Chast_3_novyy
.pdfБолее коротко это утверждение формулируют так: предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения их производных, если последний существует.
1). Если рассматривается предел при x , |
x 0 , |
f x 0 , то утвер- |
ждение остается справедливым: |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
f x |
|
f |
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|||||||||
lim |
lim |
z |
|
|
x |
|
|
|||||
z |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
x x |
z 0 |
1 |
z 0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
2). Если lim f a lim a 0 и
x a x a
|
f |
|
1 |
|
1 |
|
f |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
lim |
|
|
z |
|
|
|
z |
|
|
|
lim |
|
|
z |
|
lim |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z 0 |
|
1 |
|
|
1 |
z 0 |
|
1 |
|
x |
|
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
f x , x удовлетворяют условиям теоре-
мы, то можно применять правило Лопиталя к |
f |
|
x |
, |
т.е., lim |
f |
|
x |
|
lim |
f |
|
x |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
x a x |
x a x |
||||||||||||
Таким образом правило Лопиталя можно применять несколько раз. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3). Без доказательства приведем следующее утверждение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
f x |
|
|
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x a x |
|
|
x a x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предел отношения двух бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует.
3.5. Примеры применения правила Лопиталя
0
Неопределенность вида .
0
1) lim sin 2x lim cos 2x 2 2 .
x 0 x |
x 0 |
1 |
|
|
|
x2 |
|
0 |
|
|
|
|
2x |
||||
2) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|||
x sin x |
|
|
|
|||||||||||
|
x 0 |
|
0 |
|
x 0 1 cos x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Неопределенность вида |
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ax |
ax ln a |
|
|
|
|
|||||||
3) |
lim |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
1 |
|
|
||||||||||
|
x |
x x |
|
|
|
|
|
|
|
0 2
0 lim sin x .
x 0
|
|
|
|
|
|
1 |
x 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
||
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
4) lim |
|
|
lim |
|
2 |
|
lim |
|
0 . |
||||
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
||||||
x |
x |
|
|
x 2 x 1 |
|
Неопределенность вида 0 .
64
1
5) lim x |
2 |
ln x 0 lim |
|
ln x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
0 . |
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
x 0 |
2 |
|
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 x3 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Неопределенности вида |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
, 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
В этом случае применяется предварительное логарифмирование, переходя к |
||||||||||||||||||||||||||||||||
неопределенности вида 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6). Вычислим |
lim xx |
|
00 |
. |
|
Результат |
логарифмирования: ln y x ln x . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
limln y lim x ln x 0 lim |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
x 0 |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
||||||||
limln y 0 , ln lim y 0 , |
lim y 1, |
lim xx 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x 0 |
|
x 0 |
x 0 |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.6. Формула Тейлора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Теорема. Если |
f (x) дифференцируема (n 1) |
|
|
раз в окрестности точки x0 , то |
для любого x из указанной окрестности справедлива формула Тейлора порядка n:
f (x) f (x ) |
f (x0 ) |
(x x ) |
f (x0 ) |
(x x )2 |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
1! |
|
|
0 |
|
|
|
2! |
|
|
0 |
|
|
f (x0 ) |
|
|
|
f (n) (x0 ) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
(x x )3 ... |
|
(x x )n R |
|
(x), |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
3! |
|
0 |
|
|
|
n! |
|
|
|
0 |
|
n 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
R |
|
(x) |
f (n 1) (x (x x |
0 |
)) |
(x x |
|
)n 1; |
0 1. |
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n 1 |
|
|
|
(n 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn 1(x) называется остаточным членом в форме Лагранжа.
Доказательство. Обозначим
x, x |
f x |
0 |
|
f x0 |
x x |
0 |
... |
f n x0 |
x x |
0 |
n |
, |
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
1! |
|
|
n! |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, x0 - многочлен n -го порядка (так называемый многочлен Тейлора),
Rn 1 x f x x, x0 .
Покажем, что данная формула справедлива. Зафиксируем x из указанной окрестности, пусть x x0 . На отрезке x0 , x рассмотрим вспомогательную функцию
x t n 1
Ô t f x x,t x x0 n 1 Rn 1 x , где t x0 , x .
65
|
|
|
Поскольку Ф x0 Ф x 0, |
то Ф t |
удовлетворяет условиям теоремы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ролля и существует точка x0 , x , в которой Ô 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Для вычисления Ф t |
запишем x,t : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(n) |
(t) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
(x,t) f (t) |
(t) |
(x t) |
|
(t) |
x t 2 |
|
|
|
x t n . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
||||||
|
|
|
|
Ô t t x,t n 1 |
|
|
x t n |
|
Rn 1 x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x x0 n 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t x,t f t f t x t |
f t |
|
f |
|
|
t |
|
x t 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f |
|
t |
2 x t ... |
f |
(n 1) |
t |
x t n |
|
|
f |
(n) |
t |
|
n x t n 1 |
|
|
f |
n 1 |
t |
x t n . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2! |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Ф t |
|
f n 1 |
t |
x t |
n |
n 1 |
x t n |
|
|
Rn 1 x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
x x0 n 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
при t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
x |
|
|
x x |
|
|
n 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 ! |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1). Формула Тейлора порядка n позволяет представить функцию y f (x) в виде суммы многочлена n–й степени и остаточного члена.
2). Полученная формула для Rn 1 x дает остаточный член в форме Лагранжа,
но есть и другие формы остаточного члена, например, в форме Пеано:
Rn 1 x o x x0 n - бесконечно малая более высокого порядка малости
по сравнению с x x0 n .
3.7. Частные случаи формулы Тейлора
1). При x0 0 формула Тейлора называется формулой Маклорена:
f x |
f 0 |
|
f 0 |
x |
f 0 |
x2 ... |
f n 0 |
xn R |
x , |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1! |
|
|
|
2! |
|
|
n! |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
R |
|
|
x |
|
f n 1 x |
xn 1 ; 0 1. |
|
|
|||||
|
1 |
n 1 ! |
|
|
||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2). Рассмотрим f x c0 |
c1x1 |
c2 x2 ... cn xn - многочлен порядка n . |
66
Поскольку для любых x f n 1 x 0 , то для всех x |
|
Rn 1 x 0 и |
||||||||||
|
|
|
f x0 |
|
|
|
|
f |
n |
n |
|
|
f x f x0 |
|
|
|
|
x x0 |
... |
|
|
|
x x0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1! |
|
|
|
|
n! |
|
|
Вывод: по формуле Тейлора любой многочлен порядка n можно представить в виде многочлена по степеням x x0 .
ПРИМЕР
Многочлен 2x3 3x2 5x 1 разложить по степеням x 1 .
Решение
f x 2x3 3x2 5x 1; x 1; f |
1 9 . |
|
|
0 |
|
Ищем коэффициенты формулы Тейлора: |
||
f x 6x2 6x 5 f 1 17; |
|
|
f x 12x 6 |
f 1 18; |
|
f x 12 |
f 1 12; |
|
f IV x 0 |
|
|
f ( n ) x 0;
f x 9 17 x 1 18 x 1 2 12 x 1 3 . 1! 2! 3!
Учитывая, что 1! 1 ; 2! 1 2 ; 3! 1 2 3 , получим ответ:
2x3 3x2 5x 1 9 17 x 1 9 x 1 2 2 x 1 3 .
3.8. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
1. f x ex , f x ex , f x ex ,
f n x ex ,
ex 1 x x2
1! 2! 2. f x sin x ,
f 0 1,
f 0 1, f 0 1,
f n 0 1.
... xn Rn 1 x . n!
f 0 0 ,
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
x cos x sin x 2 |
f |
0 |
1, |
||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||
f |
x sin x sin x 2 2 |
|
f |
0 |
0, |
|||||||
|
|
|
|
|
67
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
x cos x sin x 3 2 , |
f |
0 |
1, |
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
…………………………………………….., |
|
|||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
x sin x n 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
n – четное, |
||
f |
0 |
sin |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 n |
|
|
|
|
|
n – нечетное. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sin x x |
x3 |
|
|
x5 |
|
... 1 n |
|
x2n 1 |
|
|
R |
x . |
||||||
|
|
(2n 1)! |
||||||||||||||||
|
|
|
|
3! |
|
5! |
|
|
|
2n 3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нечетная функция sin x разложена по нечетным степеням x .
3. f x cos x , f |
0 1, |
|
|
n |
x cos |
|
|
|
|
||||||||
f |
|
|
x n |
|
, |
||||||||||||
|
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
n – нечетное, |
||||
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 cos n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
, |
|
|
|
|
n – четное. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x 1 |
x2 |
|
x4 |
... 1 n |
|
x2n |
|
R |
|
x . |
|
||||||
|
|
(2n)! |
|
|
|||||||||||||
|
2! |
|
|
4! |
|
|
|
|
2n 2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Четная функция cos x разложена по четным степеням x .
4. f x ln 1 x , |
|
|
|
f 0 0 , |
|
|
|||||||||||||
f x |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
f 0 1, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f x |
|
1 |
|
|
, |
|
|
f 0 1, |
|
|
|||||||||
1 x |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f x |
|
|
|
2 |
|
|
, |
|
|
|
f 0 1 2, |
|
|
||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 n 1 |
|
n 1 ! |
|
|
|
|
|
|
|||||||
f n x |
|
|
|
|
|
, |
n |
0 |
1 |
n 1 |
n 1 ! |
||||||||
|
|
1 x n |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
||||||||||
ln 1 x x |
x2 |
|
x3 |
... 1 n 1 |
xn |
Rn 1 x . |
|||||||||||||
|
|
n |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
5. f x 1 x , где – любое действительное число.
|
|
1 |
|
|
|
1 ... n 1 |
|
|
|||
1 x |
1 x |
|
|
x2 |
... |
|
|
xn R |
x . |
||
|
|
|
|
||||||||
|
2! |
|
|
|
|
|
n! |
n 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Частный случай n : |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 x n |
1 nx |
n n 1 |
x2 |
... |
n!xn |
- формула бинома Ньютона. |
|||||
|
n! |
||||||||||
|
2! |
|
|
|
|
|
|
68
Формулы Маклорена для элементарных функций с остаточным членом в форме Пеано:
1. ex |
1 x |
x2 |
... |
|
xn |
|
|
|
o xn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2. sin x x |
x |
3 |
|
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
x |
7 |
|
|
... 1 |
n 1 |
|
|
x |
n |
o xn 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
5! |
|
|
|
|
7! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Разложение для синуса часто записывают до членов 2n+1-го порядка в виде |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2n 1 |
|
|
|
|
o x2n 2 |
|
|
n |
|
|
1 |
k |
x |
2k 1 |
o x2n 2 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||
sin x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k 1 ! |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! 5! 7! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 ! |
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. cos x 1 |
x |
2 |
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
x |
6 |
|
|
... 1 |
n |
x |
n |
|
o xn 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Разложение для косинуса можно записать до членов 2n-го порядка в виде |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
n |
|
x |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
cos x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... 1 n |
|
|
|
|
|
|
o x2n 1 |
|
|
o x2n 1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n! |
|
|
2n! |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! 4! 6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. ln(1 x) x |
x2 |
|
|
|
x3 |
|
|
x4 |
|
|
... 1 n 1 |
|
xn |
o xn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
x |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ln(1 x) x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
o xn |
|
|
|
o xn , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
x7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
x2k 1 |
o x |
2n 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. 1 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xk |
|
o xn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
1 ... |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 x x2 |
|
x3 |
|
|
... ( 1)k xk o xn , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
o xn , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 x x2 x3 |
... xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 3 5 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
... 1 |
n 1 1 3 2n 3 |
|
n |
o x |
n |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 4 |
|
|
|
|
2 4 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 2n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 6 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69
1 |
|
|
1 |
1 |
x |
1 3 |
x2 |
|
|
1 3 5 |
x3 |
... |
|
1 n |
1 |
3 2n 1 |
xn o |
|
xn |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
2 4 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 2n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
1 3 5...(2k-1) |
|
|
|
x2k +1 |
+o x |
2n 2 |
, x [ 1,1] |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. arcsin x x k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 4 6...(2k-2) |
2k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2k 1 |
o x2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
7. arctg x ( 1)k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
x |
2k 1 |
|
|
o x2n 2 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
8. sh x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
.... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! 5! |
|
|
|
|
|
|
|
k 0 2k 1 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
x |
2k |
|
o x2n 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
9. ch x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
2k ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3.9. Оценка остаточного члена |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Пусть f x |
|
такова, что при любых n и x из окрестности точки x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
f n x |
|
M . |
Рассмотрим остаток: R |
|
x |
f n 1 ( ) |
x x |
0 |
n 1 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 ! |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
R |
(x) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
f |
(n 1) |
( ) |
|
|
|
x x |
|
n 1 |
M |
|
|
|
x x0 |
|
|
n 1 |
x x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для всех |
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)! |
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
При |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 и остаточный член может быть сделан сколь угодно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
малым путем увеличения n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Итак, если |
|
f x |
|
обладает указанным выше свойством, то формулу Тей- |
лора можно использовать для приближенных вычислений с любой наперед заданной точностью.
3.10. Приложения формул Тейлора и Маклорена |
|
|
|
|
|
||||
1). Вычисление приближенных значений функций по формуле: |
|
|
|
||||||
f x f x0 |
f x0 |
|
x x0 ... |
f n x0 |
|
x x0 |
|
n |
. |
|
|
n! |
|
|
|||||
1! |
|
|
|
|
|
|
|
70
Погрешность (ошибка) вычисления находится по оценке остаточного чле-
на. |
Rn 1 x |
, где |
- погрешность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ПРИМЕР |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Вычислите число e с точностью 10 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Рассмотрим |
ex , x 1, |
x 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 1 |
1 |
|
|
1 |
... |
|
1 |
R |
(1), |
R |
1 |
|
e |
|
, |
0 1. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 ! |
|
|||||||||||||||||||||||
1! |
2! |
|
|
|
n! |
n 1 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Rn 1 1 |
|
|
|
|
|
|
e |
e 3 |
|
Rn 1 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 ! |
|
|
3 |
|
0,001: n 7. |
||||||||
Найдем наименьшее n , удовлетворяющее условию |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
n 1 ! |
|
e 1 1!1 2!1 ... 6!1 2 0,5 0,167 0,042 0,008 0,001 2,718 .
2). Вычисление пределов функций.
ПРИМЕР
|
|
|
|
x3 |
|
x5 |
|
|
x3 |
|
|
|
||||
|
sin x x |
|
x |
|
|
|
|
... x |
lim |
|
|
... |
|
|
1 |
. |
|
3! |
5! |
||||||||||||||
lim |
lim |
|
3! |
|||||||||||||
|
|
|
|
x3 |
|
x3 |
|
|||||||||
x 0 x3 |
x 0 |
|
|
x 0 |
3! |
71
III. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
Область определения и область изменения функции, четность, нечетность, периодичность, точки разрыва были изучены ранее.
1. АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Определение. Если расстояние от точки, лежащей на кривой, до некоторой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат, то эта прямая называется асимптотой кривой.
Асимптоты могут быть вертикальными, горизонтальными и наклонными.
1.1. Вертикальные асимптоты
Прямая x x0 |
является вертикальной асимптотой графика функции y f x , |
|||||||||||
если хотя бы одно из предельных значений lim f x или |
lim f x равно |
|||||||||||
или . |
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 0 |
x x0 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ПРИМЕРЫ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
График функции y |
имеет вертикальную |
|
|||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
асимптоту x 0, поскольку lim |
1 |
, |
lim |
1 |
. |
|
||||||
|
|
1 |
|
|
x 0 0 x |
x 0 0 x |
|
|||||
2. Для кривой y |
|
|
вертикальными асимптота- |
|
||||||||
x2 1 |
|
|||||||||||
ми будут прямые x 1 и x 1. |
|
|
|
|
||||||||
3. |
Функция |
y ln x |
определена в |
интервале |
|
0 x , и для нее lim ln x , так что прямая
x 0 0
x 0 (ось Oy ) является вертикальной асимптотой графика функции y ln x .
1.2. Горизонтальные асимптоты
Прямая y b называется правой горизонтальной асимптотой графика
функции y f x , если |
lim |
f x b . |
|
x |
|
Прямая y b называется левой горизонтальной асимптотой графика |
||
функции y f x , если |
lim |
f x b . |
x
ПРИМЕРЫ
1) Для f x x2 горизонтальных асимптот нет;
72
2) для f x ex существует левая горизонтальная асимптота
y 0, т.к. |
lim f x 0; |
|
x |
3) для f x e x существует правая горизонтальная асимптота
y 0, т.к. lim |
f x 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) обе горизонтальных асимптоты существуют и совпадают |
||||||||||||||||||
( f x |
1 |
, lim |
f x lim f x 0 , |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||
y 0 - уравнение обеих горизонтальных асимптот). |
|
|
|
|
||||||||||||||
5) для f x arctgx существуют, но не совпадают, обе гори- |
||||||||||||||||||
зонтальные асимптоты. |
y |
|
- левая горизонтальная асимпто- |
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
та, т.к. |
lim f x |
|
, y |
|
- правая горизонтальная асимпто- |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
та, т.к. |
lim f x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.3. Наклонные асимптоты |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Прямая |
y kx b |
называется правой наклонной асимптотой графика |
||||||||||||||||
функции y f x , если |
lim f x kx b 0. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y kx b |
|
|
|
|
||||
Существование |
асимптоты |
у |
кри- |
|
|
|||||||||||||
|
||||||||||||||||||
вой y f x при x означает, |
что функция |
y f x |
|
|
||||||||||||||
отличается от линейной функции y kx b на бесконечно |
|
|
||||||||||||||||
малую величину при x . Геометрически это означает, |
|
|
||||||||||||||||
что на бесконечности график функции неограниченно близ- |
|
|
||||||||||||||||
ко приближается к прямой y kx b , не пересекая ее. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
Теорема. Для того чтобы график функции y f x |
при x имел наклон- |
ную асимптоту y kx b , необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела:
1) |
lim |
|
f x |
k ; |
|
|
x |
|
|||
|
x |
|
|
|
|
2) |
lim |
f x kx |
b . |
||
|
x |
|
|
|
Аналогично исследуется случай левой наклонной асимптоты ( x ).
73