Матан, Лекции - Теляковский 1

0 1 +1 ; (+1) (+0)0 (+1)0 11:

OBRAZOM, I f0 I g0 IME@T KAVDAQ SWOJ ZNAK I BESKONE^NYJ PREDEL RAWEN +1 ILI ;1.

|TO ZAME^ANIE OTNOSITSQ I K ODNOSTORONNIM BESKONE^NYM PRE- DELAM W TEOREME 6.3.2.

rASSMOTRIM NEOPREDELENNOSTI DRUGIH TIPOW. oNI WOZNIKA@T, KOGDA PRI FORMALXNOM PEREHODE K PREDELU POLU^A@TSQ WYRAVENIQ WIDA

pOKAVEM, KAK KAVDYJ IZ \TIH SLU^AEW MOVNO SWESTI, NAPRIMER, K NEOPREDELENNOSTI WIDA 0=0.

pUSTX lim f(x) = 0 I lim g(x) = 1. tOGDA WMESTO PREDELA lim f(x)g(x)

MOVNO RASSMATRIWATX PREDEL

lim f(x) 1=g(x)

KOTORYJ QWLQETSQ NEOPREDELENNOSTX@ WIDA 0=0.

eSLI lim f(x) = +1 I lim g(x) = +1, TO PREDSTAWIM RAZNOSTX
\TIH FUNKCIJ W WIDE PROIZWEDENIQ
f(x) ; g(x) =							1			1		f(x)g(x)
										;
						g(x)					f(x)
A PREDEL POSLEDNEGO WYRAVENIQ QWLQETSQ NEOPREDELENNOSTX@ WIDA
0 1.	0	,	1	0	,		1	1		OBY^NO RASKRYWA@T, POLXZUQSX
nEOPREDELENNOSTI 0
PREDSTAWLENIEM

f(x)g(x) = eln f(x)g(x) = eg(x) ln f(x)

(PRI ESTESTWENNOM USLOWII f(x) > 0). tOGDA DLQ NEOPREDELENNOSTEJ WIDA (+0)0 (+1)0 WYRAVENIE W POKAZATELE STEPENI PREOBRAZU@TSQ W 0 1, A DLQ NEOPREDELENNOSTI 11 | W 1 0.

w KA^ESTWE PRIMERA NA PRIMENENIE PRAWILA lOPITALQ POSTROIM BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMU@ FUNKCI@, KOTORAQ IMEET NULX TOLX- KO W ODNOJ TO^KE, A WSE EE PROIZWODNYE W \TOJ TO^KE RAWNY NUL@.

pOKAVEM, ^TO \TIM SWOJSTWOM OBLADAET FUNKCIQ

	(
'(x) :=	e;1=x2	PRI x = 0
	0	6
		PRI x = 0:

121

pRI \TOM BUDET ISPOLXZOWATXSQ RAWENSTWO

e;1=x2

lim k = 0 (6.3.14)

x!0 x

GDE k | PROIZWOLXNOE NATURALXNOE ^ISLO. ~TOBY USTANOWITX (6.3.14), SDELAEM ZAMENU 1=x2 = t I BUDEM IZU^ATX POLU^IW[EESQ WYRAVENIE

	;1=x2	k=2
e	xk	= tet

PRI t ! +1. s POMO]X@ PRAWILA lOPITALQ LEGKO UBEDITXSQ, ^TO

tk=2

lim t = 0: (6.3.15)

t!+1 e

dEJSTWITELXNO, PRI KAVDOM DIFFERENCIROWANII ZNAMENATELX OSTA- ETSQ BEZ IZMENENIJ, A POKAZATELX STEPENI W ^ISLITELE UMENX[AETSQ NA EDINICU. pO\TOMU POSLE DOSTATO^NOGO ^ISLA DIFFERENCIROWANIJ ^ISLITELX STANET OGRANI^ENNYM I MY POLU^IM (6.3.15).

pRI x 6= 0 IMEEM

'0(x) = x23 e;1=x2

A KAVDAQ SLEDU@]AQ PROIZWODNAQ FUNKCII '(x) RAWNA PROIZWEDE- NI@ e;1=x2 NA NEKOTORU@ LINEJNU@ KOMBINACI@ DROBEJ WIDA 1=xk.

pO\TOMU W SILU (6.3.14) RAWENSTWA '(m)(0) = 0 WYPOLNQ@TSQ DLQ WSEH m = 1 2 : : : I NA[E UTWERVDENIE DOKAZANO.

x 6.4. fORMULA tEJLORA

rASSMOTRIM WSPOMOGATELXNU@ ZADA^U. pUSTX FUNKCIQ f(x) IME- ET W TO^KE a PROIZWODNYE DO PORQDKA m WKL@^ITELXNO. tREBUET- SQ NAJTI MNOGO^LEN Q(x) STEPENI NE WY[E m TAKOJ, ^TO DLQ WSEH p = 0 1 : : : m WYPOLNQ@TSQ RAWENSTWA

f(p)(a) = Q(p)(a):

bUDEM ISKATX MNOGO^LEN, Q(x) W WIDE

m

Q(x) = X k(x ; a)k

k=0

GDE KO\FFICIENTY k NUVNO OPREDELITX.

122

nAJDEM PROIZWODNU@ MNOGO^LENA Q(x) PORQDKA p p = 0 1 : : : m:

Q(p)(x) = p! p + (p+ 1)p : : : 2 (x;a) + (p + 2)(p + 1) : : :3 (x;a)2 + : : : :

oTS@DA

Q(p)(a) = p! p:

zNA^IT, DOLVNY WYPOLNQTXSQ RAWENSTWA
p =	Q(p)(a) = f(p)(a)			p = 0 1 : : : m:
	p!		p!
tAKIM OBRAZOM, POSTAWLENNU@ ZADA^U RE[AET MNOGO^LEN
		m	f(k)(a)
	Q(x) =	X	k!	(x ; a)k :	(6.4.1)
		k=0

mNOGO^LEN Q(x), ZADANNYJ FORMULOJ (6.4.1), NAZYWA@T MNOGO- ^LENOM tEJLORA PORQDKA m FUNKCII f W TO^KE a.

pUSTX FUNKCIQ f IMEET W TO^KE a PROIZWODNU@ PORQDKA n ; 1. sOSTAWIM RAZNOSTX FUNKCII f I EE MNOGO^LENA tEJLORA PORQDKA

n ; 1:	n;1	f(k)(a)
f(x) ;	X			(x ; a)k = Rn(x):
		k!
	k=0
rAWENSTWO
	n;1 f(k)		(a)
f(x) =	X	k!			(x ; a)k + Rn(x)	(6.4.2)
	k=0

NAZYWA@T FORMULOJ tEJLORA PORQDKA n ; 1 FUNKCII f W TO^KE a, FUNKCI@ Rn(x) | OSTATO^NYM ^LENOM FORMULY tEJLORA.

pO POSTROENI@ MNOGO^LENA tEJLORA W TO^KE a WSE PROIZWODNYE

FUNKCII Rn(x) DO PORQDKA n ; 1 RAWNY NUL@.

lEMMA 6.4.1. pUSTX FUNKCIQ f NEPRERYWNA NA OTREZKE S KONCAMI W TO^KAH a I x, IMEET WO WSEH TO^KAH \TOGO OTREZKA, ZA ISKL@^E-

NIEM, BYTX MOVET, TO^KI x, PROIZWODNU@ PORQDKA n ;1 n > 1, I
Rn(x) | OSTATO^NYJ ^LEN FORMULY tEJLORA PORQDKA n ; 1 FUNK-
CII f W TO^KE a.
eSLI g(x) := (x ; a)n, TO SU]ESTWUET TAKAQ TO^KA x , RASPO-
LOVENNAQ MEVDU a I x, ^TO
	(n;1)	(n;1)
Rn(x) =	Rn	(x ) ; Rn	(a)	:	(6.4.3)
g(x)		n!(x ; a)

123

dOKAZATELXSTWO. tAK KAK Rn(a) = 0 I g(a) = 0, TO

Rn(x) = Rn(x) ; Rn(a) : g(x) g(x) ; g(a)

k POLU^ENNOJ DROBI PRIMENIM TEOREMU kO[I O SREDNEM, SOGLAS- NO KOTOROJ SU]ESTWUET TO^KA x1, LEVA]AQ MEVDU TO^KAMI a I x,

TAKAQ, ^TO

Rn(x) = Rn00 (x1) : g(x) g (x1)

pOLXZUQSX TEM, ^TO Rn0 (a) = 0 I g0(a) = 0, ZAPISYWAEM

Rn0 (x1) = Rn0 (x1) ; Rn0 (a) g0(x1) g0(x1) ; g0(a)

I, WNOWX PRIMENIW TEOREMU kO[I O SREDNEM, NAHODIM TO^KU x2, LE- VA]U@ MEVDU a I x1, A, ZNA^IT, MEVDU TO^KAMI a I x, TAKU@, ^TO

Rn0 (x1) = Rn00(x2) : g0(x1) g00(x2)

pRODOLVAEM \TOT PROCESS I NAHODIM TO^KU xn;1 MEVDU TO^KAMI a I x, DLQ KOTOROJ

		(n;1)
Rn(x)	=	Rn	(xn;1)	:
g(x)		g(n;1)(xn;1)

tEPERX, ^TOBY POLU^ITX FORMULU (6.4.3), NUVNO U^ESTX, ^TO

g(n;1)(x) = n!(x ; a) I R(n;1)(a) = 0, I POLOVITX x = xn;1.

n

lEMMA DOKAZANA.

tEOREMA 6.4.2 (fORMULA tEJLORA S OSTATO^NYM ^LENOM W FORME lAGRANVA). pUSTX FUNKCIQ f NEPRERYWNA NA OTREZKE S KONCAMI W TO^KAH a I x, IMEET NA INTERWALE S KONCAMI W \TIH TO^KAH PROIZWODNU@ PORQDKA n, n > 1, I NEPRERYWNU@ PROIZWODNU@ PORQDKA n ; 1 W TO^KE a (ODNOSTORONN@@ SO STORONY TO^KI x). tOGDA SU]ESTWUET ^ISLO , 0 < < 1, TAKOE, ^TO SPRAWEDLIWO RAWENSTWO

	n;1 f(k)(a)			f(n)(a + (x a))
f(x) =	X	k!	(x ; a)k +	n! ; (x ; a)n (6.4.4)
	k=0

NAZYWAEMOE FORMULOJ tEJLORA PORQDKA n;1 W TO^KE a S OSTATO^- NYM ^LENOM W FORME lAGRANVA.

124

dOKAZATELXSTWO. pUSTX Rn(x) | OSTATO^NYJ ^LEN FORMULY tEJ- LORA (6.4.2) FUNKCII f, RAWNYJ RAZNOSTI FUNKCII f I EE MNOGO^LENA

tEJLORA PORQDKA n ; 1.

zAPI[EM FORMULU (6.4.3) I PRIMENIM TEOREMU kO[I O SREDNEM K DROBI W PRAWOJ ^ASTI \TOJ FORMULY. tOGDA POLU^IM, ^TO MEVDU a I x SU]ESTWUET TO^KA TAKAQ, ^TO

	(n)
Rn(x)	= Rn	( )	:
g(x)	n!

tAK KAK PROIZWODNAQ PORQDKA n OT MNOGO^LENA PORQDKA NE WY[E n ; 1 RAWNA NUL@, TO Rn(n)( ) = f(n)( ). pO\TOMU, ZAPISAW W WIDE a + (x ; a), GDE 0 < < 1, POLU^IM

Rn(x) = f(n)(a + (x ; a)) n1! (x ; a)n

A \TO RAWNOSILXNO (6.4.4). tEOREMA DOKAZANA.

pRI n = 1 FORMULA (6.4.4) IMEET WID

f(x) = f(a) + f0(a + (x ; a)) (x ; a)

T.E. \TO | FORMULA KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA.

iZ TEOREMY 6.4.2 SLEDUET, ^TO ESLI DLQ NEKOTOROGO n SPRAWED- LIWO TOVDESTWO f(n)(x) 0, TO FUNKCIQ f QWLQETSQ MNOGO^LENOM STEPENI NE WY[E n ; 1. pRI n = 1 \TO UTWERVDENIE SOSTAWLQLO TEOREMU 6.2.4.

tEOREMA 6.4.3 (fORMULA tEJLORA S OSTATO^NYM ^LENOM W FORME pEANO). pUSTX FUNKCIQ f(x) IMEET W TO^KE a PROIZWODNU@ PORQDKA n, GDE n > 1. tOGDA SPRAWEDLIWA OCENKA

	n	f(k)(a)
f(x) =	X	k! (x ; a)k + o ((x ; a)n) x ! a	(6.4.5)
	k=0

NAZYWAEMAQ FORMULOJ tEJLORA PORQDKA n W TO^KE a S OSTATO^NYM ^LENOM W FORME pEANO.

dOKAZATELXSTWO. iZ SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ f(n)(a) ZAKL@^A- EM, ^TO OSTATO^NYJ ^LEN Rn FORMULY tEJLORA (6.4.2) IMEET W TO^-

KE a PROIZWODNU@ PORQDKA n I SPRAWEDLIWO RAWENSTWO Rn(n)(a) = f(n)(a).

125

n1! Rn(n)(a) + o (1) = n1! f(n)(a) + o (1) x ! a:

tAK KAK PROIZWODNAQ f(n;1) SU]ESTWUET W NEKOTOROJ OKRESTNOS- TI TO^KI a, TO WYPOLNENY USLOWIQ LEMMY 6.4.1. pO\TOMU MOVNO WOSPOLXZOWATXSQ RAWENSTWOM (6.4.3) I ZAPISATX EGO PRAWU@ ^ASTX W WIDE

tAKIM OBRAZOM,

Rn(x)	1
	= f(n)(a)		+ o (1) x ! a:
g(x)		n!

uMNOVIW LEWU@ I PRAWU@ ^ASTI \TOJ OCENKI NA g(x), PRIHODIM K (6.4.5).

tEOREMA DOKAZANA.

w TEOREME 6.4.3 PROIZWODNAQ MOVET PONIMATXSQ KAK ODNOSTORON- NQQ. tOGDA OCENKA (6.4.5) IMEET MESTO DLQ x IZ SOOTWETSTWU@]EJ ODNOSTORONNEJ OKRESTNOSTI TO^KI a.

pRI n = 1 FORMULA (6.4.5) PRINIMAET WID

f(x) = f(a) + f0(a)(x ; a) + o(x ; a) x ! a

RAWNOSILXNYJ PREDSTAWLENI@ PRIRA]ENIQ FUNKCII ^EREZ DIFFE- RENCIAL.

oSTATO^NYJ ^LEN W FORMULE tEJLORA ZAWISIT OT n I OT x ; a. ~ASTO FORMULOJ tEJLORA POLXZU@TSQ, KOGDA n FIKSIROWANO I x ; a ! 0 ILI KOGDA x FIKSIROWANO, A n ! 1.

x 6.5. fORMULA tEJLORA DLQ \LEMENTARNYH FUNKCIJ

zAPI[EM DLQ \LEMENTARNYH FUNKCIJ IH MNOGO^LENY tEJLORA I BUDEM SLEDITX ZA POWEDENIEM OSTOTO^NOGO ^LENA FORMULY tEJLO- RA PRI FIKSIROWANNOM x I n ! 1. pRI \TOM BUDEM POLXZOWATXSQ PREDSTAWLENIEM OSTATO^NOGO ^LENA W FORME lAGRANVA.

dLQ PROSTOTY ZAPISI I PO TRADICII BUDEM RASSMATRIWATX FOR- MULU tEJLORA W NULE.

1 pOKAZATELXNAQ FUNKCIQ f(x) = ex tAK KAK f(k)(x) = ex, TO f(k)(0) = 1 DLQ WSEH k. zNA^IT,

x	n	1	k		e x	n+1
e =	X	k! x		+ (n + 1)! x			(6.5.1)
	k=0

126

GDE 0 < < 1.

nO DLQ KAVDOGO x IMEEM e x 6 ejxj. pO\TOMU DLQ OSTATO^NOGO ^LENA FORMULY tEJLORA (6.5.1) SPRAWEDLIWA OCENKA

e x

x n+1

xn+1

6

(jn j+ 1)!

ejxj

(n + 1)!

KOTORAQ W SILU (2.5.1) POKAZYWAET, ^TO DLQ KAVDOGO x OSTATO^NYJ

^LEN FORMULY tEJLORA STREMITSQ K NUL@ PRI n ! 1.

pRI x = 1 IZ FORMULY (6.5.1) POLU^AEM

n

1

e

X

e =

k!

+ (n + 1)! :

(6.5.2)

k=0

pRI n = 2 IMEEM

2

1

e

1

e

e =

X

+

< 1 + 1 +

+

k!

3!

2

6

k=0

I, ZNA^IT, e < 3.

	tAKIM OBRAZOM, SOGLASNO (6.5.2) SPRAWEDLIWA OCENKA
		n	1		3
		X
	0 < e ;		k!		< (n + 1)! :			(6.5.3)
		k=0

dROBX W PRAWOJ ^ASTI FORMULY (6.5.3) PRI n ! 1 STREMIT- SQ K NUL@ DOSTATO^NO BYSTRO. pO\TOMU FORMULA (6.5.2), W OTLI^IE OT OPREDELENIQ ^ISLA e, MOVET BYTX ISPOLXZOWANA DLQ NAHOVDENIQ

PRIBLIVENNOGO ZNA^ENIQ e.

s POMO]X@ (6.5.3) LEGKO DOKAZATX IRRACIONALXNOSTX ^ISLA e. bUDEM RASSUVDATX OT PROTIWNOGO. pREDPOLOVIM, ^TO e RACIO-

NALXNO I

e =	m		(6.5.4)
	n

GDE n > 2, TAK KAK e ZAWEDOMO NE QWLQETSQ NATURALXNYM ^ISLOM. uMNOVIW DWOJNOE NERAWENSTWO (6.5.3) NA n!, POLU^IM

		n	n!	3
		X
	0 < n! e ;		k!	< n + 1 6 1:
		k=0

127

tAKIM OBRAZOM, ^ISLO

	n	n!		n	n!
n! e ;	X	k!	= (n ; 1)! m ;	X	k!
	k=0			k=0

DOLVNO PRINADLEVATX INTERWALU (0 1), wMESTE S TEM, \TO ^ISLO CELOE. pOLU^ENNOE PROTIWORE^IE DOKAZYWAET IRRACIONALXNOSTX e.

2 fUNKCIQ sin x

iMEEM

sin(k) x = sin x + k2

OTKUDA

sin(k) 0 = sin k2 :

tAKIM OBRAZOM, ZNA^ENIE PROIZWODNOJ PORQDKA k W NULE DLQ ^ET-
NYH k RAWNO NUL@, A DLQ NE^ETNYH k ONO RAWNO (;1)k;1.
zNA^IT, FORMULA tEJLORA PORQDKA 2n;1 DLQ FUNKCII sin x IME-
ET WID
	n			x2k;1
	X	(;1)k;1
sin x =					;		+ R2n;1(x)			(6.5.5)
	k=1			(2k		1)!
GDE DLQ OSTATO^NOGO ^LENA SPRAWEDLIWO PREDSTAWLENIE
			sin(2n+1) x					2n+1
R2n;1(x) =				(2n + 1)!				x	:

oTS@DA SLEDUET OCENKA

jR2n;1(x)j 6 jxj2n+1

(2n + 1)!

KOTORAQ POKAZYWAET, ^TO DLQ WSEH x OSTATO^NYJ ^LEN STREMITSQ K NUL@ PRI n ! 1.

3 fUNKCIQ cos x

w \TOM SLU^AE RASSUVDENIQ ANALOGI^NY PREDYDU]IM. tAK KAK cos(k) x = cos x + k2

128

	TO				k
		cos(k) 0 = cos					:
						2
	pO\TOMU
		n		x2k
	cos x =	X	(;1)k			+ R2n(x)		(6.5.6)
				(2k)!
		k=0

GDE DLQ OSTATO^NOGO ^LENA SPRAWEDLIWA OCENKA

x2n+2

jR2n(x)j 6 (2n + 2)! :

zNA^IT, OSTATO^NYJ ^LEN DLQ KAVDOGO x STREMITSQ K NUL@ PRI

n ! 1.

4fUNKCII sh x I ch x

tAK KAK sh(k) x = sh x DLQ ^ETNYH k I sh(k) x = ch x DLQ NE^ETNYH k, TO sh(k) 0 = 0 DLQ ^ETNYH k I sh(k) 0 = 1 DLQ NE^ETNYH k. pO\TOMU

n

x2k;1

sh x =

X

+ R2n;1(x)

(6.5.7)

;

k=1

(2k

1)!

GDE DLQ R2n+1(x) SPRAWEDLIWA OCENKA

j

R2n;1(x)

j

6 ejxj

jxj2n+1

:

(2n + 1)!

aNALOGI^NO,

n

x2k

ch x =

X

+ R2n(x)

(6.5.8)

k=0

(2k)!

GDE

x2n+2

jxj

jR2n(x)j

6 e

:

(2n + 2)!

w OBOIH \TIH SLU^AQH DLQ KAVDOGO FIKSIROWANNOGO x OSTATO^- NYJ ^LEN STREMITSQ K NUL@ PRI n ! 1.

zAMETIM, ^TO FORMULY (6.5.7) I (6.5.8) MOVNO WYWESTI I IZ

(6.5.1).

129

5lOGARIFMI^ESKAQ FUNKCIQ f(x) = ln(1 + x)

zDESX W OTLI^IE OT PREDYDU]IH PRIMEROW FUNKCIQ OPREDELENA NE DLQ WSEH x, A TOLXKO PRI x > ;1.

nAJDEM PROIZWODNYE FUNKCII ln(1 + x). iMEEM

f0(x) =

1

= (1 + x);1

1 + x

I PRI k > 2

f(k)(x) =

(;1) (;2) : : : (;(k

; 1))

= (;1)k;1(k ; 1)!

:

(1 + x)k

(1 + x)k

pO\TOMU

n

xk

X

(;1)k;1

ln(1 + x) =

k

+ Rn(x)

(6.5.9)

k=1

GDE

Rn(x) = (;1)n

xn+1

0 < < 1:

(6.5.10)

(n + 1)(1 + x)n+1

oCENIM OSTATO^NYJ ^LEN (6.5.10). eSLI x 2 [0 1], TO

1

jRn(x)j 6

:

(6.5.11)

n + 1

pO\TOMU DLQ \TIH x OSTATO^NYJ ^LEN FORMULY (6.5.9) STREMITSQ K

NUL@ PRI n

! 1.

eSLI x 2 [;1=2 0), TO

xn+1

x

n+1

jxj

n+1

=

<

6 1:

(1 + x)n+1

1 + x

1 ; jxj

zNA^IT, DLQ \TIH x TAKVE SPRAWEDLIWA OCENKA (6.5.11).

[;1=2 1] OSTATO^-

tAKIM OBRAZOM, MY USTANOWILI, ^TO DLQ x 2

NYJ ^LEN FORMULY (6.5.9) STREMITSQ K NUL@ PRI n ! 1.

w GLAWE 16 BUDET USTANOWLENO, ^TO OSTATO^NYJ ^LEN FORMULY

(6.5.9) PRI n ! 1 STREMITSQ K NUL@ DLQ x 2 (;1 1], A DLQ OSTALX- NYH x \TO NE TAK. pREDSTAWLENIE OSTATO^NOGO ^LENA W FORME lA- GRANVA (6.5.10) NE POZWOLQET SDELATX \TOT WYWOD.

130