Матан, Лекции - Теляковский 1

pREDPOLOVIM, ^TO \TO NERAWENSTWO NEWERNO I a > b. wOZXMEM

" := (a ; b)=2. tAK KAK " > 0, TO SU]ESTWUET N TAKOE, ^TO DLQ WSEH
n > N				a ; b	= a + b
xn > a	;	" = a	;
				2	2
I
yn < b + " = b + a ; b					= a + b:
				2	2

tAKIM OBRAZOM, IMEEM
yn < a + b	< xn
2

^TO PROTIWORE^IT USLOWI@. tEOREMA DOKAZANA.

zAMETIM, ^TO WYPOLNENIE NERAWENSTWA xn 6 yn MOVNO BYLO TRE- BOWATX NE DLQ WSEH n, A TOLXKO DLQ WSEH DOSTATO^NO BOLX[IH n. pO- DOBNOE ZAME^ANIE MOVNO BUDET SDELATX I K NEKOTORYM POSLEDU@]IM TEOREMAM, NO MY NE BUDEM ZAOSTRQTX NA \TOM WNIMANIE.

bOLEE SU]ESTWENNOE ZAME^ANIE SOSTOIT W SLEDU@]EM. eSLI W TEOREME 2.2.3 WMESTO NESTROGIH NERAWENSTW xn 6 yn PREDPOLAGATX WYPOLNENIE STROGIH NERAWENSTW xn < yn, TO WSE RAWNO MOVNO BY- LO BY UTWERVDATX SPRAWEDLIWOSTX TOLXKO NESTROGOGO NERAWENSTWA lim xn 6 lim yn. |TO WIDNO NA PRIMERE POSLEDOWATELXNOSTEJ xn := 0 I yn := 1=n, DLQ KOTORYH xn < yn I lim xn = lim yn = 0. tAKIM OBRAZOM, NEOBHODIMO SOBL@DATX SLEDU@]EE PRAWILO:

eSLI SU]ESTWU@T PREDELY WYRAVENIJ IZ LEWOJ I IZ PRAWOJ ^ASTEJ STROGOGO NERAWENSTWA, TO PRI PEREHODE W \TOM NERAWENSTWE K PREDELU STROGOE NERAWENSTWO NUVNO ZAMENITX NA NESTROGOE.

tEOREMA 2.2.4. pUSTX POSLEDOWATELXNOSTI fxng I fyng SHODQTSQ K ODNOMU I TOMU VE PREDELU I xn 6 yn DLQ WSEH n. tOGDA L@BAQ POSLEDOWATELXNOSTX fzng TAKAQ, ^TO xn 6 zn 6 yn DLQ WSEH n, SHODITSQ K TOMU VE PREDELU.

dOKAZATELXSTWO. oBOZNA^IM a := lim xn = lim yn. dLQ KAVDOGO " > 0 NAHODIM N TAKOE, ^TO DLQ WSEH n > N WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA a ; " < xn < a + " I a ; " < yn < a + ". tOGDA DLQ \TIH n

a ; " < xn 6 zn 6 yn < a + "

T.E. zn 2 (a ; " a + ") I TEOREMA DOKAZANA.

tEOREMA 2.2.5. eSLI xn ! a, n ! 1, TO jxnj ! jaj n ! 1.

31

|TO UTWERVDENIE IMEET MESTO W SILU NERAWENSTWA

jjxnj ; jajj 6 jxn ; aj

KOTOROE QWLQETSQ PROSTYM SLEDSTWIEM NERAWENSTWA TREUGOLXNIKA

(1.4.3).

x 2.3. aRIFMETI^ESKIE SWOJSTWA PREDELOW

tEOREMA 2.3.1. pUSTX POSLEDOWATELXNOSTI fxng I fyng SHODQT-

SQ. tOGDA

1 . lim (xn

+ yn) = lim xn + lim yn

n!1

n!1

n!1

2 . lim (xn

;

yn) = lim xn

lim

yn

n!1

n!1

; n!1

3 . lim (xn

yn) = lim xn

lim yn

n!1

n!1

n!1

4 . eSLI yn

= 0

DLQ WSEH n I lim yn = 0, TO

6

n

6

xn

lim

xn

lim

=

n!1

:

lim

n!1 yn

yn

n!1

zDESX W KAVDOM IZ SLU^AEW 1 {4 SODERVATSQ DWA UTWERVDENIQ: WO-PERWYH, SU]ESTWOWANIE PREDELA WYRAVENIQ, STOQ]EGO W LEWOJ ^ASTI RAWENSTWA, A WO-WTORYH, RAWENSTWO \TOGO PREDELA WYRAVENI@, STOQ]EMU W PRAWOJ ^ASTI.

kRATKO \TU TEOREMU OBY^NO FORMULIRU@T TAK: PREDEL SUMMY RAWEN SUMME PREDELOW PREDEL RAZNOSTI RAWEN RAZNOSTI PREDELOW PREDEL PROIZWEDENIQ RAWEN PROIZWEDENI@ PREDELOW PREDEL ^ASTNOGO RAWEN ^ASTNOMU PREDELOW. w POSLEDNEM UTWERVDENII, RAZUMEETSQ, IMEETSQ W WIDU, ^TO NI ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI DELITELEJ, NI PREDEL \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI NE RAWNY NUL@.

dOKAZATELXSTWO. pUSTX a := lim xn I b := lim yn.

1 {2 . pO ZADANNOMU " > 0 WYBIRAEM N TAK, ^TOBY DLQ WSEH n > N WYPOLNQLISX NERAWENSTWA

"

jxn ; aj < 2

oTS@DA NAHODIM

j(xn+yn);(a+b)j = j(xn;a)+(yn; tO^NO TAKVE

"

jyn ; bj < 2 :

" "

b)j 6 jxn;aj+jyn;bj < 2 + 2

j(xn ; yn) ; (a ; b)j = j(xn ; a) ; (yn ; b)j 6 jxn ; aj + jyn ; bj

=":

<":

32

tAKIM OBRAZOM, UTWERVDENIQ 1 I 2 DOKAZANY.

3 . sNA^ALA USTANOWIM WSPOMOGATELXNOE NERAWENSTWO. iMEEM

jxnyn ; abj = j(xnyn ; ayn) + (ayn ; ab)j 6 jxn ; ajjynj + jajjyn ; bj:

(2.3.1)

w SILU SHODIMOSTI POSLEDOWATELXNOSTI fyng ONA OGRANI^ENA, PO-
\TOMU MOVNO WYBRATX ^ISLO L TAKOE, ^TO jynj < L DLQ WSEH n I
jaj < L. tOGDA IZ (2.3.1) WYTEKAET, ^TO
jxnyn ; abj 6 Ljxn ; aj + Ljyn ; bj:	(2.3.2)

tEPERX PO ZADANNOMU " > 0 NAHODIM ^ISLO N TAKOE, ^TO DLQ WSEH

n > N WYPOLNQ@TSQ OCENKI
jxn ; aj <	"		jyn ; bj <	"	:
	2L			2L

pOLXZUQSX \TIMI OCENKAMI, IZ (2.3.2) NAHODIM, ^TO DLQ WSEH n > N

" "

jxnyn ; abj < L2L + L2L = "

I SWOJSTWO 3 DOKAZANO.

4 . oBOSNOWANIE \TOGO UTWERVDENIQ TAKVE NA^NEM S DOKAZATELX-

STWA WSPOMOGATELXNOGO NERAWENSTWA. iMEEM

xn

a

xn

xn

xn

a

1

1

; b

1= yn

;

+xn

; b

6

1xn

; b

+

yn

b

b

yn

(2.3.3)

+

b (xn ; a) =

yjn

jb

jb ; ynj +

jxn ; aj:

j

b

j

jj j

j

tAK KAK

TO SOGLASNO TEOREME

2.2.2

SU]ESTWUET ^ISLO

N1

b = 0,

TAKOE, ^TO jynj6> jbj=2 DLQ WSEH n > N1. pOSLEDOWATELXNOSTX fxng W

SILU EE SHODIMOSTI OGRANI^ENA. pUSTX ^ISLO L TAKOWO, ^TO jxnj < L

DLQ WSEH n.

tOGDA SOGLASNO (2.3.3) DLQ n > N1 SPRAWEDLIWA OCENKA

xn

a

2L

1

;

6 b2 jb ; ynj +

jxn ; aj:

(2.3.4)

yn

b

jbj

tEPERX DLQ PROIZWOLXNOGO POLOVITELXNOGO

"

WYBIRAEM ^ISLO

N > N1 TAKOE, ^TO DLQ WSEH n > N SPRAWEDLIWY OCENKI

b

b2

jxn ; aj < " j2j jb ; ynj < "

:

4L

33

tOGDA IZ (2.3.4) SLEDUET, ^TO DLQ WSEH n > N

	xn	a
tEOREMA DOKAZANA.	yn	; b	< ":

x 2.4. bESKONE^NO MALYE I BESKONE^NO BOLX[IE POSLEDOWATELXNOSTI

oPREDELENIE. pOSLEDOWATELXNOSTX NAZYWAETSQ BESKONE^NO MALOJ (ILI IS^EZA@]EJ), ESLI ONA SHODITSQ K NUL@.

oBOZNA^ENIE DLQ BESKONE^NO MALOJ POSLEDOWATELXNOSTI

an = o(1) n ! 1:

sIMWOL o(1) ^ITAETSQ \o-MALOE OT EDINICY".

oPREDELENIE. pOSLEDOWATELXNOSTX fbng NAZYWAETSQ BESKONE^NO BOLX[OJ, ESLI DLQ KAVDOGO ^ISLA L SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO N =

= N(L), ^TO DLQ WSEH n > N WYPOLNQETSQ OCENKA jbnj > L.

w \TOM SLU^AE PI[UT lim bn = 1 I GOWORQT, ^TO POSLEDOWATELX- NOSTX fbng IMEET PREDELOM 1.

pRI \TOM, ESLI DLQ WSEH DOSTATO^NO BOLX[IH n IMEEM bn > 0, TO PI[UT lim bn = +1, A ESLI bn < 0, TO PI[UT lim bn = ;1.

|TI OPREDELENIQ MOVNO SFORMULIROWATX INA^E.

oPREDELENIE. eSLI DLQ KAVDOGO ^ISLA L SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO N, ^TO DLQ WSEH n > N WYPOLNQETSQ OCENKA bn > L, TO GOWORQT, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX fbng IMEET PREDELOM +1 I PI[UT lim bn = +1. eSLI DLQ KAVDOGO ^ISLA L SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO N, ^TO DLQ WSEH n > N WYPOLNQETSQ OCENKA bn < L, TO GOWORQT, ^TO POSLEDOWA-

TELXNOSTX fbng IMEET PREDELOM ;1 I PI[UT lim bn = ;1.

w SOOTWETSTWII SO SKAZANNYM W x2.1 POSLEDOWATELXNOSTI, IME- @]IE BESKONE^NYE PREDELY, SLEDUET NAZYWATX RASHODQ[IMISQ. nO OBY^NO OT \TOGO PRAWILA OTSTUPA@T I NAZYWA@T TAKIE POSLEDOWA- TELXNOSTI SHODQ]IMISQ. ~TOBY IZBEVATX NEDORAZUMENIJ, USLOWIM- SQ, ^TO KOGDA GOWORITSQ O SHODQ]EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI, TO \TO WSEGDA BUDET OZNA^ATX, ^TO ONA IMEET KONE^NYJ PREDEL. a W TEH SLU- ^AQH, KOGDA POSLEDOWATELXNOSTX MOVET IMETX I BESKONE^NYJ PREDEL, \TO BUDET OGOWARIWATXSQ.

zAMETIM, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX MOVET SHODITXSQ K 1, NO PRI \TOM NE SHODITXSQ NI K +1, NI K ;1. tAK BUDET, NAPRIMER, DLQ POSLEDOWATELXNOSTI f(;1)nng.

34

WOZRASTAET.

oTMETIM PROSTEJ[IE SWOJSTWA BESKONE^NO MALYH I BESKONE^NO BOLX[IH POSLEDOWATELXNOSTEJ.

eSLI fxng | BESKONE^NO BOLX[AQ POSLEDOWATELXNOSTX, PRI^EM xn 6= 0 DLQ WSEH n, TO f1=xng | BESKONE^NO MALAQ POSLEDOWATELX- NOSTX. dEJSTWITELXNO, DLQ PROIZWOLXNOGO " > 0 POLOVIM L := 1=". tEPERX PO L NAHODIM N TAKOE, ^TO jxnj > L DLQ WSEH n > N. tOGDA DLQ \TIH n IMEEM j1=xnj = 1=jxnj < 1=L = " I NA[E UTWERVDENIE DOKAZANO.

eSLI fxng | BESKONE^NO MALAQ POSLEDOWATELXNOSTX I xn 6= 0 DLQ WSEH n, TO f1=xng | BESKONE^NO BOLX[AQ POSLEDOWATELXNOSTX. dOKAZATELXSTWO \TOGO SWOJSTWA ANALOGI^NO.

eSLI fang I fbng | BESKONE^NO MALYE POSLEDOWATELXNOSTI, TO BESKONE^NO MALYMI QWLQ@TSQ I POSLEDOWATELXNOSTI fan + bng I fan ; bng. |TO SLEDUET IZ SWOJSTW PREDELOW SHODQ]IHSQ POSLEDO- WATELXNOSTEJ.

eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fang BESKONE^NO MALAQ, A POSLEDOWA- TELXNOSTX fbng OGRANI^ENNAQ, TO POSLEDOWATELXNOSTX fan bng BES- KONE^NO MALAQ. dEJSTWITELXNO, PO USLOWI@ SU]ESTWUET TAKOE ^IS- LO L, ^TO jbnj < L DLQ WSEH n. pO\TOMU SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO jan bnj 6 L janj, IZ KOTOROGO WYSKAZANNOE UTWERVDENIE LEGKO WYWO- DITSQ. zAMETIM, ^TO EGO NELXZQ POLU^ITX IZ SWOJSTW PREDELOW SHO- DQ]IHSQ POSLEDOWATELXNOSTEJ, TAK KAK SHODIMOSTX POSLEDOWATELX-

NOSTI fbng NE PREDPOLAGALASX.

dLQ OBOZNA^ENIQ OGRANI^ENNOSTI POSLEDOWATELXNOSTI fbng IS- POLXZUETSQ ZAPISX

bn = O(1) 8 n: sIMWOL O(1) ^ITAETSQ \O-BOLX[OE OT EDINICY".

x 2.5. pREDEL MONOTONNOJ POSLEDOWATELXNOSTI

oPREDELENIE. pOSLEDOWATELXNOSTX fxng NAZYWAETSQ MONOTONNOJ, ESLI ONA NE UBYWAET, T.E. xn 6 xn+1 DLQ WSEH n, ILI NE WOZRASTAET, T.E. xn > xn+1 DLQ WSEH n.

wMESTO \NE UBYWAET" OBY^NO BUDEM GOWORITX \WOZRASTAET", DO- PUSKAQ W \TOM SLU^AE I NESTROGOE WOZRASTANIE. tAM VE, GDE BUDET WAVNO, ^TO DLQ WSEH n WYPOLNQETSQ STROGOE NERAWENSTWO xn < xn+1, BUDEM GOWORITX, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX \STROGO WOZRASTAET". tO^- NO TAKVE WMESTO \NE WOZRASTAET" BUDEM GOWORITX \UBYWAET". tEOREMA 2.5.1. pUSTX POSLEDOWATELXNOSTX fxng

tOGDA

1 . ESLI POSLEDOWATELXNOSTX fxng OGRANI^ENA SWERHU ^ISLOM B,

TO ONA SHODITSQ I lim xn 6 B

n

35

2 . ESLI POSLEDOWATELXNOSTX fxng NE QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ

SWERHU, TO lim xn = +1.

n

dOKAZATELXSTWO. 1 . tAK KAK xn 6 B DLQ WSEH n, TO SU]ESTWUET

TO^NAQ WERHNQQ GRANX M := sup xn I M 6 B. pOKAVEM, ^TO M

n

QWLQETSQ PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI fxng.

pOSKOLXKU M | TO^NAQ WERHNQQ GRANX, TO xn 6 M DLQ WSEH n

I DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET ^ISLO xp TAKOE, ^TO xp > M ; ". nO TOGDA DLQ WSEH n > p IMEEM M ; " < xp 6 xn. tAKIM OBRAZOM, DLQ WSEH n > p WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA M ; " < xn 6 M. |TO

POKAZYWAET, ^TO M = lim xn.

n

2 . eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fxng NE QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ SWERHU, TO DLQ L@BOGO L SU]ESTWUET ^ISLO xq TAKOE, ^TO xq > L. w SILU WOZRASTANIQ POSLEDOWATELXNOSTI OTS@DA SLEDUET, ^TO DLQ WSEH n > q WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA xn > xq > L, A \TO I OZNA^AET, ^TO

lim xn = +

1

.

n

tEOREMA DOKAZANA.

aNALOGI^NO DOKAZYWAETSQ TEOREMA O PREDELE UBYWA@]EJ POSLE-

DOWATELXNOSTI.

rASSMOTRIM DWA PRIMERA.

1 . dOKAVEM, ^TO ESLI

j

q

j

< 1,

TO lim qn = 0.

n

pUSTX SNA^ALA 0 < q < 1. tOGDA fqng { UBYWA@]AQ OGRANI^ENNAQ

SNIZU POSLEDOWATELXNOSTX. zNA^IT, ONA IMEET PREDEL. pUSTX a :=

lim qn.

n

pOSLEDOWATELXNOSTX

f

qn+1

g

IMEET \TOT VE PREDEL: lim qn+1 =

a.

n

nO PO TEOREME O PREDELE PROIZWEDENIQ POSLEDOWATELXNOSTEJ

lim qn+1 = lim(qn

q) = (lim qn)

q = aq. tAKIM OBRAZOM, a = aq,

n

n

n

A \TO WOZMOVNO TOLXKO PRI a = 0

I MY DOKAZALI, ^TO lim qn = 0 DLQ

POLOVITELXNYH q.

n

dLQ OTRICATELXNYH q POLXZUEMSQ TEM, ^TO qn

j

=

j

q

n.

20: pOKAVEM, ^TO DLQ PROIZWOLXNOGO ^ISLA ja

j

lim

an

= 0

(2.5.1)

n!

n

GDE, NAPOMNIM, n! := 1 2 : : : n.

kAK I W PREDYDU]EM PRIMERE, DOSTATO^NO RASSMOTRETX TOLXKO POLOVITELXNYE a.

pUSTX m { NATURALXNOE ^ISLO TAKOE, ^TO m + 1 > a. dLQ n > m

36

IMEEM

1

1

1

1

1

(m + 1)m

1

=

6

=

n!

m!

(m + 1) : : : n

m!

(m + 1)n;m

m!

(m + 1)n

OTKUDA

an

(m + 1)m

a

n

6

:

(2.5.2)

n!

m!

m + 1

iZ a=(m + 1) < 1 PO DOKAZANNOMU W PERWOM PRIMERE SLEDUET, ^TO

a

n

! 0 n ! 1

m + 1

A \TO W SILU (2.5.2) PRIWODIT K (2.5.1).

x 2.6.

~ISLO e

nAM BUDET NUVNO SLEDU@]EE NERAWENSTWO, KOTOROE NAZYWA@T NE-

RAWENSTWOM bERNULLI.

lEMMA 2.6.1. eSLI m > 2 | NATURALXNOE ^ISLO I x > 0, TO SPRAWEDLIWA OCENKA

(1 + x)m > 1 + mx:

(2.6.1)

dOKAZATELXSTWO. dLQ m = 2 DOKAZATELXSTWO \LEMENTARNO: (1 + x)2 = 1 + 2x + x2 > 1 + 2x:

dALXNEJ[IE RASSUVDENIQ PROWEDEM METODOM MATEMATI^ESKOJ INDUKCII.

pREDPOLOVIM, ^TO DLQ POKAZATELQ m NERAWENSTWO (2.6.1) UVE DOKAZANO, I USTANOWIM EGO DLQ POKAZATELQ m + 1. iMEEM

(1 + x)m+1 = (1 + x)m(1 + x) > (1 + mx)(1 + x) = = 1 + (m + 1)x + mx2 > 1 + (m + 1)x:

lEMMA DOKAZANA.
tEOREMA 2.6.2. pOSLEDOWATELXNOSTX fxng, GDE
1 n
xn := 1 + n n = 1 2 : : :	(2.6.2)
SHODITSQ.

37

dOKAZATELXSTWO. dOKAVEM SHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI fyng, GDE

1 n+1
yn := 1 + n	:
oTS@DA BUDET WYTEKATX SHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI fxng I RA-
WENSTWO OBOIH PREDELOW, TAK KAK
xn = yn.1 + n :
1

pOSLEDOWATELXNOSTX fyng OGRANI^ENA SNIZU, POSKOLXKU yn > 1

DLQ WSEH n. pOKAVEM, ^TO ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI fyng MONOTON-

NO UBYWA@T. dLQ \TOGO RASSMOTRIM OTNO[ENIE

1

n+1

n+1

n+2

yn

1 + n

n+2

=

n

n+2

1

yn+1

=

1

n+2

1 +

1

=

1 +

n

n+1

(n + 1)

2

n+2 n+1

1

n+2

n

=

n

= 1 +

:

n (n + 2)

n + 1

n (n + 2)

n + 1

w SILU NERAWENSTWA bERNULLI (2.6.1) OTS@DA SLEDUET, ^TO

yn

n + 2

n

1

n

> 1 +

= 1 + n

= 1:

yn+1

n(n + 2)

n + 1

n + 1

tAKIM OBRAZOM, yn > yn+1 DLQ WSEH n. pO\TOMU SOGLASNO TEOREME O PREDELE MONOTONNOJ POSLEDOWATELXNOSTI PREDEL lim yn SU]ESTWUET I TEOREMA DOKAZANA.

sLEDUQ |JLERU, PREDEL POSLEDOWATELXNOSTI (2.6.2) OBOZNA^A@T e. nARQDU S ^ISLO e QWLQETSQ ODNOJ IZ NAIBOLEE WAVNYH KONSTANT W MATEMATIKE. dESQTI^NOE PREDSTAWLENIE ^ISLA e IMEET WID

e = 2 718 : : :

w x6.5 BUDET POKAZANO, ^TO e | IRRACIONALXNOE ^ISLO.

x 2.7. pODPOSLEDOWATELXNOSTI. tEOREMA bOLXCANO{wEJER[TRASSA

pUSTX ZADANA POSLEDOWATELXNOSTX fxng. wYBEREM NEKOTORU@ STROGO WOZRASTA@]U@ POSLEDOWATELXNOSTX NATURALXNYH ^ISEL n1 <

< n2 < : : : . pOSLEDOWATELXNOSTX fxn1 xn2 : : :g = fxnk g NAZYWAETSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@ POSLEDOWATELXNOSTI fxng.

38

tAKIM OBRAZOM, W \TOM SLU^AE KAVDOE ^ISLO xnk QWLQETSQ ^LENOM

POSLEDOWATELXNOSTI fxng I, KROME TOGO, W POSLEDOWATELXNOSTI fxnk g SOHRANQETSQ TOT VE PORQDOK SLEDOWANIQ \LEMENTOW, KAKOJ ONI IME- LI W ISHODNOJ POSLEDOWATELXNOSTI. oBRAZNO GOWORQ, MY ZAPISYWA- EM PODRQD WSE ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI x1 x2 x3 : : : , \WY^ERKIWA- EM" NEKOTORYE EE \LEMENTY, OSTAWLQQ BESKONE^NO MNOGO \LEMENTOW, I \TU OSTAW[U@SQ POSLEDOWATELXNOSTX NAZYWAEM PODPOSLEDOWATELX- NOSTX@ POSLEDOWATELXNOSTI fxng.

pONQTNO, ^TO ESLI POSLEDOWATELXNOSTX SHODITSQ, TO I L@BAQ EE PODPOSLEDOWATELXNOSTX SHODITSQ K TOMU VE PREDELU. |TO WERNO I DLQ KONE^NYH I DLQ BESKONE^NYH PREDELOW.

oPREDELENIE. pREDEL PODPOSLEDOWATELXNOSTI NAZYWAETSQ ^ASTI^NYM PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI.

zDESX IME@TSQ W WIDU KAK KONE^NYE, TAK I K BESKONE^NYE PREDE- LY.

iZ OPREDELENIQ ^ASTI^NOGO PREDELA SLEDUET, ^TO ^ISLO a QWLQ- ETSQ ^ASTI^NYM PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI fxng, ESLI KAVDAQ OKRESTNOSTX a SODERVIT BESKONE^NO MNOGO \LEMENTOW POSLEDOWATELX-

NOSTI fxng.

~ASTI^NYJ PREDEL POSLEDOWATELXNOSTI MOVET NE BYTX EE PREDELOM. nAPRIMER, ^ASTI^NYMI PREDELAMI POSLEDOWATELXNOSTI f(;1)ng, QWLQ@TSQ ^ISLA +1 I ;1, A PREDELA U \TOJ POSLEDOWATELX- NOSTI NET.

tEOREMA 2.7.1 (tEOREMA bOLXCANO{wEJER[TRASSA). iZ KAV-

DOJ OGRANI^ENNOJ POSLEDOWATELXNOSTI MOVNO WYDELITX SHODQ]U- @SQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX.

dOKAZATELXSTWO. pUSTX fxng | OGRANI^ENNAQ POSLEDOWATELX- NOSTX. rASSMOTRIM OTREZOK [a b], SODERVA]IJ WSE ^LENY POSLEDO-

WATELXNOSTI fxng.

rAZDELIM OTREZOK [a b] POPOLAM. tOGDA PO KRAJNEJ MERE ODIN IZ POLU^IW[IHSQ OTREZKOW SODERVIT BESKONE^NO MNOGO ^LENOW PO- SLEDOWATELXNOSTI fxng. oBOZNA^IM ^EREZ [a1 b1] TOT IZ \TIH OTREZ- KOW, KOTORYJ SODERVIT BESKONE^NO MNOGO ^LENOW ZADANNOJ POSLEDO- WATELXNOSTI, A ESLI OBA OTREZKA OBLADA@T \TIM SWOJSTWOM, TO | L@BOJ IZ NIH. wYBEREM PROIZWOLXNYJ \LEMENT POSLEDOWATELXNOSTI fxng, PRINADLEVA]IJ OTREZKU [a1 b1]. pUSTX \TO BUDET xn1 .

rAZDELIM TEPERX POPOLAM OTREZOK [a1 b1] I OBOZNA^IM ^EREZ [a2 b2] ODIN IZ POLU^IW[IHSQ OTREZKOW, KOTORYJ SODERVIT BESKONE^- NO MNOGO ^LENOW POSLEDOWATELXNOSTI fxng. wOZXMEM \LEMENT POSLE- DOWATELXNOSTI fxng, PRINADLEVA]IJ OTREZKU [a2 b2] I TAKOJ, ^TO EGO INDEKS n2 BOLX[E, ^EM n1. tAK WYBRAN \LEMENT xn2 .

39

nA SLEDU@]EM [AGE DELIM OTREZOK [a2 b2] POPOLAM, BEREM OTRE- ZOK [a3 b3], SODERVA]IJ BESKONE^NO MNOGO ^LENOW POSLEDOWATELXNOS- TI fxng, I WYBIRAEM W NEM \LEMENT xn3 TAKOJ, ^TO n3 > n2.

pRODOLVIW \TOT PROCESS, POLU^IM, WO-PERWYH, POSLEDOWATELX- NOSTX WLOVENNYH OTREZKOW f[ak bk]g, KAVDYJ IZ KOTORYH SODERVIT BESKONE^NO MNOGO ^LENOW POSLEDOWATELXNOSTI fxng, A DLINY OTREZ- KOW [ak bk] STREMQTSQ K NUL@ I, WO-WTORYH, POSLEDOWATELXNOSTX TO-

^EK fxnk g TAKIH, ^TO xnk 2 [ak bk].

pO TEOREME O WLOVENNYH OTREZKAH SU]ESTWUET TO^KA, PRINADLE- VA]AQ WSEM OTREZKAM [ak bk]. oBOZNA^IM \TU TO^KU c I POKAVEM, ^TO

lim xnk = c:

k!1

pUSTX " | PROIZWOLXNOE POLOVITELXNOE ^ISLO. tAK KAK DLINY OTREZKOW [ak bk] STREMQTSQ K NUL@, TO WSE \TI OTREZKI, NA^INAQ S NEKOTOROGO, SODERVATSQ W "-OKRESTNOSTI TO^KI c, A WMESTE S NIMI W \TU OKRESTNOSTX POPADUT I SOOTWETSTWU@]IE ^LENY POSLEDOWATELX- NOSTI fxnk g. zNA^IT, xnk PRI k ! 1 SHODQTSQ K c.

tEOREMA DOKAZANA.

zAMETIM, ^TO ESLI WSE \LEMENTY POSLEDOWATELXNOSTI PRINAD- LEVAT OTREZKU [a b], TO I WSE EE ^ASTI^NYE PREDELY PRINADLEVAT

[a b].

pOKAVEM, ^TO SREDI ^ASTI^NYH PREDELOW OGRANI^ENNOJ POSLEDO- WATELXNOSTI ESTX NAIBOLX[IJ.

tEOREMA 2.7.2. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX OGRANI^ENA, TO TO^- NAQ WERHNQQ GRANX EE ^ASTI^NYH PREDELOW SAMA QWLQETSQ ^ASTI^- NYM PREDELOM.

dOKAZATELXSTWO. pUSTX POSLEDOWATELXNOSTX fxng OGRANI^ENA I A | MNOVESTWO EE ^ASTI^NYH PREDELOW. oBOZNA^IM a := sup A I POKAVEM, ^TO W KAVDOJ OKRESTNOSTI ^ISLA a SODERVITSQ BESKONE^- NO MNOGO \LEMENTOW POSLEDOWATELXNOSTI fxng.

pO OPREDELENI@ TO^NOJ WERHNEJ GRANI DLQ PROIZWOLXNOGO " > 0 W "-OKRESTNOSTI ^ISLA a NAJDETSQ ^ISLO a , QWLQ@]AQSQ ^ASTI^- NYM PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI fxng. wOZXMEM NASTOLXKO MALU@ OKRESTNOSTX TO^KI a , ^TOBY ONA CELIKOM SODERVALASX W UKAZANNOJ "-OKRESTNOSTI TO^KI a. |TOJ OKRESTNOSTI TO^KI a PRINADLEVIT BESKONE^NO MNOGO \LEMENTOW POSLEDOWATELXNOSTI fxng, KOTORYE, TA- KIM OBRAZOM, PRINADLEVAT I RASSMATRIWAEMOJ "-OKRESTNOSTI TO^- KI a.

tEOREMA DOKAZANA.

pONQTNO, ^TO I TO^NAQ NIVNQQ GRANX ^ASTI^NYH PREDELOW OGRA- NI^ENNOJ POSLEDOWATELXNOSTI QWLQETSQ EE ^ASTI^NYM PREDELOM.

40