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Применяем метод логарифмического дифференцирования.
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ln sin x |
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(5x 4)2 3 1 x |
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2x 1 |
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2(3x 2) |
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5x 4 |
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3(1 x) |
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Найдите |
y (x) , если y |
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5 |
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x3 x 1 7 |
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. |
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x 6 |
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РЕШЕНИЕ: |
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1 |
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ln y |
3ln x 7 ln |
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x 1 ln |
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x |
6 |
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; |
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16 |
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5 |
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1 |
3 |
7 |
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1 |
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y |
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ln y |
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; |
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ln y |
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, |
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x 1 |
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x 6 |
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5 |
x |
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y |
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1 |
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3 |
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7 |
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1 |
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x3 |
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x |
1 |
7 |
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y |
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5 |
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. |
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6 |
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x 6 |
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5 |
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6 x 1 x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Вычислите производную y 'x |
функции |
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17 |
x sin2 t, |
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y cos2 t, |
0 t |
π |
, заданной параметриче- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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ски. |
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2 |
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РЕШЕНИЕ:
Воспользуемся формулой для производной функции, заданной параметрически:
y '
y 'x x't . -1
t
Вычислим производные по переменной t : y 't 2cost sin t ,
x't 2sin t cost,
отсюда
115
y 'x |
|
y 't |
|
2cost sint |
1. |
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||||
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x't 2sint cost |
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3 |
3t 1; |
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||||||||||
|
Найдите y |
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y x |
x t |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x) , если |
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5 |
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3 |
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5t |
1. |
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18 |
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y 3t |
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||||||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
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5t2 |
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15t |
4 |
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15t |
2 |
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5t |
2 |
(t |
2 |
1) |
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y |
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(x) |
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5t |
2 |
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|||||||||||||||||||
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y (x) |
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2 |
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3 |
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(t |
2 |
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1) |
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x (t) |
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3t |
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|
Составьте уравнения касательной и нормали к кривой |
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|
y |
x2 |
2x 3 |
|
в точке x0 |
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4 . |
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4 |
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РЕШЕНИЕ: |
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1 |
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(2x 2); |
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y |
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(4) |
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8 2 |
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3 |
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; |
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||||||||||||||||||||||||||||
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|
y (x) |
4 |
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4 |
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2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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16 8 3 |
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5 |
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||||||||||||||||||
19 |
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y(x0 ) y(4) |
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|
. |
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|
|
|
|
|
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|
|
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|
y |
1 |
( 32x 47) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4 |
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4 |
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12 |
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Уравнение касательной: |
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y |
5 |
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3 |
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|
(x 4) y |
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1 |
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(6x 19) . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4 |
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4 |
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2 |
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Уравнение нормали: |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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y |
5 |
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2 |
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(x 4) y |
1 |
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( 32x 47) . |
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4 |
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3 |
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12 |
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||||||||||||||||||
|
Составьте |
уравнение касательной |
к |
графику функ- |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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a cos |
3 |
t |
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ции: y x |
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x |
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в точке t |
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. |
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4 |
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3 |
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y |
a sin |
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t |
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20 |
РЕШЕНИЕ: |
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y х |
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а |
2 |
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dy |
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y |
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a 3sin |
2 |
t cost |
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2 |
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t |
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tgt . |
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2 |
t sin t |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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dx |
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a 3cos |
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x t |
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При t |
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4 |
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116
4.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛ
|
Найдите |
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дифференциал |
функции |
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a2 arcsin |
x |
5 |
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y(x) x |
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a2 x2 |
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|
при |
|
произвольном значе- |
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|||||||||||||||||||||||||
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x и |
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a |
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|||
нии аргумента |
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|
при |
|
произвольном |
его приращении |
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x dx . |
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РЕШЕНИЕ: |
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26 |
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2x |
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1 |
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a |
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y x |
a2 x2 x |
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a2 |
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|||||||||||||||
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2 |
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a2 x2 |
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1 |
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x2 |
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|||||||||
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a2 |
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||||||
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a2 2x2 |
|
a2 |
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|||||||||
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a |
2 |
x |
2 |
|
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|||||||||||||
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2 |
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, |
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||||||
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a2 x2 |
a2 x2 |
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dy y x dx 2a2 x2 dx .
Найдите дифференциал 2-го порядка функции y 3 x2 .
РЕШЕНИЕ:
y 3 x2 e x2 ln 3 e x2 ln3 x2 ln3
27
2xln3e x2 ln 3 xln9e x2 ln3 .
y ln9 xe x2 ln3 ln9 e x2 ln3 2x2 ln3e x2 ln3
3 x2 ln9 x2 ln9 1 .
Найдите дифференциал неявно заданной функции y5 y x2 1.
28РЕШЕНИЕ:
Дифференцируем равенство:
|
5y4dy dy 2xdx 0, откуда dy |
2xdx |
. |
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5y4 1 |
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||||
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Вычислите приближенное значение arcsin0,51 |
помощью |
||||
|
дифференциала. |
|
|
|
|
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29 |
РЕШЕНИЕ: |
|
|
y arcsin x . |
|
|
Рассмотрим |
функцию |
|
Полагая |
|||
|
x 0,5; x 0,01 |
и |
применяя |
формулу |
||
|
arcsin(x x) arcsin x (arcsin x) x , получаем |
|
||||
|
|
|
|
|
|
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119 |
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