Chast_3_novyy

При переходе через критическую точку x 0 производная знак не меняет,

т.е.

x 0 не является точкой экстремума.

2x x2 3

4). Находим вторую производную

y

. Видим,

что

y

0 при

x2 1 3

0 x 1, на интервале

0;1

график функции выпуклый вверх. При

x

3

y 0 - график функции выпуклый вниз.

В области определения функции y существует всюду;

y 0

при

x 0 .

Так

как при переходе через эту точку y меняет знак,

то

x 0 есть абсцисса точки

перегиба. Находим y( 0 ) 0.

0

3;

х

0;1

1;

3

1

3

у

0

3

3

2

y

0

–

–

0

–

y

0

–

+

+

+

перегиб

min

x3

График y x2 1 имеет вид:

ПРИМЕР. Исследовать функцию y 32x2 x3 и построить её график.

1). Функция определена при всех x . Для нахождения точек пересечения с осями записываем уравнения y 0 и 32x2 x3 0 ; получаем, что ось Oy пересекается в точке с y 0 , а ось Ox - в точках x 0 и x 2 .

84

2). Функция общего вида.

3). Точек разрыва нет. Так как нет точек разрыва 2-го рода, вертикальные асимптоты отсутствуют. Ищем параметры наклонных асимптот.

f

x

3

2x2 х3

k lim

lim

lim 3

2

1 1,

x

x

x

x

x

х

2

2

2

3

2

3

b lim

2x

х

x

lim x 1 3 1

lim x

1 1

.

х

3x

x

x

x

3

При вычислении второго предела использована эквивалентная бесконечно

малая функция 1 3 1 2 1 2 .

х 3 х

Итак, у графика есть наклонная асимптота; её уравнение y x 2 .

3

4). Находим производную: y												4 3x							.
											33 x(2 x)2
Знак производной определяется знаком выра-
жения	4			3	x	. Видим, что в области x 0
		3 x
y 0 , при 0 x									4	y 0 и при x			4		y 0 .
3											3
Получаем, что в области x 0 функция убыва-
ет, при 0 x							4	- возрастает и при x							4	-
3											3
убывает. Находим критические точки. y 0
при x		4	, y не существует при x 0 , x 2. При переходе через x 0 знак
3											y 0 0						- точка минимума. Так как при x 0
производной меняется с (-) на (+),

производная не существует, на графике получается минимум с вертикальными касательными.

При переходе через вторую критическую точку x										4	производная меняет знак
4		4				2	3
							3 4 . При переходе через x 2
с (+) на (-) , т.е. при x		- максимум: y
						3
3		3

знак производной не меняется, значит, экстремума нет.

5). Находим вторую производную: y		8		. Видим, что y 0
		4	5
	9x 3 ( 2 x ) 3
при x 0 ; в этой области график выпуклый;		y 0 при	0 x 2, т.е. интервал
( 0;2 ) также является областью выпуклости.		При x 2	y 0 , следовательно,

при x 2 график вогнут. Найдём точки перегиба. Вторая производная не существует при x 0 и при x 2 . При переходе через первую точку знак y не меня-

85

ется, а при переходе через вторую – меняется. Итак, точкой перегиба является точка с координатами x 2 , y 2 0.

ПРИМЕР. Исследовать функцию y arctg ctg x и построить её график.

1). Так как функция периодична с основным периодом T , достаточно исследовать ее поведение на промежутке, равном периоду, например, на 0; .

Арктангенс определен для всех значений аргумента, поэтому областью опреде-

ления сложной функции y arctg		ctg x		будут промежутки оси Ox , на кото-
				0; это будет
рых ctg x 0 ,	т.е., для промежутка					x	0;			. Для
								2
t 0 arctgt 0	, область значений y 0;
				2 .

Точки пересечения графика с координатными осями:

при

x 0 котангенс не

определен,

точек пересечения с осью Oy нет. Точки пересечения с осью Ox

находим, решая уравнение ctg x 0 х

n .

2

2). Четностью или нечетностью функция не обладает.

0 не определена,

3). Точка x 0

не является точкой разрыва, так как f

lim f x

.

Поскольку на каждом периоде график

f x

лежит в конечной

2

x 0

области плоскости Oxy , асимптот у графика существовать не может.

производную: y

1 ctg2 x

y 0 ,

4). Найдем

.

Для

x

0;

2 1 ctgx

2

ctgx

lim y

lim y ,

т.е. на каждом отдельном промежутке области определе-

x 0

x

0

2

ния функция монотонно убывает.

y 1 ctg2 x ctg3 x 3ctg2 x 3ctgx 1 .

5). Найдем

вторую производную

4 1 ctgx 2

3

ctgx

Корень уравнения y 0 на

y 0

x

0;

- x

. При

0 x

график

2

4

4

функции

выпуклый

вниз,

при

x

4

y 0 -

2

график

функции выпуклый

вверх.

;

Точка графика

- точка перегиба.

4

4

График y arctg ctg x имеет вид:

86

4. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

4.1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

№

Задание

Ответ

Найдите формулу общего члена последовательности:

0,

2 ,1,

2 0,

2 , 1,

2 ,0,.........

2

2

2

2

РЕШЕНИЕ: Учитывая, что

2

;

1

2

;

sin

4

2

sin

; sin

2

2

4

,

(n 1)

1

1

xn sin

4

sin

2

n=1,2,….

n

, n=0,1,2,…,т.е. нумерация

получаем xn sin

4

членов последовательности начинается с нуля.

Чтобы установить нумерацию с единицы,

(n 1)

, n=1,2,…

положим xn sin

4

Укажите, какие из заданных последовательностей

являются ограниченными, бесконечно большими и

бесконечно малыми:

x

n

n 4

;

x

cos 1 1

;

xn

e n 3 .

n

2

2

n

n 4

n

–

РЕШЕНИЕ:

n2

2

1). Последовательность

n 4

бесконечно

2

2

-бесконечно малая,

малая,

n

1

т.к. представляет собой сумму двух бесконечно

cos

1

2

малых последовательностей

n

4

n

и

2

:

–

n

2 2

n2

последовательность

n

-бесконечно малая, т.к.

ограниченная,

n2 2

{ e n 3 } –

n

1

2

–

бесконечно большая;

n2 2

2

, а n

n

бесконечно

n

n

большая

последовательность

4

также бесконечно

малая, т.к. n2 2

n2 2

–

бесконечно большая.

87

2) Последовательность

cos

1

1 – ограниченная,

n

т.к. при всех n

1

cos

1

2.

n

3) Последовательность { e n 3

}

бесконечно большая,

т.к. для любого M>0 можно указать N 3

1

ln M

такой, что при n >N,

en3

M .

Пользуясь определением предела, докажите (укажите

n2 7

1

N ( )), что lima

a

, если a

,

a

.

3n2 8

n n

n

3

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим

неравенство

n2 7

1

,

или

3n2 8

3

29

3 , или

29

3n

2

29

3 , т.е.

8

.

29

3n

2

3n

2

8

8

3

8

3

Тогда исходное неравенство выполняется при

N( )

3

3

29

8

29

3

n

, если

.

Выбрав в качестве

3

24

29

8

N

3

1,получ им, что при всех n N( )

3

неравенство выполнено.

Пользуясь определением предела, докажите, что

lima a

, если a

2n3

,

a 2

(укажите N ( )).

n

n

n

n3 2

РЕШЕНИЕ:

Докажем, что для последовательности an

по

определению предела последовательности число a

будет

являться

пределом,

то

есть

выполняется

4

4

N ( ) 3

2 1

утверждение:

liman a ε 0 N n N :

an a

ε .

n

2n3

4

4

a a

2

.

n

n3 2

n3 2

n3 2

Возьмем произвольное 0 и потребуем, чтобы,

an a

, то есть выполнялось неравенство

88

4

.

n3 2

Решим это неравенство относительно n :

4

n3 2

n 3

4

2.

4

Положим

N ( )

3

2

1.

Итак,

существует

4

номер

N ( ) 3

2

1,

такой, что

для

номеров

ε

n N( ) ,

a

a

2n3

2

4

ε,

что

и

n

n3 2

n3 2

требовалось доказать.

Пользуясь определением предела, докажите (укажите

N ( )), что lima

a , если

a

1

, a 0.

n

n

n

n

РЕШЕНИЕ:

Действительно, для любого >0 неравенство

N

1

1

5

1

1

1

0

если n

n

n

всегда выполнено,

.

В качестве N( ) достаточно взять целую часть числа

1

1

, увеличенную на единицу, т.е.

N

1

Пользуясь определением предела, докажите (укажите

N ( )), что

lima

a , если

a

n

,

a 1.

n

n

n

n 1

РЕШЕНИЕ:

6

Из неравенства

n

1

получаем

1

1

N

1

1

1

n 1

n 1

n 1

1

1

или n 1

. Выбирая N

1

1 , если 1,

n

и N( )=1, если >1, получаем, что lim

1 .

n n 1

Вычислите предел числовой последовательности

lim

n3 (n 1)3

.

7

n n4

n2

1

РЕШЕНИЕ:

Числитель

и

знаменатель

дроби

стремятся

к

89

бесконечности, т.е. мы имеем неопределенность типа

. Выражение, стоящее под знаком предела,

представляет собой отношение многочленов.

0

Поделим

числитель

и

знаменатель

на n в

наибольшей степени ( n4 ):

lim

n3

n3

3n2 3n 1

lim

3n2 3n 1

n4

n2

1

n2 1

n

n n4

3

3

1

n2

lim

n

.

2

1

n

1

n

1

n

2

n

4

Последовательности

3 1

1

-

бесконечно

;

;

n

n2

n4

малые, т.е. их пределы равны нулю.

								3											1																				1					1
	lim			3																							3 ;					lim 1														1.
								n										n			2																		n	2			n		4
	n																															n
	Окончательно получаем
								3														1
					3																											1 3
											n									n2
	lim																												lim											0 .
					2							1																					2				1
	n		n																						1						n n
					1
														2										n		4
											n
	Вычислите предел числовой последовательности
																													2n 1 2 n 1 2
																									lim						n2 n 1									.
	РЕШЕНИЕ:																								n
	Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и
	произведем деление числителя и знаменателя
8	получившейся дроби на n2 - наибольшую степень n .																																														3
				2n 1								2											n 1							2
																																					2
																																			3n		2n
	lim																														lim
						n2 n 1
	n																														n n2 n 1
					3								2
	lim												n														3.
					1		1 1
	n
							n								n2

Вычислите предел числовой последовательности

9lim n6n 532n10 1. n n 4n 3n3 1

90

РЕШЕНИЕ:

Произведем деление числителя и знаменателя

получившейся дроби на n2 - наибольшую степень n .

n 5 / 6

5

32

1

n6

n 5 32n10

1

n10

lim

lim

2.

2

3

3

1

n

n

4

n

n

1

n

3/ 4

1 n

3 1

n3

Вычислите предел числовой последовательности

n2 5 n4 2

n6 3n3 5

lim

.

n

n

РЕШЕНИЕ:

n2 5 n4 2

lim

n6 3n3 5

n

n

домножим на сопряженную величину

n2 5 n4 2

n2 5 n4 2

n6 3n3 5

n6 3n3 5

lim

n n2 5 n4 2

n

n6 3n3 5

воспользуемся формулой разности квадратов

lim

n2 5 n4 2 n6 3n3 5

10

n n

n2 5 n4 2

n6 3n3 5

5

2

приведем подобные

n6 5n4 2n2 10 n6 3n3 5

lim n n n6 5n4 2n2 10 n6 3n3 5

		lim								5n4 3n3										2n2 5
		n n						n6 5n4 2n2 10 n6 3n3 5
				делим на старшую степень n4
												3					2			5
										5																														5			.
		lim										n				n2						n4
		n							5		2			10											3									6					2
						1													1												5n
									n2		n4				n6											n3
																																3 n2							1
	11			Вычислите предел:																lim					n 1																		.
																												3
																				n					n						1			4		1 n

91

	РЕШЕНИЕ:
	Выражение представляет неопределенность типа																																																																	.
	Преобразуем подкоренные выражения, выделив
																																																																	0
	возрастающие множители:
																																																																								1
																n 1																																									1																																	1
		n 1																										n												n						1																		n										2								1										,
																																																									n																																	n
																					n
																																																2
																																					1																																1
	3	n2 1									3							n2								3 1																n														3 1																							,
																																																			3
																																					n2																																	n2
																																																3
																																				1																																1
		n3 1															n3								1																	n														1																							,
																																																		2
																																				n3																																n3
																																										1
																															1																													1
	4	1 n					4									n				4 1																n							4		4 1																				.
																																n																												n
	Выносим в числителе и знаменателе старшие
	степени:
																																																				2
																																																															1																1																1
																																														n																																									3 1
																																																				3
																																																																			1															4
																																																																																															n	2
					n 1 3 n2 1
																																																															n3																n3
	lim																																			lim
	n				n3 1																4				1 n													n														3																				1																	1						1
																																																n2														1																							4
																																																																									n3																n6						n5
						1 1
	lim																				0.
						5								1
						n6
		n
		Вычислите предел числовой последовательности
	lim			n2											n2						n											.
	n
	РЕШЕНИЕ:
		В этом примере мы имеем дело с неопределен-
	ностью типа ( ) ,																																					т.к. n2 и																																																								при
																																																																																				n2					n
	n .
	Эту неопределенность можно устранить или превра-
	12
	тить в неопределенность типа																																																																				, вынося за скобку
	старшую степень или домножая на сопряженное.
	Способ 1:
																																																													1																		1
				n2											n2						n											lim n2
	lim																																															1																																							.
																																																																					2														3
	n																																				n																													n														n

Выражение в скобках стремится к единице, а n2 . Отсюда следует, что

92

lim n

2

1

1

1

.

2

3

n

n

n

Способ 2:

n2

n2

n2 n

n2 n

n

2

n

2

n

lim

lim

n

n

n2 n2 n

n

4

1

1

n

4

n

2

n

1

n

2

n

3

lim

lim

lim n2

.

n

n

2

n

2

n

n

n2

1

1

n

1

n2

n3

Вычислите предел lim

cos(n2 )

.

n 1

РЕШЕНИЕ:

n

Последовательность

cos(n2 )

есть

произведение

13

n 1

0

cos(n

)

1

2

двух

последовательностей

и

,

из

n 1

которых

первая

ограниченная,

а

вторая

cos(n2 )

бесконечно малая. Следовательно,

lim

0 .

n

n 1

10n 5n 1

Вычислите предел lim

.

7n 5n

РЕШЕНИЕ:

n

n

5

n

n

n 1

10

1 5

n

n

10

5

10

10

10

lim

lim

lim

lim

.

7

n

n

n

n

n

5

n

5

n 7

n

7

14

7n

1

7

10

n

Последовательность

-

бесконечно большая,

7

т.к.

10

1. Следовательно, lim

10 n

.

7

7

n

Вычислите предел lim

(n 1)! n!

.

РЕШЕНИЕ:

n (n 2)! (n 3)!

15

0

В этом примере мы опять имеем дело с

неопределенностью

.

93