elemen_teorija

При этом (δx | L)(Ln) = 1 и (δx | L)(Lj) = 0						j N \ {n}. В итоге (см.
§ 1.3)	k
	∑i		)(Li) = (δx		)(Ln) = 1 k		−−→
	(δx
		| L		| L			n, .
	=1						∞
Это означает, в частности, справедливость свойства сходимости
		k
		∑
	(i=1 (δx | L)(Li))kN −→ (δx | L)(L)							(2.4.4)
в рассматриваемом сейчас случае 1). Итак, установлена импликация
	(x L) = ((i=1 (δx | L)(Li))kN −→ (δx | L)(L)).							(2.4.5)
			k
		∑

2) Пусть x / L. Тогда (δx | L)(L) = (2.4.4) очевидным образом выполнено.

(x / L) =	((i=1 (δx | L)(Li))
	k
	∑

0 и (δx | L)(Lj) = 0	j N . Тогда
Итак,
kN −→ (δx | L)(L)).	(2.4.6)

Из (2.4.3), (2.4.5) и (2.4.6) мы получили, что (2.4.4) справедливо во всех возможных случаях. Коль скоро выбор L и (Li)iN был произвольным, из (2.3.3) вытекает, что

(δx | L) (σ − add)[L].

С учетом определения ФМ (2.4.2), а также (2.3.4) — (2.3.6) мы получаем теперь требуемое свойство (δx | L) Tσ(L). 2 Итак, мы рассмотрели простейший пример с.-а. (0,1)-меры. Сейчас рассмотрим пример к.-а. (0,1)-меры, не обладающей свойством счетной адди-

тивности. Итак, рассмотрим пример § 1.7 :

(E, L) = (N , Z).

(2.4.7)

Следовательно, в настоящем примере E = N , а L = Z Π[E] реализуется

в виде объединения семейства Z1 всех (конечных) промежутков k, l, k

−−→

N , l N , и семейства Z2 всех бесконечных промежутков n, ∞, n N . Итак, L = Z1 Z2 и в (2.4.7) имеем пример ИП с полуалгеброй множеств. Введем ФМ

η : L −→ {0; 1}

90

по следующему естественному правилу (см. [27, c. 137]):

( ) ( )

η(L) = 0 L Z1 & η(L) = 1 L Z2 .

Легко проверяется, что η T(L) и, вместе с тем, η / (σ − add)[L]; см. [27, c. 137], [28, c. 116]. Данная к.-а. мера обладает целым рядом весьма интересных свойств, но мы сейчас на них не останавливаемся.

Рассмотрим теперь простой пример недираковской с.-а. (0,1)-меры, полагая до конца настоящего параграфа, что

	E / ω[E];	(2.4.8)
см., например, [31, c. 33]. Полагаем сейчас (см. (1.7.30)), что
		C1 = ω[E],
C2 = CE[C1	] и C = C1 C2. Итак, мы рассматриваем несчетное [14]
множество E (в связи с построением таких множеств отметим в частности,
конструкцию	[19, c. 185]; см. также [27, c. 41–44]), а также семейство всех

его п/м, каждое из которых либо не более, чем счетно, само, либо имеет

не более, чем счетное, дополнение до E. Отметим, что {x} C1	x
E. Отметим также, что (см. (1.7.30)) с учетом положений, приведенных в
заключении § 1.4	(2.4.9)
C1 ∩ C2 = .

В самом деле, если C1 ∩ C2 ≠ , то можно выбрать C C1 ∩ C2. Стало быть, C ω[E] и C = E \C для некоторого C ω[E] (см. (1.7.30)), а тогда

E = C C ω[E]

(см. § 1.4) вопреки (2.4.8). Противоречие доказывает (2.4.9). Покажем, что

C (σ − alg)[E].

Имеем C1, E C2; стало быть, { ; E} C. Пусть A C и B C. Тогда возможен один из следующих двух случаев:

1) (A C1) (B C1); 2) (A C2) & (B C2).

Нас интересует множество A ∩ B. В случае 1) A ∩ B C1 (см. § 1.4). Если же имеем случай 2), т. е. A C2 и B C2, то A = E \ Ao и B = E \ Bo, где Ao C1 и Bo C1, а потому для Ao Bo C1 имеем

A∩ B = (E \ Ao) ∩ (E \ Bo) = E \ (Ao Bo),

т.е. A ∩ B C2. Итак, A ∩ B C во всех возможных случаях. Коль скоро выбор A и B был произвольным, имеем

C π[E].

(2.4.10)

91

Из определения C1 и C2 следует, что E \ L C L C. В сочетании с (2.4.10) получаем (см. (1.7.4)) свойство C (alg)[E].

Пусть (Hi)iN : N −→ C есть заданная последовательность. Нас инте-

ресует пересечение всех множеств Hi, i N . При этом
( j N : Hj C1) (Hj C2 j N ).	(2.4.11)

Если истинно первое положение в (2.4.11), то искомое пересечение содер-

жится в C1 (см. § 1.4). Итак,
∩
( j N : Hj C1)= (iN Hi C).	(2.4.12)

Пусть Hj C2 j N . Тогда E \ Hj C1 j N . Как следствие (см.
§ 1.4)	(E \ Hi) C1.
	iN

С другой стороны, по формулам двойственности имеем теперь

∩	∩
iN Hi = E \	(E \ (iN Hi))= E \	(iN (E \ Hi)) C2.

Тем самым установлена, в частности, следующая импликация

( ) (∩ )

Hj C2 j N = Hi C .

iN

С учетом (2.4.11), (2.4.12) получаем, что во всех возможных случаях пересечение всех множеств Hi, i N , есть элемент семейства C. Поскольку выбор (Hi)iN был произвольным, установлено, что

∩

Vi C (Vi)iN CN .

iN

В силу (1.7.5) получаем (с учетом ранее доказанного свойства C (alg)[E]), что

C (σ − alg)[E].

(2.4.13)

С учетом (2.4.13) полагаем теперь, что L = C до конца настоящего раздела; итак, L = C1 C2 (σ −alg)[E], а ИП (E, L) стандартно. Учитывая (2.4.9) определяем ФМ

µc : L −→ {0; 1}

(2.4.14)

92

по следующему простому правилу:

( ) ( )

µc(L) = 0 L C1 & µc(L) = 1 L C2 .

Покажем, что µc есть с.-а. мера. Пусть L L и (Li)iN ∆∞[L; L]. Тогда L есть объединение всех множеств Li, i N , и Li1 ∩ Li2 = при i1 N , i2 N , i1 ≠ i2. Ясно, что L C1 или L C2. При L C1 имеем, что Li C1 при всех i N . В итоге

m
∑i
µc(Li) = 0 = µc(L) m N .
=1
В частности, установлена импликация		(2.4.15)
(L C1) =	((i=1 µc(Li))mN −→ µc(L)).
	m
	∑

Пусть L C2. Отметим, что (см. (1.4.18)) истинна импликация

(Lj C1 j N )
	= (iN Li C1).

Следовательно, j N : Lj / C1. Здесь мы учитываем (2.4.9), а также связь L и (Li)iN . Пусть n N : Ln / C1. Тогда Ln C2 и µc(Ln) = 1. Выберем произвольно r N \ {n}. Тогда Lr C1. В самом деле, допустим противное: Lr / C1. Тогда, т. к. Lr L, то Lr C2. У нас в итоге E \Ln C1

и E \ Lr C1;

(E \ Ln) (E \ Lr) C1.

Как следствие, мы получаем по формулам двойственности:

E\ (Ln ∩ Lr) = (E \ Ln) (E \ Lr) C1,

атогда Ln ∩Lr C2. С учетом (2.4.9) и того, что C1, имеем: Ln ∩Lr ≠ . Это, однако, невозможно, поскольку n ≠ r. Противоречие показывает, что

Lr C1. Коль скоро выбор r был произвольным, установлено, что

Lj C1 j N \ {n}.

Тогда µc(Lj) = 0 при j N , j ≠ n. В итоге (см. § 1.3) имеем

m
∑i	c(Li) =		c(Ln) = 1		m		−−→	(2.4.16)
µ		µ					n, .
=1							∞

93

Вместе с тем в рассматриваемом случае µ(L) = 1. С учетом (2.4.16) имеем

истинность следующей импликации		)
	(∑
(L C2) = (	m	m N −→ µc(L)).
	i=1 µc(Li)		(2.4.17)

Из (2.4.15), (2.4.17) имеем окончательно, что

(∑m )

µc(Li) −→ µc(L).

m N

i=1

Поскольку выбор L и (Li)i N был произвольным, имеем из (2.3.3) свойство µc (σ − add)[L]. При этом µc(E) = 1, т. к. E = E \ C2. В итоге, с учетом (2.3.5) и определения µc, мы получаем свойство

µc Tσ(L),

(2.4.18)

причем µc({x}) = 0 x E. Последнее означает, что с.-а. (0,1)-мера (2.4.18) является недираковской (см. первый пример настоящего параграфа).

§2.5. Линейные пространства вещественнозначных мер

Внастоящем параграфе мы совсем кратко коснемся вопросов линейной структуры пространств, элементами которых являются к.-а. меры на L, где L удовлетворяет (2.2.1) (напомним, что E — фиксированное множество произвольной природы). Доказательства приводимых ниже положений являются практически очевидными и мы ограничиваемся краткими схемами рассуждений.

Предложение 2.5.1. Вещественнозначные к.-а. меры на L образуют линейное пространство:

(add)[L] (LIN)[RL].

Доказательство. Используем (1.6.2). В § 2.2 отмечалось, что

(add)[L] P′(RL). Если α R и µ (add)[L], то для αµ RL имеем при

L L, n N , (Li)i		∆n(L, L)	(2.5.1)
	1,n

следующую цепочку равенств

94

(αµ)(L) = α · µ(L) = α ·	n	n	n
	(i=1	µ(Li))= i=1	αµ(Li) = i=1(αµ)(Li).
	∑	∑	∑

Следовательно, αµ (add)[L]. Если при этом µ (add)[L] и ν (add)[L], то для произвольного набора (2.5.1)

n	∑n	∑
	n	n
(µ + ν)(L) = µ(L) + ν(L) = (i=1 µ(Li))+(i=1 ν(Li))=
i∑(	) ∑
= µ(Li) + ν(Li) = (µ + ν)(Li)
=1	i=1
(см. § 1.3). В итоге µ + ν (add)[L].		2

Предложение 2.5.2. Вещественнозначные к.-а. меры ограниченной вариации на L образуют линейное подпространство (add)[L] :

A(L) (LIN)[(add)[L] ].

Доказательство. Используем (1.6.1) при H = (add)[L]. С учетом (2.2.10) имеем включение OL A(L), что означает (см. (2.2.8)):

A(L) P′((add)[L]).

Пусть a R и λ A(L). Рассмотрим aλ (add)[L] (см. предложение 2.5.1). Если n N и (Li)i 1,n ∆n(E, L), то (см. (2.2.12) – (2.2.14))

n	n	|a| · |λ(Li)| = |a|	n
=1	|(aλ)(Li) | =		| λ(Li)| 6 |a|Vλ,
	=1	)	i=1
i∑	i∑(		∑

последнее означает (см. (2.2.8)), что aλ A(L). Поскольку выбор a и λ был произвольным, установлено, что

		αµ A(L) α R µ A(L).			(2.5.2)
Далее, если η A(L) и γ A(L), то, снова используя (2.2.12) — (2.2.14),
для η + γ	(add)[L] получаем (см. § 1.3), что			m	N (Li)i
						1,m
∆m(E, L)	∑		∑	∑
i∑
m |(η + γ)(Li)| 6 m		(|η(Li)| + |γ(Li)|) =	m |η(Li)| + m		|γ(Li)| 6 Vη + Vγ.
=1	i=1		i=1	i=1

С учетом (2.2.8) получаем теперь, что η + γ A(L). Коль скоро выбор η и γ был произвольным, установлено, что

µ + ν A(L) µ A(L) ν A(L).

(2.5.3)

Из (1.6.1), (2.5.2) и (2.5.3) получаем требуемое положение:

95

A(L) (LIN)[(add)[L]].

2

Следствие 2.5.1. A(L) (LIN)[RL].

Доказательство очевидно, т. к. P′((add)[L]) P′(RL); далее следует использовать (1.6.1) и (1.6.2).

Предложение 2.5.3. Вещественнозначные с.-а. меры образуют линейное подпространство (add)[L] :

(σ − add)[L] (LIN)[(add)[L]].

Доказательство. Поскольку OL (σ − add)[L] (см. § 2.3) имеем из предложения 2.3.1 свойство

(σ − add)[L] P′((add)[L]).

Далее следует использовать (1.6.1) при H = (add)[L]. Пусть a R и λ (σ − add)[L]; тогда aλ (add)[L] в силу предложения 2.5.1. Пусть L L и (Li)i N ∆∞[L; L]. Тогда (см.(2.3.3) )

		m
		∑
		(i=1 λ(Li))m N −→ λ(L).		(2.5.4)
С другой стороны, имеем с очевидностью
	i∑	∑
	m	m
		(aλ)(Li) = a λ(Li) m N .
	=1	i=1
Как следствие, мы получаем при каждом m N , что
∑			∑
m			m
(i=1(aλ)(Li))−(aλ)(L) = |a| · (i=1 λ(Li))−λ(L) .
С учетом (2.5.4)	получаем, что имеет		место сходимость

(∑m )

(aλ)(Li) −→ (aλ)(L).

i=1 m N

Поскольку выбор L и (Li)i N был произвольным, установлено, что aλ (σ − add)[L]; см. (2.3.3). Коль скоро a и λ выбирались произвольно, установлено тем самым, что

αµ (σ − add)[L] α R µ (σ − add)[L].

(2.5.5)

96

Пусть η (σ − add)[L] и γ (σ − add)[L], тогда (см. предложения 2.3.1 и 2.5.1) η + γ (add)[L]. Пусть Λ L и (Λi)i N ∆∞[Λ; L]. Тогда в силу (2.3.3) имеем:

((i=1	η(Λi))m N −→ η(Λ))&	((i=1 γ(Λi))m N −→ γ(Λ)). (2.5.6)
m		m
∑		∑

При этом,

( m		(η +
	∑

однако, имеем с очевидностью при m N оценку				)
	∑	( )	(
γ)(Λi))−(η + γ)(Λ) =	( m	(η(Λi) + γ Λi)	)− η(Λ) + γ(Λ)	6

i=1

i=1

		∑			∑
6		m			m
	(i=1		η(Λi))−η(Λ) + (i=1

γ(Λi) −γ(Λ) .

С учетом (2.5.6) получаем, что имеем место сходимость

(∑m )

(η + γ)(Λi) −→ (η + γ)(Λ).

i=1 m N

Поскольку Λ и (Λi)i N выбирались произвольно, установлено (см. (2.3.3)), что η + γ (σ − add)[L]. Итак,

µ + ν (σ − add)[L] µ (σ − add)[L] ν (σ − add)[L].

С учетом (1.6.1) и (2.5.5) получаем, что

(σ − add)[L] (LIN)[(add)[L]].

2

Следствие 2.5.2. (σ − add)[L] (LIN)[RL].

Доказательство очевидно (см. замечание после следствия 2.5.1).

Предложение 2.5.4. Неотрицательные в/з к.-а. меры на L образуют конус в A(L) : (add)+[L] (cone)[A(L)].

Доказательство. Используем (1.6.29) и (2.2.11). Если a ] 0, ∞[ и λ

(add)+[L],	то в силу предложения 2.5.1 aλ (add)+[L]. Итак,	αµ
(add)+[L]	α ] 0, ∞[ µ (add)+[L].	2

[ ]

Предложение 2.5.5. (σ − add)+[L] (cone) (add)+[L] .

97

Доказательство использует (1.6.29) при условии, что H = (add)+[L]. Если a ] 0, ∞[ и λ (σ − add)+[L], то в силу следствия 2.5.2 aλ

(σ − add)+[L]. Итак,

αµ (σ − add)+[L] α ] 0, ∞[ µ (σ − add)+[L].

Кроме того, следует учесть (2.3.14).

2

Предложение 2.5.6. Функционал µ 7−→Vµ : A(L) −→ [ 0, ∞[ есть по-

лунорма на A(L), т. е.

( )

Vαµ = |α|Vµ α R µ A(L) &

( )

& Vµ+ν 6 Vµ + Vν µ A(L) ν A(L) .

Доказательство легко следует из определений (см. (2.2.8), (2.2.12), (2.2.14)).

2

§2.6. Ограниченные вещественнозначные функции

Впредыдущих параграфах настоящей главы речь шла о конструкциях, которые можно рассматривать в качестве своеобразных инструментов интегрирования. Сейчас мы рассматриваем объекты интегрирования, т. е. функции (точки), которые могут использоваться в качестве подинтегральных. Полагаем далее, что E — непустое множество:

E ̸= .	(2.6.1)
Мы рассматриваем линейное пространство
B(E) (LIN)[RE]	(2.6.2)

(см. (1.6.3)). Если f B(E), то согласно (1.3.12) и (2.6.1) имеем (см. § 1.3),

что

{|f(x)| : x E} BR↓ ∩ BR↑ ,

а тогда корректно определяется величина

	(2.6.3)
f = sup({|f(x)| : x E}) [ 0, ∞[.

Всюду в этой и в следующей главах обозначаем через · функционал

f 7−→f : B(E) −→ [ 0, ∞[

(2.6.4)

98

((2.6.4) есть в/з функция на множестве B(E), значения которой определены в (2.6.3)). Более того, · есть, как легко видеть, норма в пространстве (2.6.2):

1)если f B(E) то (см. (1.5.10)) ( f = 0) (f = OE);

2)αf = |α| · f α R f B(E);

3)f + g 6 f + g f B(E) g B(E).

Доказательства положений 1) — 3) легко извлекаются из определений §§ 1.3 − 1.5 (см., в частности, неравенство треугольника для операции взятия модуля в § 1.3). Сейчас ограничимся проверкой 2), фиксируя α R и f B(E). Если α = 0, то αf = OE} = 0 и |α| · f = 0. Поэтому достаточно рассмотреть случай α ≠ 0, когда |α| ] 0, ∞[. Следовательно,

(см. § 1.3),

1

] 0, ∞[.

|

α

|

6 |α| · f

В силу (2.6.3) |(αf)(x)| = |α| · |f(x)|

x E. Снова исполь-

зуя определение (2.6.3) для функции αf B(E)

(см. (2.6.2)), получаем

неравенство αf 6 |α| · f . С другой стороны, имеем

f(x) =

|(αf)(x)|

6

1

αf

x

E.

|

|

α

α

|

·

| |

|

Как следствие, получаем с учетом (2.6.3) следующее неравенство

f 6

1

· αf ,

α

|

|

из которого вытекает, что |α| · f 6 αf , чем и завершается проверка равенства αf = |α| · f при α ≠ 0. Итак, 2) установлено во всех возможных случаях.

Отметим одно очевидное следствие свойства 2) и неравенства треуголь-

ника 3): если f B(E) и g B(E), то
		(2.6.5)
	f − g 6 f − g .

В самом деле, из 2), 3) вытекают неравенства

f = g + (f − g) 6 g + f − g ,

g = f + (g − f) 6 f + g − f = f + f − g .

99