Matematika_Praktikum

	xi	yi	f(xi,xi+1)	f(xi,xi+1,xi+
				2)
				-
			4,116	18,238166
	0,103	2,01284	3,8961	-
			42	16,761833
	0,108	2,03342
			3,696	-
	0,115	2,06070
			3,5037	14,788461
	0,120	2,07918
			50	-
	0,128	2,10721
			3,2912	13,281250
	0,136	2,13354
			50	-
	0,141	2,14922
			3,136	11,942307
			-	-
				-

Затем определяем f(0,112) двумя методами, для x0 равным соответственно 0,103 и 0,108:

y(0,112) 2,01284 4,116 (0,112 0,103) ( 18,238166) (0,112 0,103)

(0,112 0,106) 2,01284 0,037044 0,000657 2,04923;

y(0,112) 2,03342 3,897142 (0,112 0,108) ( 16,761833) (0,112 0,108)

(0,112 0,115) 2,03342 0,015589 0,000201 2,04921;

Врезультате имеем f(0,112) ≈ 2,04922.

№4 Оттискать эмпирическую формулу для функции yx заданной таблично.

X	9	1	2	3	4	5
y	5.2	8.0	10.4	12.4	14.0	15.2

Вычислим нисходящие конечные разности второго порядка

2

x y Δy

y

51

0	5.2	2.8	-
1	8.0	2.4	0.4
2	10.	2.0	-
3	4	1.6	0.4
4	12.	1.2	-
5	4		0.4
	14.		-
	0		0.4
	15.
	2

из таблицы видим, что 2у0 const, а это значит необходим полином Ньютона второй степени. Запишем его в виде

y = 5,2 + 2,8x – 0,4 x(x – 1)

2

в итоге имеем

y = 5,2 + 3x – 0,2x2.

№5 Пусть yx заданна своими значенияи в нижеприведенной таблице. Необходимо вычислить значение yx для аргумента x=0,304, используя полиномы Ньютона первого и второго порядков.

x	y
0,29	3,25
0,30	3,17
0,31	3,12
0,32	3,04
0,33	2,98
0,34	2,91

Полином Ньютона первого порядка y(0,304) = y0 + q∙Δy0;

h(x) = x1- x0 = 0,31-0,30 = 0,01.

q x x0 0,304-0,30 0,4. h 0,01

52

Δy0 = y1- y0 = 3,12 - 3,17= -0,05. y(0,304) = 3,17 + 0,4 ∙ (-0,05) ; y(0,304) = 3,15.

Полином Ньютона второго порядка

y(0,304) y0 q y0		q(q-1)	2y0;
	2!
2y0 = 1y1 –	1y0 = 3,04 – 3,12 – (-0,05) = -0,03.

y(0,304) 3,17 0,4 ( 0,05) 0,4(0,4-1) ( 0,03); 2

y(0,304) = 3,153.

6.5.Варианты заданий

6.1.Найти значение функции, используя формулу Лагранжа по данным таблицы

				Таблица 1
х	у		Вариант	х
			№
0,43	1,63597		1	0,702
0,48	1,73234
			7	0,512
0,55	1,87686
			13	0,645
0,62	2,03345
			19	0,736
0,70	2,22846
			25	0,608
0,75	2,35973

				Таблица 2
х	y		Вариант	х
			№
0,02	1,02316		2	0,102
0,08	1,09590		8	0,114
0,12	1,14725		14	0,125
0,17	1,21483		20	0,203
0,23	1,30120		26	0,154

53

0,30 1,40976

6.2. Найти значения функции, используя полиномы Ньютона для начала и конца интервала интерполяции.

				Таблица 3
х	у		Вариант	х
			№
1,375	5,04192		1	1,3832
1,380	5,17744
			7	1,3926
1,385	5,32016
			12	1,3862
1,390	5,47069
			19	1,3934
1,395	5,62968
			25	1,3866
1,400	5,79788
				Таблица 4
х	у		Вариант	х
			№
0,115	8,65729		2	0,1264
0,120	8,29329
			8	0,1315
0,125	7,95829
			14	0,1232
0,130	7,64893
			20	0,1334
0,135	7,36235
			26	0,1285
0,140	7,09613
				Таблица 5
х	y		Вариант	х
			№
0,150	6,61659		3	0,1521
0,155	6,39989
			9	0,1611
0,160	6,19658
			15	0,1662
0,165	6,00551
			21	0,1542
0,170	5,82558
			27	0,1625
0,175	5,65583

54

6.6. Контрольные вопросы

Глава 7. Неопределенный интеграл

7.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл

Пусть функция f(x) определена на некотором (конечном или бесконечном) интервале (а; b). Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (а; b), если в любой точке этого промежутка ее производная равна f(x), т. е.

F (x) f (x) для всех x (a,b)или dF(x)= f(x)dx.

функция 3x2 есть производная от x3, т. е. 3x2dx есть

дифференциал функции x3: 3x2 dx = d(x3).

Тогда, по определению функция x3 является первообразной для функции 3x2. Кроме того, выражение 3x2dx есть дифференциал функции x3+7: 3x2dx = d(x3+7).

Следовательно, функция x3+7 (как и функция x3) – первообразная для функции 3x2.

Если F(x) есть одна из первообразных для функции f(x), то всякая другая представляется выражением F(x)+C, где C – произвольная постоянная величина.

Таким образом, любая непрерывная функция f(x) имеет бесчисленное множество первообразных.

Неопределенным интегралом от функции f(x) (или от выражения f(x)dx) называется совокупность всех ее первообразных.

Обозначение: f (x)dx F(x) C .

Здесь знак называется интегралом, функция f(x) –

подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования.

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием этой функции.

55

Интегрирование – операция, обратная операции дифференцирования (нахождения производной от функции). Всякая непрерывная на данном интервале функция имеет неопределенный интеграл.

7.2. Основные свойства неопределенного интеграла

Приведем основные свойства неопределенного интеграла или правила интегрирования. Предполагается, что все рассматриваемые неопределенные интегралы существуют.

1.Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

dF(x) F(x) C .

2.Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

d		f (x)dx f (x)dx,		f (x)dx /	f (x)

3.Неопределенный интеграл суммы функций равен сумме неопределенных интегралов этих функций:

[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx .

4.Постоянный множитель a 0 можно выносить за знак неопределенного интеграла:

a f (x)dx a f (x)dx.

5. Если F(x) первообразная для функции f(x), то

f (kx b) 1 F(kx b) C, где k и b – постоянные.

k

7.3. Таблица простейших интегралов

1.

dx x C,

3.

dx

ln

x

C,

x

2.

n

xn 1

x

dx

C, n 1

4.

x

ax

n 1

a

dx

C,

ln a

56

5.exdx ex C,

6.sin xdx cos x C,

7.cos xdx sin x C,

8.

dx

tg x C,

2

x

cos

9.

dx

ctg x C,

2

x

sin

10.

dx

1

x a

C,

ln

x

2

2

x a

a

2a

11.

dx

ln

x

x

2

C

2

x

12.

dx

x

arcsin

C,

a

2

x

2

a

13.

dx

1

arctg

x

C ,

x

2

2

a

a

a

14.

dx

x

C,

ln

tg

cos x

2

4

15.

dx

x

C ,

ln

tg

sin x

16.

2

tg xdx ln

cos x

C,

17.

ctg xdx ln |sin x| C.

7.4. Основные методы интегрирования

7.4.1. Непосредственное интегрирование

Способ непосредственного интегрирования основан на использовании свойств неопределенного интеграла и приведении подынтегрального выражения к табличной форме.

Пример. Найти интегралы:

1) (2x3 3x2 2x 7)dx.

Решение. На основании свойств 3 и 4 неопределенного интеграла и таблицы интегралов имеем

(2x3 3x2 2x 7)dx 2x3dx 3x2dx 2xdx 7dx

2 x3dx 3 x2dx 2 xdx 7 dx 2			x4	3	x3	2	x2	7x C
		4		3		2
	x4	x3 x2 7x C.
2

2) (3 5x			2			9)dx .
		3
				x

Решение. Воспользуемся свойствами 3 и 4 неопределенного интеграла:

57

x

2

x

2

х

1

(3 5

9)dx 3 5

dx

dx

9dx 3 5

dx 2 x

3dx 9 dx

3

3

x

x

2

3 5х

2

x

3

7x C

3 5х

3 3

9x C.

x2

ln5

2

ln5

3

3)

dx

d(x 3)

ln

x 3

C .

x 3

x 3

7.4.2. Метод подстановки (замена переменной)

Этот способ заключается в переходе от данной переменной интегрирования к другой переменной для упрощения подынтегрального выражения и приведения его к одному из табличных.

Замена переменной в неопределенном интеграле производится

спомощью подстановок двух видов:

1)x (t) , где t – новая переменная, а φ(t) – функция,

имеющая непрерывную производную. Тогда формула замены переменной

f (x)dx f ( (t)) / (t)dt .

2) t (x), t – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке:

f ( (x)) (x)dx f (t)dt.

Пример. Найти интегралы, используя подходящую подстановку:

1) ( x 3

5)4 x 2 dx .

Решение. Введем подстановку t = x3+5. Тогда dt = d(x3+5); dt=3x2dx. Отсюда x2dx=dt/3. Таким образом,

	3		4		2		4 dt			1		4		1		t5		t5
(x		5)		x		dx t					t		dt				C		C .
							3			3				3		5		15

Ответ должен быть выражен через «старую» переменную х. Подставляя в результат интегрирования t = x3+5. Окончательно

получим (x3 5)4 x2dx	(x3 5)5	C .
15

58

2) sin7 x cos xdx.

Решение.

			sin x t		t8		sin8	x
	sin 7 x cos	xdx	d(sin x) dt	t7dt		C			C.
			cos xdx dt	8		8

Условимся в дальнейшем все промежуточные рассуждения и выкладки заключать в вертикальные скобки (как было сделано в примере 2).

7.4.3. Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называется нахождение

интеграла по формуле
udv uv vdu,	(6.4.1)

где u и v непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью формулы (6.4.1) нахождение интеграла udv сводится к

нахождению другого интеграла vdu. Применение этой формулы

целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

При этом в качестве u берется функция, которая при дифференцировании упрощается, а в качестве dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Пример. При нахождении интеграла (x 5)cos x dx , полагая u=x–5, dv=cosxdx, найдем du=dx, v cos xdx sin x .

Следовательно, применяя формулу (6.4.1), получим

(x 5)cosxdx (x 5)sin x sin xdx (x 5)sin x cosx C.

7.5.Примеры

59

№1. Найти интегралы непосредственным интегрированием:

а)

x 4 x 2

6 x

dx ;

в)

dx

;

x 3

5 x2

б)

(2x3

sin x 5

x

)dx ;

г)

43 5x dx.

Решение.

а) Почленно поделив числитель подынтегральной дроби на знаменатель, будем иметь

x 4 x 2 6 x	x	1		6	x	1	6 x 2 .
x3
		x x 2				x

Тогда

	x 4		x 2		6 x	dx
				x 3
		x 2		ln | x | 6
2

1

2

dx

2

x

6 x

dx

xdx

6 x

dx

x

x

x 1

C

x 2

ln | x |

6

C .

1

x

2

б) Воспользуемся свойствами 3 и 4 неопределенного интеграла, тем самым сводя исходный интеграл к сумме табличных интегралов:

(2x3

sin x 5 x)dx 2x3dx sin xdx 5

xdx

2 x3dx sin xdx 5 х1/ 2dx 2

x4

( cos x) 5

x3 2

C

4

3 2

1

x4

cos x

10

x

C

x

2

3

dx

dx

x

в)

arcsin

C

5 x

2

2

5

5

x2

г)

43 5x dx

1

43 5x d(3 5x)

1

43 5x

C .

5

5

ln4

Здесь мы воспользовались свойством 5 неопределенного интеграла и формулой 4 пункта 7.3.

№2. Найти интегралы методом подстановки:

а)	ex3 x2dx;	б)		xdx	;
				2
				1 x

60