2.2.3. График функции распределения молекул идеального газа по модулю скорости для двух температур

Для того чтобы качественно пояснить изменение графика функции распределения при повышении температуры идеального газа, необходимо выяснить, как изменяется максимум функции. Для этого необходимо взять производную по модулю скорости от функциии приравнять ее нулю при значении скорости. Это позволяет получить следующие формулы:

, (2.12)

~. (2.13)

В формулу (2.12) входит универсальная газовая постоянная R () и молярная массаM () газа.

Как видно из формул (2.12) и (2.13), при повышении температуры максимум функциистановится меньше и смещается в сторону больших скоростей.

На рис. 2.3,б приведены графики функции для двух температур (>). При построении графиков было также учтено, что согласно формуле (2.11) площадь под графиком функции при повышении температуры не изменяется и остается равной единице.

Как следует из графиков, приведенных на рис. 2.3,б, увеличение температуры идеального газа приводит к возрастанию числа молекул с повышенными скоростями. Так, повышение температуры приводит к возрастанию числа молекул, попадающих в приведенный на рис.2.3,б интервал скоростей (,).

2.2.4. Функция распределения молекул идеального газа по кинетическим энергиям поступательного движения молекул

Функция распределения молекул идеального газа по кинетическим энергиям вводится аналогично функции распределения по модулю скорости

, (2.14)

где - число молекул, кинетические энергии которых попадают в бесконечно малый интервал (,+), а- вероятность того, что кинетическая энергия молекулы в отдельном опыте попадает в бесконечно малый интервал (,+).

Формулу для функции можно получить из того условия, что число молекул, кинетические энергии которых попадают в интервал энергий (,+), равно числу молекул, скорости которых попадают в интервал скоростей (,+). Это является следствием формулы для кинетической энергии молекулы. Итак,

.

Заменяя в полученном выражении скорость через кинетическую энергию молекулы (), для функции распределения молекул по их кинетическим энергиям получим

. (2.15)

Из рис. 2.3,в следует, что поведение зависимостей отиотв общих чертах одинаковы.

Таким же способом можно получить функцию распределения молекул по относительным скоростям ()

. (2.16)

Эта функция удобна тем, что параметры конкретного идеального газа () входят в формулу (2.16) через наиболее вероятную скорость молекул.

2.2.5. Средние характеристики молекул

Функции распределения позволяют рассчитать средние свойства молекул, характеризующие всю совокупность молекул в целом. Оценим среднюю арифметическую скорость <> молекул, которая согласно ее определению равна сумме модулей всех скоростей молекул, взятых в какой-то момент времени, деленной на их число

<>=. (2.17)

Сумма модулей скоростей всех молекул рассчитывается следующим образом. Сначала оценивается сумма модулей скоростей всех молекул в бесконечно малом интервале скоростей (,+), она будет равна произведению числа молекулна их скорость:. Проводя суммирование по всем интервалам (,+) в пределах значений от нуля () до бесконечности (), получим

. (2.18).

Аналогично можно оценить среднюю квадратичную скорость молекул

<>=(2.19)

и среднюю кинетическую энергию поступательного их движения

<>=. (2.20)

Помимо скоростей <> ивсю совокупность молекул также описывает наиболее вероятная скоростьмолекул (2.12).