ПОСОБИЕ ЧАСТЬ 2 -цепи переменного тока

		j15
	Im 1,41e		A, где Im 1,41 А,	i j15 .
	Рассчитаем реактивную проводимость цепи:
	ВС C 1000 15 10 6 0,015			См,

и комплекс полной проводимости:

Y G jB G jВС 0,01 j0,015 0,018ej56,3 См,

56,3 .

Рис. 2.1.27

Найдем комплексную амплитуду напряжения, приложенного к цепи:

			1,41e	j15
	Im				78,4e	j71,3
Um	Y		0,018ej56,3				25,1 j74,4 B,

и запишем выражение его мгновенного значения:

u(t) 78,4sin(1000t 71,3 ) B.

Найдем действующее значение: U 0,707 Um 78,4 55,5 B

Зная комплекс напряжения, приложенного напряжения к цепи, определим комплексные амплитуды токов в ветвях и выражениях их мгновенных значений:

j71,3

j71,3

I

аm GUm 0,01 78,4e

0,784e

0,251 j0,774 A,

j90

j71,3

j18,7

Ipm jВСUm e

0,015 78,4e

1,18e

1,12 j0,378 A.

По найденным комплексным амплитудам токов в ветвях запишем выра-

жения

для

мгновенных

токов:

ia(t) 0,784sin(1000t 71,3 ) A,

iр(t) 1,18sin(1000t 18,7 ) A.

Задаем масштабы для тока МI = 0,2 A/см и для напряжения МU = 50 B/см и строим ВД для амплитудных значений напряжений и токов (рис. 2.1.27.а).

При построении ВД учтем, что вектор активной составляющей полного тока Iаm должен совпадать с вектором напряжения, приложенного к цепи Um, а вектор реактивной со-

ставляющей тока Ipm должен быть

перпендикулярен к вектору активной Рис. 2.1.27.а

составляющей полного тока Im .

Сделаем аналитическую проверку правильности решения:

				j15
	Im Iаm Ipm 0,251 j0,744 1,12 j0,378 1,37 j0,366 1,41e				A.

Комплексная амплитуда токаIm оказалась равна заданному значению, следовательно, решение задачи верно.

61

Задача 2.1.28 Катушка индуктивности (XL = 30 Ом, Rк = 20 Ом) подключена к двум генераторам, соединенным последовательно (рис. 2.1.28). Из-

вестно, что ЭДС генераторов равны E1 192		B, E2 240 B, при этом сдвиг
фаз между ЭДС генераторов 21	30 , а внутренние сопротивления генерато-
ров различны: Z01 4 j8 Ом,	Z02 6 j2	Ом. Требуется определить на-

пряжение на зажимах каждого генератора, найти показания ваттметра и построить ВД тока, напряжений и ЭДС.

	РЕШЕНИЕ:
	Запишем комплексы ЭДС генераторов, принимая на-
	чальную фазу ЭДС		E1 : 1 0,		тогда 2 30 , т.к.
	21 2 1 30 .		2 240ej30
	E1 192 B,	E			208 j120 B.
	Выразим комплексы сопротивлений катушки генера-
	торов и всей цепи в показательной форме:
	Zк Rк jXL 20 j30 36ej56,3 Ом,
Рис. 2.1.28	Z01 4 j8 8,93ej63,6			Ом,
	Z02 6 j2 6,3ej18,5			Ом,

Z Z01

Z02 Zк 4 j8 6 j2 20 j30 30 j40 50ej53,1

Ом.

Найдем комплекс тока:

418ej16,7

E1 E2

192 208 j120

j36,4

I

8,36e

A.

Z

30 j40

50ej53,1

и на зажимах

Определим комплексы падений напряжений на катушке Uк

генераторов

:

U1

и U2

j56,3

j36,4

j19,9

Uк ZкI 36e

8,36e

300e

282 j102

B,

j63,6

j36,4

j27,2

U1 E1 Z01I 192 8,93e

8,36e

192 75e

192 66,7 j34,3

125,3 j34,3 130e j15,3

B,

j18,5

j36,4

j17,9

U2 E2 Z02I 208 j120 6,3e

8,36e

208 j120 52,7e

158 j138 214ej40,2 B.

Показания ваттметра активную мощность, которую можно рассчитать

двумя способами:

а) P RI2 20 8,362

1400

Bт,

б)

Re 300e

j19,9

8,36e

j36,4

2520cos56,3 1400

Bт.

P Re Uк I

62

Векторная диаграмма тока, напряжений и ЭДС (рис. 2.1.28.а) построена в масштабе:

МI = 2 A/см, МU = МE = 50 B/см.

Здесь IZ01 и IZ02 – падения напряжений на внутренних сопротивлениях источников ЭДС.

Рис. 2.1.28.а

Задача 2.1.29 Определить показания приборов в цепи, представленной на рис. 2.1.29, если известно показание амперметра А2: I2 = 1 А и заданы параметры элементов: R1 = 200 Ом, L = 0,276 Гн, R2 = 100 Ом, частота f = 100 Гц. Построить ВД токов и напряжений.

РЕШЕНИЕ:

Определим реактивное сопротив-

ление катушки:

XL L 2 f L

2 100 0,276 173

Ом,

и комплекс сопротивления второй

ветви:

Z2 R2 jXL

Рис. 2.1.29

100 j173 200ej60

Ом,

Примем начальную фазу тока

равной нулю:

и определим

I2

I2 1 A

комплекс входного напряжения:

j60

j60

U Z2I2 200e

1 200e

B.

Находим показание вольтметра как модуль напряжения

, приложенно-

U

го к цепи: U = 200 B.

Зная входное напряжение, определим ток в первой ветви:

200e

j60

U

1e

j60

I1 1

A.

I1

0,5 j0,876 A,

R1

200

Ток в неразветвленной части цепи находим на основании 1-го закона Кирхгофа:

					0,5 j0,876 1 1,5 j0,876 1,73e	j30		I 1,73 A.
	I I1		I	2			A,

Угол сдвига фаз между входным напряжением и током найдем как разность начальных фаз: U I 60 30 30 .

63

Показания ваттметра определим как вещественную часть комплексной мощности:

				Re 200e	j60	1,73e		j30		346cos30 300 Bт.
P Re UI
Для проверки расчетов найдем активную мощность, потребляемую ак-
					2				2	2	2
тивными сопротивлениями: P R1I1							R2I		2	200 1	100 1 300 Вт.

Выберем масштаб токов МI = 0,5 A/см и напряжений МU = 40 B/см и построим ВД токов и напряжений (рис. 2.1.29.а).

Здесь вектор тока I2 согласно исходным дан-

ным задачи имеет начальную фазу ψi2 = 0 и, следовательно, совпадает с осью вещественных чисел остальные вектора изображены с их начальными фазами.

Рис. 2.1.29.а

2.2 Расчет простых цепей переменного тока символическим методом

Задача 2.2.1 К цепи, приведенной на рис. 2.2.1 приложено напряжение u(t) 20sin(1000t) B. Требуется рассчитать все токи и напряжения на приемниках, построить ВД токов и напряжений, если: С = 100 мкФ, L = 10 мГн, R = 10 Ом. Проверить расчет схемы, составив баланс активной мощности источника и нагрузки.

РЕШЕНИЕ:

Рассчитаем реактивные сопротивления элементов схемы XL и XC:

XL L 1000 10 10 3				10		Ом,
XC	1		1		10	Ом.
			1000 100 10 6
	C

Рис. 2.2.1

Вычертим схему с комплексным входным напряжением и комплексными сопротивлениями, соответствующих ветвей (рис. 2.2.1.а) и выразим все величи-

ны в	комплексной форме:		20				Z1 j10 10e	j90
		U				14,1 B,			Ом,
			2
Z2 10	Ом, Z3 j10 10e j90 Ом.

64

Определим комплекс эквивалентного сопротивления:

Z

Z

Z2 Z3

j10

10 ( j10)

Z2 Z3

10 j10

Э

1

j10

j10 1 j1

j10

10 j10

1 j1 1 j1

2

Рис. 2.2.1.а

5 j5 7,07ej45

Ом.

Рассчитаем комплексы токов во всех ветвях:

14,1

j45

U

2e

I1

ZЭ

7,07ej45

1,41 j1,41

A,

Z3

2e

j45

j10

2e

j45

1e j90

1,41e

j90

I2

I1

Z2 Z3

10 j10

e j45

j1,41 A,

2

Z2

2e

j45

j10

2e

j45

1

I3

I1

Z2 Z3

10 j10

e j45

1,41

A.

2

Иначе ток в третьей ветви можно найти на основании 1-го закона Кирх-

гофа: I3

I1

I2 1,41 j1,41 j1,41 1,41 A.

Зная комплексы токов, найдем комплексы на приемниках:

10e

j90

2e

j45

20e

j45

Uab Z1I1

14,1 j14,1

B,

10 1,41e

j90

14,1e

j90

Ubc Z2I2

j14,1

B,

10e

j90

1,41 14,1e

j90

Ubc Z3I3

j14,1

B.

По рассчитанным токам строим ВД токов, изображая их на комплексной

плоскости (рис. 2.2.1.б) в масштабе МI = 0,5

A/см.

ТВД напряжений построим, принимая по-

тенциал точки "с" равной нулю (φс = 0) и

выбирая

масштаб

по

напряжению

МU = 3

B/см. Вначале рассчитаем потенциал

точки "b" и отложим вектор

из точки

Ubc

"с" совмещенной с началом координат:

j90

14,1e

j90

B.

b c Ubc 10 1,41e

и отложим вектор

Ubc. Определим потенци-

ал точки "а":

j90

j90

j45

10e

2e

Рис. 2.2.1.б

а b Uab 14,1e

14,1

B,

а затем откладываем на ВД вектор Uab и общего напряжения U.

65

Для проверки расчета цепи определим активную мощность источника и

					j45
			Re 14,4 2e			28,2cos45 20 Bт,
приемника: PИСТ Re UI1
		PН RI22		10 1,412		20 Bт.

Баланс активных мощностей сходится, следовательно, расчет цепи выполнен верно.

Задача 2.2.2 В цепи, приведенной на рис. 2.2.2, заданы сопротивления: R1 = 10 Ом, R2 = 24 Ом, R3 = 15 Ом, XL1 = 6 Ом, XL2 = 20 Ом, XC = 7 Ом. Из-

вестно показание первого вольтметра U1 = 120 В. Требуется найти показания остальных приборов. Проверить расчет цепи, составив баланс активной и реактивной мощности. Построить ВД токов и топографическую диаграмму напряжений.

			Рис. 2.2.2
			РЕШЕНИЕ:
			Вычертим схему замещения исходной цепи без
			измерительных приборов, состоящую только (рис.
			2.2.2.а). Вычислим значения комплексных сопро-
			тивлений:					10 j6 11,6ej31
			Z R	1	jX	L1			Ом,
		1
			Z2 R2		jXC 24 j7 25e j16,3				Ом,
Рис. 2.2.2.а								15 j20 25ej53,1
			Z3 R3		jXL2				Ом.
Найдем комплексное входное сопротивление цепи:
Z Z	Z2 Z3	10 j6	(24 j7) (15 j20)				24,4 j10,8 26,7ej23,9 Ом,
	Z2 Z3
1			39 j13
									B, напра-
Выразим входное напряжение в комплексной форме U 120

вим токи в ветвях и рассчитаем их в комплексной форме:

66

120

j23,9

U

4,5e

I1

Z

26,7ej23,9

4,11 j1,82

А,

Z

25ej53,1

3

4,5e

j23,9

2,74e

j10,8

I2 I1

2,69 j0,51

А,

Z2 Z3

39 j13

Z

25e j16,3

2

4,5e

j23,9

2,74e

j58,6

I3 I1

1,43 j2,34

А.

Z2 Z3

39 j13

Показания амперметров будут равны модулям комплексов действующих значений токов: I1 = 4,5 А, I2 = I3 = 2,74 A. Показания второго вольтметра численно равно модулю комплексного напряжения между узлами "с" и "f":

					25e	j53,1	2,74e	j58,6	68,5e	j5,5
	Ucf	Z2I2	Z3I	3							B.

Следовательно, второй вольтметр покажет U2 = 68,5 В.

Т.к. ваттметры измеряют активную мощность, то расчетным путем их показания можно найти как вещественную часть комплексной мощности:

				Re 120 4,5e			j23,9		494		Bт,
PW1 Re U1 I1
					Re 68,5e						292 Bт.
						j5,5		4,5e		j23,9
PW2 Re Ucf			I1

Найдем активную мощность, потребляемую активными сопротивлениями всей цепи:

P1 R1I12		10 4,52 202	Вт,	P2 R2I2	2	24 2,742	180 Вт,
P3 R3I3	2	15 2,742 112	Вт.
Тогда показания ваттметров:
		РW1 P1 P2 P3		202 180 112 494		Вт,
		PW2 P2 P3	180 112 292 Вт.

Баланс активных мощностей сходится.

Вычислим реактивную мощность, отдаваемую источником в цепь как мнимую часть полной комплексной мощности:

				Im 120 4,5e	j23,9	218 BAp.
Q Im U1 I1

Найдем реактивную мощность, потребляемую реактивными сопротивлениями цепи:

Q1 Q2 Q3 XL1I12 XCI22 XL2I32 6 4,52 ( 7) 2,742 20 2,742121 53 150 218 BAp.

Баланс реактивных мощностей сходится.
Выбрав масштаб токов МI = 2		A/см, построим ВД токов (см. рис. 2.2.2.б),
				1,43 j2,34 А.
найденных ранее: I1 4,11 j1,82	А, I2 2,69 j0,51		А, I3

67

Для построения ТВД выберем масштаб напряжений МU = 10 B/см, примем, что потенциал f 0 и рассчитаем потенциалы точек, указанных на рис. 2.2.2.

j79,2

( jXC)I2 j7(2,69 j0,51) 3,57 j18,8 19,2e

B,

d

f

j5,6

B,

c

d R2I2 3,57 j18,8 24 (2,69 j0,51) 68,1 j6,7 68,1e

68,1 j6,7 j6 (4,11 j1,82) 78,9 j18,2 81e

j13

B,

b

c jXL1I1

B,

a

b R1I1 78,9 j18,2 10 (4,11 j1,82) 120

j31,4

j20 (1,43 j2,34) 46,8 j28,6 54,9e

jXL2I3

B.

e

f

Потенциал точки "с" найдем вторым способом через потенциал e:

j5,6

B.

c e R3I3 46,8 j28,6 15 (1,43 j2,34) 68,1 j6,7 68,1e

При построении ТВД напряжений необходимо учитывать, что падения напряжений в активных сопротивлениях должны совпадать по направлению с соответствующими токами, а в реактивных сопротивлениях падения напряжений сдвигаются по отношению к соответствующим токам на угол 2.

Рис. 2.2.2.б

Задача 2.2.3 Определить чему равно напряжение U, приложенное к цепи, приведенной на рис. 2.2.3, если известно, что через сопротивление XС проходит ток I3 = 1 А. Сопротивления в цепи равны: R1 = 5 Ом, XL1 = 7,5 Ом, R2 = 4 Ом, XL2 = 3 Ом, XС = 6 Ом. Проверить расчет составлением баланса активной и реактивной мощности. Построить ВД токов и топографическую диаграмму напряжений.

РЕШЕНИЕ: Найдем комплексные сопротивления отдельных

тим соответствующую им схему (рис. 2.2.3.а)

Z1 R1 jXL1 5 j7,5 9ej56,3

Z2 R2 jXL2 4 j3 5ej36,9

участков цепи и вычер-

Ом,

Ом,

Z3 jXC j6 6e j90 Ом.

68

Определим комплекс напряжения между точками "c" и "d":

		j6 1 j6 B.
Ucd Z3I3

Зная Ucd рассчитаем комплекс тока

I2 :

			6e	j90
	Ucd				1,2e	j126,9
I2
	Z2		5ej36,9

0,72 j0,96 A.

Рис. 2.2.3

На основании 1-го закона Кирхгофа определим ток I1в неразветвленной части цепи:

I1 I2 I3 0,72 j0,96 1 0,28 j0,96

1e j73,8 A.

На основании закона Ома найдем напряжение

Uac:

				j56,3		j73,8		j17,5
	Рис. 2.2.3.а	Uac Z1I1 9e			1e		9e
			8,6 j2,71 B.

Рассчитаем комплекс напряжения, приложенного к цепи:

				j45,3
	U Uac Ucd 8,6 j2,71 j6 12,2e				B.

Вычислим комплексную мощность, отдаваемую источником в цепь:

				j45,3		j73,8		j28,5
	S UI1 12,2e				1e		12,2e		10,8 j5,83 BA,	P 10,8 Вт,
							Q 5,83		BAp.

Определим активную мощность, потребляемую активными сопротивлениями:

P P1 P2

R1I12 R2I2

2

5 12 4 1,22

10,8 Вт,

Баланс активной мощности сходится.

Определим реактивную мощность, потребляемую реактивными сопротивлениями:

Q Q1 Q2 Q3 XL1I12 XL2I2

2 XCI3

2 7,5 12 3 1,22 6 12 5,83 BAp,

Баланс реактивной мощности сходится.

Для построения в комплексной плоскости ВД выберем масштаб токов МI = 0,5 A/см (см. рис. 2.2.3.б). Для построения ТВД напряжений выбираем масштаб напряжения МU = 2 B/см и рассчитываем потенциалы всех точек, отмеченных на схеме рис. 2.2.3, а потенциал точки "d" примем равным нулю

d 0:

				j3 ( 0,72 j0,96) 2,88 j2,16 3,6e	j36,9		B,
e d jXL2I2						j90
			2,88 j2,16 4 ( 0,72 j0,96) j6 6e				B,
c e R2I2

69

	j6 1 6e	j90	B,
c jXCI3
			b c jXL1I1
			j6 j7,5 j7,5 (0,28 j0,96)
			7,2 j3,9 7,72e j21,3				B,
						7,2 j3,9 (0,28 j0,96)
			a	b R1I1
			8,6 j8,7 12,2e j45,3				B.
			При построении ТВД напряжений также
			как в задаче 2.2.3. будем учитывать, что в
			активных сопротивлениях вектора токов
Рис. 2.2.3.б			и напряжений совпадают по фазе, а в ре-
			активных – сдвинуты на 2.

Задача 2.2.4 Найти комплекс приложенного напряжения и коэффициент мощности цепи, представленной на рис. 2.2.4, если известно напряжение между узлами "3" и "4" U34 8 В и сопротивления приемников: R1 = 20 Ом,

R3 = 40 Ом, XC1 =100 Ом, ХL2 = 90 Ом, XC3 = 65 Ом, XL4 = 50 Ом. Определить комплексы токов в ветвях схемы и падения напряжений в элементах и построить ВД токов и ТВД напряжений.

РЕШЕНИЕ:

Зададим направления токов во всех ветвях и решим задачу с помощью законов Ома и Кирхгофа. Используя заданное напряжение U34 , найдем токи в ветвях, включенных между уз-

лами "3" и "4":

Рис. 2.2.4

8

8

U34

U34

I3

0,2 A,

I4

j0,16 A,

R3

40

jXL2

j50

Затем на основании 1-го закона Кирхгофа для узла "3" найдем ток I2 , ко-

торый будет численно равен току I5 :

							j38,7
			I2 I5		I3	I4 0,2 j0,16 0,256e		A.
		Зная токи
			I2,	I5	и напряжение U34 , найдем напряжение между узлами
	"2" и "5":								j22,6
						j(90 65) (0,2 j0,16) 8 12 j5 13e
	U25 I2(jXL2 jXC3) U34									B,

Определив напряжение U25 , найдем по закону Ома ток I1, а затем вход-

ное напряжение U:

70