Matematika_Praktikum

Однако, т.к. np=16>10, то хорошую точность расчета искомой вероятности можно получить при использовании приближенной интегральной формулы Лапласа:

т.к. функция Лапласа нечетная и Ф(–1)=–Ф(1).

По таблице значений Ф() найдем: Ф(2,5)=0,49379;

Ф(1)=0,34134.

Тогда Найдите наиболее вероятное число выигрышей в шахматы в 15

партиях у равносильного противника.

Замечание. Для нахождения наиболее вероятного числа успехов k0 по заданным n и p можно воспользоваться неравенствами np-q<=k0<=np+p или правилом: если число np+p не целое, то k0 равно целой части этого числа; если же np+p целое, то k0 имеет 2 значения k0'=np-q и k0''=np+p.

Решение. В этом примере n=15, p=0,5. Число np+p=15*0,5+0,5=7,5+0,5=8.

Ответ: 8 раз.

12.11. Варианты заданий

№12.1. Вероятность успеха в эксперименте составляет 95%, а неудачи—-5%. Эксперимент повторяют пять раз. Определите вероятности следующих событий а) ни одного успеха: б) ни одной неудачи; в) четыре успеха и одна неудача.

№12.2. В любой данный день в июне погода может быть хорошей (с вероятностью 50%), посредственной (с вероятностью 25%) или плохой (с вероятностью 25%). Предположим, что погода в данный день никак не влияет на погоду в любой другой день. Какова вероятность того, что в течение одной недели в июне будет семь хороших дней? четыре хороших дня, два посредственных и один плохой день?

151

№12.3. В некоторой большой популяций у 40% людей волосы черные, у 40% рыжие и у 20% светлые. Если из популяции случайно выбирают 10 человек, то каковы вероятности следующих событий:

а) 5 черноволосых, 5 рыжих; б) 4 черноволосых, 4 рыжих, 2 светловолосых;

в) 3 черноволосых, 3 рыжих, 4 светловолосых?

№12.4. Дальтонизмом страдает 1% большой популяции. Допустим, что из нее наугад выбирают n человек. Какова вероятность того, что ни один из n человек не окажется дальтоником? Сколь велико должно быть n, чтобы эта вероятность была меньше 10%?

№12.5. Машина дает продукцию, которая должна удовлетворять определенным требованиям. Вероятность того, что данная единица продукции приемлема, составляет 95%. Из продукции машины делают выборку в количестве 10 ед. Какова вероятность того, что все 10 ед. продукции окажутся приемлемыми?

№12.6. По оценкам, волк, в одиночку нападающий на лося, добивается успеха в 8% столкновений. Какова вероятность того, что в пяти столкновениях ни один лось не станет добычей волка?

№12.7. В каждом полушарии человеческого мозга имеется четко определяемая слуховая область. В анатомических исследованиях было установлено, что слуховая область левого полушария более развита в 65% рассмотренных случаев, менее развита в 10% и развита в одинаковой с правым полушарием степени в 25% случаев. Какова вероятность того, что из группы в пять случайно выбранных человек в три эти категории соответственно попадут три, ни одного и два человека?

№12.8. Замечено, что слушатели вводного курса по количественному химическому анализу достигают приемлемых результатов в 80% титрований. Один студент добился приемлемого результата лишь однажды в шести титрованиях. Какова вероятность случайного наступления этого события? Как вы думаете, станет ли этот студент химиком-экспериментатором?

№12.9. При заболеваниях щитовидной железы применяется йодная терапия. Было замечено, что у 50% больных наступает быстрое улучшение, на 40% больных терапия не оказывает

152

заметного эффекта, а у 10% она вызывала ухудшение состояния. Эту терапию применяют девять больных. Каковы вероятности того, что: а) все девять почувствуют улучшение; б) у пятерых будет улучшение, трое останутся в прежнем состоянии и одному станет хуже; в) у троих будет, улучшение, трое останутся в прежнем состоянии и троим станет хуже?

№12.10. Лечение одного заболевания приводит к выздоровлению в 75% случаев. Лечилось шесть больных. Каковы вероятности того, что: а) выздоровят все шестеро; б) не выздоровит ни один; в) выздоровят по крайней мере четверо?

№12.11. Шесть человек больны заболеванием, для которого коэффициент выздоровления составляет 98%. Каковы вероятности того, что: а) выздоровят все шестеро; б) ни один не выздоровит; б) выздоровят только пятеро?

№12.12. Шансы волка добыть пищу за каждый период охоты составляют 60%. Какова вероятность того, что успешными оказалось больше половины всех периодов охоты, если всего был 31 период? если всего было 14 периодов?

№12.13. а) Сколько нужно бросить костей, чтобы вероятность выпадения нечетного числа хотя бы на одной из них была больше 90%? б) Сколько нужно бросить костей, чтобы вероятность выпадения хотя бы одной пятерки была больше 50%?

№12.14. В одном городе 50% населения предпочли бы более строгий контроль за огнестрельным оружием, 30% — более слабый контроль и 20% хотели бы сохранить существующее положение вещей. Для опроса выбрано случайным образом 12 человек. Каковы вероятности того, что: а) все хотят усилить контроль; б) половина опрошенных хотят усилить, а половина — ослабить контроль; в) равные количества опрошенных предпочитают три альтернативы?

№12.15. Метеоролог обращается за субсидией для поездки в Испанию с целью проверки теории о том, что «дождь в Испании идет в основном на равнине». Он планирует провести наблюдения в такое время года, когда вероятность дождя на равнине в любой данный день составляет 20%. (Предполагается, что эта, вероятность не зависит от предшествующей погоды.)

153

а) Сколько дней должен запланировать метеоролог провести в Испании, чтобы на 99% быть уверенным в том, что он застанет дождь?

б) Допустим, что метеорологу были выделены денежные средства на 15 дней в Испании и что за первые 10 дней не было ни одного дождя. Какова вероятность того, что его поездка окажется неудачной, т. е. что он не увидит ни одного дождя?

№12.16. В популяции дрозофилы у 20% особей имеется мутация крыльев. Если из популяции выбирают наугад шесть мух, то какова вероятность мутации у двух из них? по крайней мере у одной? меньше чем у пяти?

№12.17. Кофеин и бензедрин считаются стимуляторами, имеющими некоторую способность противодействовать угнетающему влиянию алкоголя. В эксперименте по проверке их относительной эффективности 40 добровольцев приняли по 6 унций алкоголя каждый. Добровольцы были разбиты затем на 20 пар, и один член каждой пары получал бензедрин, а другой — кофеин. Согласно некоторому тесту, бензедрин приводил к более быстрому восстановлению во всех 20 парах. Какова вероятность такого результата, если считать, что в воздействии кофеина и бензедрина нет никакой разницы?

№12.18. В хлопке имеется 10% коротких волокон. Какова вероятность того, что в наудачу взятом пучке из пяти волокон окажется не более двух коротких?

№12.19. Всхожесть семян данного растения оценивается вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что из 8 посеянных семян взойдёт не менее 6.

№12.20. Найти наивероятнейшее число появлений некоторого события при 16 испытаниях, если вероятность появления его в отдельном испытании равна 0,7.

№12.21. Число длинных волокон в партии хлопка составляет в среднем 0,6 общего количества волокон. При каком общем количестве волокон хлопка наивероятнейшее число длинных окажется равным 20?

№12.22. На каждые 20 приборов приходится в среднем 6 неточных. Определить наивероятнейшее число точных приборов из наудачу взятых 8 приборов.

154

№12.23. Если в среднем левши составляют 1 %, то какова вероятность того, что среди 200 человек: 1) 4 левши; 2) по крайней мере 4 левши.

№12.24. В аптеку поступило 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Определить вероятность того, что аптека получит разбитых бутылок:

1) ровно одну; 2) хотя бы одну.

№12.25. Дежурная аптека обслуживает 20000 населения. Вероятность того, что в ночное время один посетитель придет в аптеку, равна 0,0002. Найти вероятность того, что в ночное время в аптеку:

а) никто не придет; б) придут 3 посетителя;

в) придет хотя бы один посетитель.

12.2. Случайные величины

Случайная величина - это величина, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно - заранее неизвестно).

Дискретная случайная величина - это случайная величина, когда принимает отдельное изолированное, счетное множество значений.

Непрерывная случайная величина - это случайная величина, принимающая любые значения из некоторого интервала. Понятие непрерывной случайной величины возникает при измерениях.

Случайные величины обозначаются конечными заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z, а их значения - соответствующими строчными буквами х, у, z.

12.2.1. Закон распределения случайной величины

Это всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

155

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.

Таблица - это простейшая форма задания закона распределения. В ней перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины X и соответствующие вероятности. Эта таблица называется рядом распределения.

xi	x1	x2	…	xn
pi	p1	p2	…	pn

n

Причем, pi 1.

i 1

Ряд распределения может быть изображен графически, если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие их вероятности. Соединение образует ломаную линию. Это многоугольник или полигон распределения вероятностей.

Рис. 12.1. Полигон распределения вероятностей

Задают ли законы распределения дискретной случайной

величины следующие таблицы?
А)
	2	3	4	5
	0,1	0,4	0,3	0,2

Б)

	6	7	8	9
	0,1	0,2	0,3	0,5

Решение:

156

А)

Да,

так

как

выполняется

условие

0,1+0,4+0,3+0,2=1.

Б) Нет: 0,1 +0,2 + 0,3 + 0,5 1.

В денежной лотереи выпушено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 рублей и 10 выигрышей по 1 рублю. Найти закон распределения случайной величины X - стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение:

Возможные значения X: p1(x=50)=			1	, p2(x=1)=	10		, p3(x=0)=1-(p2+
p1)=1-(0,1+0,01) = 0,89.		100		100
	50	1				0
	0,01	0,1				0,89

Контроль: 0,01 + 0,1 + 0,89 = 1.

Вероятность того, что студент сдаст семестровый экзамен по биофизике равна 0,7, а по биохимии - 0,9. Составьте закон распределения числа семестровых экзаменов, которые сдаст студент. Построить многоугольник распределения вероятностей.

Решение:

Возможные значения X- число сданных экзаменов: 0,1,2. A1 – сдаст экзамен по биофизике;

A2 – сдаст экзамен по биохимии. Считаем вероятности:

P(X 0) P(A1) P(A2 ) (1 0,7) (1 0,9) 0,3 0,1 0,03;

P(X 1) P(A1 A2 ) A1A2 ) P(A1)P(A2 ) P(A1)P(A2 ) 0,7 0,1 0,3 0,9 0,34;

P(X 2) P(A1A2 ) P(A1)P(A2 ) 0,7 0,9 0,63.

Ряд распределения имеет вид:
	0	1	2
	0,03	0,34	0,63

Контроль: 0,03 + 0,34 + 0,63 = 1.

157

Рис. 12.2. Многоугольник распределения вероятностей

12.2.2. Функция распределения случайных величин

Функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше некоторого фиксированного х, называется функцией распределения случайной величины X:

F(x) = Р(Х < х). Ее также называют интегральной функцией распределения дискретных и непрерывных случайных величин.

Свойства функции распределения: 0≤F(x)≤1

F(x) – неубывающая функция

F(- ∞)=0, F(+∞)=1

F(x) непрерывна слева в любой точке

P{a≤X<b}=F(b)-F(a).

Функция распределения ДСВ имеет вид F(x) pi

Пример 4.				xi x
Дан ряд распределения случайной величины:
	1	4	5		7
	0,4	0,1	0,3		0,2

Найти и изобразить график ее функции распределения. Решение: Будем задавать различные значения ; и находить для них F(x):

1.Если x≤1, F(x)=0.

2.Пусть 1< x ≤4, (например x = 2), F(x) = P(x=l) = 0,4.

3.Пусть 4< x ≤5, (например х = 4,25),

158

F(x) = Р(Х < х) = Р(х = 1) + Р(х = 4) = 0,4 + 0,1 = 0,5. 4. Пусть 5<x≤7,

F(x) = (Р(х = 1) + Р(х = 4) + Р(х = 5) = 0,5 + 0,3 = 0,8.

5. Пусть x>7, F(x) = (Р(х = 1) + Р(х = 4) + Р(х = 5) + P(x = 7))=0,8 + 0,2 = 1.

Рис. 12.3: Функция распределения дискретной случайной величины

Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений.

12.2.3. Числовые характеристики дискретной случайной величины

1. Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

n

M(X) xi pi .

i 1

Свойства математического ожидания: M(C)=C, где C – произвольная постоянная

M(CX)=C·M(X)

M(X±Y)=M(X)±M(Y)

M(X·Y)=M(X) M(Y)

Пример 5.

Известны значения распределения случайных величин X и Y - число очков выбиваемых первым и вторым стрелками.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0,15	0,11	0,04	0,05	0,04	0,10	0,10	0,04	0,05	0,12	0,20

159

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0,01	0,03	0,05	0,09	0,11	0,24	0,21	0,10	0,10	0,04	0,02

Необходимо выявить, какой из двух стрелков стреляет лучше. Построить многоугольники распределения.

Решение:

Очевидно, что из двух стрелков лучше стреляет тот, кто в среднем выбивает большее количество очков.

М(Х) = 0 0,15 + 1 0,10 + 2 0,04 +...+ 9 0,12 + 10 0,2 = 5,36. M(Y) = 0 0,01 + 1 0,03 0,05 +...+ 9 0,04 + 10 0,02 = 5,36.

То есть среднее число выбиваемых очков у двух стрелков одинаково.

2. Дисперсия дискретной случайной величины. Слово "дисперсия" означает "рассеяние":

D(X) = M(X-M(X))2 или D(X) = M(X2)-(M(X))2.

Дисперсией D(x) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания.

Свойства дисперсии:

D(C)=0, где C – произвольная постоянная

D(CX)=C2·D(X) D(X±Y)=D(X)+D(Y)

n

Если X- дискретная случайная величина, то D(X) (xi a)2 pi

i 1

или D(x) xi2 pi a2, где a=M(X).

3. Среднее квадратическое отклонение σ (стандартное отклонение или стандарт) случайной величины X- это арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:

D(X)

В примере 5 о стрелках вычислить дисперсию числа выбитых очков для каждого стрелка.

Решение: Очевидно, что лучше стрелял тот стрелок, у которого при равенстве средних значений числа выбитых очков меньше отклонение этого числа относительно среднего значения (дисперсия).

160