Matematika_Praktikum

Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке x0. Тогда существует касательная к графику этой функции в точке М0(x0, у0), уравнение которой имеет вид

y y0 f (x0 )(x x0 ).

При этом f ( x 0 ) tg , где – угол наклона этой касательной к положительному направлению оси ОХ (рис. 2.1).

у

f(x)

у0	M	касательная
0	x0	x

Рис. 2.1

Геометрически, чтобы провести касательную, надо к графику кривой приставить линейку так, чтобы она коснулась графика в выбранной точке.

Геометрический смысл: угловой коэффициент касательной, приведенной к графику функции y=f(x) в точке x0 равен значению производной функции в этой точке.

Физический смысл: скорость тела равна первой производной координаты по времени:

V(t)=x/ (t).

(2.1)

Соответственно, вторая производная функции – скорость

изменения скорости, т.е. ускорение:
a(t)= V / (t)=x// (t).	(2.2)

11

2.3. Таблица производных

1.	С													= 0, где С–						9.		cos x
																					sin x
постоянная																				10.		sin x
2.	(xm) = mxm–1																				cos x
																								1
											1									11.	tg x
3.			x																				cos2 x
									2 x
																								1
	1										1									12.	ctg x
4.																									sin2 x
																								1
															2
	x											x
																				13.	arcsin x
5.																												1 x							2
	ax					ax lna
																								1
6.	ex					ex														14.	arccosx
															1																								2
																															1 x
7.	loga						x																	1
															xlna					15.	arctg x
											1														1 x2
8.	ln x																							1
											x									16.	arcctgx
																											1 x								2

2.4. Основные правила дифференцирования

Пусть u и v – функции, дифференцируемые в точке х. Тогда 1. Производная суммы двух дифференцируемых функций

равна сумме их производных:

(u+v) ′=u′+v′

2.Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по следующему правилу: (uv) ′=u′v+uv′, в частности (Cu) ′=Cu′, С=const (постоянный множитель можно выносить за знак производной)

3.Производная частного двух дифференцируемых функций вычисляется по следующему правилу:

u			/	u/v uv/
					, где v 0
v				v2

4. Производная сложной функции равна производной по промежуточному аргументу, умноженной на производную промежуточного аргумента по независимой переменной: y′x=y′u · u′x, где и – промежуточный аргумент.

12

2.5. Производные высших порядков

Производная f ′ (x) от функции f(x) называется также производной первого порядка. В свою очередь производная от функции f ′ (x) тоже является функцией от x , поэтому также может быть дифференцируема и называется производной второго порядка от функции f(x) (или просто второй производной).

Вторая производная обозначается символами: f′′(х) (читается:

d2 f

«эф два штриха от икс») или dx2 («дэ два эф по дэ икс

дважды»).

Исходя из определения второй производной, можно записать:

d2 f		d df
dx2
		dx dx .

Аналогично определяется третья производная:

f /// (x)	d	3	f		d d2			f
				=					и т.д.
			3					2
	dx				dx dx

Производная п-ного порядка обозначается f (n) (x).

2.6. Дифференциал функции

Если функция f(х) дифференцируема в точке х0, то ее

приращение можно представить в виде
Δf(х0) = f /(x0)	х + α( х) х.	(2.3)
В этом случае выражение f /(x0)	х, линейно зависящее от		х,
называется дифференциалом функции f(х) в точке х0			и
обозначается символом df(x):
df(x) = f '(x0)·Δx.

Дифференциал функции равен произведению производной функции на приращение ее аргумента.

Термин «дифференциал» происходит от латинского слова differentia, означающего различие.

Дифференциал функции есть главная часть приращения функции. В этом состоит аналитический смысл дифференциала.

13

Дифференциал аргумента dx равен его приращению ∆x: dx=∆x. Поэтому можно записать df=f /(x)dx (дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента).

Если приращение аргумента ∆x близко к нулю (достаточно

мало), то приращение функции Δf приближенно	равно ее
дифференциалу, т.е. Δf df, откуда f(х0 +∆x) ≈ f /(x0)+df или
f(х0 +∆x) ≈ f /(x0)+f/(x0) ∆x	(2.4)

Формула (2) используется для приближенного вычисления значения функции f(x) в точке x0+∆x по известному значению этой функции и ее производной в точке x0.

2.7. Геометрический смысл и свойства дифференциала

y		K			f(x)
					dy
M				y
		L
x		x	+ x			x

Пусть кривая, изображенная на рис. 2.3 является графиком функции y=f(x).

Из треугольника MKL

выразим сторону KL:

KL = tg x = f / (x) x =

dy

	Рис. 2.2.	Таким	образом,
		дифференциал функции f(x) в
		точке х равен	приращению

ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной.

Дифференциал сложной функции

Пусть y = f(x), x = g(t), т.е. у – сложная функция.

Тогда

dy = f (x)g (t)dt = f (x)dx.

(2.5)

14

Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой-то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется

инвариантной формой записи дифференциала.

2.8. Дифференциалы высших порядков

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале (a; b). Тогда в каждой точке этого интервала определен дифференциал dу=f / (x)dx функции f(x), называемый также дифференциалом первого порядка (или первым дифференциалом).

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) от функции y=f(x) в точке х (a; b) называется дифференциал от дифференциала первого порядка функции f(x) в этой точке.

Дифференциал второго порядка обозначается d2f(х) или d2y (читается: «дэ два игрек»). Таким образом, d2y=d(dy). Учитывая,

что dу=f/ (x)dx, где dx – не зависящая от х константа получим d2y=f//(x)dx2.

Аналогично определяются дифференциалы третьего и более высоких порядков: d3y=d(d2y), d4y=d(d3y), … В общем случае, дифференциалом п-ного порядка от функции f(x) в точке x называется дифференциал от дифференциала (п–1)-го порядка

функции f(x) в этой точке:

dny=d(dn–1y), где dny=f(n)dxn.

n

Отсюда следует, что f n (x) d y .

dxn

Заметим, что для дифференциалов высших порядков свойство инвариантности не имеет места.

2.9. Примеры
№1. Найти производную функции y lntg	x		x	.
2			sin x
Решение.

15

y

1

1

1

sin x xcosx

1

sin x xcosx

tg

x

cos

2 x

2

sin2 x

2sin

x

cos

x

sin2 x

2

2

2

2

sin x sin x xcosx

xcosx

sin2 x

sin2

x

№2. Найти производную функции y arctg

2x4

.

1 x8

Решение.

8x3 (1 x8 ) ( 8x7 )2x4

(1 x8 )2 (8x3 8x11 16x11)

y

1

4x8

(1 x8 )2

(1 x8 )2 (1 x8 )2

1

8

2

(1 x

)

8x3 8x11

8x3 (1 x8 )

8x3

(1 x8 )2

(1 x8 )2

1 x8

№3. Точка движется по закону х(t) = t – sin t. Определить скорость и ускорение точки в момент времени t=4с.

Решение.

Воспользуемся формулой (3.3.1):

V= х′(t) = (t – sin t) ′ = 1 – cos t, V(4)=1–cos 4 1,6 (м/с).

Аналогично по формуле (3.3.2):

а= V′ = (1 – cos t) ′ = sin t, а(4)=sin 4 –0,76 (м/с2).

№4. Найти дифференциал функции f (x) = ln(x2+1).

Решение.

По формуле (3.8.1) получим

df = (ln (x2+1)) ′dx =	1			2		/		2х
			(х		1)		dx		dx
	х2 1							х2 1

№5. Найти производную второго порядка от функции f (x) = sin2 х.

16

Решение.

f / (x) 2sin xcos x sin 2x,

f // (x) f / (sin2x) 2cos2x.

№6. Вычислить значение дифференциала функции f (x) = х3+2х, когда х изменяется от 1 до 1,1.

Решение.

Прежде находим общее выражение для дифференциала этой

функции:

df = (x3+2x) ′dx = (3x2+2)dx.

Определим приращение аргумента Δx=dx = 1,1–1=0,1. Подставляя значения dx=0,1 и x=1 в последнюю формулу,

получаем искомое значение дифференциала: df=0,5.

№7. Используя понятие дифференциала, найти приближенное значение31,06 .

Решение.

Рассмотрим функцию f(x)=3x . Требуется вычислить значение f(1,06). Выберем х0 = 1, х = 0,06 и воспользуемся формулой

(3.7.2)

	f(1+0,06) ≈ f (1)+f/(1) 0,06=3			1				0,06 1					0,06		1,02.
		1
				3 3	12							3
	Здесь мы воспользовались равенством 3									/		1
									x
												3 3 x

2.10. Варианты заданий

№2.1. Найти производные следующих функций:

1. у = сos3x;

4.

y

ln x 2

;

x

2

8x 3

y

x

2.

;

x 1

y sin x6

x3 2 ;

3.

5.

у=(3x+2)(x2+4x–1);

17

6.

y e

x2

x

20.

y = (3x+1)2(2x-3)7

;

3

3x 2

7.

y e2x3

arctg3x;

21.

y

1 x

y arccos5x 3 3

;

22.

y

=

8.

x2

x2

1

cos(sin(cos(sinx)))

9.

y ln

;

23.

y = x3 + ex –cos3x

1 x

2

10.

24.

y 3

x ln x

s

1arcsin

t

t

11.

у

3sin x 2cos x 5sin 2x

25.

y

sin3x

3cos x

2x 3

26.

3x2

5x 7

1

y e2x ln(5 3x)

12.

y

x

27.

y

ln(2t3

3)

2

x

t

x4

x2 4

sin3y

13.

y

28.

y log3

cos y 2

5 2

x2 x

2

29.

y arccos3x

14.

у = x

3

tgx

30.

y arcsin

x

15.

у =

sinx

31.

y arctg(1 x2 )

32.

y = xtgx

x

16.

y

2cosx 3

33.

y = xcosx

34.

y = xsin2x

3cosx 2

y

3ctgx 1

35 x

17.

35.

y =

x

2ctgx 5sin x

5x3

2x 1

4

18.

y

x 3

19.

у = sin3(2x + π/6)

№2.2. Найти производную данной функции в точке х0:

1. f (x)

x2

,

x0 1;

x

3

1

2. f (x) 4x

6

,

x0 8;

3 x

3.

f (x) cos x2

3sin x e , x0

;

2

18

4. f (x) ex 1 (4x 5), x0 ln2.

№2.3. Найти производные указанных порядков для следующих

функций:

1.y = ln cos x, y//=?;

5.

y ln(x

), у//=?;

1 x2

2.y = 5x, y///=?;

6.

f (x) хex ,

f (n) (x) ?.

3.y = sin2 x, y///=?;

4.

y

1

,

y// ?;

4x 1

№2.4. Решить следующие задачи:

1

1.

Составить уравнение касательной к гиперболе

y

в точке с

x

абсциссой х=–0,5.

2. Точка движется по прямой так, что ее расстояние s от

начального пункта через t сек. равноs 1t4 4t3 16t2 . В какие

4

моменты точка была в начальном пункте? В какие моменты ее скорость равна нулю?

3.Количество вещества, протекшее через проводник, начиная с момента времени t=0, дается формулой Q=2t2+3t+1 (кулонов). Найти силу тока в конце пятой секунды.

4. Составить уравнения касательных к линии y x 1 в точках

x

ее пересечения с осью абсцисс.

№2.5. Найдите производную указанной функции, сначала по х, считая t постоянной, а затем по t, считая х постоянной:

1.y 2x2 3t3 1

x2 t

2.y 3cos(tx) t2 x

3.y (2x 5t)2 (tx 1)3

№2.6. Найти дифференциалы указанных порядков для

	следующих функций:				1
	1.		, d–?	2.		tg3 x ctg x , d–?
		4 x2
				3

19

3.	ln (ln x), d–?			5.	ecos x, d2–?
4.	sin 2x, d2–?			6.	ex+x2, d3–?
				7.							x		, d–?
					lntg
									2		4
				8.	e2x, d(n)–?
	№2.7. Вычислить приближенно:			4.				;
1.			;
		16,02					24
2.	sin31o ;			5.					;
						8,76
3.	cos61o ;			6.	ln 1,02.

2.11.Контрольные вопросы

1.Что такое приращение аргумента и приращение функции.

2.Какие значения могут они принимать?

3.Дайте определение производной функции в точке.

4.Запишите различные обозначения производной.

5.Что является биологическим смыслом производной?

6.Объясните алгебраический, физический смысл производной?

7.Объясните геометрический смысл производной.

8.Приведите примеры производной.

9.Что называется производной сложной функции?

10.Что называется производной высшего порядка?

11.Дайте понятие дифференциала функции.

12.Для всех ли функций существует дифференциал?

13.В чем состоит алгебраический смыслы дифференциала

14.В чем состоит геометрический смыслы дифференциала?

15.Докажите, что дифференциал аргумента равен его приращению.

16.Перечислите свойства дифференциала.

17.Дайте определения, в том числе в виде математического выражения, дифференциала 2-го порядка, n-го порядка.

Глава 3. Исследование функций и построение графиков

20