Математика Сизов 2011

исключив при этом случайные отклонения, связанные с неизбежными погрешностями измерений или статистических наблюдений. Такую

сглаженную зависимость стремятся представить в виде формулы y f (x), или, как говорят, аппроксимировать опытные данные

функцией f (x) .

Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных, получили название эмпирических формул (формулы, выведенные на основе опытных данных).

Вывод эмпирических формул состоит из двух этапов.

На первом этапе по совокупности и месторасположению экспериментальных точек (xi,yi), отображенных на графике, требуется подобрать функциональную зависимость между x и y на основе графиков известных функций. Эта функция носит качественный (обобщенный) характер связи между x и y, т.к. в ней не определены коэффициенты (параметры) при неизвестных.

Пусть такая функция имеет общий вид:

y (x; 0 , 1, , k 1) , где α0, α1, …, αk–1 – неизвестные параметры

Назовем эту функцию теоретической.

На втором этапе следует подобрать указанные выше параметры

так, чтобы выбранная функция «наилучшим» образом отображала

экспериментальную зависимость между x и y. И тогда выбранная теоретическая формула преобразуется в эмпирическую.

Такой подбор (нахождение) параметров теоретической функции

можно осуществить одним из наиболее распространенных способов,

которым является метод наименьших квадратов.

Сущность метода: найти такие значения параметров α0, α1, …,

αk–1 , чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных значений yi от соответствующих теоретических значений xi ; 0 , 1,..., k 1

(суммарная квадратичная ошибка) была минимальной.

n
Q( 0 , 1, , k 1) yi (xi ; 0 , 1, , k 1) 2 .	(7.13)

i 1

Необходимым условием минимума функции

равенство нулю всех частных производных этой результате, для нахождения параметров α0, α1, …, αk–1 систему k уравнений:

		Q		0,
		0
		Q
					0.
			k 1

(7.13) будет

функции. В

нужно решить

(7.14)

101

7.2. Решение типовых примеров и задач

Пример 1. Найти все частные производные 1-го порядка функций:

а)

z e2 xy

sin x2

1

; б)

z cos y2

; в)

z cos x y2 .

y5

3

x

Решение.

а)

Найдем

частную

производную

функции

z e2 xy

sin x2

1

по

переменной

x.

Считая

y

постоянной,

3

y5

получим:

z

1

1

2 xy

2

2 xy

2

2 xy

x

e

sin x

e

x

sin x

x

e

2xy x

3

y

5

3

y

5

x

x

cos x2 x2 x 0 e2 xy 2 y cos x2

2x 2 ye2 xy

xcos x2 .

1

Найдем частную производную функции

z e2 xy

sin x2

y5

3

по переменной y. Считая x постоянной, получим:

z

1

e2xy

sin x2

5

e2xy

2xy

0

e2xy

sin x2

y

3

3

5

y

x

y

y

y

y

y

5

5

1

2xy

5

8

2xy

5

3

y

3

e

2x

3

y

3

2xe

.

33 y8

б)

Найдем

частную

производную

функции

z

cos y2

по

x

переменной x. Считая y постоянной, получим:

z

cos y2

cos y

2

1

cos y

2

1

cos y2

2 .

x

x

x

2

x

x

x

x

2

Найдем

частную

производную

функции

z

cos y

по

x

переменной y. Считая x постоянной, получим:

2

cos y2 y

sin y2 2 y

2

z

cos y

1

1

2 ysin y

.

y

x

y

x

x

x

в)

Найдем

частную

производную функции

z cos x y2 по

переменной x. Считая y постоянной, получим:

102

z cos x y2 y2 cos x y2 1 cos x x y2 cos x y2 1 sin x

x x

y2 sin x cos x y2 1 .

Найдем

частную

производную

функции

z cos x y2 по

переменной y. Считая x постоянной, получим:

z

cos x

y2

y

y2

ln cos x y

2

y2

y

cos x

y

cos x

ln cos x 2 y

2 y cos x y2 ln cos x .

Пример 2. Найти все

частные

производные 2-го

порядка

функции z

cos y2

.

x

Решение. В примере 1б)

были найдены частные производные 1-

го порядка этой функции:

z

cos y2

и

z

2 ysin y2

.

Найдем

x

x2

y

x

частные производные от этих производных, т. е. частные производные 2-го порядка.

Найдем частную производную второго порядка по переменной

x:

2z

z

cos y2

2

1

2

2

2cos y2

zxx

2

2

cos y

cos y

3

3 .

x

x

2

x

x

x

x

x

x

x

zyy

2

z2

z

2 ysin y

2

2

ysin y2

y

y

y

x

x

y

y

2

sin y2

y cos y2

2 y

2(sin y2

2 y2 cos y2 )

x

x

.

Найдем смешанную частную производную второго порядка:

zxy

2z

z

cos y2

1

cos y

2

1

sin y

2

2y

2

x y

y

x

x

2

x

2

x

y

y

2ysin y2

.

x2

Пример 3. Найти

z

и

z , если

x3 cos y z2

0 ;

x

y

Решение. В данном примере функция z f (x; y)

задана неявно

уравнением F(x; y; z) 0 .

103

Сначала найдем Fx и Fz

F	x3	cos y z2		x3		cos y x z2		3x2 0 0 3x2 ;
x		x		x		x
F	x3	cos y z2		x3		cos y z z2		0 0 2z 2z .
z		z		z		z

Найдем частную производную функции по переменной x, воспользовавшись формулой (7.5):

z

F

x

3x2

.

x

F

z

2z

Найдем

F

:

y

F

x3

cos y z2

x3

cos y y z2

0 sin y 0 sin y .

y

y

y

y

Найдем частную производную функции по переменной y, воспользовавшись формулой (7.5):

z		F	y	sin y		sin y .
y		F	z		2z		2z
Пример 4. Найти					z	и	z , если	ex3 y 5ln z x4 0 .
					x		y

Решение. Найдем частную производную функции по переменной x, воспользовавшись формулой (7.5):

F

e

x3y

4

e

x3y

4

x3y

3

3

x

5ln z x

x

x

5ln z x x

x

e

x y x

0 4x

ex3y y 3x2 4x3 x2 3yex3y 4x ;

F

e

x3 y

4

z

e

x3 y

z

5ln z z x

4

1

5

z

5ln z

x

z

0

5 z

0 z

;

z

F x

x2 3yex3 y 4x

x2 z 3yex3 y 4x

.

x

F

z

5 z

5

Найдем частную производную функции по переменной y, воспользовавшись формулой (7.5):

F

e

x3y

4

e

x3y

5ln z y x

4

x3y

3

3 x3y

y

5ln z x

y

y

y

e

x y y

0 0 x e

;

z

F y

x3ex3 y

x3zex3 y

.

y

F

z

5 z

5

104

Пример 5. Найти полные дифференциалы 1-го и 2-го порядков и проверить равенство zxy zyx для функции z exy .

Решение. Найдем частные производные 1-го порядка этой функции:

zx	z	exy	exy y yexy ;
	x	x
zy	z	exy	exy x xexy .
	y	y

Используя формулу (7.7), найдем полный дифференциал 1-го порядка:

dz

z dx

z dy yexydx xexydy exy ( ydx xdy) .

x

y

Найдем частные производные 2-го порядка:

2 z

xy

2

xy

2 ye

y e ;

zxx

x

x

2 z

x

xy

e

xy

xye

xy

e

xy

(1 xy) ;

z yx y x xe

2 z

ye

xy

y

e

xy

xye

xy

e

xy

(1 xy) ;

zxy

x y

2 z

xe

xy

2

xy

2

x e .

zyy

y

y

Отметим, что справедливо равенство zxy zyx .

Используя формулу (7.8), найдем полный дифференциал 2-го порядка:

	d 2 z	2 z dx2	2	2 z	dxdy	2 z dy2	y2exydx2 2exy 1 xy dxdy x2exydy2
				x y
		x2				y2

exy y2dx2 2 1 xy dxdy x2dy2 .

Пример 6. Исследовать функцию на экстремум: u 2x3 xy2 5x2 y2 .

Решение. Найдем стационарные точки данной функции, для этого вычислим частные производные функции и приравняем их нулю

(условие (7.9)):

u		6x2 y2 10x,		2	2
	x		6x y 10x 0,
	u
		2xy 2 y.	2xy 2 y 0.
	y

105

Решая эту систему уравнений, находим, что существует четыре стационарных точки:

M1

5

;

M3 ( 1;

2), M4 ( 1; 2).

(0; 0), M2

3

0 ,

Теперь определим, есть ли в этих стационарных точках

экстремумы. Для этого вычислим A11, A22, A12 и ∆. Поскольку

A

2u

12x 10,

A

2u

2x

2, A

2u

2 y, A A

A

2

,

x2

y2

x y

11

22

12

11 22

12

то для вычисления этих коэффициентов в найденных стационарных точках составим таблицу:

	M1	M2	M3	M4
A	10>	–	–2	–2
11	0	10<0	0	0
A	2	–4/3
22	0	0	4	–4
A
12	20>	40/3>	–16<0	–16<0
∆
	0	0
	min	max	экстремума нет	экстремума нет

Таким образом, в точке M1(0; 0) функция имеет минимум, в точке M2(–5/3; 0) – максимум, в точках M3 и M4 экстремума нет.

y

C

1
	M1	А
			x
O		1
		Рисунок 7.2.
Пример 7. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
z x2 3y2 x y	в	области,	ограниченной	линиями

x 0, y 0, x y 1.

Решение. Изобразим область, ограниченную данными прямыми. Искомая область – треугольник ОAC (рисунок 7.2).

106

1) Определим стационарные точки: а) Найдем частные производные

z	x	2	3y	2	x y x		2x 1;
x
z	x2		3y2		x y y 6 y 1.
y

	б) Решая систему, найдем стационарную точку
							1
	2x 1	0,			x		2	,				1		;	1
		0.					1				M1		2		6		.
	6 y 1
					y		6	.
	Эта стационарная точка принадлежит рассматриваемой области
	(см. рисунок 7.2). Найдем значение функции в данной точке:
			1		1		1		1			1		1				1
	z(M1 ) z			;															.
			2		6		4		12			2		6				3

2) Исследуем функцию на границе области.

а) При x=0

(отрезок ОС)

имеем

z 3y2 y,

y [0;1]. Эта

функция имеет минимум при y

1

1

1

6

,

z

( для нахождения

6

12

минимума найдем

производную

dz

и

приравняем

ее

к нулю:

dy

6 y 1 0; y 1 )

и

на концах

отрезка

принимает

значения

6

z(0) 0, z(1) 2. Таким образом, на отрезке AB наибольшее значение

			1			1
	z(1) 2 и наименьшее значение	z						.
			6			12

б) При y=0 (отрезок ОА)					имеем z=x2–x, x [0;1]. Эта функция
имеет минимум при	x	1	,		1			1	(для нахождения минимума
		2		z	2			4

найдем производную

dz

и приравняем ее к нулю:

2x 1 0; x

1 ) и

dx

z(0) 0, z(1) 0 .

2

на концах отрезка принимает значения

Таким

образом,

на

отрезке

BC

наибольшее

значение

z(1) z(0) 0 и

наименьшее значение

1

1

.

z

2

4

z=4x2–6x+2,

x [0;1]. Эта

в)

При

y=1–x (отрезок CA) имеем

функция

имеет минимум

при x

3

,

3

1

(для

нахождения

4

z

4

4

107

минимума найдем производную dxdz и приравняем ее к нулю:

8x 6 0; x	3 ) и на концах отрезка принимает значения
	4

z(0) 2, z(1) 0. Таким образом, на отрезке CA наибольшее значение

3

1

.

z(0) 2 и наименьшее значение z

4

4

1

3) Сравнивая все найденные значения, получаем, что zнаим

в точке M 1 1

; 1

3

,

zнаиб

2 в точке С (0;1).

2

6

Пример 8. Найти градиент функции z f (x; y) в точке M (x; y)

и производную

f x, y по

направлению вектора

, если

MM 1

z x2

3xy y2 , M (1;2), M1(4;5) .

Решение. Воспользуемся определением градиента функции

z

; z

grad z

. Найдем частные производные в точке M:

x

y

z

x2

3xy y2

2x

3y

M (1;2) 2 1 3 2 4 ;

x

x

z

x2

3xy y2

y 3x 2 y

M (1;2)

3 1 2 2 1;

y

z

;

z

4;1 .

Подставим в формулу grad z

M

x

y

Найдем координаты

вектора

:

2) (3;3) .

MM 1

MM 1 (4 1;5

Найдем

длину

вектора

32 32

18 3 2 .

Единичный

MM 1

:

вектор l

в направлении вектора MM 1

1

1

1

1

l

(cos ;cos )

MM 1

(3;3)

;

.

3

2

2

2

MM

1

Для определения производной

по

направлению

найдем

и вектора l :

скалярное произведение вектора grad z

z

z

z

1

1

3

l

grad z

l

x

cos

y

cos 4

1

.

2

2

2

Пример 9. Методом наименьших квадратов подобрать функцию y ax b по табличным данным и сделать чертеж.

108

x	0	2	4	6	8	10	12
y	1080	935	724	362	176	43	19

Решение. В соответствие с методом наименьших квадратов

следует подобрать коэффициенты a и b таким образом, чтобы функция

n

Q(a,b) yi axi b 2

i 1

приняла минимальное значение. Необходимым условием экстремума функции Q является равенство нулю всех частных производных по неизвестным параметрам:

		Q 2	n
			( yi		axi b) xi 0,
		a	i 1
			n
	Q 2
				( yi axi b) 0.
		b
			i 1
Упростим систему уравнений:
	n			n	n	n
( yi axi b)xi 0,			yi xi a xi2 b xi 0,
	i 1			i 1	i 1	i 1
	n			n	n
( yi axi b) 0,			yi a xi nb 0.
	i 1			i 1	i 1

n

n

n

n

Обозначим:

A yi xi ; B xi2 ; C xi ; D yi .

систему и решим ее:

i 1

i 1

i 1

i 1

A aB

D aC

A aB bC 0,

A aB bC 0,

n

D aC

D aC nb 0,

b

,

D aC

n

b

,

n

DC

aC

2

0,

C

2

nB

DC An

,

A aB

a

n

n

n

n

D

aC

D

aC

,

,

b

n

b

n

DC An

a

DC2

An ,

a

,

C

2

nB

C

nB

DC 2 nDB DC 2 nAC

DB AC

b

,

b

C

2

nB

.

nC

2

n

2

B

Запишем

C 0,

109

Далее, составим таблицу вычислений:

№	x	y	yx	x2
1	0	1080	0	0
2	2	935	1870	4
3	4	724	2896	16
4	6	362	2172	36
5	8	176	1408	64
6	10	43	430	100
7	12	19	228	144
	42	3339	9004	364

По таблице находим:

n

n

n

n

A yi xi 9004; B xi2 364; C xi 42; D yi 3339 .

i 1

i 1

i 1

i 1

a

DC An

3339 42 9004 7

98,48;

C2 nB

422 7 364

DB AC

3339 364 9004 42

1067,89.

b

C

2

nB

42

2

7

364

Таким

образом,

искомая

функция

имеет

вид:

y 98,48 x 1067,89 .

Изобразим на рисунок 7.3 исходные данные (квадратики) и искомую прямую:

1200
1000				y = -98,48x + 1067,89
800
600
400
200
0
-200 0		2	4	6	8	10	12					14

Рисунок 7.3.

110