштабах: MI = 1 A/см, MU = 40 В/см.

Рис. 4.1.7.в

Задача 4.1.8 Определить значение сопротивления XL, при котором в цепи, представленной на рис. 4.1.8, имеет место резонанс напряжений. Опреде-

лить токи в режиме резонанса и построить ВД, если: u(t) 220	2sin t B,

R1 = 20 Ом, R2 = 50 Ом, R3 = 40 Ом, XC = 50 Ом.

РЕШЕНИЕ:

Заменив мгновенные значения токов и напряжений их комплексными изображениями, получим схему, представленную на рис. 4.1.8.а. Для определения сопротивления XL, при котором в цепи имеет место резонанс напряжений необходимо, чтобы мнимая часть эквивалентного комплексного сопротивления была равна нулю Im Zэкв 0.

Рис. 4.1.8

Найдем эквивалентное комплексное сопротивление цепи:

Zэкв R1	jXL	R3 R2 jXC	20 jXL	40 50 j50
		R3 R2 jXC
				40 50 j50

20 jXL 26,42 j7,55 46,42 j XL 7,55.

Из условия резонанса Im Zэкв 0находим реактивное индуктивное со-

противление XL 7,55

Ом,тогда Zэкв 46,42 Ом.

120