Математика Сизов 2011

6.Исследование функций

6.1.Краткие сведения из теории

Возрастание и убывание функции. Точки экстремума

Функция f (x) называется возрастающей (неубывающей) на некотором интервале (a,b), если для любых двух чисел x1 и x2 (a,b) таких, что x1< x2 выполняется f x1 f x2 f x1 f x2 .

Функция f x называется убывающей (невозрастающей) в

некотором интервале (a,b), если для любых двух чисел x1 и x2 (a,b)

таких,	что	x1<x2	выполняется	неравенство
f x2 f x1 f x2 f x1 .
Правило.		f x дифференцируема на		интервале (a,b) и
Если	функция
f x 0	f x 0 ,	для любого x из этого интервала, то функция

f x возрастает (убывает) на этом интервале.

Функции, возрастающие и убывающие, а также функции невозрастающие и неубывающие называются монотонными.

Говорят, что функция		f x	в точке x0 имеет максимум, если при
любом достаточно малом h>0 выполняются условия					f x0 h f x0
и f x0 h f x0 .	В	точке	x0	имеется	минимум, если
f x0 h f x0 и f x0 h f x0 .
Точка x0 (максимума или			минимума) называется точкой
экстремума функции.	f x 0		или	f x не существует f x ,
Точки, в которых

называются критическими точками первого рода.

Точки экстремума следует искать среди этих критических точек.

Необходимое условие экстремума.

	Если x0 – точка экстремума функции y f x ,			то производная
функции		в этой точке, либо равна нулю,	либо	бесконечности
f x0 0, f x0 .
	Достаточное условие экстремума.
	Критическая точка x0 является точкой		экстремума функции
y	f x ,	если при переходе через точку x0 (слева		направо) f x

меняет знак. При этом, если знак меняется с «+» на «–», то точка x0 есть точка максимума функции, а если f x меняет знак с «–» на

«+», то эта точка есть точка минимума функции.

81

	Если же при переходе через критическую точку слева направо
f x	не меняет знак, то функция f x в этой точке экстремума не

имеет.

Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба

Говорят, что на интервале (a,b) кривая вогнутая, если она лежит выше касательной, проведенной в любой ее точке.

Говорят, что на интервале (a,b) кривая выпуклая, если она лежит ниже касательной, проведенной в любой ее точке.

Если f x 0 в интервале (a,b), то график функции является выпуклым в этом интервале; если же f x 0 , то в интервале (a,b)

график функции – вогнутый.

Точка кривой, отделяющая ее выпуклость от вогнутости и наоборот, называется точкой перегиба.

Точки кривой, в которых f x 0 или не существуетf x , называются критическими точками второго рода.

Точки перегиба следует искать среди критических точек второго

рода.

Если при переходе через критическую точку второго рода x0 слева направо и наоборот f x меняет знак, то точка x0 является

точкой перегиба функции y f x .

Асимптоты
Прямая L	называется	асимптотой	непрерывной	кривой
y f x , если	расстояние	от прямой	L до точки	M(x,y),

принадлежащей кривой, стремится к нулю по мере удаления точки по этой кривой в бесконечность.

Различают	асимптоты:	1)	вертикальные, 2) наклонные,
3) горизонтальные.
Прямая x=a	называется	вертикальной асимптотой		кривой
y f x , если при x a (справа			или слева), значение	функции

стремится в бесконечность, то есть выполнено одно из следующих условий:

lim f (x) ,	lim		f (x) .
x a 0	x a 0
Прямая y=kx+b является					наклонной		асимптотой кривой
y f x , если существуют пределы
k	lim		f (x)	, b	lim f x kx .
	x		x		x

82

Прямая y= b является горизонтальной асимптотой кривой y f x ,

	если существуют пределы b lim	f (x) и k	lim	f (x)	0
				x
	x		x

(горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты при k=0).

План исследования функции:

1.Найти область определения функции, поведение функции в окрестностях точек разрыва и при x .

2.Установить четность, нечетность, периодичность функции.

3.Найти точки пересечения графика с осями координат.

4.Найти асимптоты.

5.Найти интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума функции.

6.Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.

7.Используя полученные результаты исследования, построить график функции.

План исследования функции реализуем для функции y 3 2x2 x3 .

1. Область определения функции: (– ;+ ).	f x f x ,
2. Для исследуемой функции, f x f x и

следовательно, данная функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не периодична.

3. Найдем точки пересечения функции с осью Ox, для чего y=0. Тогда:

3 2x2 x3 0, 2x2 x3 0, x 0, x 2.

Значит, график функции проходит через точки (0;0) и (2,0). Найдем точки пересечения графика с осью Oy, для чего x=0,

тогда y=0. Значит, график функции проходит через точку с координатами (0;0).

4. Асимптоты Вертикальных асимптот нет, так как функция определена всюду. Наклонные асимптоты.

y=kx+b.

f (x)

3

2x

2

x

3

x 3

2

1

2

k lim

lim

lim

x

lim

3

1

1.

x

x

x

x

x

x

x

x

b lim f x kx		lim		3 2x2 x3	x
x		x

83

			3 2x2				x3												2		x 3 2x2 x3 x2
									x 3 2x2 x3
lim
								3 2x2 x3								2
x																	3 2x2 x3 x2
lim								2x2 x3 x3												lim													2x2
		3			2x2 x3 2 x3 2x2																				3 2x2 x3					2
x														x3 x2								x										x3				2x2 x3 x2
lim											2x2											lim												2x		2
										2																									2
x							2 1							2									x							2						3 2 1
				x2 3							x2 3						1 x2										x2		3		1						1
							x								x															x						x
								2										2				2 .
lim
								2									1 1 1
x					2						2												3
								3				1 1
							1
		3			x						x
Уравнение наклонной асимптоты:																						y x						2 .
																												3
	5. Найдем интервалы возрастания и убывания функции,
экстремальные точки.																											x 4 3x
			y 3 2x2 x3													4x 3x2																				4 3x			.
													33 2x2 x3										2			3x3 x 2 x							2			33 x 2 x	2

	4 3x		0,			4 3x
y
	33 x 2 x 2
				x	3	x 2 x	2
		,

Отметим эти критические точки на числовой оси и определим знак производной в каждом полученном интервале.

0;	x2		4,
			3
0;	x1 0, x3 2.
–	+					–	–	y/
	0			4			2	y
			3

		4	;2			производная
На интервалах x	;0	3			2;

отрицательная, следовательно, функция на этом интервале убывает, а

на интервале		0;	4		производная положительная, значит, функция
	x		3

возрастает. При переходе через критическую точку x=0 производная меняет знак с "–" на "+", следовательно, x=0 – точка минимума,

ymin f 0 0 – минимальное значение функции.

84

При переходе через критическую точку x 43 производная

меняет знак с "+" на "–", следовательно, x								4	– точка максимума,
	4			2				3
					3	4	– максимальное значение функции.
ymax f	3			3

При переходе через критическую точку x=2 производная не меняет знак, следовательно, эта точка не является точкой экстремума.

6. Найдем интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба.

									4 3x					/			1					4			3x					/
y//
												2															2
							33		x 2 x								3					3 x			2 x
				4					3x	/	3 x 2 x							2									3			x 2 x										2		/
	1																					4 3x
	3															3	x 2 x								2 2
																											1												2 x 2 2x 2 x
				33 x 2 x 2 4 3x
																													x						2			2
	1																						3 3 x 2
	3																							3	x 2 x							2		2
				33 x 2 x 2 4 3x 4 4x x2 4x 2x2
																													2 x								2	2
	1																								3 3 x
	3															3	x 2 x								2 2
																																	2
	1					9x			2 x 2 4 3x 4 8x 3x
	3														2		2					x 2 x					2			2
								3 3 x 2 x									3
	1					9x			4 4x x2 16 32x 12x2 12x 24x2 9x3
	9
																						3 x 2 x								2	4
	1					36x 36x2 9x3 16 44x 36x2 9x3																																					1			16 8x
	9															x 2 x								2		4																	9			4		8
																																													x3 2 x
														3
																																																3
									2 x
		8															8							1																	8					.
							4															4																4
		9							2 x 3																x 3									9x
								x3									9 x3 2																					3 2 x 3
											8															5																			5

85

Ни в одной точке y// не обращается в нуль, но y// = , когда

4	5		Таким образом, критические точки II рода есть x1 =0,
x3 2	x 3 0 .
x2 =2.	Отметим эти критические
					–		–		+	y	//.
точки на		числовой		оси и
определим			знак	второй
					0		2			y
производной			в	каждом
полученном интервале.
	На	интервалах		x (– ;0) (0;2)			вторая		производная

отрицательная, следовательно, функция на этих интервалах выпуклая,

а на интервале x (2;+ ) вторая производная положительная, значит функция вогнутая. Точки входят в область определения. При переходе через критическую точку x1 =0 вторая производная знак не меняет, следовательно, точка x1 =0 не является точкой перегиба. При переходе через критическую точку x2=2 вторая производная меняет знак с "–" на "+", следовательно, x2=2– точка перегиба, y = f(2)= 0 – значение функции в точке перегиба.

7. Построим график функции:

y

y = –x+2/3

23 3 4

0	4	2	x
	3

6.2. Решение типовых задач и примеров

	Задача 1. Методами				дифференциального исчисления
	исследовать функцию	y		x3	и построить ее график.
			4	x2

86

0; x3 0; x 0,

Решение. 1. Функция	y	x3		x3
					имеет две точки
		4 x2		2 x 2 x

x1=-2 и x2=2, в которых знаменатель равен нулю. Это значит, что в этих точках функция не существует (терпит разрыв II рода). Тогда область определения функции:

(– ;–2) (–2;2) (2;+ ).

Поведение функции в окрестностях точек разрыва определяют односторонние пределы функции.

	lim			x3								2 0 3					8						8											8		8					,
		4 x2							4 2 0 2						4		4 4 0 02					4 4		0						4 4 0
	x 2 0																																							0
	lim			x3								2 0 3					8						8											8						8			,
												4 2 0 2					4 4 4 0 02						4 4 0									4		4 0						0
	x 2 0 4 x2
	lim			x3								2 0 3					8						8											8						8			,
											4 2 0 2				4		4 4 0 02					4 4 0									4 4 0									0
	x 2 0 4 x2
	lim			x3								2 0 3					8						8											8							8		.
		4 x2								4 2 0 2					4		4 4 0 02						4 4 0										4 4 0								0
	x 2 0

Рассмотрим поведение функции при x .

lim

x3

lim

x3

lim

x

,

x2

4

4

x 4

x

x

2

x

1

1

2

2

x

x

lim

x3

lim

x3

lim

x

.

x2

4

4

x 4

x

x

2

x

1

1

2

2

x

x

2. Исследуем функцию на четность, нечетность и

периодичность:

x3

x3

x3

f x

f

x

–

функция нечетная,

4

x2

4 x2

4 x2

и ее график симметричен относительно начала координат. Функция не периодическая.

3. Найдем точки пересечения функции с осью Ox:

y=0, x3 2 4 x

значит, график функции проходит через точку (0;0). Найдем точки пересечения функции с осью Oy: x = 0. Получаем y=0.

Таким образом, точка с координатами (0;0) – единственная точка пересечения графика с осями координат.

87

4. Данная функция терпит разрыв II рода в точках x = –2 и x = 2. В точках разрыва II рода существуют вертикальные асимптоты.

Следовательно, уравнения двух вертикальных асимптот нашей функции есть x=-2, x=2.

Определим наклонную асимптоту y kx b. Найдем k и b:

k lim

x3

lim

x3

lim

1

1,

4 x

2

4

4

x

x

x

x3

x

1

1

2

2

x

x

x

3

x

x

3

x

3

4x x

3

4x

b

lim

lim

x

lim

lim

0

4 x2

4 x2

x2

.

x 4 x2

x

x

x 4

Итак, уравнение наклонной асимптоты: y=–x.

5. Исследуем функцию на интервалы возрастания, убывания,

экстремальные точки.

y

3x2 4

x2

x3 2x

12x2 3x4

2x4

12x2 x4

x2 12 x2

4 x2 2

4 x2

2

4 x2 2

(2 x)(2 x) 2 .

0, x2 12 x2 0, y/

, 2 x 2 x 0.

Отметим эти критические точки на числовой оси и определим знак производной в каждом полученном интервале.

	/		x1
y		0,
			x4,5
		,

–+

2 3 -2

0, x2,3 2	3,
2.
+ +	+	–	y/

0 2 2 3 y

На	интервалах	x ; 2 3 2 3;	производная
отрицательная, тогда, функция на этих интервалах убывает.
На	интервалах	x 2 3; 2 2;0 0;2 2;2 3
производная положительная, функция возрастает.
При переходе через критическую точку x2 2			3 производная

меняет знак с "–" на "+", следовательно, x2 2 3 –точка минимума, ymin f 2 3 3 3 –минимальное значение функции.

При переходе через критическую точку x4 = –2 производная не меняет знак, следовательно, точка x4 = –2 не является точкой экстремума.

При переходе через критическую точку x1 = 0 производная не меняет знак, следовательно, точка x1 =0 не является точкой экстремума.

88

При переходе через критическую точку x5 = 2 производная не меняет знак, следовательно, точка x5 = 2 не является точкой экстремума.

При переходе через критическую точку x3 2 3 производная меняет знак с "+" на "–", следовательно, x3 2 3 – точка максимума, ymax f 2 3 3 3 – максимальное значение функции.

6. Исследуем функцию на интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба.

//			12x		2	x				4	/			24x 4x	3					4	x	2		2					2	x		4		2			4	x	2			2x
y																										12x
			4 x				2		2																4 x			2			4
				4 x2							24x 4x3 4 x2												4x 12x2 x4
															4 x2 4
																							x4
				24x 4x3 4 x2 4x 12x2
														4 x2 3
																																						8x 12 x2
				96x					24x3 16x3 4x5 48x3 4x5																		96x 8x3
														4 x2 3													4 x2 3																	.
																																				(2 x)(2 x) 3
						0,						8x 12 x2					0,						y//				0,				x		0,
			y//																													1
						,							2 x 2 x 0.														,					x2,3 2.

y//= 0 при x1 = 0, y// = при x2 = –2 и при x3 = 2.

Отметим критические точки на числовой оси и определим знак второй производной в каждом полученном интервале.

+		–		+		–	y//
							y
–2		0		2

На интервалах x (– ;–2) (0;2) вторая производная положительная, следовательно, функция на этих интервалах вогнутая, а на интервале x (–2;0) (2;+ ) вторая производная отрицательная, то функция выпуклая. Точки x = –2 и x = 2 не входят в область определения.

При переходе через критическую точку x1=0 вторая производная меняет знак с "–" на "+", следовательно, x1=0– точка перегиба, y = f(0)= 0 – значение функции в точке перегиба.

7. Используя полученные результаты, построим график функции.

89

x= –2

y	x=2
3	3

2 3		2 3
–2	2	x
3	3	y =–x

Задача 2. Исследовать методами дифференциального

исчисления функцию y 3 ln

x

и построить ее график.

x 1

x

Решение. 1. Функция определена всюду, кроме интервала, где

0 , или

1 x 0.

Значит,

область определения функции:

x 1

x (– ;–1) (0;+ ).

Данная функция не определена при x = 0 и при x = –1.

Рассмотрим поведение функции в окрестностях этих точек.

x

0

3 ln 0 3 .

lim

3 ln

3

ln

x 1

0 1

x 0 0

Для x 0–0 поведение функции рассматривать не будем так как интервал (–1;0) не входит в область определения.

	lim		3	ln	x			3	ln	1 0				3 ln	1		3	ln .
					x 1					1	0	1			0
	x 1 0

Для x –1–0 поведение функции рассматривать не будем так как интервал (–1;0) не входит в область определения.

Рассмотрим поведение функции при x .

x

x

x

1

lim

3 ln

3 ln lim

3 ln lim

3 ln

3.

x 1

1

1

x

x x 1

x

1

x 1

x

Функция стремится к значению y=3, оставаясь больше 3.

x

x

x

1

lim

3

ln

3 ln lim

3 ln lim

3 ln

3.

1

1

x

x 1

x x 1

x

1

x 1

x

Функция стремится к значению y=3, оставаясь меньше 3.

90