elemen_teorija

Из этих неравенств следует (2.6.5). Итак, мы располагаем линейным нормированным пространством

(	)	(2.6.6)
B(E), ·	.

Отметим, кстати, что при f B(E) и g B(E) имеем f − g B(E), а тогда

{|f(x) − g(x)| : x E} = {|(f − g)(x)| : x E} BR↓ ∩ BR↑

и, как следствие (см. (2.6.3)), определено значение

sup({|f(x) − g(x)| : x E}) [ 0, ∞[,

для которого реализуется очевидное равенство

f − g = sup({|f(x) − g(x)| : x E}).

(2.6.7)

Значение (2.6.7) определяет расстояние между функциями f и g. Функционал

(f, g) 7→− f − g : B(E) × B(E) −→ [ 0, ∞[

является метрикой множества B(E) :
( pr1(z) − pr2(z) )z B(E)×B(E) (Dist)[B(E)].	(2.6.8)

В (2.6.8) имеем метрику B(E), порожденную нормой (далее нам потребуется сужение данной метрики и сужение порождающей ее нормы). С нормой (2.6.4) связано важное понятие равномерной сходимости, которое, однако, сначала имеет смысл определить несколько шире, выходя за пределы B(E).

Если (fi)i N : N −→ RE и f RE, то полагаем, что

def	( ε ] 0, ∞[ n N						: |fj(x) − f(x)| < ε
((fi)i N f)
	j	−−∞→		x		)	(2.6.9)
		n,				E .

Разумеется, (2.6.9) можно использовать в случае, когда fj B(E) при всяком j N (отметим, кстати, что более общий случай равномерной сходимости в RE рассматривается, в частности, в [33, гл. 2]; см. также [24]). Учитывая (2.6.7), получаем свойство: если

(fi)i N : N −→ B(E)

(2.6.10)

100

и f B(E), то истинно следующее	положение об эквивалентности:
((fi)iN f)	(( fi − f )iN −→ 0).	(2.6.11)

Предложение 2.6.1. Если (fi)iN — произвольная последовательность (2.6.10), то истинна следующая импликация

( ] 0	,	∞[	N : fj − fk < ε j	−−−∞→		k		−−−∞→)=
ε		m		m,				m,
			= ( f B(E) : (fi)iN f).					(2.6.12)

Доказательство. Пусть истинна посылка импликации (2.6.12). Иными словами, последовательность (2.6.10) предполагается фундаментальной в пространстве (2.6.6). Тогда (см. (2.6.7)), в частности, у нас

x E ε ] 0, ∞[ m N : |fj(x) − fk(x)| < ε

j	−−−→		k		−−−→;		(2.6.13)
	m,	∞			m,	∞

отметим, что в (2.6.13) мы учли (2.6.3). Итак, для всякого x E последо-

( )

вательность fi(x) iN фундаментальна в (R, |·|), где |·| есть отображение

ξ 7→− |ξ| : R −→ [ 0, ∞[;

тогда в согласии с (1.3.8)

(	)	(2.6.14)
	fi(x) iN (FUND)[R].

В силу (1.3.19) и (2.6.14) получаем, что

(	)
	fi(x) iN (LIM)[R] x E.
Поэтому (см. (1.3.10)) x E !ξ R :		fi(x) iN −→ ξ. Данное свойство
преобразуется к следующему виду. Именно, при
	(	)
Z = {z E × R | (fi pr1(z) )iN −→ pr2(z)},
	(	)

имеем x E !y R : (x, y) Z. Поэтому в согласии с (1.1.34) получаем,

что	(x, g(x)) Z x E.
!g RX :

101

()

Пусть f RX обладает свойством x, f(x) Z x E. Тогда по определению Z имеем, что

(	)	(2.6.15)
fi(x)	iN −→ f(x) x E.

Покажем, что f B(E). В самом деле, подберем, используя посылку импликации (2.6.12), число m N , для которого

j

f

k

<

1

j

−−−→

k

−−−→

.

f

−

m,

∞

m,

∞

Тогда, в частности, имеем свойство:

−−−→

f

j

f

m

<

1

j

;

(2.6.16)

−

∞

при этом fm B(E), а потому определено значение

(2.6.17)

a = fm [ 0, ∞[.

Из (2.6.7) и (2.6.16) вытекает с очевидностью, что

f

j(

x

)

m(

x

)

<

1

j

−−−→

x

E.

|

−

|

∞

Как следствие, мы получаем с учетом (2.6.17), что при всяком выборе x E

−−−→

и j m, ∞

()

|f(x)| = |fj(x) + f(x) − fj(x) | 6 |fj(x)| + |fj(x) − f(x)| =

= |fm(x) + (fj(x) − fm(x)| + |fj(x) − f(x)| 6

( )

6 |fm(x)| + |fj(x) − fm(x)| +|fj(x) − f(x)| < (a + 1) + |fj(x) − f(x)|.

Итак, установлено следующее свойство:

−−−→

(

)

<

(a + 1) +

f

j(

)

(

)

x

E j

.

|

f x

|

x

−

f x

|

m,

∞

|

Фиксируем x E, получая, в частности, систему неравенств

(

)

<

(a + 1) +

j(

)

f

(

x

)

j

−−−→

.

(2.6.18)

|

f x

|

f x

−

m,

∞

|

|

Кроме того, из (2.6.15) вытекает свойство сходимости:

(

)

(2.6.19)

fi(x )

iN −→ f(x ).

С учетом этого получаем из (2.6.18), что справедливо неравенство

|f(x )| 6 a + 1.

(2.6.20)

102

(если a + 1 < |f(x )|, то для κ = |f(x )| − (a + 1) ] 0, ∞[ имеем, что

−−−→

κ < |fj(x ) − f(x )| j m, ∞;

последнее противоречит (2.6.19)). Коль скоро выбор x был произвольным, имеем из (2.6.20) систему неравенств

|f(x)| 6 a + 1 x E.

Стало быть, f B(E). Как следствие,

()

fj − f = fj(x) − f(x) x E B(E) j N .

Сейчас мы усиливаем (2.6.15): покажем, что
(fi)iN f.	(2.6.21)

Будем использовать (2.6.11). Фиксируем εo ] 0, ∞[ и, используя истинность посылки (2.6.12), подберем такое число N N , что

j

−

k

εo

j

−−−→

−−−→

(2.6.22)

4

∞

∞

f

f

<

N,

k

N, .

Фиксируем

n

−−−→

получая в силу (2.6.22) систему неравенств

N,

∞

,

f

n

−

f

<

εo

j

−−−→

(2.6.23)

j

4

∞

N, .

f (x)

f (x) <

εo

j

−−−→

x

E.

x

Это означает, что | n

−

j

|

4

N,

∞

Пусть

E.

Тогда

εo

−−−→

|

f (x )

−

f (x ) <

j

(2.6.24)

4

n

j

|

∞

N, .

Кроме того, из (2.6.24) вытекает следующее свойство сходимости

( )

fi(x ) iN −→ f(x ).

−−−→

С учетом этого свойства подберем s N, ∞ так, что при этом

|fs(x ) − f(x )| < ε4o .

Из (2.6.24) имеем вместе с тем неравенство

|fn(x ) − fs(x )| < ε4o .

103

Как следствие, из двух последних неравенств имеем, что

|fn(x ) − f(x )| 6 |fn(x ) − fs(x )| + |fs(x ) − f(x )| < ε2o .

Итак, |fn(x ) − f(x )| < ε2o . Коль скоро выбор x был произвольным, уста-

	новлено, что	εo
	|fn(x) − f(x)| <		x E.
		2

С учетом (2.6.7) получаем, что fn − f 6 ε2o и, тем более, fn − f < εo. Поскольку выбор n был произвольным, установлено, что

f		f		< ε	j	−−−→		.
	j −				o	N,	∞

Поскольку и выбор числа εo был произвольным, установлено свойство сходимости

( fj − f )jN −→ 0,

что означает в силу (2.6.11) справедливость (2.6.21). Импликация (2.6.12) установлена. 2 Поскольку выбор (fi)iN в предложении 2.6.1 был произвольным, установлено, что (2.6.6) есть банахово (т. е. полное линейное нормированное) пространство; см. в этой связи (2.6.11). Разумеется, (2.6.8) — полная мет-

рика множества B(E).

Отметим, что произведение двух функций из B(E) само является функцией из B(E). В этой связи отметим, что для всяких f B(E), g B(E) и x E

|(fg)(x)| = |f(x)| · |g(x)| 6 f · |g(x)| 6 f · g .

(2.6.25)

Как следствие, получаем очевидное свойство (упомянутое ранее)

fg B(E) f B(E) g B(e).

(2.6.26)

Следовательно, при u B(E) и v B(E) определено значение uv [ 0, ∞[. Из (2.6.25) вытекает, что

fg 6 f · g f B(E) g B(E).

(2.6.27)

Из предложения 2.6.1, (2.6.25) и (2.6.27) имеем, что (2.6.6) является (вещественной) банаховой алгеброй.

В дальнейшем будем рассматривать подпространства B(E), т. е. элементы множества (LIN)[B(E)]. Для нас особенно существенны ступенчатые и ярусные функции, которые как раз и составляют нужные в дальнейшем подпространства B(E). Их рассмотрению посвящен следующий параграф.

104

§ 2.7. Ступенчатые и ярусные функции

Мы следуем ниже соглашениям (2.2.1) и (2.6.1); рассматриваем пару (E, L) как ИП. Условимся в дальнейшем, что (см. (1.5.12))

χA = χA[E] A P(E).
При этих условиях введем множество
Bo(E, L) = {f RE | n N (αi)i		Rn (Li)i
	1,n		1,n
n		}.
∑
f = i=1 αiχLi

(2.7.1)

∆n(E, L) :

(2.7.2)

Итак, в (2.7.2) мы используем «упрощенное» обозначение (2.7.1) с целью облегчения последующих выкладок. Из (2.7.2) следует, что Bo(E, L) есть

такое единственное п/м RE, что

(

f Bo(E, L) n N (αi)i 1,n Rn (Li)i 1,n ∆n(E, L) :

∑

∑

n

m

f = i=1 αiχLi)

& (j=1 βjχ j Bo(E, L) m N (βj)j

1,m

Rm

(Λj)j

∆m(E, L)).

(2.7.3)

1,m

Предложение 2.7.1. Если n

N

, (α )

R

n, (L )

∆

(E,

L

) и

n

i i 1,n

i i 1,n

n

f =

αiχLi, то

=1

i∑

f(x) = αj

j

Lj.

1, n x

Доказательство очевидно (см. определение § 1.5). Заметим, что в общем случае (2.2.1) возможна ситуация, когда χL / Bo(E, L) для каких-то множеств L L.

Отметим, что OE Bo(E, L); при этом в силу предложения 2.7.1 имеем свойство Bo(E, L) B(E). Стало быть,

( )

Bo(E, L) P′ B(E) . (2.7.4)

На самом деле (2.7.4) можно усилить: справедливо следующее

105

Предложение 2.7.2. Bo(E, L) (LIN)[B(E)].

Доказательство. Из (2.7.2), (2.7.3) непосредственно следует, что

αh Bo(E, L) α R h Bo(E, L).

(2.7.5)

Отметим, кроме того, одно общее свойство, вытекающее из определений

§ 1.5 : если A P(E), k N и (Ai)i 1,k ∆k(A, L), то

k
∑i	(2.7.6)
χA = χAi.
=1

Фиксируем f Bo(E, L) и g Bo(E, L), после чего, используя (2.7.2), подберем

m N , (αi)i 1,m Rm, (Li)i 1,m ∆m(E, L), n N ,

(βj)j

Rn, (Λj)j

∆n(E, L)

(2.7.7)

1,n

1,n

так, что при этом реализуются равенства

m

n

(2.7.8)

(f = i=1

αiχLi)& (g = j=1 βjχ j ).

∑

∑

Из (2.7.7) вытекает, что справедливы свойства:

((Li ∩ Λj)j

∆n(Li, L) i

)&

1, m

1,n

& ((Li ∩ Λj)i

∆m(Λj, L) j

).

(2.7.9)

1, n

1,m

Из (2.7.6), (2.7.9) следует, в свою очередь, следующие две системы равенств

n				m
∑				∑
(χLi = j=1 χLi∩ j	i	1, m	)	& (χ j = i=1 χLi∩ j j	1, n	).

С учетом этих равенств мы получаем: f + g RE есть такая функция, что (см. (2.7.8))

∑m ∑n

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = (αi + βj)χLi∩ j (x) x E. (2.7.10)

i=1 j=1

106

При этом 1, m×1, n есть непустое конечное множество, а тогда (см. (1.4.2), (1.4.3), (1.4.12))

(f + g)(x) =					(αpr1(z) + βpr2(z))χLpr1(z)∩ pr2(z) (x) x E. (2.7.11)
z	1,m		×	1,n
		∑

Пусть r = |1, m × 1, n|; тогда r N и при этом (см. § 1.4) (bi)[1, r; 1, m ×

1, n

] ̸= . Выберем и зафиксируем l

(bi)[1

, r

;

1, m

×

1, n

],

после чего

полагаем при всяком k

1, r, что

= Lpr1

∩ Λpr2

).

(ck = αpr1 l(k)

+ βpr2

l(k)

)& (Γk

l(k)

l(k)

(2.7.12)

(

)

(

)

(

)

(

)

Из (2.7.11) и (2.7.12) легко следует равенство функций:

r

f + g =

ckχ k ,

(2.7.13)

k=1

∑

где (ck)k

Rr

и (Γk)k

∆r(E, L). Из (2.7.3) и (2.7.13) получаем, что

1,r

1,r

f + g Bo(E, L). Поскольку выбор f и g был произвольным, то

u + v Bo(E, L) u Bo(E, L) v Bo(E, L).

С учетом (1.6.1), (2.7.4) и (2.7.5) получаем требуемое утверждение.

2

Предложение 2.7.3. Если L Π[E], то χL Bo(E, L)

L L.

Доказательство. Пусть L Π[E] и L L. Тогда с учетом (1.7.2) подберем n N так, что

∆n(E \ L, L) ≠ .

С учетом этого выберем произвольно разбиение

(Li)i		∆n(E \ L, L).	(2.7.14)
	1,n

Используя (2.7.14), введем число N = n+1 N (при этом 1, N = 1, n{N} и N ̸1, n) и кортеж (Mi)i 1,N LN по следующему правилу

(Mi = Li	i 1, n) & (MN = L).

Легко видеть, что (Mi)i 1,N ∆N (E, L). Кроме того, полагаем, что

(αi)i 1,N RN

107

есть кортеж, для которого
	(αi = 0 i 1, n) & (αN					= 1). Тогда в силу
(2.7.3)
	N
φ = ∑αiχMi Bo(E, L),
	i=1
причем φ = χL по выбору (αi)i			. Итак, χL Bo(E, L).				2
		1,N

Следствие 2.7.1. Если L Π[E], то множество {χL : L L} P′(RE)

таково, что

Bo(E, L) = (sp)[{χL : L L}].

Доказательство. Пусть L Π[E], т. е. L есть полуалгебра п/м E. Тогда в силу (1.6.4) и предложений 2.7.2, 2.7.3 имеем (см. § 1.6)

Bo(E, L) (LIN)[RE | {χL : L L}].
С учетом (1.6.5) получаем с очевидностью вложение
(sp)[{χL : L L}] Bo(E, L).	(2.7.15)
Из (1.6.8), (2.7.2) и (2.7.3) следует, однако, что
Bo(E, L) (sp)[{χL : L L}].
С учетом (2.7.15) получаем требуемое утверждение.	2
Замечание 2.7.1 Легко видеть, что отображение
A −7→ χA : P(E) −→ RE
является (см. § 1.5) взаимно однозначным, т. е. A P(E)	B P(E)
(χA = χB) = (A = B).	(2.7.16)

В силу (2.7.16) можно не различать п/м E и их индикаторы. К последним относятся все (0,1)-значные функции на E (имея такую функцию f из E в

−1

{0; 1}, можно ввести F = f ({1}), а тогда f = χF ). В частности, можно не различать множества L L и их индикаторы χL; см. (2.7.16). Поэтому в силу следствия 2.7.1 мы, при L Π[E], в виде Bo(E, L) имеем по сути дела «линейную оболочку» самой полуалгебры L, т. е. некоторое «замыкание»

L по линейности.

2

Возвращаемся к рассмотрению общего случая L (2.2.1); кроме того, у нас E ≠ . В упомянутом общем случае справедливо

108

Предложение 2.7.4. Если f Bo(E, L) и g Bo(E, L), то fg Bo(E, L).

Доказательство. Приводимое ниже рассуждение подобно обоснованию предложения 2.7.2; поэтому ограничиваемся рассмотрением схемы рассуждения. Полагаем, кроме того, набор (2.7.7) таким, что справедливо (2.7.8). Кроме того, имеем два набора разбиений, указанных в (2.7.9). С учетом (2.7.8) и замечания 2.7.1 имеем для fg RE следующее представление значений:

m	n
∑i	∑	(2.7.17)
(fg)(x) =	αiβjχLi∩ j (x) x E.

=1 j=1

Учитывая, что 1, m × 1, n — непустое конечное множество, получаем из (1.4.12) и (2.7.17) систему равенств:

∑

(fg)(x) =					αpr1(z)βpr2(z)χLpr1(z)∩ pr2(z) (x) x E.	(2.7.18)
	z	1,m	×	1,n

Полагаем, что r = |1, m × 1, n|; тогда (см. § 1.4) (bi)[1, r; 1, m × 1, n] ≠ .

Выберем произвольно биекцию l (bi)[1, r; 1, m × 1, n]. В этих терминах полагаем, что при всяком k 1, r

(ck = αpr1

l(k)

βpr2

l(k)

)& (Γk =

Lpr1 l(k)

)

∩ Λpr2

l(k)

).

(

)

(

)

(

(

)

Тогда с учетом (2.7.18) мы получаем, что

r

∑k

(2.7.19)

fg = ckχ k ,

=1

где (ck)k

Rr и (Γk)k

∆r(E, L). Из (2.7.3) и (2.7.19) вытекает, что

1,r

1,r

fg Bo(E, L), что и требовалось доказать.

2

Из предложений 2.7.2 и

2.7.4 следует, что

Bo(E, L) (LIN)[B(E)] : fg Bo(E, L)

f Bo(E, L)

g Bo(E, L).

Отметим, наконец, что

(2.7.20)

+

Bo (E, L) = {f Bo(E, L) | 0 6 f(x) x E} =

= {f Bo(E, L) | OE 5 f} (cone)[Bo(E, L)].

(2.7.21)

109