- •Модуль 2. Молекулярная физика Лекция 1
- •2.1. Статистический и термодинамический методы описания свойств
- •Макроскопических систем
- •2.2. Функции распределения
- •2.2.1. Общий подход
- •2.2.2. Функция распределения молекул идеального газа по модулю скорости молекул
- •2.2.3. График функции распределения молекул идеального газа по модулю скорости для двух температур
- •2.2.4. Функция распределения молекул идеального газа по кинетическим энергиям поступательного движения молекул
- •2.2.5. Средние характеристики молекул
- •Лекция 2
- •2.3. Основное уравнение мкт идеального газа для давления
- •2.4. Молекулярно-кинетический смысл температуры
- •2.5. Распределение Больцмана
- •2.5.1. Функция распределения Больцмана
- •2.5.2. Барометрическая формула
- •*2.7. Экспериментальная проверка распределения молекул по модулю скорости. Опыт Ламмерта
- •*2.8. Опыты Перрена по определению постоянной Авогадро
- •2.9. Основные понятия равновесной термодинамики
- •Лекция 3
- •2.10. Внутренняя энергия системы, работа, теплообмен
- •2.10.1. Внутренняя энергия системы
- •2.10.2. Работа
- •2.10.3. Теплообмен, теплоемкость системы
- •2.11. Первый закон (начало) термодинамики
- •2.12. Второе начало (закон) термодинамики. Термодинамические формулировки
- •2.13. Энтропия в термодинамике
- •Лекция 4
- •2.14. Качественный пример изменения энтропии при неравновесном процессе
- •2.15. Коэффициент полезного действия (кпд) идеального теплового двигателя
- •2.16. Число степеней свободы молекулы. Закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Теплоемкость идеального газа
- •2. Молекула, состоящая из двух атомов
- •2.17. Применение первого и второго закона термодинамики к изопроцессам в идеальном газе
- •Лекция 5 *2.18. Примеры расчета изменения энтропии для неравновесных процессов.
- •2.19. Термодинамическая вероятность. Статистический смысл понятия энтропии.
- •2.20. Оценка термодинамической вероятности неравновесного и равновесного состояний.
- •Лекция 6
- •2.23. Основы физической кинетики
- •2.23.1. Уравнения для явлений переноса. Линейная неравновесная термодинамика
- •2.23.2. Формулы для коэффициентов переноса в случае идеального газа
- •2. Формулы для коэффициентов переноса
- •2.23.3. Зависимость коэффициентов переноса от параметров состояния идеального газа при протекании различных изопроцессов в идеальном газе
- •Лекция 7
- •2.24. Реальные газы. Уравнение Ван – дер - Ваальса
- •2.25. Экспериментальные и теоретические изотермы для реальных газов. Критическая точка
- •2.26. Внутренняя энергия реального газа
- •2.27. Жидкое состояние. Строение жидкости
2.2.2. Функция распределения молекул идеального газа по модулю скорости молекул
Пусть идеальный газ (его молекулы на расстоянии не взаимодействуют) находится в закрытом сосуде в равновесном состоянии при температуре .
Для того чтобы ввести функцию распределения молекул по модулю скорости, возьмем произвольную молекулу идеального газа, и через равные промежутки времени будем измерять модуль ее скорости. Пусть из общего числа N опытов дает число опытов, в которых скорости молекул попадают в интервал скоростей (,+). Тогда вероятность попадания скорости молекулы в малый интервал скоростей будет равна
при стремлении общего числа опытов к бесконечности (). Это позволяет согласно формуле (2.2) ввести функцию распределения молекул по модулю скорости
. (2.6)
Случайным в выражении (2.6) является номер выбираемой молекулы, над которой проводятся опыты, а закономерным то, что вероятность попадания значений скоростей молекулы в интервал скоростей (,+) остается все время постоянной величиной и не зависит от номера выбираемой молекулы.
Итак, функция является плотностью вероятности и равна отношению вероятностипопадания модуля скорости молекулы в интервал скоростей (,+) к величине этого интервала.
Можно предложить другой способ определения, другой физический смысл функции распределения . Для этого зафиксируем в какой-то момент времени скорости всех молекул и нанесем их на ось скоростей (рис. 2.2).
Рис. 2.2
Число молекул , попадающих в интервал скоростей (,+), будет зависеть от общего числа молекул, от величины интервала скоростейи от скорости, вблизи которой берется этот интервал. Эту зависимость от скоростиможно описать с помощью функции. Тогда
. (2.7)
Итак, функция равна отношению относительного числа молекул (), скорости которых попадают в бесконечно малый интервал скоростей (,+), к величине этого интервала.
Входящая в формулы (2.6) и (2.7) функция получила название функции распределения молекул по модулю скорости или функции распределения Максвелла. Случайным в формуле (2.7) являются номера молекул, скорости которых попадают в заданный интервал скоростей, а закономерным то, что их число остается постоянным и не зависит от номеров молекул. Формула для этой функции была получена в 1859 г. английским ученым Максвеллом и она имеет вид:
. (2.8)
В формуле (2.8) обозначает массу одной молекулы, а- это постоянная Больцмана.
График функции приведен на рис. 2.3,а. Из него видно, что при скорости молекулы, равной нулю (), функцияобращается в ноль, затем функция нарастает и при скорости, называемой наиболее вероятной
Рис. 2.3
скоростью молекул, достигает максимального значения, после этого она спадает до нуля при скоростях молекул, стремящихся к бесконечности.
Зная функцию распределения молекул идеального газа по скоростям , можно найти относительное число молекул, скорости которых попадают в интервал скоростей (,), или вероятность попаданияскорости одной молекулы в интервал скоростей (,):
. (2.9)
Графически эта величина (или ) представляет собой площадь под графиком функциив пределах интервала скоростей отдо(рис. 2.3,а). В случае малого интервала скоростей(в его пределах функция распределенияостается примерно постоянной величиной) можно с достаточной степенью точности рассчитать относительное число () молекул или вероятностьпо упрощенной формуле
. (2.10)
В этом случае площадь под графиком функции будет представлять собой площадь прямоугольной полоски (рис. 2.3,а).
Можно дать пояснение названию наиболее вероятной скорости молекул - если выбирать одинаковый интервал скоростейоколо различных значений скорости, то вблизи скоростив малый интервал скоростейпопадет наибольшее число молекул (площадь прямоугольной полоски ширинойбудет наибольшей).
Площадь под графиком функции распределения будет равна единице
, (2.11)
это выражение называют условием нормировки. Интеграл в формуле (2.11) представляет собой вероятность того, что скорость отдельной молекулы попадает в область всех возможных значений скоростей, а это является достоверным событием, вероятность которого равна единице.
По другой трактовке функции распределения этот интеграл представляет собой относительное число молекул, скорости которых попадают в область всевозможных значений скоростей, что приводит также к единице в формуле (2.11).