Matematika_Praktikum

		у=х3	Аналитические	Численные
i	хi		значения	значения
			у´=3х2	у´(х)
0	1	1	3	3
1	1,2	1,728	4,32	4,32
2	1,4	2,744	5,88	5,88
3	1,6	4,096	7,68	7,68
4	1,8	5,832	9,72	9,72
5	2	8	12	12
6	2,2	10,648	14,52	14,52
7	2,4	13,824	17,28	17,28
8	2,6	17,576	20,28	20,28
9	2,8	21,952	23,52	23,52
10	3	27	27	27

Получим, что для функции у=х3 численное дифференцирование по 4 точкам дает такие же значения, что и аналитические.

№3. Найти вторую производную для функции у=х3 на отрезке [1; 3] с шагом 0,2, пользуясь безразностными формулами по 4 точкам и сравнить полученные значения с аналитическими.

Решение.

Воспользуемся формулами (5.4):

у//		1			(2 1 5 1,728 4 2,744 4,096)							0,24	6 (первое
		(0,2)2
0						0,04
значение)
у//			1		( 13,824 4 17,576 5 21,952 2 27)									0,72	18
		(0,2)2
10						0,04
(последнее значение)
у//			1 2 1,728 2,744				0,288			7,2
1				0,04		0,04
у2//		1,728 2 2,744 4,096							0,336		8,4 и т.д. по формуле для
				0,04		0,04

внутренних точек.

41

Для сравнения составим таблицу:

		у=х3	Аналитические	Численные
i	хi		значения	значения
			у″=6х	у″
0	1	1	6	6
1	1,2	1,728	7,2	7,2
2	1,4	2,744	8,4	8,4
3	1,6	4,096	9,6	9,6
4	1,8	5,832	10,8	10,8
5	2	8	12	12
6	2,2	10,648	13,2	13,2
7	2,4	13,824	14,4	14,4
8	2,6	17,576	15,6	15,6
9	2,8	21,952	16,8	16,8
10	3	27	18	18

Таким образом, получим, что для функции у=х3 численное нахождение второй производной по 4 точкам дает такие же значения, что и аналитические.

5.4. Варианты заданий

№ 5.1. Получить таблицы значений следующих функций на интервале от 1 до 3 с шагом 0,2. Пользуясь безразностными формулами по 4 точкам, найти численные значения первой производной в этих точках, и сравнить полученные значения с аналитическими.

1.	у=ех;					6.	y=e2x;
2.	у	1		;		7.	у	1	;
								2
		х						х
3.	у=ln x;					8.	у=(х–1)2;
4.	y				;	9.	y=cos x;
			x
5.	y=sin x;					10. y=ln x2;

№ 5.2. Получить таблицы значений следующих функций на интервале от 1 до 3 с шагом 0,2. Пользуясь безразностными формулами по 3 точкам, найти численные значения первой

42

производной в этих точках, и сравнить полученные значения с

аналитическими.
11. у=sin x;	17. y=cos(2x);
12. y=cos x;	18. y cos	2	x	;
13. y=sin(x2);
			2
	19. y=ln2 x;
14. y=sin2 x;
15. y=cos2 x;	20. y=ln3 x;

16. y=sin(2x);

№ 5.3. Для перечисленных функций, пользуясь безразностными формулами по 4 точкам, найти вторые производные в точках от 1 до 3 с шагом 0,2 и сравнить

полученные значения с аналитическими.
21.	y=e2x;					25.	y=ln(x2);
		1				26.	y=				;
22.	у			;				x
						27.	y=sin2 x;
		х2
									x
		1				28.	у e			;
23.	у		2		;				2
24.		х		2		29.	у sin					x2		;
	у=(х–1) ;						2
						30.	у cos						x2		.
							2

5.5. Контрольные вопросы

Глава 6 Основы интерполяции.

6.1. Постановка задачи

Пусть некоторая функция f(x) задана таблично на

интервале [a,b]
f(xn)=yn, f(x1)=y1, ... , f(xn)=yn	(6.1)
в n+1 точках x0, x1, x2, ... ,xn.

Под интерполяцией понимается нахождение по таблице значений функции её аналитического описания, позволяющего вычислять значение этой функции от аргумента отсутствующего в таблице, т.е. так называемое

43

чтение "между" строк. Задача сводится к построению функции f(x) (интерполирующей функции), принадлежащей известному классу функций и принимающей в точках x0, x1, x2, ... , xn (узлах интерполяции) те же значения, что и функция f(x0)=y0, f(x1)=y1, ... , f(xn)=yn,

а в остальных точках отрезка [a,b] приближённо представляющая функцию f(x) с какой-то степенью точности.

При этом допускают, что f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и имеет на нём в каждой точке конечные производные любого порядка, а узлы интерполирования отличны друг от друга.

Через точки x0, x1, x2 , ... , xn можно провести бесчисленное множество кривых (рис. 6.1). Следовательно, задача отыскания функции f(x) по её значениям, поставленная таким образом, является неопределённой: можно построить бесчисленное множество функций принимающих при x0, x1, x2 , ... , xn, значение y0, y1, y2, ... , yn

Рис. 6.1

Чтобы получить единственную f(x) наложим на неё дополнительные ограничения, а именно, в качестве f(x) используем полином P(x) степени на единицу меньше числа заданных значений n+1.

44

Интерполяционныеформулыконечныхразностей

Для функции f(x), заданной таблично, величина i=yi+1-yi называется первой нисходящей конечной разностью. Величина 2yi= yi+1- yi - второй конечной разностью, а, следовательно, для произвольного порядка будем иметь

nyi= n-1yi+1- n-1yi. (6.2)

Первая восходящая конечная разность определяется из

y1 yi yi 1,

для разности второго порядка имеем формулу

y1 yi yi 1

ианалогично для произвольного порядка получаем

n yi ( n 1 yi ) n 1 yi n 1 yi 1 .

(6.3)

Нисходящие разности употребляются в основном в начале таблицы, а восходящие разности в конце её.

Для функции f(x), заданной в равноотстоящих точках,

для интерполирования вперёд используется формула Грегори-Ньютона в виде.

Pn(x) y0	t y0		t(t	1)	2 y0	...	t(t 1)...(t n 1)	k y0 ,	(6.4)
		2!					n!

где t=(x-x0)/h - число шагов необходимое для достижения точки x, исходя из точки x0; ky0 - нисходящая конечная разность k-го. Погрешность этой формулы, называемой первой интерполяционной формулой Ньютона, определяется из

	R	f (n 1)		t(t 1)...(t n)hn 1,	(6.5)
		(n 1)!

где x0 x.

Полином выгодно использовать в окрестностях начального значения x0, когда t - мало по абсолютной величине.

Если в (6.4) положить n=1, то получим формулу

45

линейного интерполирования
P1(x)=y0+t y0,				(6.6)
при n=2 будем иметь формулу квадратичного
интерполирования.
P2 (x) y0 t y0	t(t 1)	2 y	0 .	(6.7)
2!

За начальное значение x0 можно принять любое x. Тогда формула (6.4) содержит только те значения y(x), которые идут после этого начального значения.

Если дана неограниченная таблица значений y, то степень полинома n может быть любой и её выбирают из условия, чтобы ny была с заданной степенью точности постоянной.

Формула Грегори-Ньютона для интерполирования назад (вторая интерполяционная формула Ньютона) имеет вид

Pn	(x) yn t yn 1 t		t 1		2 yn 2	...	t(t 1)...(t n 1)	n yn ,	(6.8)
	2!						n!
где t=(x-xn)/h.
Погрешность формулы (6.8) определяют по
	R	f (n 1) ( )		t(t 1)...(t n)h(n 1) ,					(6.9)
		(n 1)!

в котором x xn .

Формулу рекомендуется применять вблизи конца таблицы. Обе формулы можно использовать для экстраполяции y(x), если она на концах [a,b] изменяется плавно. Шаг экстраполяции берётся h/2.

6.3. Интерполяционные формулы центральных разностей

Для функции y=f(x) заданной в равноотстоящих узлах центральные разности определяются соотношением

yi

yi 1 yi ; 2 yi

yi 1 yi

; 3 yi

2 yi 1 2 yi , (6.10)

которое с учётом нисходящих и восходящих разностей

имеет вид
y-n, y-n+1,…, y-2, y-1, y0 , , y1,y2,…,yk-1,yn	(4.11)

46

Узлы интерполирования в этом случае размещены симметрично относительно x0, а их значения

xi x0 ih, i 0, 1, 2, 3,... n.

Значение f(x) в точке xi<x<xi+1, не совпадающей с узлом интерполирования, может быть определено с помощью

полинома Стирлинга

t( y

1

y

)

t2

2

t(t2 1)

0

P (x

th) y

y

2

2!

3!

n

0

0

1

3 y 2

3 y 1

t2

(t2 1)

4

t(t2

1)(t2 22 )...[t2 (n 1)

2 ]

y 2

...

2

4!

(2n 1)!

2n 1 y n

2n 1 y (n 1)

t2

(t2 1)(t2

22 )...[t2

(n 1)

2 ] 2n

yn

,

(6.12)

2n 2

(2n)!

где t=(x-x0)/h ,

k yi - центральные разности.

Погрешность формулы Стирлинга

Rn

h2n 1 f (2n 1)( )

t(t2

1)...(t2 n2 ).

(6.13)

(2n 1)!

Формулу (6.12) используют для интерполирования в середине интервала [a,b], около конца и начала его (в последнем случае (6.12) даёт более точный результат). Центральную точку x0 выбирают так, чтобы –0,5 t 0,5.

Знание центральных разностей позволяет использовать при интерполяции полином Бесселя

6.4. Интерполирование функции с не равноотстоящими узлами

Для произвольно заданных узлов интерполяции можно воспользоваться формулой Лагранжа или многочленом Ньютона. Интерполяционный полином Лагранжа имеет формулу

		n		(6.14)
		Ln(x) pi (x)yi
		i 0
	или в развёрнутом плане
	n	(x x0 )(x x1 )(x x2 )...(x xi 1 )(x xi 1 )...(x xn )		(6.15)
	Ln (x) yi		.
	i 0	(xi x0 )(xi x1 )...(xi xi 1 )(xi xi 1 )....(xi xn )

Погрешность при вычислении определяется выражением

47

Rn		f (n 1)( )	(x x0 )(x x1)...(x xn ),	(6.16)
		(n 1)!

где [a,b]; i=0,1,2, ..., n; формула (6.15) имеет большую точность для средних отрезков [xi ;xi 1], она менее эффективна для крайних отрезков. Значения независимой переменной в формуле могут быть как равно-, так и не равноотстоящими.

Примеры

№1 Найти значение интерполирующего полинома для

функции			y=ex заданной таблицей.
	х	3,50		3,55	3,60		3,65	3,70
	у	33,11		34,81	36,59		38,47	40,4
		5		3	8		5	47

на интервале [3,5; 3,6] с шагом =0,05.

Решение. Составим таблицу с нисходящими конечными разностями для заданных точек функции y=ex

х	у	у	2 у	3 у
3,50	33,115	1698	87	5
3,55	34,813	1785	92	3
3,60	36,598	1877	95
3,65	38,475	1972
3,70	40,447

Отмечаем, что значения конечных разностей третьего порядка примерно одинаковы, а это значит, что нужно использовать полином Pn(x) степени n=3. Для х0=3,50 и у0=33,115, мы имеем отыскиваемый полином в виде.

P(x) 33,115 1,698q 0,087	q(q 1)	0,005	q(q 1)(q 2)
3	2	6

или с учетом значений

48

P3(x) 33,115 1,698q 0,0435q(q 1) 0,00083(q 1)(q 2),

для

q x 3,50 20(x 3,5). 0,05

№2 Необходимо найти значение функции y(x) для x1=1,2173 по данным таблицы.

x	y
1.215	0.106044
1.220	0.106491
1.225	0.106935
1.230	0.107377
1.235	0.107818
1.240	0.108257
1.245	0.108696
1.250	0.109134
1.255	0.109571
1.260	0.110008

Найдем для этого случая нисходящие конечные разности.

i	xi	yi	уi	2 уi
1	1.215	0.106044	0.000447	-
2	1.220	0.106491	0.000444	0.000003
3	1.225	0.106935	0.000442	-
4	1.230	0.107377	0.000441	0.000002
5	1.235	0.107818	0.000439	-
6	1.240	0.108257	0.000439	0.000001
7	1.245	0.108696	0.000438	-
8	1.250	0.109134	0.000437	0.000002
9	1.255	0.109571	0.000437	0
10	1.260	0.110008	-	-
				0.000001
				-
				0.000001
				0

49

-

-

Отметим, что, начиная со второго порядка, конечные разности примерно одинаковы. Следовательно, воспользуемся полиномом Ньютона второго порядка, для x=1,2173.

f(x) y0	q y0		q(q 1)	2y	0		q(q 1)(q 2)	3y	3 ...,
		2				3!

гдеq (1,2173 1,215)/2 0,46;

f(x) 0.106044 0.46 0.000447 0.46( 0.54)( 0.000003) 2

0.106044 0.0002056 0.0000004 0.106250.

№3 Пусть yx функция заданная таблицей с неравноотстоящими значениями аргумента.

x	y
0,103	2,01284
0,108	2,03342
0,115	2,06070
0,120	2,07918
0,128	2,10721
0,136	2,13354
0,141	2,14922
0,150	2,17609

Нужно вычислить значение функции для x1=0,112. Воспользуемся формулой Лагранжа

y(x) y0 f (x0,x1) (x x0 ) f (x3,x1,x2 ) (x x0 ) (x x1),

где используются разделенные разности.

f (x

,x )

f (x1) f (x0 )

;

f (x

0

,x ,x

2

)

f (x1,x2 ) f (x0,x1)

.

3

1

x1

x0

1

x2

x0

Составим таблицу этих разностей.

50