2.23.2. Формулы для коэффициентов переноса в случае идеального газа

Рассмотрим вывод формул для коэффициентов переноса в случае идеального газа.

1. Средняя длина свободного пробега молекул газа. Молекулы идеального газа непрерывно хаотически движутся, сталкиваясь друг с другом. От одного столкновения до другого они движутся по прямой линии, а их общая траектория представляет собой ломаную линию, состоящую из прямолинейных участков

Рис. 2.16

(рис. 2.16,а). Под средней длиной свободного пробега понимают величину, равную пути, пройденному молекулой за время , деленному на число столкновений, которое испытала молекула за это время

.

Выведем формулу для средней длины свободного пробега. Будем считать, что все молекулы неподвижны, кроме одной молекулы. За время молекула пройдет расстояние, где- средняя арифметическая скорость молекулы. Причем она за это времяиспытает столкновения со всеми молекулами, центры которых попадают внутрь коленчатого цилиндра (его радиус равен диаметру одной молекулы, а длина образующей цилиндра равна пройденному молекулой расстоянию, рис. 2.16,а). Число столкновений движущейся молекулы будет равно количеству молекул, центры которых попали в этот цилиндр

,

что позволяет записать

, (2.77)

где в формулу (2.77) введен коэффициент , учитывающий движения всех молекул - в этом случае нужно для определения числа столкновенийиспользовать относительную скорость молекул, а не скорость молекул относительно стенки сосуда. Это приводит к следующим формулам:

,

где учтено, что усреднение слагаемого по всевозможным углам() дает нулевое значение ().

2. Формулы для коэффициентов переноса

*2.1. Вывод формулы для коэффициента диффузии. Пусть в идеальном газе создано неравномерное распределение концентрации молекул, а именно, на одной стенке прямоугольного сосуда концентрация молекул газа будет равной , а на другой -(рис. 2.16). Тогда в газе возникает явление диффузии (точнее, самодиффузии). Выберем площадку, перпендикулярную направлению переноса (рис. 2.16,а). Будем считать, что все молекулы, пересекающие эту площадку, испытывают последнее столкновение на одном и том же расстоянииот нее, равном средней длине свободного пробега:(рис. 2.16,а). Тогда число молекул, пересекающих площадку в положительном направлении оси, будет определяться концентрацией молекул на расстоянии (), а в обратном направлении () – (). За времячерез площадкупройдетчасть всех молекул, попадающих в объемыпо разные стороны от площадки. Поэтому суммарный перенос молекул за это время будет равен

.

Из записанной выше формулы видно, что коэффициент диффузии будет определяться выражением

. (2.78)

Ввиду малости расстояния при выводе формулы (2.78) было использовано следующее равенство:.

2.2. Формулы для коэффициентов вязкости и теплопроводностиможно вывести аналогично:

, (2.79)

. (2.80)

В формулу для коэффициента теплопроводности входит удельная теплоемкостьидеального газа при постоянном объеме, которую согласно формулам (2.38) и (2.57,б) можно представить в следующем виде:

. (2.81)