2.5. Распределение Больцмана

2.5.1. Функция распределения Больцмана

Пусть идеальный газ находится во внешнем поле, в котором потенциальная энергия молекулы равна . Температура газа во всех точках занимаемого газом пространства, объемомV, одинакова и равна Т.

В этом случае равновесное распределение частиц в пространстве устанавливается за счет действия двух факторов - теплового движения, которое стремится разбросать частицы идеального газа равномерно по всему объему пространства (энергия теплового движения определяется энергией ), и сил потенциального поля, которые стремятся расположить частицы в тех точках пространства, где их потенциальная энергия минимальна. Больцман показал (1869-1871), что в этом случае функция распределения частиц идеального газа по координатам запишется следующим образом:

. (2.25)

Функция распределения Больцманаявляется плотностью вероятности, она равна отношению вероятностинайти частицу в бесконечно малом объемеоколо точки с координатами () к величине объема, или равна отношению относительного числа частиц, попадающих в бесконечно малый объемоколо точки пространства с координатами () к величине объема.

В формуле (2.25) величина определяет концентрацию молекул в точке пространства с координатами ():. Постояннаядает концентрацию молекул в тех точках пространства, в которых потенциальная энергия частиц равна нулю.

Функция распределения Больцмана позволяет найти вероятностьпопадания молекулы в произвольный объемпространства или относительное число молекул, попадающих в этот объемоколо точки с координатами ()

, (2.26)

где интеграл берется по объему пространства .

Входящая в формулу (2.25) концентрация находится из условия нормировки

. (2.27)

В формуле (2.27) интеграл берется по всему объему , занимаемому газом.

Выражение (2.26) можно упростить, если объем будет малым (в пределах этого объема=функция распределения остается неизменной)

. (2.28)

2.5.2. Барометрическая формула

Применим распределение Больцмана для идеального газа, находящегося в потенциальном поле тяготения земли. Учитывая, что ,, формулу (2.25) можно переписать следующим образом:

,

, (2.29)

где - концентрация газа на поверхности земли.

На рис. 2.5,а приведены графики зависимости концентрации газа от высотыпри различных температурах. Видно, что с повышением температуры зависимостистановятся более пологими, при этом изменяется концентрациямолекул газа на поверхности земли (она уменьшается).

Запишем барометрическую формулу, определяющую зависимость давления воздуха от высоты над поверхностью Земли. Для этого, учитывая постоянство температуры во всем объеме идеального газа, выразим концентрацию молекул идеального газа через его давление: ,. Тогда

, (2.30)

где М - молярная масса газа, - давление газа на поверхности земли.

Применение полученной формулы для оценки давления воздуха возможно только для малых перепадов высот. Это связано с тем, что температура воздуха с увеличением высоты понижается и к тому же происходит перемешивание воздушных слоев, что приводит к незначительному снижению давления воздуха до высот порядка нескольких километров.

Можно также отметить, что согласно формуле (2.30) состав воздуха (он представляет собой смесь таких газов, как азот, кислород, углекислый газ, гелий и т.д.) будет с высотой изменяться – с повышением высоты будет повышаться концентрация газов с меньшей молярной массой.

При работе некоторых приборов для измерения давления при малых перепадах высот () применяется формула (2.30).

Рис. 2.5

Так, например, для измерения высоты полета применяют прибор, получивший название альтиметра. При подлете к аэропорту проводится градуировка прибора в соответствии с давлением воздуха на поверхности земли. Тогда показания прибора в соответствии с барометрической формулой (2.30) дают высоту полета над данным аэропортом.

В заключение этого параграфа приведем вывод барометрической формулы, что косвенно подтверждает полученный Больцманом вид функции распределения.

Давление газа на данной высоте обусловлено давлением вышележащих слоев газа. Найдем давление , созданное слоем газа толщинойи площадью основанияна высоте, давление на этой высоте обозначим(рис. 2.5,б). Тогда

,

,

что и требовалось показать.

При выводе этой формулы было учтено, что с увеличением высоты давление газа падает, т.е. производная меньше нуля ().