Матан, Лекции - Теляковский 1

oPREDELENIE. tO^NAQ WERHNQQ GRANX ^ASTI^NYH PREDELOW OGRANI- ^ENNOJ POSLEDOWATELXNOSTI NAZYWAETSQ WERHNIM PREDELOM, A TO^NAQ NIVNQQ GRANX ^ASTI^NYH PREDELOW NAZYWAETSQ NIVNIM PREDELOM \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI.

wERHNIJ I NIVNIJ PREDELY POSLEDOWATELXNOSTI fxng OBOZNA^A- @T SOOTWETSTWENNO

lim xn lim xn:
n!1	n!1

eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fxng NE QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ SWERHU, TO IZ NEE MOVNO WYDELITX PODPOSLEDOWATELXNOSTX, SHODQ]U@SQ K

+1dEJSTWITELXNO. , WYBIRAEM SNA^ALA ^ISLO xn1 TAKOE, ^TO xn1 > > 1. zATEM NAHODIM TAKOJ NOMER n2 > n1, ^TO DLQ xn2 WYPOLNQETSQ

NERAWENSTWO xn2 > 2, I T.D. w REZULXTATE POLU^IM lim xnk = +1.

k!1

w \TOM SLU^AE WERHNIM PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI fxng NA- ZYWA@T +1

aNALOGI^NO IZ POSLEDOWATELXNOSTI, NE OGRANI^ENNOJ SNIZU, MOVNO WYDELITX PODPOSLEDOWATELXNOSTX, SHODQ]U@SQ K ;1, I W \TOM SLU^AE ;1 NAZYWA@T NIVNIM PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI. tAKIM OBRAZOM, WERHNIJ I NIVNIJ PREDELY OPREDELENY DLQ L@-

BOJ POSLEDOWATELXNOSTI.

tEOREMA bOLXCANO{wEJER[TRASSA OTNOSILASX K OGRANI^ENNYM POSLEDOWATELXNOSTQM. dLQ PROIZWOLXNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ SO- OTWETSTWU@]EE UTWERVDENIE FORMULIRUETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM.

tEOREMA 2.7.3. iZ KAVDOJ POSLEDOWATELXNOSTI MOVNO WYDELITX PODPOSLEDOWATELXNOSTX, IME@]U@ PREDEL, KONE^NYJ ILI BESKONE^NYJ.

oTMETIM SWOJSTWA WERHNIH PREDELOW, SWQZANNYE S ARIFMETI^ES- KIMI DEJSTWIQMI NAD POSLEDOWATELXNOSTQMI (ANALOGI^NYMI SWOJ- STWAMI OBLADA@T I NIVNIE PREDELY).

qSNO, ^TO DLQ PROIZWOLXNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ fxng I fyng RAWENSTWO

	lim (xn + yn) =			lim xn + lim yn
n!1			n!1			n!1

MOVET NE WYPOLNQTXSQ. nO ESLI ODNA IZ \TIH POSLEDOWATELXNOSTEJ IMEET KONE^NYJ PREDEL, TO TAKOE RAWENSTWO UVE IMEET MESTO.

pRI \TOM, ^TOBY NE PREDPOLAGATX KONE^NOSTX WERHNEGO PREDELA WTOROJ POSLEDOWATELXNOSTI, POLOVIM PO OPREDELENI@, ^TO SUMMA ^ISLA I BESKONE^NOGO SIMWOLA RAWNA \TOMU BESKONE^NOMU SIMWOLU.

tEOREMA 2.7.4. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fxng IMEET KONE^NYJ PREDEL, TO DLQ L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI fyng SPRAWEDLIWO RA-

41

WENSTWO

	lim (xn + yn) =		lim xn + lim yn:				(2.7.1)
n!1			n!1	n!1

dOKAZATELXSTWO. eSLI WERHNIJ PREDEL POSLEDOWATELXNOSTI fyng BESKONE^EN, TO RAWENSTWO (2.7.1) WYTEKAET IZ OPREDELENIQ BESKONE^- NYH PREDELOW.

bUDEM TEPERX S^ITATX WERHNIJ PREDEL lim yn KONE^NYM.

n

pUSTX lim xn = a. iZ TEOREMY O PREDELE SUMMY SLEDUET, ^TO ESLI

n

NEKOTOROE ^ISLO b QWLQETSQ ^ASTI^NYM PREDELOM POSLEDOWATELXNOS- TI fyng, TO a+ b QWLQETSQ ^ASTI^NYM PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI

fxn + yng.

aNALOGI^NO, ESLI IZ ^ASTI^NOGO PREDELA POSLEDOWATELXNOSTI fxn + yng WY^ESTX a, TO POLU^IM ^ASTI^NYJ PREDEL DLQ fyng. pO- \TOMU TO^NAQ WERHNQQ GRANX ^ASTI^NYH PREDELOW fxn + yng RAWNA SUMME ^ISLA a I TO^NOJ WERHNEJ GRANI ^ASTI^NYH PREDELOW fyng, A \TO I ESTX UTWERVDENIE TEOREMY.

tEOREMA 2.7.5. pUSTX fxng I fyng | NEOTRICATELXNYE POSLEDOWATELXNOSTI, POSLEDOWATELXNOSTX fxng IMEET KONE^NYJ PREDEL, A POSLEDOWATELXNOSTX fyng | KONE^NYJ WERHNIJ PREDEL. tOGDA

	lim (xn			yn) = lim xn		lim yn:		(2.7.2)
n!1				n!1	n!1

dOKAZATELXSTWO. wYBEREM POSLEDOWATELXNOSTX INDEKSOW DLQ KOTOROJ

lim ynm = lim yn:
m!1			n!1
tOGDA SOGLASNO TEOREME 2.3.1
lim (xnm		ynm ) =	lim xn					lim yn
m!1			n!1				n!1

I, ZNA^IT, W SILU NEOTRICATELXNOSTI ^ISEL xn I yn

	lim (xn			yn) > lim xn		lim yn:
n!1				n!1	n!1

fnmg,

(2.7.3)

~TOBY POLU^ITX PROTIWOPOLOVNOE NERAWENSTWO, ZAMETIM, ^TO DLQ KAVDOGO FIKSIROWANNOGO " > 0 PRI WSEH DOSTATO^NO BOLX[IH n

xn < lim xn + "	yn < lim yn + ":
n!1	n!1

oTS@DA SLEDUET, ^TO

xn yn < lim xn + " lim yn + " :

n!1 n!1

42

tAK KAK WYRAVENIE W PRAWOJ ^ASTI \TOGO NERAWENSTWA NE ZAWISIT OT n, TO IZ NEGO WYTEKAET, ^TO

lim (xn

yn) 6

lim xn

+ "

lim yn + "

:

(2.7.4)

n!1

n!1

n!1

tEPERX POLXZUEMSQ TEM, ^TO LEWAQ ^ASTX OCENKI (2.7.4) NE ZAWISIT

OT ". pO\TOMU IZ (2.7.4) SLEDUET, ^TO

lim (xn

yn) 6

lim

xn

lim yn:

(2.7.5)

n!1

n!1

n!1

iZ NERAWENSTW (2.7.3) I (2.7.5) WYTEKAET RAWENSTWO (2.7.2). tEOREMA DOKAZANA.

x 2.8. kRITERIJ kO[I

tERMIN \KRITERIJ" OBY^NO UPOTREBLQ@T DLQ OBOZNA^ENIQ NEOB- HODIMYH I DOSTATO^NYH USLOWIJ. wPRO^EM, TAKOE PONIMANIE \TOGO TERMINA NE QWLQETSQ OB]EPRINQTYM.

pOLU^IM KRITERIJ SU]ESTWOWANIQ U POSLEDOWATELXNOSTI KONE^- NOGO PREDELA.

rASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX fxng, SHODQ]U@SQ K ^ISLU a. sRAWNIM MEVDU SOBOJ ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI fxng S BOLX[IMI INDEKSAMI.

w SILU SHODIMOSTI POSLEDOWATELXNOSTI DLQ KAVDOGO " > 0 SU- ]ESTWUET TAKOE N, ^TO DLQ WSEH n > N SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO jxn ; aj < "=2. pO\TOMU, ESLI n > N I m > N, TO

" "

jxn ; xmj = j(xn ; a) + (a ; xm)j 6 jxn ; aj + ja ; xmj < 2 + 2 = ":

oPREDELENIE. gOWORQT, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX fxng UDOWLETWO-

RQET USLOWI@ kO[I (ILI QWLQETSQ FUNDAMENTALXNOJ), ESLI DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET TAKOE N, ^TO DLQ WSEH n > N I m > N SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO

jxn ; xmj < ":

tAKIM OBRAZOM, USLOWIE kO[I QWLQETSQ NEOBHODIMYM DLQ SHODI- MOSTI POSLEDOWATELXNOSTI K KONE^NOMU PREDELU. pOKAVEM, ^TO \TO USLOWIE QWLQETSQ TAKVE I DOSTATO^NYM.

tEOREMA 2.8.1 (kRITERIJ kO[I). dLQ TOGO ^TOBY POSLEDOWATELXNOSTX SHODILASX K KONE^NOMU PREDELU, NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY ONA UDOWLETWORQLA USLOWI@ kO[I.

43

dOKAZATELXSTWO. pUSTX DLQ POSLEDOWATELXNOSTI fxng WYPOLNQET- SQ USLOWIE kO[I.

pOKAVEM SNA^ALA , ^TO POSLEDOWATELXNOSTX fxng OGRANI^ENA. dLQ " = 1 NAJDEM N TAKOE, ^TO DLQ WSEH n m > N SPRAWEDLIWA

OCENKA jxn ;xmj < 1. pOLOVIM m = N + 1. tOGDA DLQ n > N IMEEM jxn ; xN+1j < 1 I, ZNA^IT,

jxnj = jxn ; xN+1 + xN+1j < 1 + jxN+1j:

pO\TOMU, ESLI L := max(jx1j jx2j : : : jxN j 1 + jxN+1j), TO jxnj 6 L

DLQ WSEH n.

tAKIM OBRAZOM, POSLEDOWATELXNOSTX, UDOWLETWORQ@]AQ USLOWI@ kO[I, OGRANI^ENA.

sOGLASNO TEOREME bOLXCANO{wEJER[TRASSA POSLEDOWATELXNOSTX fxng W SILU EE OGRANI^ENNOSTI IMEET ^ASTI^NYJ PREDEL. oBOZNA^IM EGO a I DOKAVEM, ^TO a QWLQETSQ PREDELOM WSEJ POSLEDOWATELXNOSTI

	fxng.	f	xnk	g	k
	pUSTX
					| TA PODPOSLEDOWATELXNOSTX, DLQ KOTOROJ lim xnk =

a. zADADIM PROIZWOLXNOE " > 0 I NAJDEM N1 TAKOE, ^TO DLQ WSEH

n m > N1 IMEEM jxn ; xmj < "=2, I N2 TAKOE, ^TO DLQ WSEH nk > N2 IMEEM ja ; xnk j < "=2. oCENIM DLQ n > N := max(N1 N2) RAZNOSTX

xn ; a.

pUSTX nk | PROIZWOLXNOE ^ISLO, TAKOE, ^TO nk > N. tOGDA DLQ WSEH n > N IMEEM

jxn ; aj 6 jxn ; xnk j + jxnk ; aj < "=2 + "=2 = ":

tAKIM OBRAZOM, POSLEDOWATELXNOSTX fxng SHODITSQ. tEOREMA DOKAZANA.

oTMETIM, ^TO DLQ WYQSNENIQ WOPROSA O SHODIMOSTI ILI RASHODI- MOSTI POSLEDOWATELXNOSTI KRITERIEM kO[I POLXZOWATXSQ UDOBNEE, ^EM OPREDELENIEM SHODIMOSTI. w SAMOM DELE, DLQ PROWERKI WYPOL- NENIQ USLOWIQ kO[I NET NEOBHODIMOSTI ZARANEE ZNATX (ILI PREDPO- LAGATX), ^EMU RAWEN PREDEL RASSMATRIWAEMOJ POSLEDOWATELXNOSTI.

gLAWA 3

predel funkcii

x 3.1. pONQTIE FUNKCII

pUSTX D | NEKOTOROE MNOVESTWO ^ISEL ILI (^TO TO VE SAMOE) TO^EK NA ^ISLOWOJ PRQMOJ. eSLI KAVDOMU ^ISLU x 2 D POSTAWLE-

44

NO W SOOTWETSTWIE NEKOTOROE ^ISLO y, TO GOWORQT, ^TO NA D ZADANA FUNKCIQ, ^ASTO EE OBOZNA^A@T f I TOGDA PI[UT y = f(x). pRI \TOM x NAZYWA@T NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ ILI ARGUMENTOM, A y | ZAWI- SIMOJ PEREMENNOJ ILI FUNKCIEJ. |TO POD^ERKIWAET, ^TO x MOVNO MENQTX PROIZWOLXNO, A ZNA^ENIE y IZMENQETSQ W ZAWISIMOSTI OT WY- BRANNOGO x.

dLQ OBOZNA^ENIQ FUNKCII ISPOLXZU@T I ODNU BUKWU f I SIM- WOL f(x). tAKIM OBRAZOM, f(x) MOVET OBOZNA^ATX I FUNKCI@ f I ZNA^ENIE FUNKCII f, KOGDA ARGUMENT RAWEN x.

mNOVESTWO D NAZYWA@T MNOVESTWOM OPREDELENIQ ILI OBLASTX@ OPREDELENIQ FUNKCII f.

mNOVESTWO ^ISEL y, KOTORYE POLU^A@TSQ, KOGDA x PROBEGAET WSE ^ISLA IZ D, NAZYWA@T MNOVESTWOM (ILI OBLASTX@) ZNA^ENIJ FUNK- CII f. oBOZNA^IM \TO MNOVESTWO E. gOWORQT, ^TO MNOVESTWO E QWLQETSQ OBRAZOM MNOVESTWA D PRI OTOBRAVENII, OSU]ESTWLQEMOM FUNKCIEJ f.

sAMO MNOVESTWO E NE WSEGDA PROSTO NAJTI, NO \TO I NE NUVNO, KOGDA MY OBSUVDAEM OPREDELENIE FUNKCII. wAVNO TOLXKO UKAZATX, ^TO PREDSTAWLQ@T SOBOJ ZNA^ENIQ FUNKCII. w PRIWEDENNOM OPREDE- LENII \TO BYLI ^ISLA. nO ZNA^ENIQMI FUNKCII MOGUT BYTX I DRUGIE OB_EKTY, NAPRIMER, WEKTORY, MATRICY I T.D.

fUNKCIQ { ODNO IZ OSNOWNYH PONQTIJ MATEMATIKI. oNO IMEET O^ENX OB]IJ HARAKTER. nE TOLXKO OBLASTX ZNA^ENIJ, NO I OBLASTX OPREDELENIQ MOGUT BYTX NE OBQZATELXNO ^ISLOWYMI. nO SEJ^AS MY BUDEM RASSMATRIWATX FUNKCII W TOM WIDE, KAK ONI BYLI OPREDE- LENY WY[E, KOGDA I OBLASTX OPREDELENIQ D I OBLASTX ZNA^ENIJ E QWLQ@TSQ ^ISLOWYMI MNOVESTWAMI.

pONQTIE FUNKCII WYRABATYWALOSX POSTEPENNO. zAWISIMOSTX OD- NIH PEREMENNYH WELI^IN OT DRUGIH RASSMATRIWALI DAWNO. tERMIN \FUNKCIQ" WWEL lEJBNIC. pRIWEDENNOE WY[E SOWREMENNOE OPREDE- LENIE FUNKCII IMEETSQ W MONOGRAFII |JLERA \dIFFERENCIALXNOE IS^ISLENIE" (1755 G.). nUVNO TOLXKO IMETX W WIDU, ^TO W TE GODY TEORETIKO-MNOVESTWENNAQ TERMINOLOGIQ E]E NE BYLA WYRABOTANA. |JLER PISAL:

\kOGDA NEKOTORYE KOLI^ESTWA ZAWISQT OT DRUGIH TAKIM OBRAZOM, ^TO PRI IZMENENII POSLEDNIH I SAMI ONI PODWERGA@TSQ IZMENENI@, TO PERWYE NAZYWA@TSQ FUNKCIQMI WTORYH. |TO NAIMENOWANIE IME- ET ^REZWY^AJNO [IROKIJ HARAKTER, ONO OHWATYWAET WSE SPOSOBY, KAKIMI ODNO KOLI^ESTWO MOVET OPREDELQTXSQ S POMO]X@ DRUGIH. iTAK, ESLI x OBOZNA^AET POSTOQNNOE KOLI^ESTWO, TO WSE KOLI^ESTWA, KOTORYE KAK-LIBO ZAWISQT OT x, T.E. OPREDELQ@TSQ IM, NAZYWA@TSQ EGO FUNKCIQMI".

dLQ OBOZNA^ENIQ FUNKCII f, ZADANNOJ NA MNOVESTWE D, ZNA^E-

45

NIQMI KOTOROJ QWLQ@TSQ ^ISLA, ISPOLXZUETSQ ZAPISX

f : D ! R:

w PODOBNOM OBOZNA^ENII UKAZYWA@TSQ OBLASTX OPREDELENIQ FUNK- CII I MNOVESTWO, KOTOROMU PRINADLEVAT ZNA^ENIQ FUNKCII. tAKAQ ZAPISX NE PREDPOLAGAET, ^TO WSE ^ISLA IZ R QWLQ@TSQ ZNA^ENIQMI FUNKCII.

iNOGDA FUNKCI@, ZADANNU@ NA MNOVESTWE D, NUVNO RASSMATRI- WATX NA BOLEE UZKOM MNOVESTWE D1 D. tOGDA GOWORQT, ^TO FUNKCIQ f : D1 ! R QWLQETSQ SLEDOM FUNKCII f : D ! R NA MNOVESTWE D1 ILI SUVENIEM FUNKCII f : D ! R NA MNOVESTWO D1.

s PONQTIEM FUNKCII MY UVE WSTRE^ALISX, KOGDA DAWALOSX OPRE- DELENIE POSLEDOWATELXNOSTI. fAKTI^ESKI TOGDA RE^X [LA O ^ISLO- WOJ FUNKCII, ZADANNOJ NA MNOVESTWE NATURALXNYH ^ISEL, T.E. O FUNKCII WIDA f : N ! R.

pRI IZU^ENII ^ISLOWYH FUNKCIJ ^ISLOWOGO ARGUMENTA UDOBNO POLXZOWATXSQ IH GRAFIKAMI. gRAFIK FUNKCII f(x) : D ! R { \TO MNOVESTWO TO^EK NA PLOSKOSTI, KOTORYE W NEKOTOROJ DEKARTO- WOJ PRQMOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT IME@T KOORDINATY (x y) = (x f(x)). tO ESTX DLQ KAVDOJ TO^KI x 2 D NA PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ \TU TO^KU PARALLELXNO OSI OY , OTME^ENA TO^KA, ORDINATA KOTOROJ RAWNA f(x). mNOVESTWO WSEH TAKIH TO^EK OBRAZUET GRAFIK FUNKCII f(x).

wOZMOVEN I PODHOD, KOGDA GRAFIK ISPOLXZUETSQ DLQ OPREDELENIQ FUNKCII. w \TOM SLU^AE ISHODNYM QWLQETSQ MNOVESTWO TO^EK (x y) NA PLOSKOSTI, TAKOE, ^TO KAVDOE ^ISLO x WSTRE^AETSQ W \TOM MNO- VESTWE NE BOLEE ODNOGO RAZA (ILI ODIN RAZ, ESLI ZARANEE S^ITATX,

^TO x 2 D).

fUNKCII MOGUT BYTX ZADANY RAZNYMI SPOSOBAMI. oDNIM IZ OS- NOWNYH QWLQETSQ ZADANIE FUNKCII FORMULOJ. pRI \TOM, ESLI OB- LASTX OPREDELENIQ FUNKCII NE UKAZANA, S^ITA@T, ^TO EE OBLASTX OPREDELENIQ SOSTAWLQ@T WSE ZNA^ENIQ ARGUMENTA, PRI KOTORYH FOR- MULA IMEET SMYSL.

x 3.2. oPREDELENIE PREDELA FUNKCII

oKRESTNOSTX@ TO^KI x NAZYWA@T PROIZWOLXNYJ INTERWAL (c d), SODERVA]IJ \TU TO^KU, T.E. DOLVNY WYPOLNQTXSQ USLOWIQ c < x < d. rANX[E GOWORILOSX OB "-OKRESTNOSTQH, KOTORYE TEPERX MOVNO RAS- SMATRIWATX KAK ^ASTNYJ SLU^AJ OKRESTNOSTEJ.

bUDUT DANY DWA WARIANTA OPREDELENIQ PREDELA FUNKCII. zATEM MY POKAVEM, ^TO \TI OPREDELENIQ \KWIWALENTNY.

46

oPREDELENIE PREDELA FUNKCII PO kO[I. ~ISLO a NAZYWAETSQ

PREDELOM FUNKCII f W TO^KE x0, ESLI

1 . FUNKCIQ f OPREDELENA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0, ZA ISKL@^ENIEM, BYTX MOVET, SAMOJ \TOJ TO^KI

2 . DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO = (") > 0, ^TO

DLQ WSEH x 6= x0, UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ jx ; x0j < , WYPOLNQ-
ETSQ NERAWENSTWO
jf(x) ; aj < ":	(3.2.1)
w \TOM SLU^AE PI[UT

a = lim f(x)

x!x0

ILI

f(x) ! a x ! x0:

wMESTO \PREDEL FUNKCII W TO^KE x0" GOWORQT TAKVE \PREDEL FUNK- CII PRI x ! x0".

w OPREDELENII PREDELA FUNKCII NE IMEET ZNA^ENIQ, ZADANA FUNK- CIQ f W TO^KE x0 ILI NET, A ESLI ZADANA, TO ^EMU RAWNO f(x0).

i W USLOWII 10: I W USLOWII 20: GOWORITSQ OB OKRESTNOSTQH TO^- KI x0, ZA ISKL@^ENIEM SAMOJ \TOJ TO^KI. w SWQZI S \TIM WWODITSQ PONQTIE \PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI" | \TO OKRESTNOSTX, IZ KO- TOROJ ISKL@^ENA SAMA \TA TO^KA.

pOLXZUQSX \TIM TERMINOM, USLOWIE 10: MOVNO SFORMULIROWATX TAK: FUNKCIQ f OPREDELENA W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0, A W USLOWII 20: MOVNO GOWORITX, ^TO NERAWENSTWO (3.2.1) WYPOLNQETSQ W PROKOLOTOJ -OKRESTNOSTI TO^KI x0.

oPREDELENIE PREDELA FUNKCII PO kO[I NAZYWA@T TAKVE OPRE- DELENIEM NA QZYKE "{ ILI NA QZYKE OKRESTNOSTEJ.

oPREDELENIE PREDELA FUNKCII PO gEJNE (ILI NA QZYKE PO- SLEDOWATELXNOSTEJ. ~ISLO a NAZYWAETSQ PREDELOM FUNKCII f W

TO^KE x0, ESLI

1 . FUNKCIQ f OPREDELENA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0, ZA ISKL@^ENIEM, BYTX MOVET, SAMOJ \TOJ TO^KI

2 . DLQ KAVDOJ POSLEDOWATELXNOSTI TO^EK x1 x2 x3 : : : IZ OBLA- STI OPREDELENIQ FUNKCII f, SHODQ]EJSQ K x0, NO NE PRINIMA@]EJ ZNA^ENIE x0, POSLEDOWATELXNOSTX f(x1) f(x2) f(x3) : : : SHODITSQ K a, T.E.

a = lim f(xn):

n!1

47

tAKIM OBRAZOM, W OBOIH OPREDELENIQH TREBOWANIQ NA OBLASTX ZA-

DANIQ FUNKCII ODINAKOWY. rAZNICA SOSTOIT W FORMULIROWKE USLO- WIJ 2 .

tEOREMA 3.2.1. oPREDELENIQ PREDELA FUNKCII W TO^KE PO kO[I I PO gEJNE \KWIWALENTNY.

dOKAZATELXSTWO. pUSTX a | PREDEL FUNKCII f W TO^KE x0 PO kO[I. pOKAVEM, ^TO a QWLQETSQ PREDELOM PO gEJNE.

wOZXMEM PROIZWOLXNU@ POSLEDOWATELXNOSTX fxng, WSE TO^KI xn KOTOROJ PRINADLEVAT OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII f, xn =6 x0 DLQ WSEH NATURALXNYH n I xn ! x0 PRI n ! 1. pO ZADANNOMU " > 0 NAJDEM > 0 TAKOE, ^TO DLQ WSEH x, DLQ KOTORYH 0 < jx ; x0j < , WYPOLNQETSQ USLOWIE jf(x) ; aj < ".

tAK KAK xn ! x0, TO PO \TOMU MOVNO NAJTI N, ZAWISQ]EE OT , A W KONE^NOM S^ETE ZAWISQ]EE OT ", TAKOE, ^TO 8n > N WYPOLNQETSQ

USLOWIE jxn ; x0j < . nO TOGDA DLQ \TIH n IMEEM jf(xn) ; aj < ", T.E. a = limn f(xn). tAKIM OBRAZOM, a QWLQETSQ PREDELOM FUNKCII f

PO gEJNE.

pUSTX TEPERX, NAOBOROT, a | PREDEL FUNKCII f W TO^KE x0 PO gEJNE. bUDEM RASSUVDATX OT PROTIWNOGO. pREDPOLOVIM, ^TO a NE QWLQETSQ PREDELOM PO kO[I.

|TO OZNA^AET, ^TO SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO "0 > 0, ^TO DLQ

L@BOGO > 0 NAJDETSQ TO^KA x0 TAKAQ, ^TO 0 < jx0 ; x0j < I jf(x0) ; aj > "0.

bUDEM W KA^ESTWE BRATX ^ISLA 1=n n 2 N. tOGDA DLQ KAVDOGO n POLU^IM TAKU@ TO^KU xn 6= x0, W KOTOROJ FUNKCIQ f OPREDELENA, 0 < jxn ; x0j < 1=n I jf(xn) ; aj > "0. pOSTROENNAQ POSLEDOWATELXNOSTX fxng OTNOSITSQ K ^ISLU TEH, KAKIE RASSMATRIWA@TSQ W OPREDELENII PREDELA PO gEJNE, NO DLQ NEE jf(xn) ; aj > "0. |TO PROTIWORE^IT USLOWI@, ^TO a { PREDEL FUNKCII f PO gEJNE.

tEOREMA DOKAZANA.

|TA TEOREMA POZWOLQET GOWORITX O PREDELE FUNKCII W TO^KE, NE UKAZYWAQ, W KAKOM SMYSLE PONIMAETSQ \TOT PREDEL, I KAVDYJ RAZ POLXZOWATXSQ BOLEE UDOBNYM WARIANTOM OPREDELENIQ.

zAMETIM, ^TO IZ OPREDELENIQ PREDELA FUNKCII SLEDUET, ^TO ESLI PREDEL FUNKCII W TO^KE SU]ESTWUET, TO ON OPREDELQETSQ ODNOZNA^NO.

wSE, ^TO BYLO SKAZANO O PREDELE FUNKCII, PRISPOSOBLENO K SLU- ^A@, KOGDA x0 | ^ISLO (TO^KA NA ^ISLOWOJ PRQMOJ). nO RASSMATRI- WA@TSQ TAKVE PREDELY FUNKCII, KOGDA x STREMITSQ K +1, K ;1 ILI K 1.

pOZNAKOMIMSQ S NEKOTORYMI PONQTIQMI, KOTORYE POKAVUT, ^TO \TI SLU^AI NE IME@T PRINCIPIALXNYH RAZLI^IJ.

48

nARQDU S ^ISLOWOJ PRQMOJ R = (;1 +1) RASSMATRIWAETSQ RAS- [IRENNAQ ^ISLOWAQ PRQMAQ. zDESX WOZMOVNY DWA WARIANTA. w ODNOM SLU^AE K (;1 +1) DOBAWLQ@TSQ DWE \BESKONE^NO UDALENNYE TO^- KI" ;1 I +1. tOGDA WSE \LEMENTY RAS[IRENNOJ TAKIM OBRAZOM ^ISLOWOJ PRQMOJ OSTA@TSQ UPORQDO^ENNYM MNOVESTWOM (DLQ L@BO- GO ^ISLA x IMEEM ;1 < x < +1), NO ARIFMETI^ESKIE DEJSTWIQ OPREDELENY NE DLQ L@BOJ PARY \LEMENTOW. nAPRIMER, IME@T SMYSL WYRAVENIQ x+(+1) (+1)+(+1), NO NE IME@T SMYSLA WYRAVENIQ WIDA (+1) + (;1) ILI 0 (+1). oKRESTNOSTI SIMWOLA (\TO^KI") +1 OPREDELQ@TSQ KAK MNOVESTWA TO^EK x, UDOWLETWORQ@]IH NERA- WENSTWAM x > L, GDE L { PROIZWOLXNOE ^ISLO. a DLQ ;1 OKRESTNOSTI OPREDELQ@TSQ NERAWENSTWAMI x < L.

dRUGOJ WARIANT RAS[IRENNOJ ^ISLOWOJ PRQMOJ POLU^IM, KOGDA K ^ISLOWOJ PRQMOJ (;1 +1) DOBAWLQETSQ ODIN SIMWOL 1 (BEZ ZNA- KA). zDESX UPORQDO^ENNOSTI NET I ARIFMETR^ESKIE DEJSTWIQ TAKVE OPREDELENY NE DLQ WSEH SLU^AEW. oKRESTNOSTI SIMWOLA (\TO^KI") 1 OPREDELQ@TSQ KAK MNOVESTWA TO^EK, LEVA]IH WNE PROIZWOLXNYH OTREZKOW [L M].

|TI PONQTIQ DA@T PREDSTAWLENIE, KAK DOLVNY WYGLQDETX OPRE- DELENIQ PREDELOW FUNKCII PRI x ! +1 (ILI ;1 ILI 1). oSTANO- WIMSQ PODROBNO NA SLU^AE x ! +1. oSTALXNYE SLU^AI ANALOGI^NY. oPREDELENIE. ~ISLO a NAZYWAETSQ PREDELOM FUNKCII f PRI x !

+1, ESLI

1 . FUNKCIQ f OPREDELENA DLQ WSEH x, UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ x > L, GDE L | NEKOTOROE ^ISLO

2 . (OPREDELENIE PO kO[I) DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO M("), ^TO DLQ WSEH x > M WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO

jf(x) ; aj < "

2 . (OPREDELENIE PO gEJNE) DLQ KAVDOJ POSLEDOWATELXNOSTI fxng, GDE WSE xn PRINADLEVAT OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII f I xn ! +1, SPRAWEDLIWO RAWENSTWO

a = lim f(xn):

n!1

|KWIWALENTNOSTX OPREDELENIJ PO kO[I I PO gEJNE DOKAZYWAET- SQ ANALOGI^NO. zAMETIM, ^TO ESLI W OPREDELENII PREDELA PO kO[I WMESTO ZAPISI NERAWENSTW, GOWORITX OB OKRESTNOSTQH, TO NIKAKOJ RAZNICY MEVDU SLU^AQMI KONE^NOGO x0 I BESKONE^NOGO SIMWOLA NE BUDET.

nAKONEC, DA@TSQ OPREDELENIQ, KOGDA PREDELOM QWLQETSQ NE ^ISLO

a, A BESKONE^NYJ SIMWOL. nAPRIMER, PO OPREDELENI@ lim f(x) = 1,

x!x0

49

ESLI (POMIMO TREBOWANIQ NA OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII f) DLQ L@BOGO ^ISLA M SU]ESTWUET TAKOE = (M) > 0, ^TO DLQ WSEH

x =6 x0, DLQ KOTORYH jx ; x0j < , IMEEM jf(x)j > M.

pODOBNYM OBRAZOM MOVNO GOWORITX O SLU^AQH, KOGDA lim f(x) =

x!x0

+1 (ILI ;1), A TAKVE OB OPREDELENIQH, W KOTORYH ROLX x0 OTDANA KAKOMU-LIBO BESKONE^NOMU SIMWOLU.

kAK I DLQ POSLEDOWATELXNOSTEJ, BUDEM GOWORITX, ^TO FUNKCIQ IMEET PREDEL, ESLI \TOT PREDEL KONE^EN. a ESLI PREDEL MOVET BYTX I BESKONE^NYM, TO \TO BUDET OTME^ATXSQ.

x 3.3. sWOJSTWA PREDELA FUNKCII

tEOREMA 3.3.1. eSLI FUNKCIQ IMEET PREDEL PRI x ! x0, TO ONA OGRANI^ENA W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0.

dOKAZATELXSTWO. pUSTX a = lim f(x). wZQW " = 1, NAHODIM >

x!x0

0, PRI KOTOROM DLQ WSEH x 6= x0 TAKIH, ^TO jx ; x0j < , IMEEM jf(x) ; aj < 1. tOGDA DLQ \TIH x SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO

jf(x)j 6 jf(x) ; aj + jaj < 1 + jaj

I TEOREMA DOKAZANA.

tEOREMA 3.3.2. eSLI lim f(x) = a I a 6= 0, TO SU]ESTWUET TA-

x!x0

KAQ PROKOLOTAQ OKRESTNOSTX TO^KI x0, ^TO DLQ WSEH x IZ \TOJ OKRESTNOSTI WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO

1

jf(x)j > 2 jaj:

pRI \TOM f(x) > a=2, ESLI a > 0, I f(x) < a=2, ESLI a < 0.

dOKAZATELXSTWO. rASSUVDENIQ ANALOGI^NY DOKAZATELXSTWU SOOT- WETSTWU@]EJ TEOREMY DLQ POSLEDOWATELXNOSTEJ.

pOLAGAEM " := jaj=2 I NAHODIM > 0 TAKOE, ^TO DLQ WSEH x,
UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@	0 < jx ; x0j < ,		WYPOLNQETSQ OCENKA
	1
jf(x) ; aj < 2 jaj:
|TA OCENKA RAWNOSILXNA DWOJNOMU NERAWENSTWU
1		1
a ; 2 jaj < f(x) < a +		2 jaj:		(3.3.1)

tEPERX, ESLI a > 0, TO POLXZUEMSQ LEWYM NERAWENSTWOM (3.3.1), A ESLI a < 0, TO | PRAWYM NERAWENSTWOM (3.3.1).

50