Матан, Лекции - Теляковский 1

pRIMENIW TEOREMU 6.2.4 K OTREZKAM [xk;1 xk], k = 1 : : : n, WI- DIM, ^TO FUNKCIQ f(x) POSTOQNNA NA KAVDOM TAKOM OTREZKE. tAK KAK WSE TO^KI xk k = 1 : : : n ;1, PRINADLEVAT INTERWALU (a b) I QWLQ- @TSQ KONCEWYMI TO^KAMI DWUH OTREZKOW POSTOQNSTWA NEPRERYWNOJ FUNKCII f(x), TO f POSTOQNNA NA WSEM OTREZKE [a b].

s POMO]X@ SHODNYH RASSUVDENIJ USTANAWLIWAETSQ SLEDU@]EE UTWERVDENIE.

tEOREMA 6.2.6. pUSTX FUNKCIQ f(x) NEPRERYWNA NA OTREZKE [a b] I W KAVDOJ TO^KE \TOGO OTREZKA, ZA ISKL@^ENIEM NE BOLEE ^EM KONE^NOGO MNOVESTWA TO^EK, IMEET PROIZWODNU@, UDOWLETWORQ@- ]U@ USLOWI@

	jf0(x)j 6 M:		(6.2.6)
tOGDA DLQ L@BYH TO^EK x x , PRINADLEVA]IH OTREZKU [a b],
SPRAWEDLIWA OCENKA
jf(x ) ; f(x )j 6 Mjx ; x j:			(6.2.7)
dOKAZATELXSTWO. pUSTX	a = x0 < x1 <	< xn = b |	TE TO^KI IZ

[a b], W KOTORYH SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ NE PREDPOLAGAETSQ. dLQ L@BYH TO^EK x x , PRINADLEVA]IH OTREZKU [xk;1 xk],

k = 1 : : : n, POLXZUQSX FORMULOJ KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRAN- VA, NAHODIM, ^TO PRI NEKOTOROM 2 (x x )

jf(x ) ; f(x )j = jf0( )jjx ; x j 6 M jx ; x j:

pUSTX TEPERX x 2 [xi;1 xi] I x 2 [xj;1 xj], GDE i < j. tOGDA

	jf(x )			; f(x )j 6 jf(x ) ; f(xi)j +
	j;1
+	X		jf(xk;1) ; f(xk)j + jf(xj;1) ; f(x )j
	k=i+1
PO\TOMU
	j;1	jf(x ) ; f(x )j 6 Mjx ; xij +
+M	X	jxk;1		; xkj + Mjxj;1 ; x j = Mjx ; x j:
k=i+1

tEOREMA DOKAZANA.

111

fUNKCII, UDOWLETWORQ@]IE USLOWI@ WIDA (6.2.7), ^ASTO WSTRE- ^A@TSQ W RAZNYH WOPROSAH, ^TO DAET POWOD DLQ WWEDENIQ SLEDU@]EGO PONQTIQ.

oPREDELENIE. fUNKCIQ f(x) UDOWLETWORQET NA PROMEVUTKE USLOWI@ lIP[ICA PORQDKA > 0, ESLI SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO M, ^TO DLQ L@BOJ PARY TO^EK x x IZ \TOGO PROMEVUTKA, SPRAWEDLIWA OCENKA

jf(x ) ; f(x )j 6 Mjx ; x j :

(6.2.8)

w TERMINAH MODULQ NEPRERYWNOSTI USLOWIE lIP[ICA ZAPISYWA-

ETSQ TAK:

!(f ) 6 M :

pOKAVEM, ^TO FUNKCII, UDOWLETWORQ@]IE USLOWI@ lIP[ICA PO- RQDKA > 1, QWLQ@TSQ KONSTANTAMI.

w SAMOM DELE, IZ (6.2.8) SLEDUET, ^TO

f(x )

; f(x )

6

Mjx ; x j

= M

x

x

;1

(6.2.9)

x

; x

jx ; x j

j

;

j

A TAK KAK

;

1 > 0,

TO IZ (6.2.9) PRI x

!

x POLU^AEM f0(x ) = 0,

^TO W SILU TEOREMY

6.2.4 DOKAZYWAET NA[E UTWERVDENIE.

pO\TOMU USLOWIE lIP[ICA RASSMATRIWA@T TOLXKO PRI 0 < 6

1.

pOKAVEM, ^TO DLQ DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ WOPROS OB IH MO- NOTONNOSTI NA PROMEVUTKE RE[AETSQ W TERMINAH ZNAKA PROIZWOD- NOJ.

tEOREMA 6.2.7. pUSTX FUNKCIQ f(x) NEPRERYWNA NA OTREZKE [a b]

IDIFFERENCIRUEMA NA INTERWALE (a b). tOGDA

1). USLOWIE f0(x) > 0 NA (a b) NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, DLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ f WOZRASTALA NA [a b]

2). USLOWIE f0(x) > 0 NA (a b) DOSTATO^NO DLQ STROGOGO WOZRASTANIQ f NA [a b].

dOKAZATELXSTWO. 1). eSLI FUNKCIQ y = f(x) WOZRASTAET NA [a b], TO DAWAQ W PROIZWOLXNOJ TO^KE x 2 (a b) PRIRA]ENIE x, WIDIM, ^TO IZ x > 0 SLEDUET y > 0, A IZ x < 0 SLEDUET y 6 0. pO\TOMU WSEGDA

xy > 0:

112

zNA^IT, PREDEL

lim y

x!0 x

KOTORYJ PO USLOWI@ SU]ESTWUET, NE MOVET BYTX OTRICATELXNYM. nAOBOROT, ESLI f0(x) > 0 NA INTERWALE (a b), TO DLQ L@BOJ PARY TO^EK x1 I x2, PRINADLEVA]IH OTREZKU [a b], IZ x1 < x2 S POMO]X@

FORMULY KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA POLU^AEM f(x2) ; f(x1) = f0( )(x2 ; x1) > 0

T.E. f(x2) > f(x1).

2). eSLI f0(x) > 0 NA (a b), TO DLQ PROIWOLXNYH TO^EK x1 I x2 IZ [a b] TAKIH, ^TO x1 < x2, IMEEM

f(x2) ; f(x1) = f0( )(x2 ; x1) > 0

OTKUDA f(x2) > f(x1). tEOREMA DOKAZANA.

zAMETIM, ^TO USLOWIE f0(x) > 0, BUDU^I DOSTATO^NYM DLQ STRO- GOGO WOZRASTANIQ FUNKCII f, NE QWLQETSQ NEOBHODIMYM. |TO WID- NO NA PRIMERE FUNKCII f(x) = x3, KOTORAQ STROGO WOZRASTAET, NO f0(0) = 0.

iZ TEOREMY 6.2.7 WYTEKA@T SLEDU@]IE UTWERVDENIQ O FUNKCI- QH, MONOTONNYH NA INTERWALE, KOTORYJ MOVET BYTX KONE^NYM ILI BESKONE^NYM.

s L E D S T W I E 6.2.8.pUSTX FUNKCIQ f(x) DIFFERENCIRUEMA NA INTERWALE (a b). tOGDA

1). USLOWIE f0(x) > 0 NA (a b) NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, DLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ f WOZRASTALA NA (a b)

2). USLOWIE f0(x) > 0 NA (a b) DOSTATO^NO DLQ STROGOGO WOZRASTANIQ f NA (a b).

dOKAZATELXSTWO. dLQ L@BOJ PARY TO^EK x1, x2 TAKIH, ^TO a < x1 < x2 < b, SLED FUNKCII f NA OTREZKE [x1 x2] UDOWLETWORQET USLOWIQM

TEOREMY 6.2.7. zNA^IT, IZ NERAWENSTWA f0(x) > 0 NA [x1 x2] SLEDUET, ^TO f(x1) 6 f(x2), A IZ f0(x) > 0 NA [x1 x2] SLEDUET f(x1) < f(x2).

kAVDU@ TO^KU x 2 (a b) MOVNO POMESTITX W OTREZOK [x1 x2] (a b), DLQ KOTOROGO TO^KA x QWLQETSQ WNUTRENNEJ, I, SOSLAW[ISX NA TEOREMU 6.2.7, IZ WOZRASTANIQ f NA [x1 x2] WYWESTI, ^TO f0(x) > 0.

pONQTNO, ^TO UTWERVDENIQ, ANALOGI^NYE TEOREME 6.2.7 I SLEDST- WI@ 6.2.8, IME@T MESTO I DLQ UBYWA@]IH FUNKCIJ.

tEOREMA 6.2.9. pUSTX FUNKCIQ f(x) NEPRERYWNA NA OTREZKE [a b]

I DIFFERENCIRUEMA NA INTERWALE (a b). eSLI f0	6
	(x) = 0 DLQ WSEH
x 2 (a b), TO f STROGO MONOTONNA NA [a b].

113

dOKAZATELXSTWO. w SILU TEOREMY dARBU 6.1.3 O PROMEVUTO^NYH ZNA^ENIQH, ESLI BY PROIZWODNAQ f0(x) PRINIMALA W NEKOTORYH TO^- KAH INTERWALA (a b) ZNA^ENIQ RAZNYH ZNAKOW, TO ONA OBRA]ALASX BY W NULX W NEKOTOROJ TO^KE IZ (a b), ^TO PO USLOWI@ NEWOZMOVNO.

zNA^IT, WS@DU NA (a b) LIBO f0(x) > 0, LIBO f0(x) < 0. a TOGDA SOGLASNO TEOREME 6.2.7 FUNKCIQ f(x) NA OTREZKE [a b] ILI STROGO WOZRASTAET, ILI STROGO UBYWAET.

tEOREMA DOKAZANA.

tEOREMA 6.2.10. pUSTX FUNKCIQ f(x) NEPRERYWNA NA OTREZKE [x0 x0 + ], > 0, I DIFFERENCIRUEMA NA INTERWALE (x0 x0 + ). eSLI SU]ESTWUET KONE^NYJ ILI BESKONE^NYJ PREDEL f0(x0 + 0), TO FUNKCIQ f IMEET W TO^KE x0 PRAWU@ PROIZWODNU@, SOOTWETSTWENNO KONE^NU@ ILI BESKONE^NU@, I

f+0 (x0) = f0(x0 + 0):

dOKAZATELXSTWO. sOGLASNO FORMULE KONE^NYH PRIRA]ENIJ lA- GRANVA DLQ DOSTATO^NO MALYH POLOVITELXNYH h IMEEM

f(x0 + h)	; f(x0)		= f0(x0 + h) 0 < < 1:	(6.2.10)
h
pO USLOWI@ PRI h		!	+0 W PRAWOJ ^ASTI RAWENSTWA (6.2.10) PO-
0
LU^AEM PREDEL f	(x0 + 0). zNA^IT, SU]ESTWUET RAWNYJ EMU PREDEL

WYRAVENIQ IZ LEWOJ ^ASTI (6.2.10). tEOREMA DOKAZANA.

tO^NO TAKVE, ESLI f NEPRERYWNA W TO^KE x0 SLEWA I SU]ESTWUET KONE^NYJ ILI BESKONE^NYJ PREDEL f0(x0 ; 0), TO SU]ESTWET RAWNAQ \TOMU PREDELU LEWAQ PROIZWODNAQ FUNKCII f W TO^KE x0.

iZ TEOREMY 6.2.10 SLEDUET, ^TO ESLI PROIZWODNAQ FUNKCII SU- ]ESTWUET W KAVDOJ TO^KE NEKOTOROGO INTERWALA, TO \TA PROIZWODNAQ NE MOVET IMETX TO^EK RAZRYWA PERWOGO RODA.

kROME TOGO, ESLI FUNKCIQ f(x) NEPRERYWNA W TO^KE x0, DIFFE- RENCIRUEMA W PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 I SU]ESTWUET PRE-

DEL lim f0(x), TO f DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x0 I

x!x0

f0(x0) = lim f0(x):

x!x0

x 6.3. rASKRYTIE NEOPREDELENNOSTEJ

mY UVE WSTRE^ALISX S ZADA^EJ O PREDELAH WIDA

lim f(x)		(6.3.1)
x!a g(x)

114

KOGDA lim g(x) = 0. w \TOM SLU^AE NELXZQ PEREHODITX K PREDELU

x!a

OTDELXNO W ^ISLITELE I W ZNAMENATELE. tAK BYLO, NAPRIMER, KOGDA ISKALI PREDEL

lim sin x:

x!0 x

eSLI lim f(x) =6 0, TO PREDEL DROBI (6.3.1) BESKONE^EN. pO\TOMU

x!a

INTERESEN SLU^AJ, KOGDA lim f(x) = 0.

x!a

gOWORQT, ^TO PREDEL (6.3.1) QWLQETSQ NEOPREDELENNOSTX@ WIDA 0=0, ESLI PREDELY ^ISLITELQ I ZNAMENATELQ \TOJ DROBI RAWNY NU- L@, A NAHOVDENIE PREDELOW PODOBNOGO TIPA NAZYWA@T RASKRYTIEM NEOPREDELENNOSTEJ.

	tEOREMA 6.3.1. pUSTX DLQ FUNKCIJ f(x) I g(x) SPRAWEDLIWY RA-
	WENSTWA f(a) = g(a) = 0 I SU]ESTWU@T PROIZWODNYE f0(a) I g0(a),
	PRI^EM g0(a) = 0. tOGDA PREDEL (6.3.1) SU]ESTWUET I
	6
	lim	f(x)	=	f0	(a)	:	(6.3.2)
				g0(a)
	x!a g(x)						6
	dOKAZATELXSTWO. zAMETIM, ^TO W SILU USLOWIQ g0
							(a) = 0 FUNKCIQ

g(x) STROGO MONOTONNA W TO^KE a I, TAK KAK g(a) = 0, TO W NEKOTO- ROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI a FUNKCIQ g(x) NE OBRA]AETSQ W NULX. zNA^IT, W \TOJ OKRESTNOSTI DROBX f(x)=g(x) IMEET SMYSL.

dLQ x = a
6
f(x)	=	f(x) ; f(a)	=	f(x) ; f(a)	:	g(x) ; g(a)	:	(6.3.3)
g(x)		g(x) ; g(a)		x ; a		x ; a

w POSLEDNEM WYRAVENII OBE DROBI IME@T PREDELY PRI x ! a, PRI- ^EM PREDEL DELITELQ, RAWNYJ g0(a), OTLI^EN OT NULQ. pO\TOMU, PERE- HODQ K PREDELU PRI x ! a W DROBI IZ PRAWOJ ^ASTI (6.3.3) OTDELXNO W ^ISLITELE I W ZNAMENATELE, POLU^AEM RAWENSTWO (6.3.2).

tEOREMA DOKAZANA.

zDESX MOVNO BYLO IMETX W WIDU ODNOSTORONNIE PROIZWODNYE FUNKCIJ f I g I SOOTWETSTWU@]IJ ODNOSTORONNIJ PREDEL W (6.3.2).

tEOREMA 6.3.2 (pRAWILO lOPITALQ DLQ NEOPREDELENNOSTI

0=0). pUSTX FUNKCII f(x) I g(x) IME@T PROIZWODNYE W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI a, PRI^EM g0(x) NE OBRA]AETSQ

W \TOJ OKRESTNOSTI W NULX, lim f(x) = 0 I lim g(x) = 0. eSLI

x!a x!a

SU]ESTWUET KONE^NYJ ILI BESKONE^NYJ PREDEL

f0(x)

lim 0 (6.3.4)

x!a g (x)

115

f(x) = g(x)

TO SU]ESTWUET PREDEL

lim f(x)	(6.3.5)
x!a g(x)

I ZNA^ENIQ \TIH PREDELOW RAWNY, T.E. SPRAWEDLIWO RAWENSTWO

lim	f(x)	= lim	f0	(x)	:
x!a g(x)		x!a g0(x)

dOKAZATELXSTWO. w ROLI \TO^KI a" ZDESX MOGUT WYSTUPATX KAK ^ISLA, TAK I BESKONE^NYE SIMWOLY +1 I ;1. bUDEM SNA^ALA S^I- TATX a KONE^NYM.

dOOPREDELIM (ILI PEREOPREDELIM) FUNKCII f I g W TO^KE a, PO- LOVIW f(a) = g(a) = 0. tOGDA \TI FUNKCII BUDUT NEPRERYWNYMI W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI a.

iMEEM

f(x) ; f(a) : g(x) ; g(a)

dLQ DROBI W PRAWOJ ^ASTI \TOGO RAWENSTWA WYPOLNQ@TSQ USLOWIQ TEOREMY kO[I O SREDNEM. zNA^IT, PRI NEKOTOROM 2 (0 1)

f(x)	=	f0(a + (x ; a))	:	(6.3.6)
g(x)		g0(a + (x ; a))

tAK KAK W SILU USLOWIJ TEOREMY PREDEL DROBI, STOQ]EJ W (6.3.6) SPRAWA, SU]ESTWUET, TO IZ (6.3.6) SLEDUET UTWERVDENIE TEOREMY DLQ KONE^NYH a.

zAMETIM, ^TO W \TOM SLU^AE MOVNO IMETX W WIDU ODNOSTORONNIE PROIZWODNYE I ODNOSTORONNIE PREDELY.

rASSMOTRIM TEPERX SLU^AJ, KOGDA a | BESKONE^NYJ SIMWOL. pUSTX, NAPRIMER, a = +1. sDELAEM ZAMENU x = 1=t I WWEDEM FUNK-

CII '(t) := f(1=t) I (t) := g(1=t).

dLQ DOSTATO^NO MALYH POLOVITELXNYH t FUNKCII '(t) I (t) DIFFERENCIRUEMY, PRI^EM

dALEE, '(t) ! 0

'00(t) = f0(1 (t)

0(t) = g0(1=t)		1			= 0:
		; t2
				6
(t) ! 0	PRI t ! +0 I				= f0	(1=t).g0	(1=t):
=t) ; t2	.g0(1=t) ; t2
1				1

116

pO\TOMU SU]ESTWUET PREDEL

lim	'0(t)	=	lim	f0	(x)	:
	0(t)
t!+0			x!+1 g0(x)

zNA^IT, PO UVE DOKAZANNOMU IMEEM

lim	'(t)	=	lim	'0(t)
t!+0	(t)		t!+0	0(t)

I OSTALOSX TOLXKO ZAMETITX, ^TO

lim	'(t)	=	lim f(x)	:
t!+0	(t)		x!+1 g(x)

tEOREMA DOKAZANA.

pOKAVEM, ^TO SU]ESTWOWANIE PREDELA (6.3.4), BUDU^I DOSTATO^- NYM DLQ SU]ESTWOWANIQ PREDELA (6.3.5), NE QWLQETSQ NEOBHODIMYM. dEJSTWITELXNO, PUSTX f(x) = x2 sin 1=x I g(x) = x. tOGDA

		lim	f(x)	= lim x sin		1	= 0:
		x!0	g(x)	x!0		x
nO PRI x ! 0 PREDEL DROBI
	f0(x)	1		1	1		1	1
		= 2x sin x + x2 cos x ;				= 2x sin x ; cos x
	g0(x)				x2
NE SU]ESTWUET.

tEOREMA 6.3.3 (pRAWILO lOPITALQ DLQ NEOPREDELENNOSTI

1=1). pUSTX FUNKCII f(x) I g(x) IME@T PROIZWODNYE W NEKOTOROJ ODNOSTORONNEJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI a, PRI^EM

g0(x) NE OBRA]AETSQ W \TOJ OKRESTNOSTI W NULX, lim f(x) = 1 I

x!a

lim g(x) = 1. eSLI SU]ESTWUET KONE^NYJ ILI RAWNYJ BESKONE^-

x!a

NOSTI OPREDELENNOGO ZNAKA PREDEL

f0(x)

lim 0 (6.3.7)

x!a g (x)

TO SU]ESTWUET PREDEL

lim f(x)

x!a g(x)

117

f0( ) = g0( ) :

I ZNA^ENIQ \TIH PREDELOW RAWNY, T.E. SPRAWEDLIWO RAWENSTWO

lim	f(x)	= lim	f0	(x)	:
x!a g(x)		x!a g0(x)

dOKAZATELXSTWO. w \TOJ TEOREME a MOVET BYTX KAK KONE^NYM, TAK I BESKONE^NYM SIMWOLOM +1 ILI ;1. pREDELY PONIMA@TSQ KAK SOOTWETSTWU@]IE ODNOSTORONNIE PREDELY.

dLQ OPREDELENNOSTI PROWEDEM RASSUVDENIQ W SLU^AE, KOGDA a | ^ISLO I x ! a+0. iZMENENIQ, KOTORYE NUVNO PROIZWESTI, ESLI a | BESKONE^NYJ SIMWOL, O^EWIDNY.

bUDEM S^ITATX, ^TO MY NAHODIMSQ W STOLX MALOJ PROKOLOTOJ PRAWOJ OKRESTNOSTI TO^KI a, W KOTOROJ g I g0 NE OBRA]A@TSQ W NULX I PROIZWODNAQ f0 SU]ESTWUET. w \TOJ OKRESTNOSTI FUNKCIQ g STROGO MONOTONNA.

wWEDEM OBOZNA^ENIE

f0(x)

lim g0(x) = K

x!a+0

I RASSMOTRIM SNA^ALA SLU^AJ, KOGDA PREDEL K KONE^EN.

bEREM PROIZWOLXNOE " > 0 I NAHODIM ^ISLO x0 > a TAKOE, ^TO

	DLQ WSEH x 2 (a x0) WYPOLNQETSQ OCENKA
	2		f0(x)			"
			g0(x)	; K		< 2	:	(6.3.8)

dLQ KAVDOGO x (a x0) PO TEOREME kO[I O SREDNEM SU]ESTWUET TO^KA 2 (x x0) TAKAQ, ^TO

f(x) ; f(x0) g(x) ; g(x0)

tAK KAK W TO^KE SPRAWEDLIWA OCENKA (6.3.8), TO
	f(x) ; f(x0)		K		< "	:	(6.3.9)
	g(x) ; g(x0) ;				2
w SILU STROGOJ MONOTONNOSTI FUNKCII g IMEEM
	0 < g(x0)	< 1
	g(x)
OTKUDA
	0 < g(x) ; g(x0)			< 1:			(6.3.10)
	g(x)

118

uMNOVIM OBE ^ASTI NERAWENSTWA (6.3.9) NA DROBX

g(x) ; g(x0) :

g(x)

tOGDA, POLXZUQSX OCENKAMI (6.3.10), POLU^IM

f(x) ; f(x0)

K 1 g(x0)

< " :

;

g(x)

; g(x)

2

pO\TOMU SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO

f(x)

K =

f(x);f(x0)

;

K 1

g(x0)

+ f(x0)

;

K g(x0)

<

g(x) ;

g(x)

; g(x)

g(x)

g(x)

<

"

+

f(x0)

+ K g(x0)

:

2

g(x)

g(x)

x!a+0

1

pOLXZUQSX TEPERX TEM, ^TO

lim

g(x) =

, NAHODIM > 0 TAKOE,

^TO a + < x0 I DLQ WSEH x 2 (a a + ) WYPOLNQETSQ OCENKA

2

f(x0)

+ K g(x0)

< " :

g(x)

g(x)

2

tOGDA DLQ WSEH x

(a a + ) IMEEM

f(x)

; K

< "

g(x)

A \TO POKAZYWAET, ^TO

lim f(x) = K:

x!a+0 g(x)

tAKIM OBRAZOM, DLQ SLU^AQ KONE^NOGO PREDELA K TEOREMA DOKAZANA. pUSTX TEPERX K BESKONE^NO, DLQ OPREDELENNOSTI K = +1. tOG- DA W DOSTATO^NO MALOJ PRAWOJ OKRESTNOSTI TO^KI a PROIZWODNAQ f0(x) SOHRANQET ZNAK. zNA^IT, W \TOJ OKRESTNOSTI FUNKCIQ f STROGO

MONOTONNA.

iTAK, SU]ESTWUET TAKAQ PRAWAQ OKRESTNOSTX TO^KI a, ^TO W NEJ OBE FUNKCII f I g DIFFERENCIRUEMY, NE IME@T NULEJ I STROGO MONOTONNY. w DALXNEJ[EM BUDEM IMETX W WIDU TOLXKO \TU OKREST- NOSTX.

iZ USLOWIQ

f0(x)

lim g0(x) = +1

x!a+0

119

g0( )

SLEDUET, ^TO DLQ KAVDOGO ^ISLA L SU]ESTWUET TO^KA x0 TAKAQ, ^TO DLQ WSEH x IZ (a x0) WYPOLNQETSQ OCENKA

f0(x) g0(x) > L:

zAPI[EM DLQ x 2 (a x0) TOVDESTWO
f(x)	=	f(x) ; f(x0)	1	g(x0)	1	f(x0)	;1	:	(6.3.11)
g(x)		g(x) ; g(x0)		; g(x)		; f(x)

pO TEOREME kO[I O SREDNEM SU]ESTWUET TO^KA 2 (x x0) TAKAQ,

^TO

f(x) ; f(x0) = f0( ) : g(x) ; g(x0)

zNA^IT, DLQ WSEH x 2 (a x0) IMEEM

f(x) ; f(x0)	> L:	(6.3.12)
g(x) ; g(x0)

pOSKOLXKU FUNKCII f I g STROGO MONOTONNY I IH PREDELY BES- KONE^NY, TO SU]ESTWUET TAKAQ PRAWAQ OKRESTNOSTX TO^KI a, ^TO DLQ WSEH x 2 (a x0) IZ \TOJ OKRESTNOSTI SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO

g(x0)	f(x0)		;1		1
1 ; g(x)	1 ; f(x)			>	2	:	(6.3.13)

iZ (6.3.11){(6.3.13) WYTEKAET, ^TO DLQ WSEH x IZ UKAZANNOJ

OKRESTNOSTI

f(x) > 1 L: g(x) 2

oTS@DA

lim f(x) = +1:

x!a+0 g(x)

tEPERX TEOREMA POLNOSTX@ DOKAZANA.

zAMETIM, ^TO ESLI W TEOREME 6.3.3 PREDEL (6.3.7) BESKONE^EN, TO ON OBQZATELXNO RAWEN ILI +1 ILI ;1.

w SAMOM DELE, ESLI PREDEL (6.3.7) BESKONE^EN, TO f0(x) NE MOVET IMETX NULEJ W SOOTWETSTWU@]EJ MALOJ OKRESTNOSTI TO^KI a. oTS@- DA W SILU TEOREMY 6.2.9 WIDIM, ^TO f STROGO MONOTONNA W UKAZANNOJ OKRESTNOSTI. zNA^IT, f0(x) IMEET W NEJ OPREDELENNYJ ZNAK. tAKIM

120