Chast_3_novyy

2). Если f x x , g x 1 x , то f x g x 1 не является бесконечно боль-

шой функцией.

3.7. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями

Если x - бесконечно малая функция при x a и x 0 при x a ,

1

то x - бесконечно большая функция при x a . Если x - бесконечно

1

большая при x a , то x - бесконечно малая.

3.8. Свойства функций, имеющих предел

Теоремы этого раздела сформулированы для пределов в точке										x0 , но все
они справедливы и для пределов при x .
Теорема 1
Если lim f (x) A, A , то f x A x , где lim x 0 .
x x0					x x0
Доказательство:
Если lim f (x) A,	то, по определению Коши, при произвольном 0 вы-
x x0		f x A					f x A		x .
полняется неравенство				. Обозначим						Тогда для

любого 0 выполняется x . Но это и означает, что x – бесконечно

малая при x x0 .

Справедливо и обратное утверждение: если функция f x представима в

виде f x A x , где lim x 0 , то существует lim f (x) A.

x x0 x x0

Теорема 2

Пусть функции y		f (x) и y x определены в окрестности точки x0 D .
Если lim f x A и		lim (x) B , то
x x0		x x0
1)	lim f x x lim f x lim x ,
	x x0	x x0	x x0
2)	lim f x x lim		f x lim x ,
	x x0	x x0	x x0
3)	lim k f x k lim f x ,
	x x0	x x0

34

	f x		lim f x	, где lim x 0 .
4) lim			x x0
			lim x
x x0	x			x x0
			x x0

Доказательство первого утверждения теоремы 1.

Из теоремы о связи функции, предела и бесконечно малой следует, что

f x x A x B x A B x x A B x .

Так как x x x , lim (x) lim (x) (x) 0,

получаем

x x0

x x0

lim f (x) (x) A B lim

f (x) lim (x).

x x0

x x0

x x0

x2

5

ПРИМЕР. Вычислите предел lim

.

x 2 x2

3

f (x)

x2 5

x 2

Функция

определена в точке

, поэтому

x2 3

0

x2

5

22

5

lim

f

(2)

9 .

x 2 x2

3

22

3

ПРИМЕР. Вычислите предел lim

x3 x

.

3x2

x x3

1

От бесконечно больших значений аргумента перейдем к бесконечно малым. Для этого, как и для последовательностей, применим метод деления числителя и знаменателя на наивысшую степень x , т.е. на x3 :

lim			x3 x								lim			1 1 x2					1 0		1.
		3	3x	2	1									3 x 1 x		3		1 0 0
x x											x 1
															9 5x 4x2			3
ПРИМЕР. Вычислите предел lim																				.
															x
											x 0

Непосредственно подставляя число x0 0 в функцию, получаем неопределен-

ность	0			. Учтем формулу a b a		b a		2	b	2	и умножим числитель и зна-
	0
менатель на выражение							3 :
					9 5x 4x2

35

Функция

																		2 3 2
															9 5x 4x2
lim		9 5x 4x2 3					0			lim
x 0				x			0			x 0			x 9 5x 4x2 3
lim		9	5x 4x2			9				lim					5 4x								5	0				5		5	.
x 0 x				9 5x 4x2 3						x 0				9 5x 4x2 3								9 0 0 3						3 3 6

3.9. Предельный переход в неравенствах

Теорема о сохранении знака неравенства при предельном переходе.

Если функции	y f (x) и y (x)	в окрестности точки x0 D удовлетворя-
ют неравенству	f x x	и имеют конечные пределы, то

lim f (x) lim (x).

x x0 x x0

Теорема о пределе промежуточной функции.

Если для функций f x , x , g x в окрестности точки x0 D выполняет-

ся неравенство f x x g x и lim	f (x) lim g(x) A, то функция x
x x0	x x0
имеет тот же предел lim (x) A.
x x0

4.НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

4.1.Непрерывность функции в точке

Пусть функция y f (x) определена в окрестности точки x0 D .

Определение 1. Функция y f (x) называется непрерывной в точке x0 ,

если функция определена в точке x0 , существует предел lim f (x) и при этом
	x x0
lim f (x) f (x0 ) .
x x0
При нарушении любого из трех условий: 1) f (x0 ) , 2)	lim f (x) ,
	x x0

3) lim f (x) f (x0 ) ) функция называется разрывной в точке x0 .

x x0

ПРИМЕР

x2 , x 0,

f (x) непрерывна в любой точке x0 0

1, x 0

и разрывна в точке 0 (нарушено второе условие определения).

36

Определение 2

Рассмотрим точку x0 D функции y f (x) и точку x x0 .

Величина x x x0 называется приращением аргумента, x x0 x .

Величина y f x0 x f x0 называется приращением функции, соот-

ветствующим данному приращению аргумента x .

Функция y f (x) называется непрерывной в точке x0 , если функция опреде-

лена в точке x0 и при этом lim y 0.

x 0

Итак, функция непрерывна в точке, если бесконечно малым приращениям аргумента соответствуют бесконечно малые приращения функции.

ПРИМЕРЫ

1. Функция y x2			непрерывна в произвольной точке					x	вещественной оси.
y x x 2								0
		x	2 x 2	2x x x2	x	2 2x x x2.
	0	0	0	0	0		0
lim y lim 2x0 x x2 2x0 lim x lim x lim x 2x0 0 0 0 0.
x 0	x 0			x 0		x 0	x 0

2. Функция

y sin x непрерывна в произвольной точке x0

вещественной оси.

Если х 0, то из неравенства

0 sin x x следует, что

0 lim sin x lim x 0, т.е.

lim sin x 0. Если х 0 , то

х sin x 0 и анало-

x 0 0

x 0 0

x 0 0

limsin x 0.

гично получаем lim sin x 0. Таким образом

x 0 0

x 0

Используя второе определение непрерывности, в произвольной точке x0

lim sin x0 x sin x0 lim

x

x

имеем

2sin

cos x0

0 ,

x 0

x 0

2

2

так как

lim sin

х

0, а косинус является ограниченной функцией. Непрерыв-

x 0

2

ность синуса доказана.

3. Функция y = соs x непрерывна в произвольной точке x0

вещественной оси.

y = соs(x0 + x) - соs x0 = -2 sin ( x/2) sin (x0 + x/2),

x

x

lim y 2 lim sin

lim sin x0

0 ,

x 0

x 0

2

x 0

2

как произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию.

37

Так как lim x x0 , то для непрерывной функции
		x x0
lim f (x) f x0 f			lim(x)		, то есть символы функции и предела перестано-
x x0			x x0
вочны.
Определение 3
Функция y f x			называется непрерывной в точке x0 , если
1)	функция определена в точке x0 ,
2)	существуют односторонние пределы lim f (x),					lim f (x) ,
					x x0 0	x x0 0
3)	lim	f (x) lim f (x) f (x0 ) .
	x x0 0	x x0 0

Все три определения непрерывности равносильны.

Покажем, что 2-е определение непрерывности равносильно 1-му определению.

Используя арифметические свойства предела, получаем

lim	y 0,	lim f (x0	x) f (x0 ) 0,
x 0		x 0
lim	f (x0 x) lim f (x0 ) 0,			lim f (x0 x) f (x0 ) 0.
x 0		x 0		x 0
По определению приращения x = x – x0, поэтому lim f (x0					x) lim f (x) ,
				x 0	x х0
и тем самым lim f (x) f (x0 ) 0,			или	lim f (x) f (x0 ) .
x х0				x х0

Последнее равенство и означает 1-е определение непрерывности.

Используется также понятие односторонней непрерывности.
Функция	y f x	называется непрерывной в точке x0	слева, если функция
определена в точке		x0 и существует односторонний предел lim		f (x)	и при
			x x0 0
этом lim	f (x) f (x0 ) .
x x0 0
Функция	y f x	называется непрерывной в точке x0	справа,	если функ-
ция определена в точке x0 и существует односторонний предел				lim	f (x) и
			x x0 0
при этом	lim f (x) f (x0 ) .
	x x0 0

Используя понятие односторонней непрерывности, можно сказать, что функ-

ция непрерывна в точке x0 , если она непрерывна в ней справа и слева.

38

4.2. Непрерывность функций на множестве

Функция, непрерывная в любой точке множества D , называется непре-

рывной на множестве D .

Функция непрерывна на отрезке a,b , если она непрерывна на интервале

a,b , непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

4.3. Свойства функций, непрерывных в точке

Если функции y f x и y x определены на множестве D и непре-

	рывны в точке x0 D , то функции			f x
	f x x , k f x	k const ,	f x x ,
				x

непрерывны в точке x0 , причем частное требует условия x0 0.

В частности:

1). Многочлен P x a xn a

n 1

xn 1 ... a x a

непрерывен в любой точке

x

n

n

1

0

0

вещественной оси.

P (x)

a xn

... a x a

2). Дробно-рациональная функция R(x)

n

n

1

0

непрерыв-

Q (x)

b xm

... b x b

m

m

1

0

на в любой точке x0 вещественной оси, где Qm x0 0 .

Если функция y f x

непрерывна в точке x0 ,

то она ограничена в некоторой

окрестности этой точки.

4.4. Непрерывность основных элементарных функций

Основными элементарными функциями обычно называют следующие

функции:
y x , ax , loga x , sin x , cos x , tg x , ctg x , arcsin x , arccos x , arctg x ,								arcctg x .
Основные элементарные функции непрерывны в каждой точке x0								их области
определения.
Непрерывность функций						sin x и cos x была установлена выше в п.4.1. Из
свойств непрерывных функций						следует, что функция tg x непрерывна всюду
кроме	точек	x		n,	n Z , а функция		ctg x всюду кроме точек
x n,	n Z .	2

39

5.ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

Втеории пределов большую роль играют два предела, которые, в силу их важности, получили названия замечательных пределов.

5.1.Первый замечательный предел

Функция y sin x при x 0 имеет предел, равный 1: x

lim sin x 1.

x 0 x

Доказательство:

Рассмотрим единичную окружность.

Пусть

COB x,

0 x

π

,

OC OB r 1,

AC sin x, OA cos x,

2

BD tg x .

Сравнивая площади

треугольника OAC , сектора OBC и треугольника

OBD , получаем

S OAC SOBC S OBD ,

1

sin x cos x

1

x

1

sin x

.

2

2

2 cos x

Разделим двойное неравенство на

sin x

0 : cos x

x

1

. Неравенство

sin x

2

cos x

справедливо и для

x 0 , так как cos( x) cos x,

sin( x)

sin(x)

. Перейдем к

x

пределу при x 0 :

x

cos(x)

- функция непрерывная,

cos x cos(0) 1. Приме-

няя теорему о пределе промежуточной функции, получаем

1 lim sin x 1, то есть lim sin x 1.

x 0 x

x 0 x

0

В первом замечательном пределе имеет место неопределенность .

0

ПРИМЕР. Вычислите предел: lim sin 2x .

x 0 x

Если x 0, то и 2x 0 и тогда

lim	sin2x			0		lim	2 sin2x	2 lim	sin 2x	2 1 2.
				0			2 x		2x
x 0 x						x 0		x 0

40

	5.2. Второй замечательный предел
		1	x
	Функция y x 1			при x имеет предел, равный числу e :
		x
						1 x		e
					lim 1				.
					x	x

Этот предел называется вторым замечательным пределом. Во втором замеча-

тельном пределе имеет место неопределенность 1 .

1 7 x

ПРИМЕР. Вычислите предел: lim 1

.

x

x

1

7 x

1

x 7

1

x

7

7

lim 1

lim 1

lim 1

e

.

1

x

x

x

x

x

x

5.3. Эквивалентные бесконечно малые функции при x 0

Первый и второй замечательные пределы позволяют установить эквивалент-

ность некоторых бесконечно малых функций и степенной функции при

x 0

1 cos x

x2

,

1

x

,

ax 1 x ln a ,

loga 1 x

x

,

1 x

2

2

ln a

1 x 1 x .

Ряд эквивалентных бесконечно малых функций при x 0

x sin x arcsin x tgx arctgx shx ex 1 ln 1 x

ПРИМЕР. Докажем эквивалентность ех 1 х .

lim

ex 1

ex 1 t

lim

t

x ln 1 t

x 0

x

t 0 ln 1 t

lim

1

1

1

1.

ln 1 t t

t 0

ln e

t 0

ln

lim 1 t t

ПРИМЕР. Вычислите lim

ln(1 sin x)

.

x 0

sin 4x

При x 0 применим эквивалентность sin x x ,

sin 4x 4x .

lim

ln(1 sin x)

lim

ln(1 x)

1

lim

ln(1 x)

1

1

1

.

x 0 sin 4x

x 0 4x

4 x 0

x

4

4

41

tg2 x

ПРИМЕР. Вычислите lim 1 cos x .

x 1

Сделаем замену x t 1, t x 1 и перейдём в пределе к бесконечно малому аргументу t 0 , что позволяет применить эквивалентность бесконечно-малых функций.

cos x cos t 1 cos t cos t,

tg2 x tg2 t 1 tg2 t tg2 t.

1 cos x

0

1 cos t

2sin2

t

2

lim

lim

lim

2

2

2

x 1

tg x

0

t 0

tg t

t 0

tg t

t 2

2

t

2

4

1

1

2 lim

2

2 lim

2 lim

.

t 0 t 2

t 0 2t2

t 0 4 2

5.4. Предел степенно-показательной функции y f x

x

( f x 0).

f x

x

lim x

lim

lim f x x x0 .

x x0

x x0

Если lim f x A, lim x B , применяя основное логарифмическое то-

x x0 x x0

ждество, получим

x

x

lim e x lnf x

lim x lnf x

lim

x ln lim

f x

lim f x

lim eln(f x )

ex x0

ex x0

x x0

x x0

x x0

x x0

eBln A eln AB

lim x

AB lim f (x) x x0 .

x x

0

x 1 2x 1

ПРИМЕР. Вычислите предел lim

.

x x 2

x 1

1

1

1 0

x

и предел lim 2x 1 . Таким

Вычислим предел lim

lim

1

2

x x 2

x

1 0

x

1

x 1 2 x 1

x

образом, функция y

порождает неопределенность

1

.

x 2

42

	x 1	1
	x 2

x 1 2 lim x x 2

	x	1						x 1 x				2			3								1
			1		1								1				1									.
	x 2								x 2							x 2					x 2
																							3
																								x 2		2x 1	3
												2x 1															x 2
x 1																							3
		1							1											1
				lim 1									lim 1
										x 2										x 2
					x
															x
									3											3

	lim	3 2x 1	e6 , поскольку lim	6x 3
	ex	x 2			6.
			x	x 2

6.СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

6.1.Теорема об устойчивости знака непрерывных функций

Если f (x) -

непрерывна

в

точке

x0

и

f (x0 ) 0 ,

то

существует такая

– окрестность

точки

x0 ,

что для

всех

значений

x

из

этой окрестности

f (x) 0 и имеет знак, совпадающий со знаком f (x0 ).

6.2. Непрерывность обратной функции

Теорема

непрерывная на a,b

Пусть функция y f (x) -

строго монотонная и

функция, f (a), f (b) . Тогда существует функция

x f 1(y)

- строго монотонная и непрерывная на , .

ПРИМЕР.

y sin x , x

,

- строго монотонна и

2

2

непрерывна, следовательно, имеет строго монотонную и

непрерывную обратную функцию x arcsin y ,

y 1,1 .

После переобозначения имеем y arcsin x .

6.3. Непрерывность сложной функции

Функции, полученные в результате суперпозиции двух или большего числа функций, называются сложными:

Пусть: 1) x (t) задана на множестве t и имеет множество значений x ; 2) y f (x) задана на множестве x .

Тогда на множестве t задана сложная функция y f (x) , где x (t) или y F(t) f (t) , x - промежуточный аргумент, t - независимая переменная.

43