Chast_3_novyy

0

3;

х

0;1

1;

3

1

3

у

0

3

3

2

y

0

–

–

0

–

y

0

–

+

+

+

перегиб

min

График y

x3

имеет вид:

x2 1

36	Исследуйте функцию	y arctg	ctg x и постройте её график.

РЕШЕНИЕ:

1). Так как функция периодична с основным периодом T , достаточно исследовать ее поведение на промежутке, длиной равном периоду, например, на 0; . Арктангенс определен для всех значений аргумента,

поэтому областью определения сложной функции								y arctg			бу-
										ctg x
дут промежутки оси					Ox , на которых		ctg x 0 ,	т.е.,	для промежутка
	0;		это будет x		2		arctg t 0 , область значений
					0;	. Для t 0
y 0;
			2 .
Точки пересечения графика с координатными осями:									при x 0 котан-

генс не определен, точек пересечения с осью Oy нет. Точки пересечения

с осью Ox находим, решая уравнение ctg x 0 x 2 n .
2).	Четностью или нечетностью функция не обладает.	0 не опре-
3).	Точка x 0 не является точкой разрыва, так как f
делена,	lim f x 2 . Поскольку на каждом периоде график	f x лежит
	x 0

в конечной области плоскости Oxy , асимптот у графика существовать не может.

144

4). Найдем

производную:

y

1

.

Для

2 sin x cos x sin x cos x

x

0;

y 0

, lim y lim

y ,

т.е., на каждом отдельном проме-

2

x 0

x

0

2

жутке области определения функция монотонно убывает.

cos x sinx 1 4sinxcos x

5). Найдем вторую производную y

4 sinx cos x 2

sinx cos x 3

. Ко-

рень уравнения y 0

на x 0; 2 -

x 4 . При

0 x 4

y 0 график

функции выпуклый вниз, при

x

y 0 - график функции выпук-

4

2

лый вверх. Точка графика 4 ; 4

-

точка перегиба.

y arctg

ctg x

График

имеет вид

37

x 2

Постройте график функции y x

2

.

x

Область определения функции:

x 0 ,

это

точка

бесконечного

разрыва

функции,

y x 0 для всех x R ;

y x 0

при x 2 ;

4 x

,

x 2,

x

3

y x

x 4

,

x 2,

x

3

y x 0 при x 4 .

Построим схему.

x

, 0

0

0, 2

2

2, 4

4

4

0

0

0

0

0

f x

f x

1

5

1/ 8

разрыв

острый

max

min

145

5. ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ

ДЗ № 1. Пределы числовых последовательностей

Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 2: Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Кратные интегралы. Дифференциальные уравнения/ А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др.; под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.

№	№ по												Задание																									Ответ
п/п	Еф.
	5.214	Написать первые пять членов																																	2,0,6,0,10,…
1		последовательности
		xn n 1 1 n
	5.216	Написать первые пять членов																															2	,	7		,	8	,	13		,	14		,…
2		последовательности																														3 3				3					3			3
		xn		1 n arcsin												3			n
															2
3	5.217	Написать формулу общего члена																																					1 n
															1 1													1 1									xn
		последовательности																			,				,				,		,...								n 1
																												4		5
															2								3
	5.222	Написать формулу общего члена																																	xn	sin					n 1
		последовательности
4																																									4
		0,		2			,1,			2		,0,				2			, 1,				2				,0,...
				2				2							2								2
	5.223	Найти наибольший (наименьший)																														Наибольший член x3 4
5		член ограниченной сверху (снизу)
		последовательности xn n N :
		x	n	6n n2 5
	5.227	Найти наибольший (наименьший)																														Наименьший член x8 24
		член ограниченной сверху (снизу)
6		последовательности xn n N :
		x		2n					512
			n
										n2
	5.253	Найти все предельные точки																																		/ 6 , / 6
7		последовательности
		xn								1 n
				arcsin
								2

146

5.229

Используя логическую символику,

а) A 0 n

xn

A ;

записать следующие высказывания,

A 0 n

xn

A ;

а также их отрицания:

б) N xn

xn 1 ;

а) последовательность ограничена;

б) последовательность монотонно

n xn xn 1 ;

возрастает;

в) 0

N

в) число а есть предел

N n N

xn

a

;

последовательности;

0

N

9

г) последовательность xn n N

n n N

xn a

;

г) E 0

N

бесконечно большая;

n n N

xn

E ;

д) число а есть предельная точка

E 0

N

последовательности.

n n N

xn

E ;

д) 0

n

xn a

; 0

n

xn a

5.230а

Найти a lim xn и определить

а = 1/3, N = 3

n

10

номер N

такой, что

xn

a

при всех n N , если

:

x

n

0,33..., 0,001.

n

5.235

Вычислить предел

0

11

lim

n 2 3 n 2 3

95n3 39n

n

5.237

12

Вычислить предел lim

3

n

4

3n 1

n 1

n

5.238

Вычислить предел lim

0

13

n 2

n

n

5.240

2

n

n

-1

14

Вычислить предел lim

3

3n

n 2n

5.241

Вычислить предел

½

15

lim

1

2

...

n 1

2

n

2

n

2

n

n

5.243

3

sin n2

0

16

Вычислить предел lim

n2

n 1

n

147

	5.245	Вычислить предел																				1/6
17		lim	1				1		... 1			n 1			1
							25					5				n
		n	5
		Вычислить предел																				3
18		lim		(3n 1)! (3n 1)!
						(3n)!(n 1)
		n
		Вычислить предел
19		lim		(n 4)! (n 2)!
		n					(n 3)!
20												n 1 n 2										e 4
		Вычислить предел lim
										n n							3
																					n2
																	2	2					e
21		Вычислить предел lim													2n
															2			1
										n					2n

ДЗ № 2. Пределы функций

Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 2: Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Кратные интегралы. Дифференциальные уравнения/ А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др.; под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.

№

№ по

Задание

Ответ

п/п

Еф.

5.262

Пользуясь только определением

предела функции, доказать, что

lim f x a , и заполнить

x

1

следующую таблицу

0,1

0,01

0,001

f x 1/ x ,

x0 1, a 1.

5.264

Используя логическую символику,

0

E 0 0

E

2

записать следующее утверждение

x

f x

lim f x

x 0

5.265

Используя логическую символику,

E 0 0

3

записать следующее утверждение

x 1 0

f x

E

lim

f x

x 1 0

148

5.266

Используя логическую символику,

0 A 0

4

записать следующее утверждение

x

A

f x

lim f x 0

x

5.269

Используя логическую символику,

0 A 0

5

записать следующее утверждение

x

A

f x 2

lim f x 2

x

5.273

Вычислить предел рационального

2

6

выражения lim

x2

3

3

x 3 x2

5.276

Вычислить предел рационального

7

выражения

lim

1

3

8 x

3

x 2 0

2 x

5.282

Вычислить предел рационального

1/4

8

выражения lim

x3

x2

2x

2

1

x

2x 1

5.285

Вычислить предел рационального

9

выражения

x 2

x

4

lim

2

3 x

2

x 1

5x 4

3x

x

2

10

5.288

Вычислить предел lim

3x 1

3/5

x

x 5x 3

5.289

1/6

11

Вычислить предел lim

x 1 3

x 10

x 10

5.290

Вычислить предел

/ 2

2

12

lim

x

x 1

1

x 1

x2

1

5.292

2

3

13

Вычислить предел lim

x

x

x 1

x 1

5.294

Вычислить предел

2/3

14

lim

2x

x

3x

3x

3x

5.295

n

1/n

15

Вычислить предел lim

x 1 1

x

x 0

5.297

3/2

16

Вычислить предел lim

x

2

4 2

x 0

x2 9 3

17

5.300

Вычислить предел

1/2

149

lim

x

x x

x

x

18

5.301

Вычислить предел

-7/4

lim

4x2 7x 4 2x

x

19

5.302

Вычислить предел

2

lim x3 / 2

x3 2

x3 2

x

5.304

Используя первый замечательный

-7/3

20

предел, вычислить lim

sin 7x

x tg3x

5.306

Используя первый замечательный

¾

21

предел, вычислить lim

3arcsin x

4x

x 0

5.307

Используя первый замечательный

2

22

предел, вычислить lim

1 cos2x

x2

x 0

5.308

Используя первый замечательный

2

2 / 2

23

предел, вычислить

lim

cos x cos x

,

x 0

x2

5.309

Используя первый замечательный

0

24

1

предел, вычислить lim

ctgx

x 0

sin x

5.311

Используя первый замечательный

/ 4

2

25

предел, вычислить

lim

2

2cos x

4x

x / 4

5.312

Используя первый замечательный

1

26

предел, вычислить

lim

x

tgx

2

x /2

5.317

Доказать соотношение:

27

loga 1 x

lim

loga e

x

x 0

5.318

Доказать соотношение:

28

ax 1

lim

ln a

x

x 0

5.319

Доказать соотношение:

29

1 x a 1

lim

x

a

x 0

30

5.320

Используя второй замечательный

e10

150

		предел, а также результаты задач
		5.317-5.319, вычислить предел
		lim	x 3 2 x 1
		x	x 2
	5.322	Используя второй замечательный						e 1/ 2
31		предел, а также результаты задач
		5.317-5.319, вычислить предел
		lim cos x 1/ x2
		x 0
	5.324	Используя второй замечательный						2
32		предел, а также результаты задач
		5.317-5.319, вычислить предел
		lim x ln 2 x ln x
		x
	5.327	Используя второй замечательный						aln a
		предел, а также результаты задач
33		5.317-5.319, вычислить предел
		lim	ax a
			x 1
		x 1
	5.330	Используя второй замечательный						1
34		предел, а также результаты задач
		5.317-5.319, вычислить предел
		lim cos x 1/ sin x
		x 0
	5.331	Используя второй замечательный						-1/2
		предел, а также результаты задач
35		5.317-5.319, вычислить предел
		lim	ln cos x
		x 0		x2
	5.334	Доказать, что lim f x a в том и
							x x0
		только в том случае, когда для
		любой последовательности
36		аргументов xn n N , сходящейся к
		x0 , соответствующая
		последовательность f xn n N
		значений функции сходится к a .
	5.335	Используя результат задачи 5.334,
		доказать, что для функции
37		f x cos x не существует
		lim f x ,					x0 .
		x x0
38	5.336	Используя результат задачи 5.334,

151

доказать, что для следующей

функции f x sin1/ x не

существует lim f x ,

x0 0.

x x0

5.349

Определить порядок малости x

3/2

39

относительно x x при x 0 ,

если

x

3 x3

.

1 x

5.359а

Доказать, что x x имеет 2-

40

й порядок малости относительно x

при x 0 , если x 1/ 1 x ,

x 1 x .

5.364

Доказать, что если x 1 x и

41

x 1 x при x x0 , то

x

1 x

lim

lim

.

x x0 x

x x0 1 x

5.365

Используя результат задачи 5.364,

-1

42

вычислить предел

arcsin x / 1 x

2

lim

ln 1 x

x 0

5.366

Используя результат задачи 5.364,

ln10

43

вычислить предел lim

1 x

lg x

x 1

5.367

Используя результат задачи 5.364,

3

44

вычислить предел lim

cos x cos 2x

1 cos x

x 0

5.370

Используя результат задачи 5.364,

8/9

45

вычислить предел

lim

1 cos4x

x 0 2sin2 x xtg7x

5.351

Определить порядок малости x

1

46

относительно x x при x 0 ,

если x

1 cos x

x

5.359в

Доказать, что x x имеет 2-

47й порядок малости относительно x при x 0 , если x 1 x n ,

152

		x 1 nx n .
				ДЗ № 3. ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 2: Введение в анализ.
Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной перемен-
ной. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
Кратные интегралы. Дифференциальные уравнения/ А. В. Ефимов,
А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др.; под ред. А. В. Ефимова,																									А.
С. Поспелова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.
№	№ по					Задание								Ответ
п/	Еф.
п
		Укажите все номера целых чисел
		данного множества
		1)	8 2		15	5	3 , 2)				7 log1	5 25	,
1		3)	7		2 , 4) 33 0, 15 , 5) 3 7 6 6 .											5)
			7		2
		1) 1,		2,	4	2) 4,		5		3) 2,		4
		4) 1,		3,	4	5) 1,		4,		5.
2	5.102	Найти f 1 , f					0,001 , f					100 ,		0, -6, 4
		если		f x lg x2 .
	5.105	Найти f 0 ,				f x ,			f x 1 ,					1 x				x			,		2
					1			1						1,		,							,
														1 x			2 x					1 x
3		f x 1, f				,	f x			, если
					x									x 1, 1 x .
		f x 1 x .
														x 1 1 x
				1 x										D 3, ,
	5.106	Найти естественную область
4		определения D и множество												E ,
		значений E функции y ln x 3 .
	5.108	Найти естественную область												D				2	k	2	,	2	2k 1	2	,
		определения D и множество															4
5															k 0
														E 0,1
		значений E функции y									sin		x .
	5.113 Найти естественную область опре-													D		1,1 , E 0,
6		деления D и множество значений E
																							4
											153