Матан, Лекции - Теляковский 1

dOKAZATELXSTWO. bUDEM S^ITATX, ^TO W PREDSTAWLENII ^ISEL DESQ- TI^NYMI DROBQMI NE ISPOLXZUETSQ ZAPISX S 9 W PERIODE.

pUSTX SNA^ALA a > 0 I m | TAKOE ^ISLO, ^TO ai = bi DLQ

i = 0 1 : : : m ; 1 I am < bm. pOKAVEM, ^TO W KA^ESTWE k MOVNO WZQTX L@BOE NATURALXNOE ^ISLO, UDOWLETWORQ@]EE USLOWIQM: k > m

I ak < 9.

w SAMOM DELE, WOZXMEM ^ISLO c, U KOTOROGO ci = ai DLQ WSEH i =6 k I ck = ak + 10;k. pONQTNO, ^TO b > c. oBOZNA^IM n-YE DESQTI^NYE PRIBLIVENIQ ^ISLA c ^EREZ n. tOGDA DLQ n > m IMEEM n > n. nO ESLI n > k, TO n = n + 10;k. zNA^IT, DLQ \TIH n IMEEMn > n + 10;k I WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO (1.2.2).

eSLI a < 0 I b > 0, TO n > 0 I DLQ L@BOGO k TAKOGO, ^TO ;a > 10;k, PRI WSEH n IMEEM

n ; n > ; n > ;a > 10;k:

rASSMOTRIM, NAKONEC, SLU^AJ, KOGDA a < 0 I b < 0.

tAK KAK a < 0, TO n + 10;n 6 0 I, ZNA^IT, n-YM DESQTI^NYM PRIBLIVENIEM ^ISLA jaj QWLQETSQ j n + 10;nj. tO^NO TAKVE n-YM DESQTI^NYM PRIBLIVENIEM ^ISLA jbj QWLQETSQ j n + 10;nj.

iZ USLOWIQ a < b SLEDUET, ^TO jaj > jbj > 0. dLQ POLOVITELXNYH

^ISEL LEMMA UVE DOKAZANA I MY MOVEM WYBRATX TAKOE k, ^TO j n + 10;nj ; j n + 10;nj > 10;k DLQ WSEH n > k. nO j n + 10;nj ; j n + 10;nj = ;( n + 10;n) + ( n + 10;n) = n ; n I MY PRI[LI K OCENKE (1.2.2).

lEMMA DOKAZANA.

lEMMA 1.2.4. eSLI DLQ ^ISLA p SU]ESTWUET TAKOE NATURALXNOE ^ISLO q, ^TO DLQ WSEH NATURALXNYH n

jpj 6 q 10;n

TO p = 0.

dOKAZATELXSTWO. pREDPOLOVIM PROTIWNOE. pUSTX DLQ NEKOTOROGO k ^ISLO pk (IZ PREDSTAWLENIQ p W WIDE BESKONE^NOJ DESQTI^NOJ DRO- BI) OTLI^NO OT NULQ.

nAJDEM NATURALXNOE m, DLQ KOTOROGO

10;k > q 10;m:

tOGDA

jpj > pk 10;k > 10;k > q 10;m

^TO PROTIWORE^IT USLOWI@. lEMMA DOKAZANA.

11

x 1.3. tO^NAQ WERHNQQ I TO^NAQ NIVNQQ GRANI ^ISLOWYH MNOVESTW

sDELAEM NESKOLXKO PREDWARITELXNYH ZAME^ANIJ O MNOVESTWAH. mNOVESTWO QWLQETSQ ODNIM IZ ISHODNYH PONQTIJ W MATEMATIKE, ONO NE OPREDELQETSQ. mOVNO WMESTO SLOWA \MNOVESTWO" GOWORITX O NABORE, SOWOKUPNOSTI, SOBRANII, KOLLEKCII. nO WSE \TI SLOWA NE MOGUT SLUVITX OPREDELENIEM, ONI TOLXKO POQSNQ@T PONQTIE MNO-

VESTWA.

mNOVESTWO MOVET SODERVATX ILI NE SODERVATX TE ILI INYE OB_- EKTY, KOTORYE PRINQTO NAZYWATX \LEMENTAMI. eSLI \LEMENT x PRI- NADLEVIT MNOVESTWU A, TO PI[UT x 2 A, A ESLI x NE PRINADLEVIT MNOVESTWU A, TO x 2= A. mNOVESTWO OPREDELQETSQ NABOROM SWOIH \LEMENTOW.

pRINQTY SLEDU@]IE OBOZNA^ENIQ: N | MNOVESTWO NATURALXNYH ^ISEL, Z | MNOVESTWO CELYH ^ISEL,

Q | MNOVESTWO RACIONALXNYH ^ISEL,

R | MNOVESTWO DEJSTWITELXNYH ^ISEL.

nARQDU S MNOVESTWAMI, SODERVA]IMI NEKOTORYE \LEMENTY, RAS- SMATRIWA@T MNOVESTWO, NE SODERVA]EE NI ODNOGO \LEMENTA. tAKOE MNOVESTWO NAZYWA@T PUSTYM I OBOZNA^A@T ?. eSLI MNOVESTWO SO- DERVIT HOTQ BY ODIN \LEMENT, EGO NAZYWA@T NEPUSTYM. oPREDELENIE. eSLI KAVDYJ \LEMENT MNOVESTWA A PRINADLEVIT MNOVESTWU B, TO A NAZYWA@T PODMNOVESTWOM MNOVESTWA B I PI- [UT A B ILI B A.

nAPRIMER, Q R, N Z Q.

tAK KAK PUSTOE MNOVESTWO ? NE IMEET \LEMENTOW, TO S^ITA@T, ^TO ? A DLQ L@BOGO MNOVESTWA A.

oPREDELENIE. eSLI A B I B A (T.E. KAVDYJ \LEMENT MNO- VESTWA A PRINADLEVIT B I KAVDYJ \LEMENT B PRINADLEVIT A), TO MNOVESTWA A I B NAZYWA@T RAWNYMI I PI[UT A = B. w PROTIWNOM SLU^AE PI[UT A =6 B.

tAKIM OBRAZOM, ZAPISX A B NE ISKL@^AET TOGO, ^TO A = B. pEREHODIM K TEME NASTOQ]EGO PARAGRAFA O WERHNIH I NIVNIH

GRANQH ^ISLOWYH MNOVESTW. tAK KAK SEJ^AS MY BUDEM RASSMATRI- WATX TOLXKO ^ISLOWYE MNOVESTWA, TO BUDEM GOWORITX PROSTO O MNO- VESTWAH, PODRAZUMEWAQ, ^TO \TO MNOVESTWA ^ISEL.

oPREDELENIE. nEPUSTOE MNOVESTWO A NAZYWAETSQ OGRANI^ENNYM SWERHU, ESLI SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO K, ^TO x 6 K DLQ WSEH x 2 A. nEPUSTOE MNOVESTWO A NAZYWAETSQ OGRANI^ENNYM SNIZU, ESLI SU-

]ESTWUET TAKOE ^ISLO k, ^TO x > k DLQ WSEH x 2 A.

12

oPREDELENIE. eSLI MNOVESTWO OGRANI^ENO I SWERHU I SNIZU, EGO NAZYWA@T OGRANI^ENNYM.

iNA^E MOVNO SKAZATX TAK: NEPUSTOE MNOVESTWO A NAZYWAETSQ OGRANI^ENNYM, ESLI SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO K, ^TO DLQ WSEH x 2 A SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO jxj 6 K. |TO WYTEKAET IZ TOGO, ^TO NERAWENSTWO jxj 6 K \KWIWALENTNO DWOJNOMU NERAWENSTWU ;K 6 x 6 K.

oPREDELENIE. ~ISLO M NAZYWAETSQ TO^NOJ WERHNEJ GRANX@ NE-

PUSTOGO MNOVESTWA A, ESLI

1)DLQ L@BOGO x 2 A WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO x 6 M

2)DLQ KAVDOGO ^ISLA M0 < M SU]ESTWUET ^ISLO x0 2 A TAKOE, ^TO M0 < x0.

mNOVESTWO MOVET IMETX TOLXKO ODNU TO^NU@ WERHN@@ GRANX. dEJSTWITELXNO, PREDPOLOVIM, ^TO ^ISLA M I M RAZLI^NY I

OBA QWLQ@TSQ TO^NYMI WERHNIMI GRANQMI NEPUSTOGO MNOVESTWA A. pUSTX DLQ OPREDELENNOSTI M < M. tAK KAK M | TO^NAQ WERHNQQ GRANX, TO SU]ESTWUET \LEMENT x 2 A TAKOJ, ^TO M < x . zNA^IT, M NE MOVET BYTX TO^NOJ WERHNEJ GRANX@ MNOVESTWA A.

oPREDELENIE. ~ISLO m NAZYWAETSQ TO^NOJ NIVNEJ GRANX@ NE-

PUSTOGO MNOVESTWA A, ESLI

1)DLQ L@BOGO x 2 A IMEEM m 6 x

2)DLQ KAVDOGO ^ISLA m0 > m SU]ESTWUET ^ISLO x0 2 A TAKOE, ^TO x0 < m0.

pONQTNO, ^TO I TO^NAQ NIVNQQ GRANX MNOVESTWA (ESLI ONA SU- ]ESTWUET) OPREDELQETSQ EDINSTWENNYM OBRAZOM.

oBOZNA^ENIQ DLQ TO^NOJ WERHNEJ GRANI

M = sup A = sup x

x2A

(sup OT LATINSKOGO supremum | \WYS[EE") I DLQ TO^NOJ NIVNEJ GRANI

m = inf A = inf x

x2A

(inf OT LATINSKOGO infimum | \NIZ[EE").

qSNO, ^TO ESLI MNOVESTWO SOSTOIT IZ KONE^NOGO NABORA ^ISEL, TO EGO TO^NAQ WERHNQQ GRANX RAWNA NAIBOLX[EMU, A TO^NAQ NIVNQQ GRANX | NAIMENX[EMU IZ \TIH ^ISEL.

eSLI MNOVESTWO IMEET TO^NU@ WERHN@@ GRANX, TO ONO OGRANI^E- NO SWERHU, A ESLI IMEET TO^NU@ NIVN@@ GRANX, TO ONO OGRANI^ENO SNIZU. pOKAVEM, ^TO W \TIH UTWERVDENIQH OGRANI^ENNOSTX SWERHU

13

(SNIZU) QWLQETSQ NE TOLXKO NEOBHODIMYM, NO I DOSTATO^NYM USLO- WIEM SU]ESTWOWANIQ TO^NYH GRANEJ.

tEOREMA 1.3.1. eSLI NEPUSTOE MNOVESTWO A OGRANI^ENO SWERHU, TO ONO IMEET TO^NU@ WERHN@@ GRANX.

dOKAZATELXSTWO. pREDSTAWIM WSE ^ISLA IZ A W WIDE BESKONE^NYH DESQTI^NYH DROBEJ, ZAPRETIW ZAPISX S 0 W PERIODE.

rASSMOTRIM SNA^ALA SLU^AJ, KOGDA SREDI ^ISEL MNOVESTWA A ESTX NEOTRICATELXNYE.

tOGDA ZADA^A O SU]ESTWOWANII TO^NOJ WERHNEJ GRANI WSEGO MNO- VESTWA A RAWNOSILXNA TAKOJ ZADA^E DLQ NEOTRICATELXNYH ^ISEL IZ A.

tAK KAK NEOTRICATELXNYE ^ISLA IZ A OGRANI^ENY SWERHU, TO OGRANI^ENY SWERHU I CELYE ^ASTI \TIH ^ISEL. zNA^IT, SU]ESTWUET NAIBOLX[EE ^ISLO SREDI \TIH CELYH ^ASTEJ. oBOZNA^IM EGO M0.

oSTAWIM TOLXKO TE ^ISLA IZ A, U KOTORYH CELAQ ^ASTX RAWNA M0, I RASSMOTRIM PERWYE DESQTI^NYE ZNAKI OSTAW[IHSQ ^ISEL. pUSTX M1 | NAIBOLX[IJ IZ PERWYH DESQTI^NYH ZNAKOW.

bUDEM TEPERX RASSMATRIWATX TOLXKO TE ^ISLA IZ A, U KOTORYH CELAQ ^ASTX I PERWYJ DESQTI^NYJ ZNAK RAWNY SOOTWETSTWENNO M0 I M1, T.E. DESQTI^NAQ ZAPISX KOTORYH NA^INAETSQ S M0 M1. nAHO- DIM NAIBOLX[IJ WTOROJ DESQTI^NYJ ZNAK U \TIH ^ISEL I OBOZNA- ^AEM EGO M2. sNOWA OSTAWLQEM TOLXKO TE ^ISLA IZ A, DESQTI^NAQ ZAPISX KOTORYH NA^INAETSQ S M0 M1M2, I PROWODIM ANALOGI^NYE RASSUVDENIQ S TRETXIM DESQTI^NYM ZNAKOM. pRODOLVAQ \TOT PRO- CESS, POLU^IM BESKONE^NU@ DESQTI^NU@ DROBX M0 M1M2 : : : . pOLO- VIM M := M0 M1M2 : : : I POKAVEM, ^TO M = sup A.

pO POSTROENI@ M > x DLQ L@BOGO x 2 A. s DRUGOJ STORONY, WZQW PROIZWOLXNOE ^ISLO M0 := M00 M10M20 : : : , MENX[EE M, NAHODIM SREDI ^ISEL 0 1 2 : : : NAIMENX[EE ^ISLO k TAKOE, ^TO Mk0 < Mk. nO SREDI ^ISEL MNOVESTWA A ESTX ^ISLO x0, DESQTI^NOE RAZLOVENIE KOTOROGO NA^INAETSQ S M0 M1 : : : Mk. zNA^IT, DLQ ^ISLA x0 IMEEM M0 < x0 I M DEJSTWITELXNO QWLQETSQ TO^NOJ WERHNEJ GRANX@ MNO- VESTWA A.

pUSTX TEPERX MNOVESTWO A SODERVIT TOLXKO OTRICATELXNYE ^ISLA.

w PREDSTAWLENII ^ISEL x 2 A W WIDE BESKONE^NYH DESQTI^NYH DROBEJ x = ;x0 x1x2 : : : NAHODIM NAIMENX[EE IZ ^ISEL x0. oBOZNA- ^IM \TO NAIMENX[EE ^ISLO M0.

oSTAWIM TOLXKO TE ^ISLA IZ A, PREDSTAWLENIE KOTORYH W WIDE BESKONE^NOJ DESQTI^NOJ DROBI NA^INAETSQ S ;M0.

nAJDEM NAIMENX[IJ PERWYJ DESQTI^NYJ ZNAK U \TIH ^ISEL I OBOZNA^IM EGO M1. dALEE RASSMATRIWAEM TOLXKO TE ^ISLA, DESQ-

14

TI^NOE PREDSTAWLENIE KOTORYH NA^INAETSQ S ;M0 M1. nAHODIM U \TIH ^ISEL NAIMENX[IJ WTOROJ DESQTI^NYJ ZNAK, OBOZNA^AEM EGO M2 I T.D.

tOGDA ^ISLO M := ;M0 M1M2 : : : QWLQETSQ TO^NOJ WERHNEJ GRA- NX@ MNOVESTWA A. w SAMOM DELE, NERAWENSTWO x 6 M WYPOLNQETSQ DLQ WSEH x 2 A PO POSTROENI@. a DLQ L@BOGO M0 < M NAHODIM ^IS- LO x0 2 A TAKOE, ^TO x0 > M0, S POMO]X@ RASSUVDENIJ, ANALOGI^NYH PROWEDENNYM WY[E.

tEOREMA DOKAZANA.

tEOREMA 1.3.2. eSLI NEPUSTOE MNOVESTWO A OGRANI^ENO SNIZU, TO ONO IMEET TO^NU@ NIVN@@ GRANX.

dOKAZATELXSTWO. wWEDEM MNOVESTWO B, SOSTOQ]EE IZ ^ISEL ;x, GDE

x 2iZA. OGRANI^ENNOSTI MNOVESTWA A SNIZU SLEDUET OGRANI^ENNOSTX MNOVESTWA B SWERHU I, ZNA^IT, SOGLASNO TEOREME 1.3.1 MNOVESTWO B IMEET TO^NU@ WERHN@@ GRANX. nO ;sup B = inf A I, ZNA^IT, MNO- VESTWO A IMEET TO^NU@ NIVN@@ GRANX.

tEOREMA 1.3.3. pUSTX MNOVESTWO A NEPUSTO.

eSLI 8x 2 A WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO x 6 K, TO sup A 6 K. eSLI 8x 2 A WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO x > k, TO inf A > k.

eSLI 8x 2 A IMEEM x 6 K, TO sup A SU]ESTWUET SOGLASNO TEOREME 1.3.1. a NERAWENSTWO sup A 6 K LEGKO USTANOWITX OT PROTIWNOGO, SOSLAW[ISX NA USLOWIE 2) OPREDELENIQ TO^NOJ WERHNEJ GRANI.

dLQ TO^NOJ NIVNEJ GRANI RASSUVDENIQ ANALOGI^NY.

tEOREMA 1.3.4. dLQ L@BOGO ^ISLA a SPRAWEDLIWO RAWENSTWO a = sup , GDE TO^NAQ WERHNQQ GRANX BERETSQ PO WSEM RACIONALXNYM ^ISLAM 6 a. pRI \TOM MOVNO RASSMATRIWATX TOLXKO TE 6 a, KOTORYE ZAPISYWA@TSQ KONE^NYMI DESQTI^NYMI DROBQMI.

nUVNO UBEDITXSQ TOLXKO W TOM, ^TO DLQ L@BOGO ^ISLA a0 < a NAJDETSQ KONE^NAQ DESQTI^NAQ DROBX TAKAQ, ^TO a0 < 6 a. a \TO SLEDUET IZ TEOREMY 1.2.1.

tO^NAQ WERHNQQ I TO^NAQ NIVNQQ GRANI MNOVESTWA A MOGUT KAK PRINADLEVATX SAMOMU MNOVESTWU, TAK I NE PRINADLEVATX EMU. nA- PRIMER, TO^NAQ NIVNQQ GRANX MNOVESTWA NATURALXNYH ^ISEL N | ^ISLO 1 | PRINADLEVIT N. a ESLI A | MNOVESTWO WSEH POLOVI- TELXNYH ^ISEL, TO ^ISLO 0 = inf A NE PRINADLEVIT A.

eSLI sup A 2 A, TO WMESTO sup A ^ASTO PI[UT max A. w ANALO- GI^NOJ SITUACII WMESTO inf A PI[UT min A. eSLI VE TO^NYE GRANI NE PRINADLEVAT MNOVESTWU ILI IH PRINADLEVNOSTX MNOVESTWU NE- IZWESTNA ILI NE OBSUVDAETSQ, TO PI[UT sup I inf.

15

x 1.4. sLOVENIE ^ISEL

oPREDELIM SLOVENIE DEJSTWITELXNYH ^ISEL I USTANOWIM SWOJ- STWA OPERACII SLOVENIQ.

oPREDELENIE. sUMMOJ ^ISEL a I b NAZYWAETSQ ^ISLO a + b := sup( + )

GDE TO^NAQ WERHNQQ GRANX BERETSQ PO WSEM RACIONALXNYM ^ISLAM I TAKIM, ^TO 6 a I 6 b.

sUMMA a + b OPREDELENA DLQ L@BYH ^ISEL a I b, TAK KAK DLQ WSEH RASSMATRIWAEMYH I ZNA^ENIQ SUMM + OGRANI^ENY SWERHU. w

SAMOM DELE, ESLI a = a0 a1a2 : : : I b = b0 b1b2 : : : , TO a 6 a0 + 1 I b 6 b0 + 1. zNA^IT, 6 a0 + 1, 6 b0 + 1 I + 6 a0 + b0 + 2.

wYQSNIM SWOJSTWA OPERACII SLOVENIQ ^ISEL (WTORAQ GRUPPA SWOJSTW DEJSTWITELXNYH ^ISEL).

II.1. dLQ L@BYH ^ISEL a I b IMEEM a+b = b+a (KOMMUTATIWNOSTX ILI PEREMESTITELXNOE SWOJSTWO).

|TO SWOJSTWO WYTEKAET IZ KOMMUTATIWNOSTI SLOVENIQ RACIO- NALXNYH ^ISEL.

II.2. eSLI a < b, TO DLQ L@BOGO ^ISLA c IMEEM a + c < b + c.

dOKAVEM SNA^ALA ANALOGI^NOE SWOJSTWO DLQ NESTROGIH NERA-

WENSTW: eSLI a 6 b, TO DLQ L@BOGO ^ISLA c IMEEM a + c 6 b + c. dEJSTWITELXNO, PUSTX I OBOZNA^A@T RACIONALXNYE ^ISLA.

tOGDA

a + c = sup ( + ):

6a 6c

eSLI ZAMENITX ZDESX USLOWIE 6 a NA 6 b, TO TO^NAQ WERHNQQ GRANX ZNA^ENIJ SUMM + MOVET TOLXKO UWELI^ITXSQ. pO\TOMU

a + c 6 sup ( + ) = b + c:

6b 6c

oTS@DA WYTEKAET PRAWILO SLOVENIQ ODNOIMENNYH NESTROGIH NE- RAWENSTW:

eSLI a 6 b I c 6 d, TO a + c 6 b + d.

dLQ DOKAZATELXSTWA PRIBAWLQEM DWA RAZA ^ISLA K OBEIM ^ASTQM NESTROGOGO NERAWENSTWA:

a + c 6 b + c 6 b + d: dOKAVEM TEPERX SWOJSTWO II.2.

16

NAPRIMER, u < v.

oPIRAQSX NA TEOREMU 1.2.1, WYBEREM RACIONALXNYE ^ISLA I , DLQ KOTORYH IME@T MESTO NERAWENSTWA a < < < b.

pOLXZUQSX TEM, ^TO SWOJSTWA DEJSTWIJ NAD RACIONALXNYMI ^IS-

LAMI NAM IZWESTNY, NAHODIM TAKOE NATURALXNOE ^ISLO k, ^TO		;	>
> 10;k, OTKUDA
< ; 10;k:	(1.4.1)

pUSTX k | k-OE DESQTI^NOE PRIBLIVENIE ^ISLA c, T.E. k 6 c 6 k + 10;k. sKLADYWAQ NERAWENSTWA I ISPOLXZUQ OCENKU (1.4.1), NAHODIM

a + c 6 + k + 10;k < ; 10;k + k + 10;k = + k 6 b + c:

tAKIM OBRAZOM, SWOJSTWO II.2 DOKAZANO.

s POMO]X@ SWOJSTWA II.2 OBOSNOWYWAETSQ PRAWILO SLOVENIQ OD- NOIMENNYH STROGIH NERAWENSTW:

eSLI a < b I c < d, TO a + c < b + d.

zAMETIM, ^TO ESLI DAVE ZAMENITX ZDESX ODNO IZ NERAWENSTW a < b ILI c < d NA NESTROGOE, TO WSE RAWNO POLU^IM STROGOE NERAWENSTWO a + c < b + d.

II.3. dLQ L@BYH ^ISEL a, b I c IMEEM (a + b) + c = a + (b + c) (ASSOCIATIWNOSTX ILI SO^ETATELXNOE SWOJSTWO).

wWEDEM OBOZNA^ENIQ u := (a + b) + c, v := a + (b + c). dOKAVEM ASSOCIATIWNOSTX OT PROTIWNOGO. pREDPOLOVIM, ^TO u =6 v. pUSTX,

pOLXZUQSX TEOREMOJ 1.2.1, NAJDEM RACIONALXNYE ^ISLA I TA- KIE, ^TO u < < < v, I WYBEREM NATURALXNOE n TAK, ^TOBY

WYPOLNQLOSX NERAWENSTWO
; > 3 10;n:	(1.4.2)

wOZXMEM n-YE DESQTI^NYE PRIBLIVENIQ ^ISEL a, b I c:

n 6 a 6 n + 10;n n 6 b 6 n + 10;n n 6 c 6 n + 10;n:

sKLADYWAQ NERAWENSTWA, NAHODIM n + n 6 a + b 6 n + n + 2

10;n I

n + n + n 6 (a + b) + c 6 n + n + n + 3 10;n

eSLI !n := n + n + n, TO !n 6 u 6 !n + 3 10;n. aNALOGI^NO DOKAZYWAETSQ NERAWENSTWO v 6 !n + 3 10;n.

u^ITYWAQ (1.4.2), IMEEM + 3 10;n < < v 6 !n + 3 10;n. oTS@DA + 3 10;n < !n + 3 10;n I, TAK KAK ZDESX WSE ^ISLA

17

RACIONALXNYE, TO < !n. nO S DRUGOJ STORONY !n 6 u < I MY PRI[LI K PROTIWORE^I@.

sLOVENIE ^ISEL BYLO OPREDELENO DLQ DWUH SLAGAEMYH. nO BLAGO- DARQ ASSOCIATIWNOSTI SLOVENIQ MOVNO PISATX SUMMU TREH I BOLEE SLAGAEMYH BEZ SKOBOK, UKAZYWA@]IH PORQDOK DEJSTWIJ.

eSLI WOSPOLXZOWATXSQ E]E SWOJSTWOM KOMMUTATIWNOSTI, TO PO- LU^IM, ^TO PRI SLOVENII ^ISEL MOVNO PROIZWOLXNYM OBRAZOM PE- RESTAWLQTX I GRUPPIROWATX SLAGAEMYE.

II.4. dLQ L@BOGO ^ISLA a IMEEM a + 0 = a. dEJSTWITELXNO,

a + 0 =

sup

+ =

sup

= a

6a 60 2Q

6a 2Q

GDE POSLEDNEE RAWENSTWO IMEET MESTO SOGLASNO TEOREME 1.3.4.

oTMETIM, ^TO SWOJSTWOM II.4 OBLADAET TOLXKO ^ISLO

0. dEJST-

WITELXNO, ESLI 00 | TAKOE ^ISLO, ^TO

8

a IMEEM

a + 00

= a, TO

00 = 00 + 0 = 0.

II.5. dLQ KAVDOGO ^ISLA a SU]ESTWUET ^ISLO a0

TAKOE, ^TO a +

a0

= 0.

pOKAVEM, ^TO W KA^ESTWE a0 WZQTX ^ISLO ;a, T.E. ^ISLO a S PRO-

TIWOPOLOVNYM ZNAKOM.

pUSTX n | n-YE DESQTI^NYE PRIBLIVENIQ ^ISLA a, T.E. n 6

a 6 n + 10;n. tOGDA DLQ

;;na, KAK OTME^ALOSX PRI OPREDELENII

NERAWENSTW, IMEEM ; n ; 10

6 ;a 6 ; n.

;

;n

;

;n

;n

sLOVIW PO^LENNO \TI NERAWENSTWA, POLU^IM

10 6 a+(

a) 6

10

ILI ja + (;a)j 6 10 . tAK KAK \TO NERAWENSTWO WYPOLNQETSQ

DLQ WSEH n, TO SOGLASNO LEMME 1.2.4 OTS@DA SLEDUET RAWENSTWO a +

(;a) = 0. 0

0

~ISLO a

, DLQ KOTOROGO WYPOLNQETSQ RAWENSTWO a+a = 0, NAZYWA-

ETSQ ^ISLOM, PROTIWOPOLOVNYM a. nETRUDNO WIDETX, ^TO L@BOGO a

PROTIWOPOLOVNOE ^ISLO OPREDELQETSQ ODNOZNA^NO. dEJSTWITELXNO, ESLI NARQDU S a + a0 = 0 IMEEM a + a00 = 0, TO

a00 = a00 + 0 = a00 + (a + a0) = (a00 + a) + a0 = 0 + a0 = a0:

oPREDELENIE. rAZNOSTX@ ^ISEL a I b NAZYWAETSQ ^ISLO a ; b := a + (;b).

dEJSTWIQ SLOVENIQ I WY^ITANIQ ^ISEL QWLQ@TSQ WZAIMNO OB- RATNYMI. w SAMOM DELE, DLQ L@BYH a I b IMEEM

(a + b) ; b = (a + b) + (;b) = a + (b + (;b)) = a:

18

aNALOGI^NO DOKAZYWAETSQ RAWENSTWO (a ; b) + b = a.

tAK KAK DEJSTWIQ SLOVENIQ I WY^ITANIQ ^ISEL WZAIMNO OBRAT- NY, TO SLAGAEMYE IZ ODNOJ ^ASTI RAWENSTW I NERAWENSTW MOVNO PE- RENOSITX (S PROTIWOPOLOVNYM ZNAKOM) W DRUGU@ IH ^ASTX.

tEOREMA 1.4.1. dLQ L@BYH ^ISEL a I b SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO

ja + bj 6 jaj + jbj:

(1.4.3)

dOKAZATELXSTWO. sKLADYWAQ NERAWENSTWA a 6 jaj I b 6 jbj, POLU^A- EM a + b 6 jaj+ jbj. aNALOGI^NO, ;(a + b) = ;a ;b 6 jaj+ jbj. nO ODNO IZ ^ISEL a + b ILI ;(a + b) RAWNO ja + bj, PO\TOMU TEOREMA DOKAZANA.

nERAWENSTWO (1.4.3) NAZYWA@T NERAWENSTWOM TREUGOLXNIKA.

x 1.5. uMNOVENIE ^ISEL

oPREDELENIE. eSLI ^ISLA a I b NEOTRICATELXNY, TO PROIZWEDENIEM a NA b NAZYWAETSQ ^ISLO ab := sup( ), GDE WERHNQQ GRANX BERETSQ PO WSEM NEOTRICATELXNYM RACIONALXNYM ^ISLAM I TAKIM, ^TO

6 a I 6 b.

eSLI OBA ^ISLA a I b OTRICATELXNY, TO ab := jajjbj.

eSLI ODNO IZ ^ISEL a I b OTRICATELXNO, A DRUGOE NEOTRICATELXNO,

TO ab := ;(jajjbj).

pROIZWEDENIE OPREDELENO DLQ L@BOJ PARY ^ISEL. dOSTATO^NO UBEDITXSQ W \TOM DLQ NEOTRICATELXNYH MNOVITELEJ a I b. nO ESLI

6 a = a0 a1a2 : : : I 6 b = b0 b1b2 : : : , TO 6 a0 + 1 6 b0 + 1,

ZNA^IT, 6 (a0 +1)(b0 +1) I OSTALOSX TOLXKO SOSLATXSQ NA TEOREMU

1.3.1.

zAMETIM, ^TO IZ OPREDELENIQ UMNOVENIQ SLEDUET, ^TO ESLI HOTQ BY ODIN IZ MNOVITELEJ a I b RAWEN NUL@, TO ab = 0.

pERE^ISLIM SWOJSTWA UMNOVENIQ ^ISEL (TRETXQ GRUPPA SWOJSTW DEJSTWITELXNYH ^ISEL).

III.1. dLQ L@BYH DWUH ^ISEL a I b SPRAWEDLIWO RAWENSTWO ab = ba (KOMMUTATIWNOSTX ILI PEREMESTITELXNOE SWOJSTWO).

III.2. eSLI a < b I c > 0, TO ac < bc.

III.3. dLQ L@BYH ^ISEL a b I c SPRAWEDLIWO RAWENSTWO (ab)c = a(bc) (ASSOCIATIWNOSTX ILI SO^ETATELXNOE SWOJSTWO).

III.4. dLQ KAVDOGO ^ISLA a SPRAWEDLIWO RAWENSTWO a 1 = a.

III.5. dLQ KAVDOGO ^ISLA a =6 0 SU]ESTWUET ^ISLO a0 TAKOE, ^TO a a0 = 1.

19

III.6. dLQ L@BYH ^ISEL a, b I c SPRAWEDLIWO RAWENSTWO (a + b)c = ac + bc (DISTRIBUTIWNOSTX UMNOVENIQ OTNOSITELXNO SLOVENIQ ILI RASPREDELITELXNOE SWOJSTWO).

sWOJSTWO III.1 WYTEKAET IZ KOMMUTATIWNOSTI UMNOVENIQ RACIO- NALXNYH ^ISEL.

dLQ DOKAZATELXSTWA OSTALXNYH SWOJSTWA III.2{III.6 NE TREBU@- ETSQ NOWYH SOOBRAVENIJ PO SRAWNENI@ S DOKAZATELXSTWAMI SWOJSTW SLOVENIQ. tAK VE, KAK I TAM, RASSMATRIWA@TSQ DESQTI^NYE PRI- BLIVENIQ ^ISEL I ISPOLXZU@TSQ LEMMY 1.2.3 I 1.2.4. oDNAKO, DLQ POLNOGO DOKAZATELXSTWA SWOJSTW III.2{III.6 NEOBHODIMY KROPOTLI- WYE RASSUVDENIQ, KOTORYE MY ZDESX NE PRIWODIM.

iZ SWOJSTWA III.2 WYTEKAET PRAWILO UMNOVENIQ ODNOIMENNYH NE- RAWENSTW:

eSLI WSE ^ISLA a b c d NEOTRICATELXNY, TO IZ a < b c < d SLEDUET ac < bd.

dEJSTWITELXNO, ac < bc < bd.

lEGKO PONQTX, ^TO \TO PRAWILO IMEET MESTO I W TOM SLU^AE, KOGDA ODNO IZ ^ISEL a ILI c OTRICATELXNO. nO ESLI OTRICATELXNY KAKIE- LIBO DWA IZ ^ISEL a b c d, TO POLU^ENNOE TAKIM OBRAZOM NERAWEN- STWO MOVET OKAZATXSQ NEWERNYM.

w DOPOLNENIE K SWOJSTWU III.2 OTMETIM, ^TO eSLI c < 0, TO IZ a < b SLEDUET ac > bc.

w SAMOM DELE, W SILU SWOJSTWA III.2 IMEEM ajcj < bjcj, OTKUDA ;bjcj < ;ajcj. nO TAK KAK c < 0, TO jcj = ;c, ZNA^IT, bc < ac I MY POLU^ILI TREBUEMOE NERAWENSTWO.

x 1.6. nEPRERYWNOSTX MNOVESTWA DEJSTWITELXNYH ^ISEL

dLQ DEJSTWITELXNYH ^ISEL IME@T MESTO TRI GRUPPY SWOJSTW, KASA@]IESQ SRAWNENIQ ^ISEL, SLOVENIQ I UMNOVENIQ. wSE \TI SWOJ- STWA FORMULIRU@TSQ TO^NO TAK VE, KAK DLQ RACIONALXNYH ^ISEL. tAKIM OBRAZOM, MY RAS[IRILI MNOVESTWO RACIONALXNYH ^ISEL DO MNOVESTWA DEJSTWITELXNYH ^ISEL, SOHRANIW UKAZANNYE SWOJSTWA, ^TO DAET WOZMOVNOSTX OPERIROWATX S DEJSTWITELXNYMI ^ISLAMI PO TEM VE PRAWILAM, ^TO I S RACIONALXNYMI ^ISLAMI. w [KOLE \TO S^ITALOSX SAMO SOBOJ RAZUME@]IMSQ, A TEPERX TAKOJ WYWOD POLU^IL

OBOSNOWANIE.

nO DEJSTWITELXNYE ^ISLA OBLADA@T E]E ODNIM SWOJSTWOM, KO- TOROE DLQ RACIONALXNYH ^ISEL NE WYPOLNQETSQ. |TO SWOJSTWO NE- PRERYWNOSTI MNOVESTWA DEJSTWITELXNYH ^ISEL. w PRINQTOM IZLO- VENII ONO FORMULIRUETSQ W WIDE TEOREMY 1.3.1 O TO^NOJ WERHNEJ GRANI.

20